2024屆湖南省岳陽(yáng)市臨湘市高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)的圖象可能是（）.A． B． C． D．2．直線l：x+y﹣1＝0與圓C：x2+y2＝1交于兩點(diǎn)A、B，則弦AB的長(zhǎng)度為（）A．2 B． C．1 D．3．已知函數(shù)，（），若對(duì)任意的（），恒有，那么的取值集合是（）A． B． C． D．4．以下給出了4個(gè)命題：（1）兩個(gè)長(zhǎng)度相等的向量一定相等；（2）相等的向量起點(diǎn)必相同；（3）若，且，則；（4）若向量的模小于的模，則．其中正確命題的個(gè)數(shù)共有（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)5．已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿足，且，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．頂角為的等腰三角形 D．頂角為的等腰三角形6．在1和19之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，若這個(gè)數(shù)中第一個(gè)為，第個(gè)為，當(dāng)取最小值時(shí)，的值是（）A．4 B．5 C．6 D．77．已知a，b，c，d∈R，則下列不等式中恒成立的是（）A．若a＞b，c＞d，則ac＞bd B．若a＞b，則C．若a＞b＞0，則（a﹣b）c＞0 D．若a＞b，則a﹣c＞b﹣c8．不等式的解集為()A． B． C． D．9．已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．10．關(guān)于的方程在內(nèi)有相異兩實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)，向量，，若，則__________．12．已知，，兩圓和只有一條公切線，則的最小值為_(kāi)_______13．設(shè)為正偶數(shù)，，則____________.14．，則f（f（2））的值為_(kāi)___________．15．在行列式中，元素的代數(shù)余子式的值是________.16．?dāng)?shù)列中，如果存在使得“，且”成立（其中，），則稱(chēng)為的一個(gè)“谷值”。若且存在“谷值”則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．?dāng)?shù)列中，，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.（2）若，，且，求的值.18．某家具廠有方木料90，五合板600，準(zhǔn)備加工成書(shū)桌和書(shū)櫥出售.已知生產(chǎn)第張書(shū)桌需要方木料O.l，五合板2，生產(chǎn)每個(gè)書(shū)櫥而要方木料0.2，五合板1，出售一張方桌可獲利潤(rùn)80元，出售一個(gè)書(shū)櫥可獲利潤(rùn)120元.（1）如果只安排生產(chǎn)書(shū)桌，可獲利潤(rùn)多少？（2）怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤(rùn)最大？19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，數(shù)列滿足，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱(chēng)為函數(shù)的局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．（1）若，證明：函數(shù)必有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)在上有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．已知，，（1）求的解析式，并求出的最大值；（2）若，求的最小值和最大值，并指出取得最值時(shí)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項(xiàng)，再根據(jù)特殊區(qū)間時(shí)，判斷選項(xiàng).【詳解】是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故排除A,B，當(dāng)時(shí)，，，排除C.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，一般從函數(shù)的定義域確定函數(shù)的位置，從函數(shù)的值域確定圖象的上下位置，也可判斷函數(shù)的奇偶性，排除圖象，或是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，特征值，以及函數(shù)值的正負(fù)，是否有極值點(diǎn)等函數(shù)性質(zhì)判斷選項(xiàng).2、B【解析】

利用直線和圓相交所得弦長(zhǎng)公式，計(jì)算出弦長(zhǎng).【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓相交所得弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出圖象如下圖所示，由圖可知，時(shí)不符合題意，故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對(duì)值的不等式的解法，考查選擇題的解題策略中的特殊值法.主要的需要滿足的是，根據(jù)不等式的解法，大于在中間，小于在兩邊，可化簡(jiǎn)為，左右兩邊為二次函數(shù)，中間可以由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象平移得到，由此畫(huà)出圖象驗(yàn)證是否符合題意.4、D【解析】

利用向量的概念性質(zhì)和向量的數(shù)量積對(duì)每一個(gè)命題逐一分析判斷得解.【詳解】（1）兩個(gè)長(zhǎng)度相等的向量不一定相等，因?yàn)樗鼈兛赡芊较虿煌?，所以該命題是錯(cuò)誤的；（2）相等的向量起點(diǎn)不一定相同，只要它們方向相同長(zhǎng)度相等就是相等向量，所以該命題是錯(cuò)誤的；（3）若，且，則是錯(cuò)誤的，舉一個(gè)反例，如，不一定相等，所以該命題是錯(cuò)誤的；（4）若向量的模小于的模，則，是錯(cuò)誤的，因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，因?yàn)橄蛄考扔写笮∮钟蟹较?，故該命題不正確．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的概念和數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.5、D【解析】

先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系得，結(jié)合正余弦定理得進(jìn)而得B,再利用化簡(jiǎn)得,得A值進(jìn)而得C,則形狀可求【詳解】由題即，由正弦定理及余弦定理得即故整理得，故故為頂角為的等腰三角形故選D【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理判斷三角形形狀，注意內(nèi)角和定理，三角恒等變換的應(yīng)用，是中檔題6、B【解析】

設(shè)等差數(shù)列公差為,可得,再利用基本不等式求最值,從而求出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為,則,從而,此時(shí),故,所以,即,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”,又,解得,所以,所以,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列和不等式的綜合運(yùn)用,需要學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通,靈活運(yùn)用.7、D【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷．【詳解】當(dāng)時(shí)，A不成立；當(dāng)時(shí)，B不成立；當(dāng)時(shí)，C不成立；由不等式的性質(zhì)知D成立．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)中，不等式兩邊乘以同一個(gè)正數(shù)，不等式號(hào)方向不變，兩邊乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等式號(hào)方向改變，這個(gè)性質(zhì)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤：一是不區(qū)分所乘數(shù)的正負(fù)，二是不區(qū)分是否為1．8、B【解析】

可將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，注意分母不為零.【詳解】原不等式可化為，其解集為，故選B.【點(diǎn)睛】一般地，等價(jià)于，而則等價(jià)于，注意分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式時(shí)分母不為零.9、B【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知都大于1，把化成后可得的大小，從而可得的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)榧岸际巧系脑龊瘮?shù)，故，，又，故，選B.【點(diǎn)睛】對(duì)數(shù)的大小比較，可通過(guò)尋找合適的單調(diào)函數(shù)來(lái)構(gòu)建大小關(guān)系，如果底數(shù)不統(tǒng)一，可以利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)統(tǒng)一底數(shù).不同類(lèi)型的數(shù)比較大小，應(yīng)找一個(gè)中間數(shù)，通過(guò)它實(shí)現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞.10、C【解析】

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；根據(jù)可得，對(duì)照的圖象可構(gòu)造出不等式求得結(jié)果.【詳解】方程有兩個(gè)相異實(shí)根等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，由圖象可知：，解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的圖象應(yīng)用，主要是根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍，關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)進(jìn)行求解.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】從題設(shè)可得，即，應(yīng)填答案．12、9【解析】

兩圓只有一條公切線，可以判斷兩圓是內(nèi)切關(guān)系，可以得到一個(gè)等式，結(jié)合這個(gè)等式，可以求出的最小值.【詳解】，圓心為，半徑為2；，圓心為，半徑為1.因?yàn)閮蓤A只有一條公切線，所以?xún)蓤A是內(nèi)切關(guān)系，即，于是有（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），因此的最小值為9.【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.13、【解析】

得出的表達(dá)式，然后可計(jì)算出的表達(dá)式.【詳解】，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查項(xiàng)的變化，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

先求f（1），再根據(jù)f（1）值所在區(qū)間求f（f（1））.【詳解】由題意，f（1）=log3（11–1）=1，故f（f（1））=f（1）=1×e1–1=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值，考查對(duì)應(yīng)性以及基本求解能力.15、【解析】

根據(jù)余子式的定義，要求的代數(shù)余子式的值，這個(gè)元素在三階行列式中的位置是第一行第二列，那么化去第一行第二列得到的代數(shù)余子式，解出即可．【詳解】解：在行列式中，元素在第一行第二列，那么化去第一行第二列得到的代數(shù)余子式為：解這個(gè)余子式的值為，故元素的代數(shù)余子式的值是．故答案為：【點(diǎn)睛】考查學(xué)生會(huì)求行列式中元素的代數(shù)余子式，行列式的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

求出,,,當(dāng),遞減,遞增,分別討論,,是否存在“谷值”,注意運(yùn)用單調(diào)性即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí),有,,當(dāng),遞減,遞增,且.若時(shí),有,則不存在“谷值”；若時(shí),,則不存在“谷值”；若時(shí),①,則不存在"谷值"；②,則不存在"谷值"；③,存在"谷值"且為.綜上所述,的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查新定義及運(yùn)用,考查數(shù)列的單調(diào)性和運(yùn)用,正確理解新定義是迅速解題的關(guān)鍵,是一道中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析（2）9或35或133【解析】

（1）分別寫(xiě)出和，做商，再用表示出，代入即可得q，由可得，得證；（2）由（1）得數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入并整理，根據(jù)即得m+n的值?！驹斀狻浚?）證明：因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）可得.因?yàn)?，所以，整理得，則.因?yàn)?，，所以，則的值為2或4或6.當(dāng)時(shí)，，，符合題意，則；當(dāng)時(shí)，，，符合題意，則；當(dāng)時(shí)，，，符合題意，則.綜上，的值為9或35或133.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列通項(xiàng)公式和已知通項(xiàng)公式求參數(shù)的和，解題關(guān)鍵在于細(xì)心驗(yàn)證m取值是否滿足題干要求。18、(1)只安排生產(chǎn)書(shū)桌，最多可生產(chǎn)300張書(shū)桌，獲得利潤(rùn)24000元；(2)生產(chǎn)書(shū)桌100張、書(shū)櫥400個(gè)，可使所得利潤(rùn)最大【解析】

（1）設(shè)只生產(chǎn)書(shū)桌x個(gè)，可獲得利潤(rùn)z元，則，由此可得最大值；（2）設(shè)生產(chǎn)書(shū)桌x張，書(shū)櫥y個(gè)，利潤(rùn)總額為z元．則，，由線性規(guī)劃知識(shí)可求得的最大值．即作可行域，作直線，平移此直線得最優(yōu)解．【詳解】由題意可畫(huà)表格如下：方木料（）五合板（）利潤(rùn)（元）書(shū)桌（個(gè)）0.1280書(shū)櫥（個(gè)）0.21120(1)設(shè)只生產(chǎn)書(shū)桌x個(gè)，可獲得利潤(rùn)z元，則，∴∴所以當(dāng)時(shí)，(元)，即如果只安排生產(chǎn)書(shū)桌，最多可生產(chǎn)300張書(shū)桌，獲得利潤(rùn)24000元(2)設(shè)生產(chǎn)書(shū)桌x張，書(shū)櫥y個(gè)，利潤(rùn)總額為z元．則，∴在直角坐標(biāo)平面內(nèi)作出上面不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域作直線，即直線．把直線l向右上方平移至的位置時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M，此時(shí)取得最大值由解得點(diǎn)M的坐標(biāo)為.∴當(dāng)，時(shí)，(元)．因此，生產(chǎn)書(shū)桌100張、書(shū)櫥400個(gè)，可使所得利潤(rùn)最大所以當(dāng)，時(shí)，．因此，生產(chǎn)書(shū)桌100張、書(shū)櫥400個(gè)，可使所得利潤(rùn)最大．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用，解題時(shí)需根據(jù)已知條件設(shè)出變量，列出二元一次不等式組表示的約束條件，列出目標(biāo)函數(shù)，然后由解決線性規(guī)劃的方法求最優(yōu)解．19、（1）；（2）證明見(jiàn)解析，；（3）或.【解析】

（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式以及數(shù)列的和與通項(xiàng)的關(guān)系可得，再由等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式可得結(jié)果；（2）對(duì)等式兩邊除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；（3）求得，由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，可得，化簡(jiǎn),即，對(duì)任意的成立，運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性可得最大值，解不等式可得所求范圍．【詳解】(1)，可得，即；時(shí),,又，相減可得,即，則；(2)證明：，可得，可得是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，可得,即；(3)，前n項(xiàng)和為，，相減可得，可得，,即為，即,對(duì)任意的成立，由，可得為遞減數(shù)列，即n=1時(shí)取得最大值1?2=?1，可得，即或.【點(diǎn)睛】“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；②相減時(shí)注意最后一項(xiàng)的符號(hào)；③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.20、（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【解析】

試題分析：(1)利用題中所給的定義，通過(guò)二次函數(shù)的判別式大于0，證明二次函數(shù)有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；(2)利用方程有解，通過(guò)換元，轉(zhuǎn)化為打鉤函數(shù)有解問(wèn)題，利用函數(shù)的圖象，確定實(shí)數(shù)c的取值范圍；(3)利用方程有解，通過(guò)換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間有解，建立不等式組，通過(guò)解不等式組，求得實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：(1)由得=,代入得,=,得到關(guān)于的方程=).其中,由于且,所以恒成立,所以函數(shù)=)必有局部對(duì)稱(chēng)點(diǎn).(2)方程=在區(qū)間上有解,于是,設(shè)),,,其中，所以.(3),