2024年中考第一次模擬考試（浙江卷）

數(shù)學(xué)?全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）

1.設(shè)x是用字母表示的有理數(shù)，則下列各式中一定大于零的是（）

A.x+2B.2xC.|x|D.x2+2

【答案】D

【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三種類型的非負(fù)數(shù)：（1）絕對(duì)值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術(shù)

平方根）.根據(jù)含絕對(duì)值、平方的數(shù)都是非負(fù)數(shù)，它們的值都大于等于0,由此可解此題.

【詳解】解：當(dāng)x<0時(shí)，x+2與2x都小于0,

當(dāng)x=0時(shí)，國=0,

而不論x取何值，x2>0,犬+2必大于0.

故選：D.

2.下列計(jì)算正確的是（）

A.2m+3n-5nmB.-a2b+ba2=0

C.x2+2%2=3x4D.3（a+b）=3a+b

【答案】B

【分析】本題考查整式的加法運(yùn)算，根據(jù)合并同類項(xiàng)法則判定A、B、C；根據(jù)去括號(hào)法則判定D即可.

【詳解】解：A,2〃?+3”沒有同類項(xiàng)不能合并；故本選項(xiàng)不符合題意；

B.+仇=。故該選項(xiàng)正確，符合題意；

C.X2+2X2=3X2,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.3（a+b）=3a+3Z?故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

故選：B.

3.2023年9月23日第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)開幕，有最高2640000人同時(shí)收看直播，數(shù)字2640000用科學(xué)記數(shù)

法可以表示為（）

A.2.64xlO4B.2.64xlO5C.2.64xlO6D.2.64xlO7

【答案】C

【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為0X10",確定。

與〃的值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：2640000,共有7位數(shù)字，2的后面有6位，

2640000=2.64x10%

故選：C.

4.由6個(gè)同樣的立方體擺出從正面看是~?的幾何體，下面擺法正確的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)主視圖：從正面看得到幾何體的圖像，逐個(gè)判斷即可得到答案.

【詳解】解：A選項(xiàng)圖形主視圖得到兩行兩列，故A不符合題意；

B選項(xiàng)圖形主視圖得到兩行三列，且第一列由兩個(gè)，其余的一個(gè)，故B符合題意；

C選項(xiàng)圖形主視圖得到兩行三列，且第一二列都是兩個(gè)，故C不符合題意；

D選項(xiàng)圖形主視圖得到兩行四列，故D不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查主視圖：從正面看得到幾何體的圖像叫幾何體的主視圖.

5.分式的值，可以等于（）

%2+1

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)分子、分母的取值范圍進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：：/+222,x2+l>l,且爐+2看+1,

二二^的值不可能是-1、0、1；當(dāng)x=0時(shí)，分式的值等于2,

x2+lx2+l

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的求值，正確得出分子、分母的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，BC是：。的切線，點(diǎn)B是切點(diǎn)，連接CO交。于點(diǎn)￡）,延長CO交：。于點(diǎn)A,連接AB,若NC=30。,

OD=2,則AB的長為（）

A

Q

\\

BC

A.2A/2B.3yliC.2A/3D.3^/3

【答案】C

【分析】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí).連接。3、DB,由AD

是C。的直徑，得？90?,AD=2OD=4,由切線的性質(zhì)得NO3C=90。，而NC=30。，則N3OC=60。，

所以ABOD是等邊三角形，則&）=OD=2,所以AB歹與":26,于是得到問題的答案.

【詳解】解：連接。8、DB,則03=8=2,

AD是。的直徑，

.-.ZABD=90°,AD=2OD=4,

BC與。相切于點(diǎn)3,

:.BC±OB,

:.ZOBC=90°,

ZC=30°,

.-.ZBOC=60°,

88是等邊三角形，

/.BD=OD=2,

AB=\lAD2-BD2="a4=2#＞，

故選：C.

7.小明所在的班級(jí)有20人去體育場(chǎng)觀看演出，20張票分別為A區(qū)第10排1號(hào)到20號(hào)?采用隨機(jī)抽取的辦

法分票，小明第一個(gè)抽取得到10號(hào)座位，接著小亮從其余的票中任意抽取一張，取得的一張恰與小明鄰

座的概率是（）

【答案】A

【分析】本題考查了概率公式，直接利用概率公式求解.

【詳解】解：因?yàn)榕c10號(hào)座位相鄰得有2個(gè)座位（9號(hào)和11號(hào)），

所以小亮從其余的票中任意抽取一張，取得的一張恰與小明鄰座的概率為1.

故選：A.

8.已知%和%均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)'=加時(shí)，函數(shù)值分別是和A/?,若存在實(shí)數(shù)如使得

則稱函數(shù)%和內(nèi)符合“特定規(guī)律”，以下函數(shù)%和％符合“特定規(guī)律”的是（）

A.=廠+8和%=B.+x和y2=-x+8

C.=廠+8和％=一廣一2尤D.%=f+*和%=—x—8

【答案】B

【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)的性質(zhì).根據(jù)題中所給定義及一元二次方程根

的判別式可直接進(jìn)行排除選項(xiàng).

【詳解】解：當(dāng)兀=加時(shí)，函數(shù)值分別為和A/?,若存在實(shí)數(shù)加，使得加「加2=1，

A、有2〃2-2機(jī)+7=0,△=〃—4ac=4-56=-52<0,所以不存在實(shí)數(shù)相，故不符合題意；

B、有〃/+2〃L9=0,A=/—4ac=4+36=40>0，所以存在實(shí)數(shù)加，故符合題意；

C、有2ff7?+2祖+7=0,A=fe2—4<7c=4—56=—52<0,所以不存在實(shí)數(shù)相，故不符合題意；

D、有機(jī)2+2〃?+7=0，A=Z?2-4ac=4-28=-24<0.所以不存在實(shí)數(shù)如故不符合題意；

故選：B.

9.如圖，已知/A08,以點(diǎn)。為圓心，適當(dāng)長為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于C,。兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)

C,O為圓心，大于g。長為半徑作圓弧,兩條圓弧交于ZAOB內(nèi)一點(diǎn)P,連接。尸，過點(diǎn)P作直線尸EOA,

交于點(diǎn)E,過點(diǎn)P作直線尸尸〃03,交。4于點(diǎn)R若NAO3=60。，OP=6cm,則四邊形尸尸OE的

面積是（）

A.126cm2B.66cm,C.36cm?D.2垂1cmi

【答案】B

【分析】過尸作于M,再判定四邊形尸R9E為平行四邊形，再根據(jù)勾股定理求出邊和高，最后求

出面積.

【詳解】解：過尸作PM_L03于

由作圖得：0P平分，AO3,

/.ZPOB=ZAOP=-ZAOB=30°,

2

PM=-OP=3cm,

2

OM=y/OP'-PM2=3后，

PE\OA,PF//OB,

：.四邊形PFOE為平行四邊形，Z.EPO=ZPOA=30°,

：.ZPOE=ZOPE,

：.OE=PE,

設(shè)OE=PE=x,

在RtPEW中，PE1-MP2=EM1.

即：X2-32=(3A/3-X)\

解得：x=2百，

S四邊形OEPF=OEPM=2上x3=6\[3(cm).

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，掌握平行四邊形的判定定理，勾股定理及平行四邊形的面積公式是解題的

關(guān)鍵.

10.如圖，已知正方形ABCD和正方形BEFG,且A、B、E三點(diǎn)在一條直線上，連接CE,以CE為邊構(gòu)造正

方形CPQE,P。交于點(diǎn)連接CM.設(shè)ZAPM=a,ZBCM=0.若點(diǎn)。、B、尸三點(diǎn)共線，

tana=ntan^,則"的值為（）

【答案】A

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，余角性質(zhì)，三角

函數(shù)，過點(diǎn)。作QNSAB于N,連接Q、B、F,先證明EN。絲，。E,得到EB=QN=BN=BG=CG,

設(shè)EB=QN=BN=BG=CG=a,則AB=3C=CD=AD=2a,AN=a,再證明:COP、

13

PAM^QNM,得到=AM=^-a,BM=^-a,利用三角函數(shù)即可求解，正確作出輔助線是解題的

22

關(guān)鍵.

【詳解】解：過點(diǎn)。作QNSAB于N,連接。、B、F,則NQNE=NQNM=90。，

D.----------------

a

1

Q

.,四邊形ABC。、四邊形瓦獷G、四邊形CPQE是正方形，

?.EC=EQ,CB=CD,NGBE=ZCEQ=NBCD=ZPCE==ZA=90°f

.?點(diǎn)Q、B、尸三點(diǎn)共線，

",ZQBN=NEBF=45°,

?.-￡B產(chǎn)、_BQN都是等腰直角三角形，

*.QN=BN,

；ZBCE+4BEC=90°,2QEN+NBEC=90°,

.?.ZBCE=ZQEN,

在△石AQ和ACBE中,

/ENQ=/CBE=9。。

<ZQEN=ZBCE,

EQ=CE

??._RVQ.C5石(AAS),

:,EN=CB,QN=EB,

?.?QN=BN,

：.EN=CB=2EB,

：.EB=QN=BN=BG=CG,

設(shè)EB=QN=BN=BG=CG=a,貝IjAB=BC=CD=AD=2a,AN=2a-a=a,

「ZDCP+ZBCP=90°,/BCE+ZBCP=90°,

:?/DCP=/BCE,

在△CfiE1和中，

ZCBE=ND=90°

<CB=CD,

ZBCE=ZDCP

??..CBE^CDP(ASA),

BE=DP=a,

.**PA=2a—a=a?

：.PA=QN,

在△出〃和△QVM中，

ZPMA=ZQMN

</A=NQNM=90。,

PA=QN

：.■PAM^QNM(AAS),

：.AM=MN=-AN=-a

22f

13

??BM=2Q—a=—Q,

22

1

一a1

在RtPAM中，+,.+AM，

tanZAPM=tana=-----2_1

PAa2

3

—Clo

在R35CM中，tan〃CM=tan/=我二2_3,

BC2a4

tantz=ntan/?,

—

24

.2

??〃=—

3

故選：A.

第n卷

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11.計(jì)算（省+1）限-1）的結(jié)果等于

【答案】2

【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=（6）12-1=3-1=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟記平方差公式是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在ABC中，AB^AC.過點(diǎn)C作/ACB的平分線交43于點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AE〃DC,交BC延

長線于點(diǎn)E.若NE=36。，貝=

【答案】72

【分析】本題考查平行線及角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì).先利用平行線的性質(zhì)求出“=ZBCD=36。,

再利用角平分線的定義和等邊對(duì)等角計(jì)算.

【詳解】解：ZE=36。，AE//DC,

ZE=ZBCD=36°,

CD平分/ACB,

:.ZACB=7T；

AB=AC,

:.ZB=ZACB=12°.

故答案為：72.

13.已知在二次函數(shù)丁=以2+陵+。中，函數(shù)值）與自變量X的部分對(duì)應(yīng)值如表:

XL-10123L

yL830-10L

則滿足方程依2+bx+c=3的解是

【答案]玉=0,W=4/玉=4,%=。

【分析】本題考查了求拋物線解析式，一元二次方程的解，通過表格數(shù)據(jù)求出。、從。然后代入方程

ax2+bx+c=3即可求解.

【詳解】解：由表格可知拋物線經(jīng)過（0,3）；（3,0）；。,0）,

拋物線解析式為：y=ax2+bx+c,

將（0,3卜（3,0）；。,0）代入工江+法+,可得：

c=3

<9a+3b+c=0,

a+b+c=0

ct—

解得：,。=一4,

c=3

爐—4x+3=3

移項(xiàng)可得：x2—4x=0

因式分解可得：x（x-4）=0

解得：玉=0,無2=4.

14.如圖，尸為直徑A3上的一點(diǎn)，點(diǎn)M和N在2）。上，且NAPM=N7VPB=3O。.若。尸=2cm,AB=16cm,

貝I]PN+PA/=cm.

M

"Ipor

【答案】6s

【分析】本題考查了垂徑定理，含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和勾股定理.延長NP交。于Q,作

OHLNQ于H,連接MQ,ON,如圖，由ZAPM=NNPB,NAPQ=NNP3得到NAPM=NAPQ,利用圓的

對(duì)稱性得到點(diǎn)M與點(diǎn)Q關(guān)于AB對(duì)稱，則PM=P。，所以PN+PM=PQ+PN=NQ,在RtO/W中利用

含30度的直角二角形二邊的關(guān)系得到“=lcm,則在RtOHV中可勾股定理計(jì)算出377cm,然后根

據(jù)垂徑定理得到NH=QH,NQ=2NH=677cm,即可得到PN+PM的值.

【詳解】解：延長NP交〔。于。，作OHLNQ于“，連接MQ,ON,如圖，

ZAPM=ZNPB,

而ZAPQ=N7VPB,

ZAPM=ZAPQ,

二點(diǎn)M與點(diǎn)。關(guān)于A3對(duì)稱，

PM=PQ,

：.PN+PM=PQ+PN=NQ,

在RtOPH中,

VOP=2cm,NOPH=30°,

/.OH=1cm,

在RtOHN中,

OH=1cm,ON=—AB=8cm,

2

JNH=y/0N2-OH2=3V7cm

,/OHLNQ,

：.NH^QN,

：.NQ=2NH=6gcm,

故答案為：6幣.

15.如圖1是一款重型訂書機(jī)，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示.其主體部分為矩形跖G8,由支撐桿C。垂直固

定于底座AB上，且可以繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn).壓桿跖V與伸縮片PG連接，點(diǎn)M在HG上，可繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，

PG±HG,=8cm,GF=2cm,不使用時(shí)，EF//AB,G是P尸中點(diǎn)，且點(diǎn)。在的延長線上，則

MG=cm,使用時(shí)如圖3,按壓使得MN〃A8,此時(shí)點(diǎn)尸落在A8上，若CD=2cm,則壓桿MN

到底座AB的距離為cm.

【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵.

如圖2,延長M0,則M0過點(diǎn)。，由三角形中位線定理可得MG的長度，如圖3,過點(diǎn)P作尸于K,

可得NPFK=NCDF=/MPF在Rt^CDF中,CF=《DF?-C?=2厲,知tan/CDF=而=J15,故

廠/—2>/158

tanZMPF=y/15,可得PG=生竺，PF=PG+GF=4^15+30,由得班―4厲+30，

15

即可得壓桿MV到底座AB的距離為紀(jì)叵cm.

2

【詳解】解：如圖2,延長M0,則M0過點(diǎn)D,

圖2圖3

v四邊形EFGH是矩形,

:.HG//EF,即MG〃。尸，

G是尸產(chǎn)中點(diǎn)，

??.MG是△尸。尸的中位線，

.\MG=-DF=-x8=4cm

22f

如圖3,過點(diǎn)尸作尸K_LAB于K,

,MN//AB,

PK±AM,ZMPF=ZPFK,

ZDFP=ZDCF=90°,

/.ZCDF+ZDFC=ZPFK+ZDFC=90°，

/.ZPFK=ZCDF=AMPF，

在RtACD廠中，CF=1DF2—CD2=2萬，

CFi—

知tanZCDF=—=715,

CD

；?tanNM/V=JI?即絲=后，

PG

PG

解得尸G=生叵，

15

.,4厲+30

…PPEF=PG+GF=-----------

15

ZCDF=ZPFK,/DCF=90°=ZPKF,

CDFS'KFP,

2y/158

得PK~4屏+30-

15

解得PK=馬芭5cm,

2

壓桿MN到底座AB的距離為左正cm，

2

故答案為：4,紀(jì)叵.

2

16.由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形ABCZ）如圖所示.將小正方形對(duì)角線所雙向

延長，分別交邊A3,和邊BC的延長線于點(diǎn)G,H.若大正方形與小正方形的面積之比為5,GH=25,

則大正方形的邊長為

H

【答案】3

【分析】設(shè)小正方形在線段DE上的一個(gè)頂點(diǎn)為M,CO與G"相交于點(diǎn)P,由大正方形與小正方形的面積

之比為5,可推出=設(shè)￡?0=。，AE=b,貝1]4￡>=耳，利用勾股定理和多項(xiàng)式的因式分解推

出〃=)；延長加交8于點(diǎn)N,利用平行線分線段成比例定理可證N是8的中點(diǎn)以及黑=黑==§=：,

BrBCJCJF4

設(shè)尸N=%，則5G=4%，證，BFG空。EP得PD=BG=4x,同理得EG=方尸，由此可推出尸C=2x；由

CP//BG,得名=匕,可求得尸”與PG的長，最后由所=PG-2EG=0a求出。的值即可.

BCJ(jrH

【詳解】解：設(shè)小正方形在線段。E上的一個(gè)頂點(diǎn)為M,CO與GH相交于點(diǎn)尸，

???大正方形與小正方形的面積之比為5,

=75,

EM

/.AD=y/5EM,

設(shè)￡?1/=〃，AE=b,貝!]AO=\/^Q,

由勾股定理得：AE2-^DE2=AD2,

J/+("+/?)2=(不,

??2Z?2+2ab—4a之=0,

?**b2+ab—2a2=0,

/.他-a)(Z?+2〃)=0,

丁b+2aw0,

b—a=O,

??b—cif

AE=EM=DM=CF=a,

延長所交CO于點(diǎn)N,

VBN//DE,CF=FM,

：.DN=CN,

：.FN=-DM=-a

22f

9：PN//BG,

1

：.FNPN_FP_2aI,

設(shè)PN=x,貝lj5G=4%,

VBN//DE,AB//CD,

；?NBFG=/DEF,NBGF=NDPE,

e

*.DE=BFf

???二BFG^DEP(AAS),

???PD=BG=4x,

同理可得：EG=FP,

:.DN=3x=CN,

/.PC=2x,

■:CP〃BG,

.CPPH2xPH

??-=----,即nn丁——/=,

BGGH4x2V10

PH=PG=M,

FP1

???一=—,即/G=4FP,

FG4

??EG=FP=---,

5

?口口"C"/77?2折33A/TOA

.3A/5

??a=-----，

5

AD=A/5(Z=3，

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理,

因式分解等知識(shí)，靈活運(yùn)用平行線分線段成比例定理和勾股定理求出線段之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共8個(gè)小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(6分)(1)計(jì)算：("-2023)。+1百-2|+夜；

(2)解不等式：3(x-2)>2(2+x).

【答案】(1)3+6;(2)x>10

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及解一元一次不等式；

(1)分別根據(jù)零指數(shù)塞的定義，絕對(duì)值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)，計(jì)算即可；

(2)不等式去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，化系數(shù)為1即可.

【詳解】(1)原式=1+2-百+2省

=3+A/3；

(2)3(x-2)>2(2+x),

去括號(hào)，得3x-6>4+2x,

移項(xiàng)，得3x-2x>4+6,

合并同類項(xiàng)，得%>10.

18.(6分)小汪解答“解分式方程：三2=鋁”的過程如下，請(qǐng)指出他解答過程中錯(cuò)誤步驟的序號(hào),

x—22—x

并寫出正確的解答過程.

解：去分母得：2x+3-1=—(x-1)…①，

去括號(hào)得：2x+3—1=—x+1…②，

移項(xiàng)得：2x+x=l+l-3…③，

合并同類項(xiàng)得：3x=-1…④，

系數(shù)化為1得：⑤，

是原分式方程的解.

【答案】錯(cuò)誤步驟的序號(hào)為①，解法見詳解.

【分析】本題考查檢查解分式方程；錯(cuò)誤步驟的序號(hào)為①，解方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，

2x+3-2（x-2）=-（x-l）,進(jìn)而解這個(gè)整式方程，最后檢驗(yàn)，即可求解.

【詳解】解：錯(cuò)誤步驟的序號(hào)為①，

2x+3x-1

x—22—x

去分母得：2x+3—2（%—2）=—（%—1）

去括號(hào)得：2元+3—2x+4=r+1

移項(xiàng)得：2x-2x+x=l-3-4…③，

合并同類項(xiàng)得：x=-6…④，

檢驗(yàn)：當(dāng)x=-6時(shí)，x-2w0,

x=-6是原分式方程的解.

19.（8分）某校初三年級(jí)開展了系列交通安全知識(shí)競(jìng)賽，從中隨機(jī)抽取30名學(xué)生兩次知識(shí)競(jìng)賽的成績（百

分制），并對(duì)數(shù)據(jù)（成績）進(jìn)行收集、整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

a.這30名學(xué)生第一次競(jìng)賽成績

本第二次成績/分

100-

*

95-..：

??

*

????

90-.??.

???

??

???

85-..

80-

80―85—90—95—二0第—次成績/分

b.這30名學(xué)生兩次知識(shí)競(jìng)賽的獲獎(jiǎng)情況統(tǒng)計(jì)表

參與獎(jiǎng)優(yōu)秀獎(jiǎng)卓越獎(jiǎng)

人數(shù)

第一次101010

競(jìng)賽

平均分828795

第二次人數(shù)21216

競(jìng)賽

平均分848793

和第二次競(jìng)賽成績得分情況統(tǒng)計(jì)圖：(規(guī)定：分?jǐn)?shù)290,獲卓越獎(jiǎng)；85W分?jǐn)?shù)＜90,獲優(yōu)秀獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)＜85,

獲參與獎(jiǎng))

c.第二次競(jìng)賽獲卓越獎(jiǎng)的學(xué)生成績?nèi)缦拢?/p>

90909191919192939394949495959698

d.兩次競(jìng)賽成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

第一次競(jìng)賽m87.588

第二次競(jìng)賽90n91

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

⑴小松同學(xué)第一次競(jìng)賽成績是89分，第二次競(jìng)賽成績是91分，在圖中用圈出代表小松同學(xué)的點(diǎn)；

⑵直接寫出機(jī)，〃的值；

(3)請(qǐng)判斷第幾次競(jìng)賽中初三年級(jí)全體學(xué)生的成績水平較高，并說明理由.

【答案】(1)見解析

⑵相=88,a=90

(3)二，理由見解析

【分析】本題考查統(tǒng)計(jì)圖分析，涉及中位數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、眾數(shù)，

(1)根據(jù)這30名學(xué)生第一次競(jìng)賽成績和第二次競(jìng)賽成績得分情況統(tǒng)計(jì)圖可得橫坐標(biāo)是89,縱坐標(biāo)是90的

點(diǎn)即代表小松同學(xué)的點(diǎn)；

(2)根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義可得相和”的值；

(3)根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)進(jìn)行決策即可.

【詳解】(1)解：(1)如圖所示.

小第二次成績/分

100-

*

95-..?.：

??

?:@?

90-?

???

??

???

85一..

80-

80―85—90—95―100第二次成績/分

82x10+87x10+95x10

(2)m=-------------------------------=8o8o,

30

???第二次競(jìng)賽獲卓越獎(jiǎng)的學(xué)生有16人，成績從小到大排列為:

90909191919192939394949495959698,

...第一和第二個(gè)數(shù)是30名學(xué)生成績中第15和第16個(gè)數(shù),

.?.〃?=88,n=90；

(3)可以推斷出第二次競(jìng)賽中初三年級(jí)全體學(xué)生的成績水平較高，

理由是：第二次競(jìng)賽學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都高于第一次競(jìng)賽.

答：二，第二次競(jìng)賽學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都高于第一次競(jìng)賽.

20.(8分)某校九年級(jí)學(xué)生在數(shù)學(xué)社團(tuán)課上進(jìn)行了項(xiàng)目化學(xué)習(xí)研究，某小組研究如下:

【提出驅(qū)動(dòng)性問題】如何設(shè)計(jì)紙盒？

【設(shè)計(jì)實(shí)踐任務(wù)】選擇“素材1”“素材2”設(shè)計(jì)了“任務(wù)1”“任務(wù)2”的實(shí)踐活動(dòng).

請(qǐng)你嘗試幫助他們解決相關(guān)問題.

素利用一邊長為40cm的正方形紙板可能設(shè)計(jì)

材1成如圖所示的無蓋紙盒

如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪掉一個(gè)

素

同樣大小的小正方形，將剩余部分折成一個(gè)

材2

無蓋紙盒.□

【嘗試解決問題】

任

初步探究：折一個(gè)底面積為484cm2無蓋紙盒（1）求剪掉的小正方形的邊長為多少？

務(wù)1

任（2）如果有，求出這個(gè)最大值和此時(shí)剪掉的小正方形

折成的無蓋紙盒的側(cè)面積是否有最大值？

務(wù)2的邊長；如果沒有，說明理由.

【答案】任務(wù)1：剪掉的正方形的邊長為9cm.

任務(wù)2：當(dāng)剪掉的正方形的邊長為10cm時(shí)，長方形盒子的側(cè)面積最大為800cm，

【分析】此題主要考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方

程和函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵.

任務(wù)1：假設(shè)剪掉的正方形的邊長為xcm,根據(jù)長方形盒子的底面積為484cm一得方程（40-2x）2=484,

解所列方程并檢驗(yàn)可得；

任務(wù)2：側(cè)面積有最大值，設(shè)剪掉的正方形邊長為。cm,盒子的側(cè)面積為yen?,利用長方形盒子的側(cè)面積

為：y=（40-2a）xax4得出即可.

【詳解】解：任務(wù)L設(shè)剪掉的正方形的邊長為xcm,

貝"（40—2x）2=484,即40—2x=±22,

解得%=31（不合題意，舍去），％=9,

答：剪掉的正方形的邊長為9cm.

任務(wù)2：側(cè)面積有最大值.

理由如下：

設(shè)剪掉的小正方形的邊長為。cm,盒子的側(cè)面積為ycm2,

則》與x的函數(shù)關(guān)系為：y=（40-2a）xax4,

即y=-8a2+160a,

即y=-8（a-10）2+800,

=10時(shí)，為大=8。。.

即當(dāng)剪掉的正方形的邊長為10cm時(shí)，長方形盒子的側(cè)面積最大為800cm2.

21.（10分）為了保護(hù)小吉的視力，媽媽為他購買了可升降夾書閱讀架（如圖1）,將其放置在水平桌面上

的側(cè)面示意圖（如圖2）,測(cè)得底座高AB為2cm,/ABC=150。，支架為18cm,面板長DE為24cm,CD

為6cm.（厚度忽略不計(jì)）

（1）求支點(diǎn)C離桌面/的高度；（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）

（2）小吉通過查閱資料，當(dāng)面板OE繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，面板與桌面的夾角。滿足30。4。＜70。時(shí)，能保護(hù)視

力.當(dāng)a從30。變化到70。的過程中，問面板上端E離桌面/的高度是增加了還是減少了？增加或減少了

多少？（精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)：sin70°?0.94,cos70°a0.34,tan70°?2.75）

【答案】⑴支點(diǎn)C離桌面/的高度（94+2刖；

⑵面板上端E離桌面I的高度是增加了，增加了約1.9cm

【分析】（1）作CHUBF〃/,先在M.CEB求出CP的長，再計(jì)算CF+初即可得答案;

（2）分別求出NECG=70。時(shí)和NECG=30。時(shí),EG的長，相減即可.

【詳解】（1）解：如下圖，作C"_L/,3P〃/,

,ZABC=150°,

.\ZCBF=150°-90°=60°,

BC=18,

CF=sin60°xl8=—xl8=973,

2

:.CH=CF+FH=CF+AB=9y/3+2

支點(diǎn)C離桌面/的高度（9宕+2,優(yōu);

QDE=24,CD=6,

:.CE=24-6=18,

當(dāng)/ECG=70°時(shí)，EG=sin70°xl8,

當(dāng)/ECG=30°時(shí)，EG=sin30°x18,

sin70°xl8-sin30oxl8=18x(sin70o-sin30°)?18x(0.94-0.5)?18x0.44?7.9,

???面板上端E離桌面/的高度是增加了，增加了約7.9CM?.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形.

22.(10分)正方形ABCD邊長為3,點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，連結(jié)3E交AC于點(diǎn)?

⑴如圖1,若CE=1,求C尸的值；

CE3

(2)如圖1,--=m,若S公CBF=不，求相的值.

ED2

(3)如圖2,點(diǎn)G為BC上一點(diǎn)，且滿足/G4C=/￡BC,設(shè)CE=x,GB=y,試探究y與尤的函數(shù)關(guān)系.

【答案】(1)

(2)m=l

Q_ar

⑶，=彳一(04x43)

3+x

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握相似三角形判定定理的內(nèi)容

是解題關(guān)鍵.

證△CEFs/可得C益F=而CF'結(jié)合即可求解;

由喋=機(jī)可得噂=號(hào)=*7,進(jìn)一步可得￥皿=六］，據(jù)此即可求解;

(2)

EDAFAB77?+15AAsc2機(jī)+1

由（1）可得CF=上亙，證ACGs,3b得或=g=3即可求解.

(3)

3+xCFBC

【詳解】（1）解：由題意得：AB//CE,AB=BC=3

NCEF^NABF,AC=飛AB?+BC2=3叵

.CECF

"AB-AF

0n1一CF

：3~3^/2-CF

解得：CF=?五

4

CE

(2)解：V—=m,

.CE_m

CDm+1

.CEm

ABm+1

CF_CE_m

由（1）可得:

AFABm+l

S^CBF_m

m+1

S/^CBF_m

SAABC2m+1

193

SVAoBCC=-2xABxBC=-2fS△^CBorF=2-

3

m_2_1

2m+193

2

解得：m=l

CECF

（3）解：由（1）得:

ABAF

口廠xCF

P：3~3^2-CF

解得：CF二也■

3+x

?:/GAC=/EBC,ZACG=ZBCF

：.AACG^,BCF

即："

:.親3

3+x

9-3r

整理得：尸不

?：y>0

/.9-3x>0,x<3

又xNO

J0<x<3

Q_O

故：y=^-^(rO<x<3)

3+x

23.(12分)如圖1,￡點(diǎn)為x軸正半軸上一點(diǎn)，E交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C、。兩點(diǎn)，P點(diǎn)為劣

(2)如圖2,連結(jié)PC,取PC中點(diǎn)G,連結(jié)OG,則OG的最大值為

(3)如圖3,連接AC、AP.CP、CB.若CQ平分/PC。交E4于。點(diǎn)，求AQ的長;

PC+PD

(4)如圖4,連接R4、PD，當(dāng)尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與8、C兩點(diǎn)重合)，求證：”為定值,并求出這個(gè)

定值.

【答案】(1)120

(2)2

⑶AQ=2

(4)見解析，6

【分析】本題主要考查了垂徑定理在圓中的應(yīng)用，最后一問由“共頂點(diǎn)，等線段”聯(lián)想到旋轉(zhuǎn)，是此題的突破

口，同時(shí)，要注意頂角為120。的等腰三角形腰和底邊比是固定值.

(1)由已知得到CO垂直平分AE,故得到C4=AE,證明"慮為等邊三角形即可得到答案；

(2)由于直徑根據(jù)垂徑定理可以得到。是8的中點(diǎn)，要求OG最大值即求尸。最大值，當(dāng)PD為

直徑時(shí)，有最大值，即可得到答案；

(3)根據(jù)垂徑定理得到AC=A。，證明NACQ=ZAQC,由(1)得AC=AE=4,即可得到答案；

(4)將△ACP繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。至"￡>〃，得到△ACP/PD+PC=PD+DM=PM,

過A作AG_LPM于G,則RW=2PG,根據(jù)勾股定理證明.

【詳解】(1)解：連接AC,CE,

.A(T0)、E(l,0),

：.OA=OE=1,

OC±AE,

AC-CE,

AE=CE,

AC-CE-AE,

:.ZCAE=600,

NBEC=2ZCAB=120°,

BC的度數(shù)為120。；

(2)解：由題可知，43為直徑，且ABLCD,

由垂徑定理可得，CO=OD,

連接PO,

G是尸C的中點(diǎn)，

OG//PD,OG=-PD,

2

當(dāng)。、E、P三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)取得最大值，

S.DP=AB=2AE=4,

二.OG的最大值為2；

(3)解：連接AC,5C,

ABLCD,

；?AC=AD^

:.ZACD=ZCPA,

QCQ平分NDCP,

.\ZDCQ=ZPCQ,

ZACD+ZDCQ=/CPA+ZPCQ,

ZACQ=ZAQC,

AQ—AC,

ZCAO=60°,AO=lf

,\AC=2,

r.AQ=2；

(4)證明：由題可得，直徑AB_LCD,

AB垂直平分8,

如圖4,連接AC,AD,則AC=AD,

由(1)得，NO4c=120。

將△ACP繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△ADM,

:.^ACP^/\ADM,

ZACP=ZADM,PC=DM,

四邊形ACPO為圓內(nèi)接四邊形,

ZACP+ZADP=180°,

ZADM+ZADP=180°,

:.M、。、P三點(diǎn)共線,

:.PD+PC=PD+DM=PM,

過A作AG_LPM于G,貝1]9=2尸G,

ZAPM=ZACD=30°,

在RtAPG中，ZAPAf=30°,

設(shè)AG=x,貝!]AP=2x,

PG=^/AP2-AG2=島，

.-.PM=2PG=2y13x,

PM=y/3AP,

PC+PD=y/3AP,

生產(chǎn)=石為定值.

PA

24.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,交x軸于點(diǎn)3（-6