培優(yōu)訓(xùn)練題:

1.如圖，已知球。是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-A1約的內(nèi)切球,則平面AC0截球。的截面面積為（A）

A.1B.[C.坐兀D.亨兀

6363

2.在三棱錐A-BC。中，△ABC與△BCD都是邊長(zhǎng)為6的正三角形，平面ABC,平面BCD則該三棱錐的外

接球的體積為（D）

A.5vB.6071C.6OV1571D.20Vl嬴

3.在正方體A5CD-ABC。中邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P是上底面ABC。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐P—ABC的

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41K

外接球表面積恰為丁，則此時(shí)點(diǎn)P構(gòu)成的圖形面積為（A）

4.將三個(gè)半徑為3的球兩兩相切地放在水平桌面上，若在這三個(gè)球的上方放置一個(gè)半徑為1的小球，使得這四

個(gè)球兩兩相切，則該小球的球心到桌面的距離為（D）

A.3^3B.2^3C.6D.5

5.已知矩形ABC。的兩邊長(zhǎng)分別為A3=3,BC=4,。是對(duì)角線8。的中點(diǎn)，

E是邊上一點(diǎn)，沿BE將AABE折起，使得A點(diǎn)在平面8。。上的投影恰

為。（如右圖所示），則此時(shí)三棱錐A-8C。的外接球的表面積是.

3247t

11

5.四棱錐S-ABC。中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面S4。是以S。為斜邊的等腰直角三角形，若

四棱錐S-A3CD的體積取值范圍為，則該四棱錐外接球表面積的取值范圍是

5.四棱錐中，可得

平面平面

平面過(guò)

第2頁(yè)共8頁(yè)

作于

,則平面

,設(shè)故

第3頁(yè)共8頁(yè)

所以

在中，，則有,

第4頁(yè)共8頁(yè)

，所以的外接圓

半徑將該四棱錐補(bǔ)成一個(gè)以

為一個(gè)底面的直三棱柱，得外接球的半徑

第5頁(yè)共8頁(yè)

,所以

10.四面體A-3C。中，ZABC=ZABD=ZCBD=60°,AB=3,CB=DB=2,則此四面體外接球的表面積

為（）

19019炳I

224

【答案】A

【解析】

由題意，△BC。中，CB=DB=2NCBD=60°,可知ABCD是等邊三角形，BF=邪,

.?.△8（7。的外接圓半徑廠=2出=2￡FE=4

33

AABC=AABD=60°,可得AD=AC=^/T,可得AF=冊(cè),AF_LFB,AF_LBCD,

，四面體A—BCD高為AF=

設(shè)外接球。為球心，可得：

R,OE=m,r2+m2=R2.........①,

C/^一兀）+EF2=R2②

第6頁(yè)共8頁(yè)

由①②解得：R=M.四面體外接球的表面積：5=4兀尺2=127r.故選A.

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16.在三棱錐A-BCD中，AB=AC,DB=DC,AB+DB^A,AB1BD,則三棱錐A-BCD外接球的體

積的最小值為

【答案】8夜兀

3

【解析】如圖所示，三棱錐的外接圓即為長(zhǎng)方體的外接圓，外接圓的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線A。,

設(shè)AB=AC=^,那么。B=OC=4-x,AB1BD,所以A。=0成+的.由題意，體積的最小值即為

AD最小，AD=7X2+(4-X>,所以當(dāng)》=2時(shí)，4。的最小值為2萬(wàn)，所以半徑為五,

故體積的最小值為汨.

3

3球與球

對(duì)個(gè)多個(gè)小球結(jié)合在一起，組合成復(fù)雜的幾何體問(wèn)題，要求有豐富的空間想象

能力，解決本類問(wèn)題需掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄?，如?zhǔn)確確定各個(gè)小球的球心的位置關(guān)

系，或者巧借截面圖等方法，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化平面問(wèn)題求解.

例8在半徑為R的球內(nèi)放入大小相等的4個(gè)小球，則小球的半徑的最大值為()

A.（V2—DAB.（也一2）五

D.

解,要使得小球的半徑最大,需使得4個(gè)小球的球心為一個(gè)正四面體的

四個(gè)頂點(diǎn)，如圖9所示，此時(shí)正四面體/-88的外接球的球心為O,

即為半徑為R的球的球心，則AO^R-r,又因Q為/Q的四分點(diǎn)，故

及4=(衣一廠)條在曲△4501中，

222

AB=2r,5O1=|V3z,.'.[(/?-r)x1]=(2r)-(|->/3r),

圖9

：.r=t%/6-2)R.

第7頁(yè)共8頁(yè)

例4將半徑都為1的四個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四

面體的高的最小值為（）A.B.2+冬區(qū)C.4+3D,4@+2亞

3333

解，“容器四面陣”中的這四個(gè)小球，以四個(gè)小球?yàn)榍蛐臑轫旤c(diǎn)構(gòu)成了一個(gè)棱長(zhǎng)為2的“球心正四面體”，

這個(gè)四面體制高是“單位正四面體”高C咚>的2倍即為乎.“球心正四面體”的底面至！1"容器正四

面體”的地面為小球半徑1.而“球心正四面體”頂點(diǎn)到“容器正四面體”的頂點(diǎn)的距離為3C小球半徑的

3倍）.于是“容器正四面處”的高為馬匹+3+1,選擇C.[這個(gè)"小球半徑的3倍”是這樣想的，散一個(gè)小

3

球的外切正四面體，這個(gè)小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點(diǎn)的距離是中心到地面距離的3倍.]

4球與幾何體的各條棱相切

球與幾何體的各條棱相切問(wèn)題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確

球心的位置為目的，然后通過(guò)構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱

y=@a

都相切的球的半徑為相對(duì)棱的一半：4.

例9把一個(gè)皮球放入如圖10所示的由8根長(zhǎng)均為20cm的鐵絲接成的四棱錐

形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)，則皮球的半徑為O

卜?12J3cmB.10cmC.10j2cmD.30cm

解■:如圖IL所示，由題怠球心在AP上