對(duì)角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用（知識(shí)解讀）

【專駁說(shuō)跚】

共頂點(diǎn)模型，即四邊形或構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。主要：含90。的對(duì)角互補(bǔ)，

含120。的對(duì)角互補(bǔ)，兩種類型，種類不同，得出的個(gè)別結(jié)論會(huì)有所區(qū)別。解決此類題型常

用到的輔助線畫法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)法和過(guò)頂點(diǎn)作兩垂線.

【方放技巧】

類型一：含90°的對(duì)角互補(bǔ)模型

（1）如圖，NAOB=NDCE=90°,OC平分/AOB,則有以下結(jié)論:

（2）如圖，/AOB=NDCE=90°,OC平分NAOB,當(dāng)NDCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D

時(shí)，則有以下結(jié)論：

③SaOCEOCP=5

S4。。~

類型二：含120°的對(duì)角互補(bǔ)模型

(1)如圖，ZAOB=2ZDCE=120°,0C平分/AOB,則有以下結(jié)論:

②OD+OE=OC.

③s?+seq

4

(2)如圖，ZAOB=ZDCE=90°,0C平分NAOB,當(dāng)NDCE的一邊與A0的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D

時(shí)，則有以下結(jié)論：

.QCD=-

③A(A.X"SA(TvI*20C~

【真例今折】

【類型一：含90°的對(duì)角互補(bǔ)模型】

【典例1](1)如圖1,在四邊形ABCQ中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分別是邊

BC、CD上的點(diǎn)，且線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是；

2

(不需要證明)

(2)如圖2,在四邊形A8CD中，AB=AD,ZB+ZZ)=180°,E、/分別是邊8C、CD

上的點(diǎn)，且(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明.若不成

2

立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分別是邊BC、CD

延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且/切尸=」/氏4￡),(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明.若

2

不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【變式1-1]如圖，在△A8C中，AB=AC,N54C=90°,直角/EPF的頂點(diǎn)P是8c的

中點(diǎn)，兩邊PE、尸尸分別交AB、AC于點(diǎn)E、F,連接跖交A尸于點(diǎn)G,以下五個(gè)結(jié)論：

①NB=NC=45°；②AP=EF；③NAFP和NAEP互補(bǔ)；④△■￡/不是等腰直角三角形；

⑤四邊形AEP尸的面積是△ABC面積的反，其中正確的結(jié)論是()

4

A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④

【變式1-2](1)如圖1,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZBAD=l00°,ZB=ZADC=

90°.E,尸分別是BC,CD上的點(diǎn).且NEA尸=50°.探究圖中線段EF,BE,F￡)之間

的數(shù)量關(guān)系.

小明同學(xué)探究的方法是:延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證明△A2E四△AOG,

再證明斯0ZVIGR可得出結(jié)論，他的結(jié)論是(直接寫結(jié)論，不需證明)；

(2)如圖2,若在四邊形A8CD中，AB=AD,ZB+ZZ)=180°,E,F分別是8C,CD

上的點(diǎn)，且上述結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)

說(shuō)明理由；

(3)如圖3,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為7的正方形，/EBF=45：直接寫出△￡>￡1〃的周

長(zhǎng).

【變式1-3](1)如圖①，在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E,尸分別是

邊BC,C。上的點(diǎn)，且請(qǐng)直接寫出線段EF,BE,FD之間的數(shù)量關(guān)

2

系：；

(2)如圖②，在四邊形ABC。中，AB^AD,ZB+Z￡>=180°,E,尸分別是邊BC,CD

上的點(diǎn)，且/切尸=a/54。，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過(guò)程；

2

(3)在四邊形A3CD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,尸分別是邊BC,CD所在直

線上的點(diǎn)，且請(qǐng)直接寫出線段ERBE,FD之間的數(shù)量關(guān)系：.

2

【變式1-4】問(wèn)題探究：如圖1,在AABC中，點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，DELDF,DE交AB于

點(diǎn)、E,交AC于點(diǎn)R連接EF.

①BE、CB與E尸之間的關(guān)系為：BE+CFEF；(填“>”、“=”或“<”)

②若NA=90°,探索線段BE、CF、EP之間的等量關(guān)系，并加以證明.

問(wèn)題解決：如圖2,在四邊形ABZJC中，ZB+ZC=180°,DB=DC,ZB￡>C=130°,

以。為頂點(diǎn)作/瓦加=65°,/即尸的兩邊分別交A3、AC于￡、尸兩點(diǎn)，連接ER探

索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

A

【類型二：含120°的對(duì)角互補(bǔ)模型】

【典例2】問(wèn)題背景：如圖1,在四邊形ABC。中，AB=AD,NA4O=120°,/B=/ADC

=90°,E,尸分別是BC,CD上的點(diǎn)，且NEAF=60°,探究圖中線段BE,EF,FD

之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)9到點(diǎn)G.使連接

AG,先證明△ABEg△4DG,再證明△AEF也凡可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；

探索延伸：如圖2,若在四邊形ABC。中，AB=A。，ZB+ZD=180°,E,尸分別是8C,

CD上的點(diǎn)，且上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；

2

實(shí)際應(yīng)用：如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，

艦艇乙在指揮中心南偏東70°的8處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指

令后，艦艇甲向正東方向以70海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以90

海里/小時(shí)的速度，前進(jìn)2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,尸處，且

兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

G

圖1圖2圖3

【變式2-1］如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，BD=CD,ZBDC=120°,以點(diǎn)。

為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交于點(diǎn)交AC于點(diǎn)N,連結(jié)則

的周長(zhǎng)是

【變式2-2】【問(wèn)題背景】

如圖1：在四邊形中，AB^AD,ZBA￡>=120°,NB=NADC=90°,E、F分

另ij是8C、CQ上的點(diǎn)，且NEAF=60°,試探究圖中線段BE、EF、FO之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)式￡>到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證明△ABE

^AADG,再證明△?!￡1/會(huì)△AGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.

【探索延伸】如圖2,若在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分別是

BC,CD上的點(diǎn)，且上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由.

2

【學(xué)以致用】

如圖3,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5的正方形，/EBF=45°,直接寫出△。跖的周長(zhǎng)

對(duì)角互補(bǔ)模型綜合應(yīng)用（知識(shí)解讀）

【專毀餞明】

共頂點(diǎn)模型，即四邊形或構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。主要：含90。的對(duì)角互補(bǔ)，

含120。的對(duì)角互補(bǔ)，兩種類型，種類不同，得出的個(gè)別結(jié)論會(huì)有所區(qū)別。解決此類題型常

用到的輔助線畫法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)法和過(guò)頂點(diǎn)作兩垂線.

【方放技巧】

類型一：含90°的對(duì)角互補(bǔ)模型

（1）如圖，NAOB=NDCE=90°,0C平分NAOB,則有以下結(jié)論:

③S.OC"+S,0r產(chǎn)1。。2

（2）如圖，NAOB=NDCE=90°,0C平分/AOB,當(dāng)NDCE的一邊與A0的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D

時(shí)，則有以下結(jié)論：

③S*OC￡SAOCD=5℃~

類型二：含120。的對(duì)角互補(bǔ)模型

（1）如圖，ZAOB=2ZDCE=120°,0C平分/AOB,則有以下結(jié)論:

作法1作法2

@OD+OE-OC.

.

=

③S+S40c有

(2)如圖，ZAOB=ZDCE=90°,OC平分/AOB,當(dāng)/DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D

時(shí)，則有以下結(jié)論:

③KOCE~S太〃=—0C~

【典例今析】

【類型一：含90°的對(duì)角互補(bǔ)模型】

【典例1】(1)如圖1,在四邊形ABC。中，AB^AD,ZB=ZD=90°,E、尸分別是邊

BC、CD上的點(diǎn)，且/胡尸=1/54。，線段￡尸、BE、FD之間的關(guān)系是；

2

(不需要證明)

(2)如圖2,在四邊形A8CD中，AB=AD,ZB+ZZ)=180°,E、/分別是邊8C、CD

上的點(diǎn)，且(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明.若不成

2

立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(3)如圖3,在四邊形ABC。中，AB^AD,ZB+ZD=180°,E、尸分別是邊8C、CD

延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明.若

2

不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【解答】解：(1)EF=BE+FD,

理由如下：如圖1,延長(zhǎng)C2至G,使BG=DF,連接AG,

在△ABG和△AOF中，

rAB=AD

-ZABG=ZD=90°>

BG=DF

：.AABG^AADF(SAS),

：.AG=AF,ZBAG=ZDAF,

'：ZEAF=XzBAD,

2

ZDAF+ZBAE=ZEAF,

：.ZGAE=ZBAG+ZBAE=ZDAF+ZBAE=ZEAF,

在△G4E和中，

'AG=AF

<ZGAE=ZFAE)

AE=AE

.,.△GAE^AM￡(SAS),

:.EF=EG,

"：EG=BG+BE=BE+DF,

：.EF=BE+FD,

故答案為：EF=BE+FD-,

(2)(1)中的結(jié)論仍然成立，

理由如下：如圖2,延長(zhǎng)CB至使BM=DF,連接AM,

VZABC+ZZ>=180°,ZABC+Z1=180°,

：.Z1=ZD,

在△ABM和△A。/中，

/.AABM^AADF(SAS),

：.AM=AF,Z3=Z2,

"?ZEAF=^ZBAD,

2

.*.Z3+Z4=Z￡AF,

ZEAM=Z3+Z4=Z2+Z4=ZEAF,

在△M4E和△ME中，

，AM=AF

，ZMAE=ZFAE>

AE=AE

/\MAE^/\FAE(SAS),

：.EF=EM,

EM=BM+BE=BE+DF,

:.EF=BE+FD；

(3)(1)中的結(jié)論不成立，EF=BE-FD,

理由如下：如圖3,在仍上截取8"=。尸，連接AH,

同(2)中證法可得，0△ADR

：.AH=AF,ZBAH=ZDAF,

：.ZHAE=ZFAE,

在△HAE和△物E中，

'AH=AF

-ZHAE=ZFAE>

AE=AE

/.(SAS),

：.EF=EH,

?:EH=BE-BH=BE-DF,

E

圖1圖3

【變式1-1］如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直角/EPE的頂點(diǎn)P是BC的

中點(diǎn)，兩邊尸￡、尸尸分別交A3、AC于點(diǎn)E、F,連接EE交AP于點(diǎn)G,以下五個(gè)結(jié)論：

①/B=NC=45°；②AP=EF；③NAEP和/AEP互補(bǔ)；④△￡2尸是等腰直角三角形；

⑤四邊形A"尸的面積是△ABC面積的旦，其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③B.①②④⑤C.①③④⑤D.①③④

【答案】D

【解答】解：：AB=AC,ZBAC=90°,

：.ZB=ZC=45°,

故①正確；

?.,點(diǎn)尸為BC的中點(diǎn)，ZBAC=90°,AB=AC,

：.AP=CP,ZAPC=90°,ZBAP=ZC=45°,

'：ZEPF=ZAPC,

：.ZAPE=ZFPC,

在和△CED中，

，ZEAP=ZC

-AP=PC，

ZAPE=ZCPF

.?.△AEP咨ACFP(ASA),

：.PE=PF,

乙EPF是等腰直角三角形，

四邊形AEPF的面積為SMEP+S^AFP—SACPF+SMPF—SAAPC——SAABC,

2

故④正確，⑤不正確；

；/R4C=/EPF=90°,

/AFP和/AEP互補(bǔ)，

故③正確；

不是定長(zhǎng)，故②不正確.

..?正確的有：①③④，

故選：D.

【變式1-2](1)如圖1,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZBAD=IOO°,ZB=ZADC=

90°.E,尸分別是BC,CD上的點(diǎn).且NEAP=50°.探究圖中線段ERBE,即之間

的數(shù)量關(guān)系.

小明同學(xué)探究的方法是:延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證明△ABE四△AOG,

再證明△AEFgZXAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論是EF=BE+DF(直接寫結(jié)論，不需

證明)；

(2)如圖2,若在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,F分別是BC,CD

上的點(diǎn)，且2/胡尸=N54。，上述結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)

說(shuō)明理由；

(3)如圖3,四邊形ABCZ)是邊長(zhǎng)為7的正方形，NEBF=45°,直接寫出△。所的周

長(zhǎng).

【解答】證明：(1)延長(zhǎng)尸。到點(diǎn)G.使DG=2E.連接AG,

在△ABE和△AOG中,

AAABE^AADG(SAS),

：.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

\"ZBAD=W0°,ZEAF=50°,

ZBAE+ZFAD=NZMG+NEW=50°,

：.ZEAF=ZFAG=50°,

在和AGA產(chǎn)中，

AE=AG

ZEAF=ZGAF-

AF=AF

.?.△EAF^AGAF(SAS),

：.EF=FG=DF+DG,

：.EF=BE+DF,

故答案為：EF^BE+DF；

(2)結(jié)論仍然成立，

理由如下：如圖2,延長(zhǎng)到G,使BG=DF,連接AG.

VZABC+ZD=180°,ZABG+ZABC=180°,

：.ZABG=ZD,

:在△ABG與△A。尸中，

rAB=AD

<ZABG=ZD>

BG=DF

AAABG^AADF(SAS),

：.AG=AF,ZBAG=ZDAF,

；2/EAF=/BAD,

：.ZDAF+ZBAE=NBAG+/BAE=工/BAD=ZEAF,

2

：.ZGAE=ZEAF,

又AE=AE,

：.^AEG^^AEF(SAS),

；.EG=EF.

;EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD；

(3)如圖，延長(zhǎng)E4到H,使AH=CF,連接BH,

：.AB=BC=7=AD=CD,ZBAD=ZBCD=90°,

：.ZBAH=ZBCF=90°,

又?：AH=CF,AB=BC,

???△ABH咨LCBF(SAS),

：?BH=BF,/ABH=/CBF,

?：/EBF=45°,

：.ZCBF+ZABE=45°=NHBA+/ABE=NEBF,

：./EBH=/EBF,

又?：BH=BF,BE=BE,

:.AEBHmAEBF(SAS),

:?EF=EH,

；?EF=EH=AE+CF,

：.ADEF的周長(zhǎng)=DE+DF+EF=DE+DF+AE+CF=AD+CD=14.

【變式1-3](1)如圖①，在四邊形ABC。中，ZB=ZD=90°,E,歹分別是

邊BC,CO上的點(diǎn)，且NEAb=』NBAD請(qǐng)直接寫出線段ERBE,尸。之間的數(shù)量關(guān)

2

系：;

(2)如圖②，在四邊形A3CD中，AB=ADfZB+ZZ)=180°,E,b分別是邊3C,CD

上的點(diǎn)，且(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過(guò)程；

2

(3)在四邊形ABC。中，AB^AD,ZB+Z￡>=180°,E,尸分別是邊BC,CD所在直

線上的點(diǎn)，且請(qǐng)直接寫出線段所，BE,FD之間的數(shù)量關(guān)系：.

2

:在與△&￡)/中,

AAABG^AADF(SAS).

：.AG=AF,Z1=Z2,

：.Z\+Z3=Z2+Z3=1.ZBAD=ZEAF.

2

：.ZGAE=ZEAF.

又AE=AE,

易證△AEG安△AEK

：.EG=EF.

'：EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(2)(1)中的結(jié)論E/=2E+FD仍然成立.

理由是：如圖2,延長(zhǎng)匹到G,使BG=OE連接AG.

VZABC+Z￡>=180°,ZABG+ZABC=1SQ°,

：.ZABG=ZD,

:在與△&￡)尸中，

fAB=AD

<ZABG=ZD>

BG=DF

AAABG^AADF(SAS).

：.AG^AF,N1=N2,

.\Z1+Z3=Z2+Z3=AZBAD=ZEAF.

2

:./GAE=/EAF.

又AE=AE,

，AAEG^AAEF.

：.EG=EF.

?；EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(3)當(dāng)(1)結(jié)論EF=BE+FD成立，

當(dāng)圖三中，EF=BE-FD或EF=FD-BE.

證明：在BE上截取8G,使3G=。/，連接AG.

'：ZB+ZADC=180°,ZADF+ZADC=180°,

???/B=ZADF.

'：在4ABG與△AZ)尸中,

/./\ABG^/\ADF(SAS).

AZBAG=ZDAF,AG=AF.

：.ZBAG+ZEAD=/DAF+NEAD=/EAF=Z/BAD.

2

：.ZGAE=ZEAF.

*：AE=AE,

：.AAEG^AAEF(SAS).

：.EG=EF

'：EG=BE-BG

：.EF=BE-FD.

同理可得：：.EG=EF

'：EG=BG-BE

：.EF=FD-BE.

故答案為：(1)EF=BE+FD；(2)成立；(3)EF=BE+FD或EF=BEFD或EF

FD-BE.

圖1

【變式1-4】問(wèn)題探究：如圖1,在△ABC中，點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，DELDF,DE交AB于

點(diǎn)、E,DF交AC于點(diǎn)F,連接

①BE、CF與EF之間的關(guān)系為：BE+CFEF；（填“>”、"=”或“<”）

②若NA=90°,探索線段BE、CF、斯之間的等量關(guān)系，并加以證明.

問(wèn)題解決：如圖2,在四邊形A8OC中，ZB+ZC=180°,DB=DC,ZBDC=13Q°,

以。為頂點(diǎn)作/即P=65°,/即尸的兩邊分別交A3、AC于￡、尸兩點(diǎn)，連接EE探

索線段BE、CF、Eb之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【解答】解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)皮）到"，使得DH=DE,連接CH,FH.

,:BD=CD,ZBDE=ZCDH,DE=DH,

:.ABDEmACDH(SAS),

：.BE=CH,

,:DE=DH,FD1.EH,

：.FE=FH,

在△PCH■中，CH+CF>FH,

：.BE+CF>EF.

故答案為〉.

(2)結(jié)論：EF2=BE1+CF2.

理由：如圖2中，延長(zhǎng)E0到H,使得連接CH,FH.

■:BD=CD,NBDE=/CDH,DE=DH,

:,ABDE咨ACDH(SAS),

；.BE=CH,/B=NDCH,

■;DE=DH,FD2EH,

:?FE=FH,

VZA=90°,

AZB+ZACB=90°,

AZACB+ZDCH=90°,

：.ZFCH=90°,

AF//2=CH2+CF2,

：.EF1=BE1+CF2.

(3)如圖3中，結(jié)論：EF=BE+CF.

理由：?；DB=DC,ZB+ZACZ)=180°,

???可以將△OBE繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△OCH,A,C,H共線.

VZBZ)C=130°,NE。尸=65°,

ZCDH+ZCDF=NBDE+ZCDF=65°,

：.ZFDE=ZFDH,

,:DF=DF,DE=DH,

：./\FDE^/\FDH(SAS),

：.EF=FH,

'：FH=CF+CH=CF+BE,

:.EF=BE+CF.

【類型二：含120。的對(duì)角互補(bǔ)模型】

【典例2】問(wèn)題背景：如圖1,在四邊形48。中，AB=AD,NA4O=120°,/B=/ADC

=90°,E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且NEAF=60°,探究圖中線段BE,EF,FD

之間的數(shù)量關(guān)系，小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連接

AG,先證明△ABEg△AOG,再證明△AEFgA4G凡可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；

探索延伸：如圖2,若在四邊形ABC。中，AB，ZB+ZD=180°,E,尸分別是BC,

CD上的點(diǎn)，且上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；

2

實(shí)際應(yīng)用：如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(。處)北偏西30°的A處，

艦艇乙在指揮中心南偏東70°的8處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指

令后，艦艇甲向正東方向以70海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以90

海里/小時(shí)的速度，前進(jìn)2小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,尸處，且

兩艦艇之間的夾角為70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

G

圖1圖2圖3

【解答】解：?jiǎn)栴}背景：由題意：△ABE四△ADG,/\AEF^/\AGF,

：.BE=DG,EF=GF,

：.EF=FG=DF+DG=BE+FD.

故答案為：EF=BE+FD.

探索延伸：EF=BE+FD仍然成立.

理由：如圖2,延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G,DG=BE,連接AG

'：ZB+ZADC=180°,ZADG+ZADC=180°,

：.ZB^ZADG,

5L"：AB=AD,

在△ABE和△ADG中，

，AB=AD

-NB=NADG，

BE=DG

/.AABE^AADG(SAS),

：.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

又：/胡尸二工/胡。，

2

/E4G=ZFAD+ZDAG^ZFAD+ZBAE=ZBAD-ZEAF,

=ZBAD-XZBAD=1ZBAD,

22

：.ZEAF=ZGAF.

在AAE尸和△AGF中，

'AE=AG

<ZEAF=ZGAF>

AF=AF

AAEF^AAGF(SAS),

：.EF=FG,

又,JFG=DG+DF=BE+DF,

；.EF=BE+FD.

實(shí)際應(yīng)用：如圖3,連接ER延長(zhǎng)AE,2廠相交于點(diǎn)C,

在四邊形AOBC中，

：/AOB=30°+90°+20°=140°,ZFOE=70a=^ZAOB,

2

又：O4=02,ZOAC+ZOBC=6Q°+120°=180°,符合探索延伸中的條件,

結(jié)論EF=AE+FB成立.

即，EF=AE+FB=2X(70+90)=320(海里)

答：此時(shí)兩艦艇之間的距離為320海里.

圖2

【變式2-1］如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，BD=CD,ZBZ)C=120°,以點(diǎn)。

為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交A8于點(diǎn)交AC于點(diǎn)N,連結(jié)MN,則△AMN

的周長(zhǎng)是.

【解答】解：???△2OC是等腰三角形，且/BOC=120°,

：.ZBCD=ZDBC=30°,

AABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，

ZABC=ZBAC=ZBCA^60°,

：.ZDBA^ZDCA^90°,

延長(zhǎng)AB至尸，使BF=CN,連接DR

在△BDF和ACND中，

：.ABDF沿叢CND(SAS),

：.ZBDF=ZCDN,DF=DN,

VZMDN=60°,

：.ZBDM+ZCDN=60°,

ZBDM+ZBDF=60°,

在和△￡)河/中，

：.ADMN”ADMF(SAS),