（1）數(shù)列一2024屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)巧刷高考題型之解答題

一、解答題

1、已知數(shù)列｛q｝各項均不為0,且4=；,Q,,為數(shù)列｛4｝的前〃項的積,5?為數(shù)歹U｛。”｝的

前"項的和，若Q“+3s“S“T=0（〃eN*,.2）.

（1）求證:數(shù)列止是等差數(shù)列;

（2）求｛4｝的通項公式.

1、答案：（1）證明見解析；

—,n=\

3

（2）an=<——,n=2

解析：（1）S,為數(shù)列｛0｝的前〃項的和，當〃cN*，"..2時,Q“+3S￡_|=0,又

QN=S“-SQ,

則有-Sn=35"5"_1，依題意,〃€1^*，5尸0,因此丁一《—=3,

所以數(shù)列,[是以3=‘=3為首項,3為公差的等差數(shù)列.

[S?]Eq

（2）由（1）知,工=3+3（〃-1）=3〃,即5=—,

S,"3n

當.2時一-"而匕'而2=%J不滿足上式‘

1

因為Q”為數(shù)列｛4｝的前"項的積，則當〃..3時,。“=旦=—3〃（；T）=E

Qn-l"

3（〃一1）（〃一2）

=&=/=__1,q=JL均不滿足上式,

1

Qx123

3

所以｛叫的通項公式是a”=一;,〃=2,?eN*-

2、已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，也｝是等差數(shù)列，且5〃+1=；5用,仿=4=2,“是

生也的等差中項.

⑴求｛4｝,｛〃｝的通項公式；

⑵記7；=2+旦+2++4,求證：Tn+l=bn.

aa

n,.-l4-2?1

2、答案：⑴%=2"也="+1

⑵證明見解析

解析：⑴因為s+1=%所以當心2時，得S01+1」用，

22

兩式作差得，當“22時,。”=；*,即〃之2時，4+i=2a〃.

XtZj=2,Sj+1=^-S2,^f3=^-(2+tz2)，解得g=4,所以g=2%,

所以｛4｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，所以%=2〃.

設(shè)等差數(shù)列也｝的公差為d,因為打是生也的等差中項，所以生+4=2bs，

又仇=2,所以23+2+22=2(2+42〉解得d=l,

所以2=2+(〃-l)xl=〃+l,

故%=2〃也=〃+]

(2)由(1)知T=2+3+<++—

n2〃2〃—12〃—22

2Tn=3+3++-+(?+1),@

n2〃T2〃一22"一32'」

①一②，得—T=—H——~\——^—r+..，+——fn+l)=—+1——--+

n2〃21i2〃—22'2〃1''

1—

2

所以<=”.

所以4+1="+1=d,即7；+1=2.

3、已知數(shù)列｛an｝滿足q=3,%=27,an+2=6an+l-9an.

(1)證明：數(shù)列｛%是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛4｝的前九項和S..

3、答案：(1)見解析

(2)5?=(77-1)-3,,+1+3

解析：⑴證明：因為。"+2=6%-94，所以見+2—3%+1=3%+1—9%=3(%—3%),

又a,—3%=27—3x3=18,

所以｛。角-3%｝是以18為首項,3為公比的等比數(shù)列.

(2)由(1)知q+i—3%,=1831=2-3"1,

所以4詈—組=2,又色=1,所以［2］是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列，

3"+i3,!33"

所以2=1+2（〃-1）=2〃一1,所以4=（2,—1）3.

所1以S”=q+%++a“=1*3+3*3~++（2”—1卜3”,

所以3s“=1x32+3x33++（2〃—l）-3"+i,

所以

23,!,!+In+1

-25,7=3+2X3+2X3++2-3-（2n-l）-3=3+2x~（2n-1）?3"+i=-6-伽-2）.3

所以第=("—l>3"+3.

4、已知數(shù)列｛%｝前〃項和為S“，等比數(shù)列也｝的前〃項和為J；,且

n

Sn=+~，生+%-b3,a4-as-b5,bn>0.

⑴求凡Z；

(2)若數(shù)列匕｝滿足c'=°工,求數(shù)列｛c?｝的前n項和Mn.

4、答案:(1)%=%T“=2用-2

n+2

⑵Mn=(w-l)-2-7r-77+4

解析：(1)由S,+；〃，可得q=S]=1;

當九.2時，

1,1191

上式對“=1也成立，

所以aa=〃，〃eN*；

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為q,q>0,

由%+。6=4,即4<?2=8,

a4-a&=4,即如4=32,

解得q-2,bx=2,

所以4=2",

2(1—2")

T=—^-----i=2"+1-2,

"1-2

n+1n+1

(2)c?=ajn=n(2-2)=n.2-2n

設(shè)數(shù)列｛n-2"M｝的前n項和為A*，數(shù)列｛2〃｝的前n項和為Bn,

由=l-22+2-23+...+(n-l)-2n+M-2,,+1,

24=l-23+2-24+...+(?-l)-2n+1+H-2n+2,

4(1-2")

兩式相減可得一A=2?+23+...+2"+2n+1-n-2'+2=；?)-n-2n+2,

化簡可得4=4+(〃-1)2+2,

所以〃“=4_紇=4+(/_1)2+2_“_“2.

5、已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，滿足S“=2(%-1),等差數(shù)列也｝滿足偽=a2,b5=a4.

(1)求｛4｝與也｝的通項公式；

(2)數(shù)列｛%｝和｛2｝中的所有項分別構(gòu)成集合A,民將A3的所有元素按從小到大依

次排列構(gòu)成一個新數(shù)列｛%｝，求數(shù)列｛c?｝的前50項和S50.

5、答案：(1)見解析

(2)3459

解析：(1)因為S“=2(a〃—1),

所以當”=1時,￡=2(4一1)=6,解得q=2,

當〃>1時,S.\=2(—一1),所以4一九=2?！啊?a,i,整理得a.=2%,

所以｛4｝是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，

所以?！?2X2"T=2".

所以優(yōu)=a2=4也=g=16,

設(shè)等差數(shù)列出｝的公差為&

則々=4+4d=4+4d=16,解得Q=3，

所以1>“=4=4+3(〃-1)=3〃+1.

(2)因為%=27=128,必=28=256,“6=3x46+1=139,

且2=4=4,%=16=々，&=64=b2I,

46

所以｛cn｝的前50項中含有｛%｝的％,%，%，%且含有K｝的前項，

46x(4+139)

5=2+8+32+128+——--------L=3459?

50n2

6、已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛%,｝滿足q=19著=34+264+「

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若4,g,加“成等差數(shù)列，求數(shù)列也｝的前〃項和Sn.

n

6、答案：(1)an=3-'

2n+l1

⑵S,--------3n----

44

解析：⑴由確1=3a；+,得(％+]+%)(%-3%)=0,

-an>0,an+an+i>0

所以a用=34,又知q=1,所以｛%,｝是以1為首項,3為公比的等比數(shù)歹U,

故數(shù)列｛an｝的通項公式為an=；

(2)由a”?”成等差數(shù)列可知也=an+nan,

所以包=3"T+"-3"T=5+1）-3"T.

所以=2X3°+3X31+4X32++(”+1>3"T,①

35?=2X3'+3X32+4X33++(〃+l>3",②

由①-②，得—2S“=2+3+3?++3"T-(〃+1>3",

=2+3^-3-(n+V)-3n=-^-^--3n+-'

1-322

故S=ZfL±l，3?_l.

"44

7、已知數(shù)列｛%｝是遞增的等比數(shù)歹U.設(shè)其公比為%前n項和為5?，并且滿足

q+%=34,8是%與%的等比中項.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

,,+1

(2)若4=〃?4,T”是么的前n項和，求使Tn-n-2>-100成立的最大正整數(shù)n的值.

7、答案：(1)4=2"("cN")

(2)5

解析：(1)因為8是為與%的等比中項，所以。2。4=價=64,

%+%=34,即/+%=34,解得：卜=2或,=32,

則由題意得:

a2a4~641%%=64[a5=32[a5=2

因為數(shù)列｛q｝是遞增的等比數(shù)歹U,所以即q=2,q=2,

所以q=q/T=2X2〃T=2",

故數(shù)列｛4｝的通項公式為%=2"（〃eN）

（2）由（1）得：bn=n?a”=nx2"（neN*）,

則7；=4+么+&++bn

=1X2'+2X22+3X23+L+〃x2"，①

234

BP2Tn=1X2+2X2+3X2++”2向,②

則①—②得：—,=2i+22+23++2n-nx2n+i

即I,="X2"+1—-=——=（〃一1）2'"1+2eN*），

1—2

所以《_h2"+1=(“_1)2"+1+2_h2"1=2—2"+i(“eN*),

設(shè)C“=7；—"?2"、則C“=2—2向(九eN*),

因為y=2-2>i在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以G=2-2"+1是單調(diào)遞減數(shù)列，

67

又有C5=2-2=-62>-100,C6=2-2=-126<-100,

所以當〃W5且“eN*時，1-“二向>-100成立，

故使Tn-n-2"1>-100成立的最大正整數(shù)n的值為5.

8、已知數(shù)列｛4｝滿足：2%M=%+%+2(V〃eN*),正項數(shù)列也｝滿

足:%=2j%2(V"eN*),且2a1=4=2嗎=為也=的.

(1)求｛4｝,也｝的通項公式;

為奇數(shù)

2〃+1

(2)已知(3&2)々2，〃為偶數(shù)'求?

0,+1)(%2+1)

11115

(3)求證:

4

8、答案：(1)4=〃也=2〃

/nx(22〃+2)

⑵(2n+l)(n+l)+^--22n+2+J

(3)證明見解析

解析：(1)由題意知,｛4｝為等差數(shù)歹U,設(shè)公差為d,也,｝為等比數(shù)歹!],設(shè)公比為q,

b

又2%=。=2,4=4也=他，??/=,=4,g=2也=2〃?

&

%=“2=4=q+3d,d=1,cin=n.

2〃-1,“為奇數(shù)2"-1,72為奇數(shù)

(2)由%=<(3"—2)2"—2衣/申將=

#招F~~7，”為偶數(shù)目一為偶數(shù)’

(2"+1)(2,!+2+1)

2n+l

...Z，=(q+Q+C5+...+c2n+l)+(c2+c4+c6