第10講對(duì)數(shù)（對(duì)數(shù)的定義，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)的換底）

【基礎(chǔ)知識(shí)】

一、對(duì)數(shù)概念

1.對(duì)數(shù)的概念

如果/=N（a>0,且awl）,那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作:logaN=b.其中a叫做對(duì)數(shù)的底

數(shù)，N叫做真數(shù).

要點(diǎn)詮釋：

對(duì)數(shù)式logaN=b中各字母的取值范圍是：a>0且awl,N>0,beR.

2.對(duì)數(shù)logaNja>0,且a#1）具有下列性質(zhì)：

（1）0和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)，即N>0；

（2）1的對(duì)數(shù)為0,Bpiogfll=0；

（3）底的對(duì)數(shù)等于1,即log。4=1.

3.兩種特殊的對(duì)數(shù)

通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，bgioN簡(jiǎn)記作lgN.以e（e是一個(gè)無(wú)理數(shù)，e=2.7182…）

為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，log^N簡(jiǎn)記作InN.

4.對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系

由定義可知:對(duì)數(shù)就是指數(shù)變換而來(lái)的，因此對(duì)數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化.它們的關(guān)系可

由下圖表示.

指數(shù)式對(duì)數(shù)式

指數(shù)對(duì)數(shù)

幕真數(shù)

I|

b

a=NlogaN=b

底數(shù)

由此可見(jiàn)a,b,N三個(gè)字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化.

二、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則

已知108〃加,108〃"（。>0且。。1,M.N>0）

（1）正因數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和；

log.（W）=log。M+log.N

推廣：kgjNN…Nk）=OaN"TogaN?+…Nk（N「N2、…、乂>0）

（2）兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；

M

^ga-=iogaM-\ogaN

（3）正數(shù)的塞的對(duì)數(shù)等于塞的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以塞指數(shù)；

a

\ogaM=a\ogaM

要點(diǎn)詮釋：

（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對(duì)數(shù)都存在時(shí)等式才能

成立.如：log2（-3）（-5）=log2（-3）+log2（-5）是不成立的，因?yàn)殡m然log2（-3）（-5）是存在的，但log2（-3）與log2（-5）是不

存在的.

（2）不能將和、差、積、商、幕的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、幕混淆起來(lái)，即下面的等式是錯(cuò)誤

的：

loga(M±N)=logaM±logaN,

10ga(M-N)=10gaM-10gaN,

MlogflM

10ga——=-------.

Nlog*

三、對(duì)數(shù)公式

1.對(duì)數(shù)恒等式：

a，=N

log“N=b

2.換底公式

同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在a>0,a力，M>0的前提下有：

H

(1)logaM=loga?M(?e7?)

令logaM=b,則有ab=M,(ab)n=Mn,即=M",即b=log/AT,即:loga"=log/AT.

hb

(2)logflM=bg?！?c〉0,cW1),令logaM=b,則有a=M,則有l(wèi)ogfa=logfM(c>0,c1)

log,a

BP/j-logc?=logcA/,即.=og。-，即log”M=bg?！?c〉0,cw1)

log/log。a

當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)(1)可由(2)推出，但在解決某些問(wèn)題(1)又有它的靈活性.而且由(2)還可以得

到一個(gè)重要的結(jié)論：

logab-——--(a>0,aw1,>0,Z?w1).

log/

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用

例L將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化:

(l)log216=4；(2)log,27=-3；(3)log^A：=3；

3

【解析】運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義進(jìn)行互化.

3；⑸*j*9=-2.

(1)24=16；(2)27；(3)

【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問(wèn)題

的重要手段.

考點(diǎn)二：利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值

例2.求值：71+10g75

【答案】35

【解析】71+臃75=7.7^75=7x5=35.

【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)恒等式"°g〃N=N中要注意格式：①它們是同底的；②指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式；③其值為

真數(shù).

考點(diǎn)三：積、商、塞的對(duì)數(shù)

立例3.用電》,1嗝/1*2表示下列各式

(1)1。*(2)1*今(3)1。4；(4)1限嘿

【解析】(1)log—=logA：+logy-logz；

flzaflfl

3535

(2)logfl(xy)=logax+logfly=31ogflx+51ogfly；

(3)loga—=log.4x-log“("):logax-logfly—log.z；

yz2

2

⑷logfl^-￡=logfl(xy)-logfl=21ogflx+|logfly-^logaz.

y/z23

【總結(jié)升華】利用對(duì)數(shù)恒等式、對(duì)數(shù)性質(zhì)及其運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是化簡(jiǎn)對(duì)數(shù)式的重要途徑，因此我們必須

準(zhǔn)確地把握它們.在運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，一要注意真數(shù)必須大于零；二要注意積、商、幕的對(duì)數(shù)運(yùn)算

對(duì)應(yīng)著對(duì)數(shù)的和、差、積得運(yùn)算.

考點(diǎn)四：換底公式的運(yùn)用

[Yl例4已知log]89=a,18"=5,求log3645.

【解析】

解法一：log189=a,18*=5,log185—b,

J.uloa45=logis45=Iogi8(9x5)=logMlogQ=a+b=a+b_

6---

"log1836log18(18x2)l+log182-1+logi8^2-a

：vloglg9=a,18*=5,log185=Z?,

干曰bo45_l°gi845_logi8(9x5)_log]89+logi85_a+b

7GS36~

-log1836直21og1818-log189-2-?-

解法三：log189=o,18*-5,.,.lg9=?lgl8,lg5=Z?lgl8,

74Vlg45lg(9x5)Ig9+lg5algl8+blgl8a+b

"361g36[匿21gl8-lg921gl8-algl82-a

8V

解法四：???logi89=a,，18"=9.

又?.T8"=5,二45=5x9=18"?18"=18"。

la+fe

令log3645=x,則36=45=l8,

1Q1Q1Q2

即36*=(y-y)x=18叫二(牛『=18叫

,182,

xlog18=a+b.

?--------a--+-b---------〃--+--/?

logi818--log*92-a

【總結(jié)升華】(1)利用換底公式可以把題目中不同底的對(duì)數(shù)化成同底的對(duì)數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì).

(2)題目中有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式時(shí)，要注意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，將它們統(tǒng)一成一種形式.

(3)解決這類(lèi)問(wèn)題要注意隱含條件“l(fā)og。a=1”的靈活運(yùn)用.

考點(diǎn)五：對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用

1Yl例5(1)計(jì)算：(卷)°5+9-5—log232+12屋百—〃°+log23」og94

7

(2)Igl4-21gj+lg7-lgl8

3

(3)Iog2(bg232+k)gi丁啕36)

2今

(4)若log?x=log4(x+2),求x的值.

【思路點(diǎn)撥】(1)(2)(3)利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出;

(4)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

【答案】(1)3；(2)0；(3)3；(4)2

【解析】(1)原式=(2產(chǎn)。5+32"”)—log225+2x3，x3L—1+柜

3221g221g3

=-+--5+6-l+l=3

33

(2)lg(2x7)-2(lg7-1g3)+1g7-lg(32x2)

=lg2+lg7-21g7+21g3+lg7-21g3-lg2=0

323

(3)原式=log2(5+log2.i-+log226)=log2(5-log2-+log26)-log28=3

(4)*.*log2x=log4(%+2),

.lgx=lg(x+2)

.?淳—lg4

.lg%=lg(%+2)

.,瓦—21g2

x2=x+2,

解得x=-1或x=2,

?\x=2

例6(設(shè)函數(shù)/(x)=lg(ax)-lg-^

x

(1)當(dāng)a=0.1,求)(1000)的值.

(2)若/(10)=10,求a的值；

【思路點(diǎn)撥】(1)當(dāng)a=0.1時(shí)，/(x)=lg(0.k)」g，，把A1000代入可求

(2)由/(10)=lg(10a)-lgj^=(l+lga)(lga-2)=lg2a-lga—2=10,可求Iga,進(jìn)而可求a

【答案】(1)-14；(2)。=1。4或a=l(y3

【解析】(1)當(dāng)。=0.1時(shí)，/(x)=lg(0.U)-lg^-7

二/(1000)=1g10(Mg*=2x(-7)=-14

(2)?；/(10)=lg(10a)?1g急=(1+1ga)(lg?-2)=lg2a-lga-2=10

Ig?4-1g4—12=0

(1ga-4)(lga+3)=0

1ga=4或1ga=-3

a=1()4或a=10-3

【真題演練】

一、單選題

1.(2020?上海高一單元測(cè)試)下列說(shuō)法正確的是()

A.因?yàn)镕=i，所以logj=2B.因?yàn)?2=9,所以log39=2

C.因?yàn)?—3)2=9,所以logf9=2D,因?yàn)?2=9,所以log92=3

【答案】B

【分析】由對(duì)數(shù)的定義逐個(gè)判斷即可

【詳解】解：因?yàn)楫?dāng)/=N(a>0且awl)時(shí)，6=log,N,

所以選項(xiàng)A的底數(shù)為1,是錯(cuò)誤的，選項(xiàng)C的底數(shù)為負(fù)數(shù)，是錯(cuò)誤的，

3?=9的底數(shù)為3,所以化為對(duì)數(shù)后底數(shù)也應(yīng)為3,所以B正確，D錯(cuò)誤，

故選：B

2.(2020.上海市新場(chǎng)中學(xué)高一月考)以下對(duì)數(shù)式中，與指數(shù)式5,=6等價(jià)的是(

A.log56=xB.logs尤=6C.log6x=5D.logv6=5

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的關(guān)系即可得出.

【詳解】根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的關(guān)系，5￡=6等價(jià)于1/56=%.

故選：A.

3.(2020?上海高一單元測(cè)試)方程1084-(%2-2%)=1084-45%-6)解的個(gè)數(shù)是(

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無(wú)窮多個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)符號(hào)有意義得到2Vx<4且x/3,再根據(jù)真數(shù)相等解方程可得答案.

4-x>0

4一xw1

【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)符號(hào)有意義可得〈2C八，即2Vx<4且XW3,

x-2%>0

5x-6>0

再根據(jù)題意可得J—2%=5x—6，即d—7x+6=0，

解得x=1或x=6,

因?yàn)閤=l和1=6均不滿足2cx<4且％w3,

所以原方程解的個(gè)數(shù)為0.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)底數(shù)和真數(shù)的范圍，考查了求方程的解的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2020?上海高一單元測(cè)試)已知log”3=加，則〃加的值為：()

3

A.3B.6C.9D.-

2

【答案】C

【分析】首先利用指對(duì)數(shù)互化公式得到""=3，再計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)閘og03=m,所以屋=3.

所以=9.

故選：C

5.(2020?上海高一專題練習(xí))下列式子中正確的個(gè)數(shù)是()

①log/—c2)=21ogab—210gqe

22

(g)(logfl3)=loga3

③loga(bc)=(log向?(logaC)

④log4=21ogd

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算以及對(duì)數(shù)真數(shù)大于零分別判斷即可.

【詳解】對(duì)于①，當(dāng)反c為負(fù)數(shù)時(shí)log/與log。。沒(méi)有有意義，loga(Z?2—c2)=21og疝—21og「不成立,錯(cuò)誤；

對(duì)于②，〃=3時(shí)，(10ga3)2=10ga32左邊等于1,右邊等于2,等式不成立，錯(cuò)誤；

對(duì)于③，當(dāng)瓦。為負(fù)數(shù)時(shí)10ga。與Eg。。沒(méi)有有意義，10ga(Z?C)=(10gaA＞(10gaC)不成立，錯(cuò)誤；

對(duì)于④，元＜0時(shí)，logd沒(méi)意義，logd2=21ogd不成立，錯(cuò)誤，

故選：A.

M

6.(2020.華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高一期中)21og(2M-N)=log.M+log,N,則—的值為()

aN

113

A.-B.4C.1D.一或1

44

【答案】C

【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得到log°(2M-N)2=log.MN,整理得HIV—5MN+N2=0,進(jìn)而得到

4(—)2-5—+—=0,結(jié)合2以—N＞0,即可求解.

NNN

【詳解】2logfl(2M-N)=logflM+lognN,

可得log°(2M—N)2=logflMN,其中2M—N>0,M>0,N>0

則(2M—N)2=MN,整理得4/2—5加+"2=0,

…「MM八—aM,,M1

即4(—)--51--=0,解得一=1或——=—

NNNNN4

又因?yàn)?M—N>0,可得竺〉工，所以”=1.

N2N

故選：C.

7.(2020?上海高一單元測(cè)試)若尤＞0,＞〉0,“eN*，則下列各式中，恒等的是()

A.lgxlgy=lgx+lgyB.Igx2=(lgx)2

「，工InxIn%

C.Inx"=----D.----=In—

nnn

【答案】C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證即可

【詳解】對(duì)于A,lgx+lgy=lg孫，所以，A錯(cuò)；

對(duì)于B,lg》2=21gx,所以,B錯(cuò);

-1Inx

對(duì)于c,lnxn=-lnx=——，所以，c對(duì);

nn

InY—

對(duì)于D,—=所以，D錯(cuò)；

n

故選：C

8.(2020.上海市南洋模范中學(xué)高一期中)設(shè)1g2=a,1g3=b,則logi225的值是()

l—(i\—ci2—2。2—2Q

A.----B.-----C.------

a+ba-ba+2b2a+b

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

1g25_21g5_2(l_lg2)_2—2a

【詳解】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，可得log1225=

lgl2-21g2+lg3-21g2+lg3-2a+b

故選：D.

二、填空題

9.(2021.上海市川沙中學(xué)高一期末)已知?！?且awl,若log02=〃z,log,3=〃，則

^m+n

a=?

【答案】6

【分析】利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，再利用同底數(shù)累相乘即可.

mn

【詳解】Vlogfl2=m,.-.a=2,同理:a=3

/.=2x3=6

故答案為：6

【點(diǎn)睛】對(duì)數(shù)運(yùn)算技巧：

(1)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化；

(2)靈活應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；

(3)逆用法則、公式；

(4)應(yīng)用換底公式，化為同底結(jié)構(gòu).

10.(2021?上海高一期末)已知log32=a,則用。表示log827=,

【答案】-

a

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與換底公式，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閘og32=a,

3,11

所以logs27=log233=log23=------=

log32a

故答案為：—.

a

11.（2021?上海市延安中學(xué)高一期末）方程5*=3的解為.

【答案】%=log53

［分析】利用d=Nob=log.N,直接求解.

【詳解】由4=N。力=log“N,

5'=3，

x-log53,

故答案為：X=log53.

12.（2021?上海高一期末）已知log2a=g,貝.

【答案】2

【分析】利用對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化以及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得標(biāo)的值.

11（1Y

【詳解】?.Tog?a=—,?々，因此,tz3=23=2.

3I7

故答案為：2.

13.（2021.上海市西南位育中學(xué)高一期末）已知，=a，Cy=a，bc=a,其中。，b,ce（l,+co）,則

11

—I—二

xy

【答案】1

【分析】先將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，再按照對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可求解.

【詳解】由Z/=a,c'=a可得：xulog/,y=logfa,

所以一+」=log〃6+log〃c=log"6c=k）gaa=l,

xy

故答案為：1.

14.（2021.上海格致中學(xué)高一期末）已知log62=〃，用〃表示log412=.

1+。

【答案】

2a

【分析】由換底公式可得出-=log,6,進(jìn)而利用換底公式可將log412用。加以表示.

a

【詳解】,/log2=。，/.log6=—

62af

所以’log12」°g212」°g2（2x6）」+log26_+q_a+l.

?log242222a

故答案為：-----

la

15.（2021?上海位育中學(xué)高一期末）設(shè)a>0且awl,b>0,若log〃4og5a=3,則/,=

【答案】125

【分析】先利用換底公式解得Igb=31g5,再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即得結(jié)果.

【詳解】由log,*4og5a=3知，默?笑=3,即Igb=31g5=lg53,故5=53=125.

故答案為：125.

20

16.（2021?上海高一期末）計(jì)算：1082豆+210g23—log25+7i嗚2=.

【答案】4

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)求解出結(jié)果.

2

【詳解】=log2y+log23-log25+2

（20八

——x9

=log2—+2=log24+2=2+2=4,

I7

故答案為：4.

17.（2021.上海華師大二附中高一期末）計(jì)算：+83+10§375-2^35=.

【答案】9

【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解出結(jié)果.

12

【詳解】原式=h+(23)3+log3(3x5x5)-21og35=4+22+log33+2k>g35-2k>g35

[2)

=4+4+1=9,

故答案為：9.

l+log(2-x),x<l,

18.(2021?上海上外浦東附中高一期末)設(shè)函數(shù)/(%)={2尸7],

/(-2)+/(log212)=.

【答案】9

【分析】分別求得了(—2)和/(log212),由此求得/(—2)+/(log212).

【詳解】-2<1,log212>log22=l,所以

/(-2)=l+log2[2-(-2)]=l+log24=l+2=3,

.12

log212-1082282y

“l(fā)og,12)=2腕212T=2=2°=2臉6=6，

所以/(-2)+/(log212)=3+6=9.

故答案為：9

三、解答題

19.（2020.上海高一單元測(cè)試）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化.

、3

⑵16.一；

(3)1咱8=-3；

2

(4)loga(l+V2)=-l.

【答案】⑴log3f=-3.⑵log16x=-1.(3)=8.(4)小=1+應(yīng).

【分析】由對(duì)數(shù)式的定義可進(jìn)行互化.

【詳解】解：因?yàn)橛?=6可得x=log."a〉0,awl1>0,所以

11

(1)由3■可得log37^=-3；

2727

33

(2)由］67=工可得10816兀=—4；

由x=log。"?！?,。/11〉0可得優(yōu)=6，所以

⑶由l°g，=-3可得出=8；

(4)由log?(l+72)=-1可得a1=1+^2-

【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化.由指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式時(shí)，以指數(shù)式的底數(shù)為底數(shù)，指數(shù)運(yùn)算

的結(jié)果為真數(shù)的對(duì)數(shù)，其結(jié)果為指數(shù)式的指數(shù)；由對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式時(shí)，以對(duì)數(shù)的底數(shù)為底數(shù)，對(duì)數(shù)運(yùn)

算的結(jié)果為指數(shù)的指數(shù)，其結(jié)果為對(duì)數(shù)式的真數(shù).

20.(2020?上海高一單元測(cè)試)已知電g=a,log35=6,試用a,6表示lg5.

3ab

【答案】

2+3ab

log35

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)換底公式用a表示出log32,將1g5化為即可得出結(jié)論.

log,10'

,八log,92,c2

【詳解】1°&9=康=五懣="'

坨5=35=1鳴5=b=3ab

log310log35+log32122+3ab-

3a

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用，熟記公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

21.(2020.上海曹楊二中高一月考)已知函數(shù)/(%)=lg(l-x)-lg(l+x).

(1)解方程:/U)=0；

(2)求證：當(dāng)無(wú)工2€(-1,1)時(shí)，/(%1)+/(%2)=/j

、上4142)

【答案】(1){0}(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用對(duì)數(shù)知識(shí)可解得結(jié)果；

(2)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可證等式成立.

【詳解】(1)由/(x)=0得1g——=0,得」=1,得x=0,

1+x1+x

所以/（x）=0的解集為{0}.

(2)當(dāng)芯e(—1,1),—時(shí),

fC^+f(x2)=lg(l-^)-lg(l+^)+lg(l-%2)-lg(l+x2)

]再+%

(\/、

二1(11)(12)=1l_1一元2+再%2=l+XX

gglgt2=lg]_芯+々—lg1+-^~

(1+再)(1+I2)1+%+%+XlX2]+X1+X2I1+卒2)I1+番馬)

1+再入2

/、

%+9

J+石々＞

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

1.（2018?上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高一月考）若1（）2工=25,則》等于（）

A.1g5B.1g1C.21g5D.21g1

【答案】A

【分析】將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可選出正確答案.

【詳解】解：因?yàn)?。2，=25,所以2x=lg25,解得了=鑒生=段==炮5,

22

故選:A.

2.（2020?上海高一單元測(cè)試）若logaang,則下列各式正確的是

A.n=—mB.m=rrC.n=病D.n=2m

2

【答案】B

【分析】由題意可得從而可選出正確答案.

ril-it

【詳解】解：由log°》=c得=匕，從而由=1■可知m3=〃，即加="2.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)式和指數(shù)式的互化.

3.（2020?上海高一單元測(cè)試）若log.i（x+l）=l,則x的取值范圍是

A.(-1,+oo)B.(-1,0)U(0,^)

c.(T?,-1)5-L+30)D.(-oo,0)U(0,+oo)

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)概念轉(zhuǎn)化對(duì)數(shù)方程，結(jié)合限制條件列不等式組，解得結(jié)果.

x+1=x+1

【詳解】1.1logx+1（x+l）=l.-.<x+l>0..?%〉一1且％/0

x+l〉O,x+lwl

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)方程、對(duì)數(shù)概念，考查基本分析化簡(jiǎn)求解能力，屬基礎(chǔ)題.

4.（2020?華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高一月考）設(shè)logs6=。,log,S=6,則用a1表示lg24=

3?+1lab+2ab+3a2a+3b

A.------B.------C.------D.------

4ab—22b+l2b+l3+b

【答案】B

【分析】將坨24轉(zhuǎn)化為以5為底數(shù)的對(duì)數(shù)，然后結(jié)合換底公式計(jì)算即可.

［詳解］由log45=6,所以10845=警：=不丁二=6=10852=4

log54210g522b

1

1CT24=1幅24=Iog54+log56=J."=2"+2

log510log52+log55X+i2&+1

2b

故選:B

5.（2020.上海高一期中）若a>0且awl,將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式為（）

12*

A.k）gjN=gB.b=logflNC.b=logfl2ND.b-logfl

【答案】C

【分析】利用指對(duì)互化解出力，結(jié)合答案得出選項(xiàng).

【詳解】由〃&=N，可得26=log。N,解得Z7=2k）g〃N=k）g2N

20

故選：C

6.（2020?上海高一單元測(cè)試）已知a,sj都是正實(shí)數(shù)，且a/1,下列運(yùn)算一定正確的是（）

ss+,ss+t

A.a+a'=aB.aa'=a

C.log“s+log/=loga(s+f)D.log"S/og/=log〃(sf)

【答案】B

【分析】采用舉例方式分析ACD,根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則判斷B,由此分析出結(jié)果.

【詳解】A.當(dāng)a=s=/=2時(shí)，22+22/22+2,故錯(cuò)誤；

B.根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)可知：同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加，故B正確；

C.當(dāng)a=2,s=/=4時(shí)，log24+log24wlog2（4+4）,故錯(cuò)誤；

D.當(dāng)a=s=/=2時(shí)，Iog22-log22/k）g2（2x2）,故錯(cuò)誤，

故選：B.

7.（2017?上海華師大二附中高一期末）若logm2<log〃2<0,則

A.0<m<n<lB.l<m<nC.0<n<m<lD.l<n<m

【答案】C

【分析】先化簡(jiǎn)得髻〈髻?〈O,再化簡(jiǎn)得lg〃<lg〃z<。，再化簡(jiǎn)即得解.

lgmIgn

【詳解】??Tog,”2<log“2<0,

—。，

IgmIgn

lgn<lgm<0,

可得

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和

分析推理能力.

二、填空題

8.（2019?上海市進(jìn)才中學(xué)高一月考）記lg2=a,坨3=人，用。、力表示logs72=.

【分析】利用對(duì)數(shù)的換底公式對(duì)logs72化簡(jiǎn)，表示成含1g2,1g3的式子即可得答案

1°72」g72=聯(lián)8*9）_Ig8+lg9_31g2+21g3

【詳解】解：°S5-lg5—[10—l-lg2—l-lg2，

ST

因?yàn)閘g2=a,lg3=b,

3a+2b

所以logs72=

1—ci

3a+2b

故答案為:

1—ci

21

9.(2020.上海市松江二中高一期中)設(shè)3%=4,=36,則一+一的值為

%V

【答案】1

1121

【分析】先將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式可得x=log36,y=log36,所以一二log3,一=log4,代入一+一

34x36y36x)

計(jì)算即可求解.

【詳解】因?yàn)?'=4)=36,

所以x=log336,y=log436,所以，=log363,—=log364

xy

219

所以-+—=21og363+log364=log363+log364=log369x4=1,

故答案為：1

12

10.（2021?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期末）若2"=5"=〃，且一+7=2,則"=.

ab

【答案】5拒

【分析】將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算，化簡(jiǎn)求得m的值.

ab

【詳解】-：2=5=M,-'-a=log2M,Z?=log5>0.

1,cl,u

??--=log2,-=log5.

aMbM

又?,+[=2,

ab

log"2+21og”5=2=>log〃2+logM25=2,

即*50=2,；.”=5O,...M>O；.M=5"

故答案為：572

11.（2020.上海市曹楊中學(xué)高一月考）已知log23=a,則10898=（結(jié)果請(qǐng)用。表示）.

3

【答案】—

【分析】由換底公式結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得解.

【詳解】由1（^3=。，

1olog。833

可得：log98=-~=-=-----.

log292log,32a

3

故答案為：二［.

2a

12.（2021?上海高一期末）已知/（x）=logaMa>°MWl），若函數(shù)丁=/（力的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,2）,則

/（2A/2）=.

3

【答案】-

2

【分析】由/（4）=2可求得a的值，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得了（20）的值.

【詳解】???/（4）=log￡；4=2,可得/=4，由于。>0且awl,解得a=2,.?./（x）=log2%，

2

因止匕，f=log22A/2=log22=—.

3

故答案為：—.

2

13.（2021?上海市建平中學(xué)高一期末）已知logs5=工，5〃=7,則用。、沙的代數(shù)式表示1%3105=.

a

_..。+Z?+1

［答案］-―-

2a+b

【分析】由已知條件可得Ig3=alg5,Ig7=blg5代入log63105=M?=岑?（手中化簡(jiǎn)即可求值.

1g63Ig7+21g3

【詳解】由loga5=L可得譬=1，即Ig3=alg5,

alg3a

由5〃=7可得lg7=Z?lg5,

lgl05_Ig3+lg5+lg7_?lg5+lg5+Z?lg5_a+b+\

所以log63105=

1g63Ig7+21g3Mg5+2tzlg52a+b

Q+Z?+1

故答案為:

2a+b

14.（2021?上海高一期末）已知lg2=a,及=3,試用a、匕表示logi225=.

2(1-67)

【答案】

2a+b

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式指數(shù)式互化公式，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)?08=3,所以lg3=b,因此有:

lg25_lg5221g5_21g(10-2)_2(1-1g2)_2(l-a)

log25

12lgl2-lg(3x22)-Ig3+21g2-Ig3+21g2-Ig3+21g2-2a+b'

2(1—a)

故答案為：-------

2a+b

15.（2021?上海市控江中學(xué)高一期末）設(shè)實(shí)數(shù)a滿足log2a=4,則。=

【答案】16

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化即可求解.

【詳解】因?yàn)閘og2a=4,

所以a=2，=16>

故答案為：16

16.（2021.上海市南洋模范中學(xué)高一期末）設(shè)lg2=a,lg7=b,則log,Mu（用含的式子表

示）.

【答案】^―

b

【分析】直接利用換底公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可.

,“1g14Ig2x7

【詳解】vlog714=-^-=^—

1g7lg7

lg2+lg7_a+6，故答案為學(xué)

1g7bb

【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則以及換底公式的應(yīng)用，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，屬于

基礎(chǔ)題.

三、解答題

17.（2020?上海市新場(chǎng)中學(xué)高一月考）已知Iog34-log48」og8m=log416,求加的值.

【答案】9

【分析】利用對(duì)數(shù)的換底公式化簡(jiǎn)求解.

【詳解】log34-log48-log8m=log416,

所以署?署貴■

化簡(jiǎn)得暨=2,即log3〃2=2,

1g3

解得加=9,

2

0.5

18.（2020.上海高一單元測(cè)試）（1）計(jì)算:與537

+。1+2《—5nH--------

148

2

logi4

(2)計(jì)算：25—+