天津市河北區(qū)2023屆高三二模數(shù)學試題

一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.設全集U={0,1.2.3.4.5},集合」={E€N|H<3},B={0,3,4.5},則(Cr/)(JB=()

A.{1.5}B.{0.1.5}C.{3.1.5}D.{().3.1.5}

2.若則是的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知圓錐的頂點和底面圓周均在球。的球面上，若該圓錐的底面半徑為，高為6,則球。的表面積

為()

A.327TB.18萬C.617rD.8()7?

4.函數(shù)/(工)=1+加|工|的圖象大致為()

[50,60),[60.70),[70,80).[80*90).[90.1001分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法不正確

第1頁，共18頁

的是（）

A.圖中的X值為0.020B.得分在［80,100］的人數(shù)為400

C.這組數(shù)據(jù)的極差為50D,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值為77

6.已知雙曲線一匕=is〉（）》>（））的右焦點為F,以F為圓心，以a為半徑的圓與雙曲線C的一

a2fc2

條漸近線交于A,B兩點.若04=23月（O為坐標原點），則雙曲線C的離心率為（）

A.巫B.小C.x11D.、7

3333

且在［0,+8）上單調(diào)遞增，若。=/（1咤0+），b=/（log^j-^）,

7.設/"）是定義域為R的偶函數(shù)，

<,/（-3則a,b,c的大小關系為

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

8.將函數(shù)V=、in?r的圖象向右平移，個單位長度，得到函數(shù)〃—/"）的圖象，則下列說法正確的是（）

A.若,=：,則/"）是奇函數(shù)

4

B.若/=彳，則/"）在區(qū)間上單調(diào)遞減

C.若P=則/（『）的圖象關于點（20）對稱

D.若9則在區(qū)間01上單調(diào)遞增

9.在AABC中，角B,C的邊長分別為b,c,點。為AABC的外心,若廿+產(chǎn)=2八則前.而的取值

范圍是（）

A.——,0^B.（（）,2）C.—1+oo）D.——,2^

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共3。分。

10./是虛數(shù)單位，則復數(shù)二.

11.（小一%）'的展開式中含/項的系數(shù)為.

第2頁，共18頁

12.拋物線r=2p.r(p>0)的準線截圓M+/一2〃-8二()所得弦長為4,則拋物線的焦點坐標為

13.設X,//€/?,G>1,b>1,若鵬=那=3,a4-b=25/3?則二+一的最大值為__________，

￡y

|log3x|,0<x<3

14.已知函數(shù)/(/)=<sin（二r）.3W工415若存在實數(shù)門…小心”>滿足h<I2<<力，且

/(11)=/(12)=/(J,3)=/(???!),則，1及一，(工3-3)(X4-3)的取值范圍是.

15.在5道題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，不放回地依次抽取2道題，則第1次和第2次都抽到代數(shù)題

的概率為；在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為.

三、解答題：本題共5小題，共6。分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題12分)

B+C

在△.13。中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,C,已知csin—?sinC.

i1：求角A的大??；

(2)若b—2,sin3彥，求邊C及疝1(23+用的值.

7

17.本小題12分)

如圖，在直三棱柱ABC—481G中，△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，AA=A4=3,D,E

分別為BC,上的點，且俏溫t(0<f<1).

(1)若》=；,求證：4D〃平面ABE；

?若f=g,求直線與平面為/?￡所成角的正弦值；

(3)若平面.4G。與平面AC。的夾角為求實數(shù)t的值.

?J

18.本小題12分?

已知數(shù)列｛%｝的前。項和為S”，滿足：也=%+i(nwN*)

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（1）求證：數(shù)列m,j為等差數(shù)列；

（2）若㈣=5,令公=一,數(shù)列W，」的前。項和為7：,若不等式45（7%+1-霸）石》?2-防1對任意!??

恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

19.（本小題12分）

22

設橢圓C：/+￡=1（"〉匕〉0）的左、右頂點分別為A,B,上頂點為。，點P是橢圓C上異于頂點的

動點，已知橢圓的離心率,=?,短軸長為

2

Ui求橢圓C的方程；

⑵若直線A。與直線BP交于點M,直線。P與x軸交于點N,求證：直線MN恒過某定點，并求出該定

點.

2。（本小題12分）

已知函數(shù)/（r）=jhi"-”ln.r+（1-，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

□I當〃一I時，求曲線，//1」在點1/11卜處的切線方程；

⑵當a=c時,求函數(shù)/"）的單調(diào)區(qū)間；

（3）求證：函數(shù)f（x）存在極值點，并求極值點3的最小值.

第4頁，共18頁

答案和解析

1.【答案】。

【解析】【分析】

本題考查并集、補集的運算，屬于基礎題.

利用集合間的基本運算，即可得到答案；

【解答】

解：因為u={0,1.2.3.1.5},B={0.3,4,5},

4={r6AT|T<3}={0,1,2},所以C『A={3.15},

所以（C（.4）UB{0,3.15}.

故選：/）.

2.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要是考查了充分、必要條件的判定，屬于基礎題.

根據(jù)充分、必要條件的判斷即可得解.

【解答】

解：若,令“2」,1,滿足ac=",但<i/1>；

若“=〃，則ac=IH-一定成立，

所以""C=IK-是""―/，"的必要不充分條件.

故選：B.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查球的體積和表面積，屬于基礎題.

根據(jù)圓錐的幾何特征求出球的半徑，則球的表面積可求.

【解答】

解：設球的半徑為R,

「圓錐的高底面圓的半徑r=2，5,

12

R=[h-R）+/，即加=（6一H）2+12,

第5頁，共18頁

解得：7?=4,

故該球的表面積S-—4亓x42-647r.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查函數(shù)圖象的識別，函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.

當I-0時，函數(shù)/(J)=L+hi(f),由函數(shù)的單調(diào)性，排除('.D；當r〉()時，函數(shù)-+hi.r,

XX

代入特殊值驗證，排除.1

【解答】

解：當/<()時，函數(shù)f[.r)=-+ln(-.r),

X

由函數(shù)“=：.//=lu(-在(-8,0)上遞減，

可得/(.r)=-+ln(-r)在(-X.O)上遞減，排除C.D；

X

當r>()時，函數(shù)/")=1+In.r,此時/(1)=：+hi1=1,

j-1

而選項A中在。時的最小值為2,故可排除入，只有B正確，

故選

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查了通過頻率分布直方圖求頻率、頻數(shù)、平均數(shù)等，屬于基礎題.

根據(jù)頻率分布直方圖中所有長方形的面積和為1,頻數(shù)以及平均數(shù)等的計算，對每個選項進行逐一分析，

即可判斷和選擇.

【解答】

解：對于4由(0.005+工+0.035+0.030+0.010)x10=1,可解得r=0.020,故選項A正確；

對于8,得分在80分及以上的人數(shù)的頻率為(0.030+0.010)x10=0.1,

故人數(shù)為1000x0.4=400,故選項B正確；

對于C,頻率分布直方圖無法看出這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，故選項C不正確；

對于D,這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值為：55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.1=77,故

選項D正確.

故選：('.

6.【答案】A

第6頁，共18頁

【解析】【分析】

本題考查了雙曲線標準方程的理解與應用，雙曲線幾何性質(zhì)的應用，點到直線距離公式的運用，離心率定

義的應用，屬于中檔題.

設雙曲線的一條漸近線方程為"—H為AB的中點，可得由市=2加，可知H為。A

a

的四等分點，用兩種方式表示QH|,可得關于a,b,c的方程組，結合〃=?2—。2,即可求出雙曲線的

離心率.

【解答】

解：設雙曲線的一條漸近線方程為!/="r,H為48的中點，可得廠〃1八/3,

a

所以歸〃I=，口—乒,

又61=20B，

所以\OH\=3\BH\=3，。2—夕,

因為O”|=y/\OF\2-\HF\2=x/c2-^，

則3,—月=^/c2—b2,

整理可得9“2-d=8/，

即9a2—c2=8c2-8a2,

則17/=9/，可得f2=《=g,

a￡9

故€=手，

3

第7頁，共18頁

所以雙曲線C的離心率為匕.

3

故選：.4.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性在比較大小中的應用，屬于基礎題.

先利用偶函數(shù)的定義將a,b,c轉(zhuǎn)化，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

【解答】

解：因為logg宏=一地廷通，且函數(shù)/(工)為偶函數(shù)，

-

所以“=/(logg±)=/(甌殳俏)，b=/(log^-^)=/(log^v^),c=/(35).

易知0<3T<；<:=<log^y/2<1<log^y/3,

且函數(shù)〃工)在[0,+8)單調(diào)遞增，所以a>b>c.

故選”

8.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)與平移變換、余弦型函數(shù)的奇偶性、利用誘導公式化簡，屬于中檔題.

由函數(shù)平移得〃r)=sin(2工一2/)，討論9=：9，結合正余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷奇偶、對稱性以

及他：上的單調(diào)性，即可得答案.

【解答】

解：將函數(shù)！/=sin2z的圖象向右平移<個單位長度，得到函/(.r)=sin(21一20,

當F=彳時，/(I)=sin(2T-J)=-cos2r為偶函數(shù)，

在時，有2re[0.同，/")單調(diào)遞增，故A,B錯誤；

當「=3時，”])=sE(2r-TT)=-sin2r,

此時，/(^)=-sin7r=0,即的圖象關于點60)對稱，

在.re[。，2時，有2r€[0,句，/(./)不單調(diào)，故C正確，D錯誤.

故選：(,.

9.【答案】D

第8頁，共18頁

【解析】【分析】

本題考查了向量的加減與數(shù)乘混合運算，考查了向量的數(shù)量積的應用，屬于中檔題.

根據(jù)已知得出b的范圍，再求出記.而關于b的關系式，進而得到取值范圍.

【解答】

解：取BC的中點D,則即前?反;丁()，

因為*=幼一廿>0,則乂6-2)<0,即()<b<2,

所以〃?而=配?(力+加)=初?初=(而一幅)](而+荏)

=：(而~~血2)=|(i>2-C2)=-(26-62)]=/-/>=(〃_；)_；,

所以一:《灰"而<2,

4

則就.而的取值范圍為一2)

故選：D.

10.【答案】：+.

【解析】【分析】

本題考查了復數(shù)的運算法則，考查了計算能力，屬于基礎題.

根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算法則計算可得;

【解答】

皿3+4z(3+4z)(l-?)3-3/'+Ai-4i271.

所?1+i(14-i)(l-i)222

故答案為：22*,

%

11.【答案】

8

【解析】【分析】

本題考查指定項系數(shù)，屬于基礎題.

在二項展開式的通項公式中，令x的寨指數(shù)等于5,求出r的值，即可求得展開式中含/項的系數(shù).

【解答】

解：???(6，)的展開式中，通項公式為O+I=G(㈤'

令'9=5,求得，?=：，，可得展開式中含項的系數(shù)cl

故答案為：一~—■

O

第9頁，共18頁

12.【答案】（后,0）

【解析】【分析】

本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應用，直線與圓的位置關系，是基礎題.

p

先寫出準線方程，整理得圓的標準方程，從而得到圓心和半徑，再利用弦長得到關于p的關系式，求出

,即得焦點坐標.

【解答】

解：拋物線爐一>0）的準線為：-r=,

圓M+/-Zg-guO,即M+（u-1產(chǎn)=9,圓心是（0,1）,半徑是r=3,

故圓心到準線的距離為d=\,而弦長為4,故（1）2+22=r2=9,

解得什通，故拋物線的焦點停0）,即（《（））.

故答案為：（述.（））.

13.【答案】1

【解析】【分析】

本題考查了指對互化，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及基本不等式在求最值中的應用，同時考查了轉(zhuǎn)化思想的應用，

屬于中檔題.

根據(jù)指對互化公式得到/】<g3,II-1<>?63,-+-=+=bg3a+bg;jb=bg3（M）,結

合基本不等式可得到最值.

【解答】

解：因為“〉I,I）.-1,aJ—bu=3,G+fe—2\/3,

所以/=kg3,!/log//1

1111

_+_=----+-----

Xy10gH3logfc3

2

=log3a+log3t>=log..）（ab）&=log3（^^）=1,

當且僅當a=b=\/5時，等號成立.

故答案為I-

14.【答案】1；（0,27）

【解析】【分析】

第10頁，共18頁

本題考查分段函數(shù)的應用，對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)以及三角函數(shù)的對稱性，進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵，屬

于中檔題.

作出函數(shù)/Ir)的圖象，結合圖象可知?〃?/人?口一門之間的關系，利用此關系直接求出,再將

(心-3乂口-3)轉(zhuǎn)化為關于八：的二次函數(shù)求范圍即可.

【解答】

|logx|,0<x<3

73r

解：作出函數(shù)/")—《.(\Q「一r的圖象，如圖，

Nini尸).34,rW15

因為/(?門)=/(?門)=/"：，)=/(,門)，<力<

所以由圖可知，-log3r1=log：',即1"'2=I,=9,且3<丁3<6,

(.T3-3)(T4-3)=-3(13+l4)+9=^3(18—13)—45=一工3?+1813—45,

「”-.r：，l、r,廠,在：小，上單調(diào)遞增，

0<y<27,

即(X3-3)(X4-3)的取值范圍是(0,27).

故答案為：1；(0,27)

15.【答案】；-；

1

；2

【解析】【分析】

本題考查古典概型、條件概率，屬于中檔題.

用.1,(/=1.2)表示第/次抽到代數(shù)題，用B表示第2次抽到幾何題，利用排列數(shù)和古典概型概率公式即

可求解第1次和第2次都抽到代數(shù)題的概率；先計算尸(4。，P(48),結合條件概率的計算公式，即

可求解在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.

【解答】

解：用.4,(/=1.2)表示第/次抽到代數(shù)題，用B表示第2次抽到幾何題，

A'23X23

所以第1次和第2次都抽到代數(shù)題的概率口44)=字=1i=壽，

Ar,5x11()

第11頁，共18頁

因為P（A）=3口3孽尋〉

所以在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為:

3

P"）二元J

P(B\Ai)=

尸（?。?y_2

5

QI

故答案為：］什；9.

16.【答案】解：（1）根據(jù)正弦定理,

B+CB+C

由csill1，-m可得sinfrsin=sinAsinC

22

即sin。sin三六—=sinA>in(',即sincos—=2sin\?>s'>in('

2222

4TT,4

因為0<C<JT,O<A<7T,所以sinC>0,0<-<-,cos->0.

所以sin^=1,即］=

a2

（2）由正弦定理=7==高，可得g舊，解得“=?,

sinAsmB——

根據(jù)余弦定理可得a2=y+M—26ccosA,

即7=4+/—左，c2-2c-3=0,解得c=3或，?—―1(舍去?

故c=3.

因為/,《〃，所以“<4=Q,所以cosB=\/l—sin2B=

所以sin2〃2sinBcosB=2x-

777

cos2/?=1-2sin28=1—2x

所以sin(2/6+4)=sin2/?cos.1jcos2/?sin4=■

【解析】本題考查了正弦定理，三角恒等變換以及余弦定理等知識的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思

想，屬于中檔題.

第12頁，共18頁

n-L-CAAA

(1)根據(jù)正弦定理化簡為sinC'in---=sin.Uinf',從而可得sin])=2：)co.sin「，結合

角的范圍可得sm4=i,從而可求得4=1；

22J

(2)由正弦定理求得“二v斤，再根據(jù)余弦定理可求得r-=3,由sin130求得cos。,進而求得

7

siii2B,cos2B，再結合兩角和的正弦可得sin(2B卜A).

17.【答案】解：(I)如圖,

C,

1BDCE1

當f=，)時，赤島tT5，即點。，分別為BUBIG的中點，

在直三棱柱ABC-AxBiCi中，AAX//BB^AAX=BBX,

所以四邊形HBXAXA為平行四邊形，

連接DE,則DE"BB\.DE二BB[,

所以DE//AAi.DE=AAi,

所以四邊形I)EAiA是平行四邊形，

所以AD//AXE.

又因為八"平面AEZL&EC平面AiEB,

所以AD//平面A^B.

⑵因為A4..平面ABC,又//UC=9(r,

所以以AB,AC,分別為X軸，V軸，Z軸建立如圖所示的空間直角坐標系A-.rt/z,

則點.41(0.0.3).B(3.0.0),C(0.3.0),

當，=:時，jiT'r'/?*>>即點D,E分別為B('.B](\的中點，則.,.3),

2,Z>CCiLi\/\x￡/

第13頁，共18頁

所以4d=(0,3,—3),=(3,0,—3),，

設平面斗/"「的一個法向量為〃i=("”.「)，

'—t,A_Q3o_3c=0

則(n-L，即《3」3,n,令"=I,則b=-\,c=I,

可.砧=0(2a+26=°

所以平面的一個法向量為^=(1,-1.1),

\祝，記0-3-3展

則5引=許=礪丁『

令直線1('與平面」由￡所成角為0,則§也。=卜05〈彳？,出力=等，

所以直線小。與平面所成角的正弦值為W.

3

(3)由(2)可得.4(0.0.0),0(0.3.3),

所以招=(0.3.3),加=(3,0,0),睨=(一3.3,0),前=￡前=(-3t3f.O),

所以而=而+前=(3—3f.3h0).

設平面1C,/)的一個法向量為//；=(./?.//.;),

(n\AC\=03j/+3?=0

大1宿.初=0即(3(l-f)T+3///=0*

取n：=(t,t-l.l-t),

又平面ADC的一個法向量為芯=(0.0,1),

平面ACiD與平面AC。的夾角為:，

”‘爾?示7F1II1—f1，1

所以LLI=??-=-,即,==5,得廣一4t+2=0,

|ni||n2|32，3找一期+22

又因為0</<I,所以f=2—血.

【解析】本題考查線面平行的證明，空間向量法求線面角、平面與平面的夾角，屬于中檔題.

(1)由t,得到點。，E分別為的中點，易得四邊形BB\AXA為平行四邊形，四邊形

DEAXA是平行四邊形，進而得到AD//A{E,再利用線面平行的判定定理證明；

⑵建立空間直角坐標系.4--nr-,求得直線的方向向量和平面的法向量，根據(jù)線面角的空間向量的求法

即可求解；

第14頁，共18頁

（3）設平面ACiD的一個法向量為擊=（J.”.：），再由平面ADC的一個法向量為?2=（0.0.1）,根據(jù)

平面4GD與平面ACD的夾角為:，由[徜=<?%：求解.

18.【答案】解：⑴由題設，&=""+1）,則.s；,.1=（?~1）（?"-?+1）（n22）,

所以即=&_&一=^^1_包_1當一+1）='孫'-8/）出1+1,整理得

（〃—2）fin=（71—l）an_j—1,貝！I（〃-1=〃斯1,

所以（〃一l）an+i—（n—2）a,t=na?-I-（n-i+1,即1）（（/,-,-1Ii）=2（n1）〃,，，

〃一1￥（）,

所以?！?1+a〃—i=2a”，故數(shù)列卜，〃｝為等差數(shù)列，得證.

」由2S]="I+1,可得—I,又結合"I的結論知：公差d〃—〃|=4,

,11111

所以〃”=1〃-3,故兒=下=—―,令品=7jnu-7；=——+；+???+.,[，

an4n-34〃+14n4-58〃+1

所以（■..,?二72,，3-7:]=----+--…+$―TT+$―T7E+5—，且〃W-V*,

in+54〃+9on+18n+58n4-9

11140〃+31八

所以c""一=際昌+際時-1^1=（如+1）（8，，+5）（麗+9）<°，即<的，

所以，在nE[1,4-00）且nJV*上&+LTn遞減，則（入“+1-斯）“皿=/一上=1I，

2

要使45（瑞+1-Tn）&〃/-5/〃對任意fl恒成立,即m-5m-14=（m-7）（m+2）>0,

所以m€（-oc.-2]U[7.+OC）.

【解析】本題考查數(shù)列的遞推關系，等差數(shù)列的判斷與證明，不等式的恒成立問題，考查運算化簡的能力,

屬于較難題.

⑴利用〃“.S〃關系可得(〃-2)〃“二("一1)?！ā挂?,即有(n-l)an+i=naH-1,將兩式相減并整理

有?1+a”i=2%,即可證得結論.

(2)由(1)的結論及題設可得bn=-^―,令Cn=T>?+1-Tn,則C“+i=凡+3-Ik+1,運用作差法比較

In—3

它們的大小，即可確定｛△“+I-Z｝的單調(diào)性并求其最大值，結合恒成立求m的取值范圍.

2b=2,

=Va^l?=,解得｛；：；，

｛aFI-

故橢圓C的方程為1+1/2=1;

4

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⑵設直線BP的方程為“=隊"-2)(卜/。且自羊士］I,

直線DP的方程為V=物工+1(切￥0且燈#士!),

則直線DP與x軸的交點為、(—(-o)，

直線AD的方程為1/=：1+1，則直線BP與直線入。的交點為V(盛普，三、

2

將H=?r+1代入方程1+『=1,得(4向+l).r2+8上*=0,△>0,

4

則點P的橫坐標為JT=4，點P的縱坐標為1/1>=卜丁必言i+1=余魯，

將點P的坐標代入直線BP的方程U=木(工一2),

整理得(1+2fc2)(1-2A->)=-2A-1(l+2k2-，

1+2k2#0,2ki+4島后=2k,-1,

由W.N點坐標可得直線MN的方程為：

4k他/1\2島板工+2包2k\k2X+2后—1—4品后

'4島左2+2k2+2kl-1('kJ2k2—12k2—1

112k\.

即y=oz―-2)+1,

則直線MN過定點(2,ll.

【解析】本題主要考查求橢圓方程，以及直線與圓錐曲線的綜合應用問題，考查了圓錐曲線中的定點問題,

屬于較難題.

利用橢圓的離心率及其短軸長聯(lián)立方程組即可求解；

⑵設直線BP和直線DP的方程，并求出直線入。的方程，再求出點M、N的坐標，及直線MN的方程，

即可求出直線MN恒過某定點.

20.【答案】解：⑴當a=1時，/(x)=-Inx+(x-f)2,/(I)=—In1+(1—e)2=(1