安徽省合肥市廬江第三中學(xué)2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)四模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某學(xué)校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范

圍是17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20）,20,22.5）,22.5,25）,25,27.5）,27.5,30）.根據(jù)直方圖,這200名學(xué)

生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是（）

頻率.

組距]

O.ldL-----------

8

8.10

,08

OS.,04

.002

17.52022.52527.5自習(xí)時(shí)間/小時(shí)

A.56B.60C.140D.120

2.已知三棱錐A—BCD的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，平面ABC,N54C=120°,AD=2,若球。的表

面積為20萬(wàn)，則三棱錐A-BCD的體積的最大值為（）

A.2B.友C.6D.2A/3

33

3.我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，

有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.某中學(xué)

擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝

時(shí)期專著的概率為（）

3749

A.-B.—C.一D.—

510510

4.設(shè)R,則“d〈27”是“1劃＜3”的（)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)為1（%）,記/（％）=/'（X）,力（力=工'（龍），…，源（#=九0（〃""）.若

/（x）=%sinx,則力o/x）+力021（力=（）

A.-2cosxB.-2sinxC.2cosxD.2sin%

6.設(shè)0<%<2=，且Jl一sin2%=sinx-cos犬，貝！J（）

八兀，兀兀,，、兀兀，，3幾

A.B.一---C.一?%V—D.一?x?—

444422

7.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且7s2=4S"則公比q的值為（）

A.1B.1或工C.—D.tB

222

8.已知函數(shù)/（x）=；or2_（x—l）e%ae&若對(duì)區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)百、%、髭，都有/4）+/（々）2/（馬）,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.[L2]B.[e,4]C.[14]D.[1,2)3%4]

sinfx+

2k兀一%,2k兀*三\、kGz),

9.己知函數(shù)y=<的圖象與直線y=m（x+2）（根>0）恰有四個(gè)公共

-sinfx+

,XGIkjr+—,Ikjr+-(k€z),

22

點(diǎn)人（不必）,8（%,%），。.（元3，%），。（%了4），其中石則（%4+2）tan%4=（）

A.-1B.0C.1D.—+2

2

Y3+Qi.nx

10.已知函數(shù)/（%）=；；~-——-~-一為奇函數(shù)，則機(jī)=（）

（1+x）（m-x）+e+e

1

A.-B.1C.2D.3

2

11.集合｛2,0,1,9｝的真子集的個(gè)數(shù)是（）

A.13B.14C.15D.16

12.已知條件p：a=-1,條件4：直線%—分+1=0與直線x+/y_l=0平行，則。是^的（）

A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若直線點(diǎn)—y—左+2=。與直線x+6—2左—3=0交于點(diǎn)P,則0尸長(zhǎng)度的最大值為——.

14.已知雙曲線;-4=1(?！?力〉0)的兩條漸近線方程為〉=±且》，若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1,則雙曲線方

ab3

程為.

15.若存在實(shí)數(shù)后人使得不等式/(%)〈依+b<g(x)在某區(qū)間上恒成立，則稱/(%)與g("為該區(qū)間上的一對(duì)“分

離函數(shù)”，下列各組函數(shù)中是對(duì)應(yīng)區(qū)間上的“分離函數(shù)”的有.(填上所有正確答案的序號(hào))

①0,^,/(x)=sinx,g(x)=tanx；

(2)xG[1,+oo),=J/_],g(x)=J%'+1;

(3)xeR,/(%)=x2+2,g^x)=ex+e~x?

@XG(0,+oo),/(%)=%--,g(%)=2xlnx.

X

16.已知多項(xiàng)式0+2)"(%+1)"=4+%%+。2爐++%+/"""滿足/=4,Oj=16,貝！]7篦+〃=,

?0+?1+a2++%”+“=-------------------------

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在三棱柱ABC—4月￡中，AC=5C=1,AB=夜,4。=1，4。，平面43C

(1)證明：平面4ACC]，平面BCG耳

(2)求二面角A-45-C的余弦值.

18.(12分)已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,a2-ab-2b2=0.

(1)若C=[,證明：y/3sin5=sinC.

27r

(2)若C=——，c=7,求AABC的面積.

3

19.(12分)已知點(diǎn)M(T0),N(l,0),若點(diǎn)P(x,y)滿足|PM|+|PN|=4.

（I）求點(diǎn)p的軌跡方程;

（II）過(guò)點(diǎn)。（一百,0）的直線/與（I）中曲線相交于A,3兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求小面積的最大值及此時(shí)直

線/的方程.

G[x=cos0

20.（12分）在直角坐標(biāo)系/中，已知直線/的直角坐標(biāo)方程為y=、2x，曲線G的參數(shù)方程為，,八（。為

-31y=l+sin。

TT

參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為夕=4sin（e+§）.

（1）求曲線C和直線/的極坐標(biāo)方程；

（2）已知直線/與曲線G、G相交于異于極點(diǎn)的點(diǎn)A3,若A,3的極徑分別為8,p2,求，-的值.

21.（12分）已知數(shù)列｛qj,其前〃項(xiàng)和為S,,,滿足q=2,其中幾.2,neN*-%，

⑴若4=0,〃=4,bn^an+｝-2an（九6N*），求證：數(shù)列｛"｝是等比數(shù)列；

⑵若數(shù)列｛為｝是等比數(shù)列，求X,〃的值；

3

⑶若。2=3,且2+〃=],求證：數(shù)列伍〃｝是等差數(shù)列.

22.（10分）如圖,三棱柱ABC-431G中，側(cè)面BB?C是菱形，其對(duì)角線的交點(diǎn)為。，且AB=AQ=&，即，4c

（1）求證：49，平面5月。。；

（2）設(shè)/用3C=60。，若直線A片與平面3耳CC所成的角為45。，求二面角4一50]-6的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

試題分析：由題意得，自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為(0」6+0.08+004)x2.5=0.7,故自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)

的頻率為0.7x200=140,故選C.

考點(diǎn)：頻率分布直方圖及其應(yīng)用.

2、B

【解析】

由題意畫(huà)出圖形，設(shè)球。得半徑為R,A5=x,AC=y,由球。的表面積為2(hr,可得甯=5,再求出三角形43c外接圓的

半徑，利用余弦定理及基本不等式求盯的最大值，代入棱錐體積公式得答案.

【詳解】

設(shè)球。的半徑為R,AB=x,AC=y,

由4萬(wàn)區(qū)2=2。萬(wàn)，得叱=5.

如圖:

設(shè)三角形ABC的外心為G,連接。G,GA,OA,

可得OG=；AD=1,則AG=VFW=2.

BC

在AABC中，由正弦定理可得：——=2AG=4,

sin1200

即BC=26,

由余弦定理可得，BC?=12=尤?+/一2孫*(一g)=/+9+孫..3孫，

初,4.

則三棱錐A—BCD的體積的最大值為工x工x4xsin120。*2=友.

323

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、體積，基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)

算求解能力，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

3、D

【解析】

利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有10種情況，所選2部專著中至

少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結(jié)果.

【詳解】

《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝

時(shí)期.記這5部專著分別為a,4c,d,e,其中”,dc產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)

學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10種情況，所選2部專著中至少有一部

是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有a）,ac,ad,ae,A/d/e,cd,ce,,共9種情況，所以所選2部專著中至

mQ

少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為「=一=;;;.故選D.

n10

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的

關(guān)鍵，基本事件的探求方法有⑴枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；⑵樹(shù)狀圖法：適合于較

為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫(xiě)出：先（4，用），（4,2）….（4,反），

再（4,4）,⑷4）..…（4,凡）依次（4,4）（4,不）.…⑷,紇）…這樣才能避免多寫(xiě)、漏寫(xiě)現(xiàn)象的發(fā)生.

4、B

【解析】

先解不等式化簡(jiǎn)兩個(gè)條件，利用集合法判斷充分必要條件即可

【詳解】

解不等式d<27可得x<3,

解絕對(duì)值不等式Ix|<3可得一3（尤<3,

由于｛x|—3<%<3｝為｛x|x<3｝的子集，

據(jù)此可知“%3<27”是“Ix1<3"的必要不充分條件.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了必要不充分條件的判定，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

通過(guò)計(jì)算工(力/(九)"(x)’G)j(x),可得以_3(%)，以一2(%)/l(x)，以(％)，最后計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：/(x)=xsinx

所以＜(x)=sin%+JVcos羽力(％)=2cosx-xsinx

力(x)=_3sinx—xcos%，a)=Tcosx+xsinx

f5(x)=5sinx+xcosx,---

所以猜想可知：以一3(x)=(4左—3)sin%+xcosx

力02(x)=(4左-2)cosx-xsinx

f4k_x(x)=-(4^-1)sin%-xcosx

啟(1)=Ykcosx+xsinx

由2019=4x505—1,2021=4x506—3

所以辦io9(x)=-2019sinx—xcos尤

力mc(%)=202lsinx+xcosx

所以上109(%)+力021(x)=2sinx

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及不完全歸納法的應(yīng)用，選擇題、填空題可以使用取特殊值，歸納猜想等方法的使用，屬中檔

題.

6、C

【解析】

將等式變形后，利用二次根式的性質(zhì)判斷出sin乂.cos%,即可求出x的范圍.

【詳解】

.?J1—sin2x=Vsin2x+cos2x—2sinxcosx

=&sinx-cos%)?

=|sinx-cosx|

=sin%—cos%

sinx-cosx.0,即sinx.cosx

v?2乃

.-.-M—

44

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查解三角函數(shù)方程，恒等變化后根據(jù)sinx,cos無(wú)的關(guān)系即可求解，屬于簡(jiǎn)單題目.

7、C

【解析】

由7s2=4s4可得3(q+4)=4(%+%)，故可求q的值.

【詳解】

因?yàn)?s2=452所以3(4+02)=4(84—82)=43+%)，

故因｛4｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，故q>0,所以q=白，故選C.

【點(diǎn)睛】

一般地，如果｛4｝為等比數(shù)列，S”為其前〃項(xiàng)和，則有性質(zhì)：

(1)^m,n,p,qeN*,m+n=p+q,則%“%=與4；

(2)公比qwl時(shí)，則有S“=A+3q",其中4,3為常數(shù)且人+5=0；

⑶Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,為等比數(shù)列(S#0)且公比為4".

8、C

【解析】

分析：先求導(dǎo)，再對(duì)a分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再畫(huà)圖分析轉(zhuǎn)化對(duì)區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)西、9、馬，都有

/(%)+/?(馬)2/(/)，得到關(guān)于a的不等式組，再解不等式組得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.

詳解：由題得/r(x)=ax-［ex+(%-l)ex］=ax-xex=x(a-ex).

當(dāng)aVl時(shí)，尸(X)<。，所以函數(shù)f(x)在［0,1］單調(diào)遞減，

因?yàn)閷?duì)區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)卬々、%，都有/(%)+/(毛)》/(%3)，

所以/(1)+/(1)2/(0),

所以一ci-\—

22

故叱1,與aVl矛盾，故aVl矛盾.

當(dāng)Gave時(shí)，函數(shù)f(x)在［OJna］單調(diào)遞增，在(Ina,1］單調(diào)遞減.

12

所以/(工)3=f(］na)=—aina-a\na+a,

因?yàn)閷?duì)區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)為、%、X3,都有/(%)+/(%)2/(七)，

所以/(0)+〃1)之/(111。)，

112

所以1+—。2—olna-a］na+a,

22

121

即一aIna—aInciH—a—IVO

121

令g(a)=］alna-alna+—a-l,(l<a<e)9

所以g'(a)=g(ln2a—l)<0,

所以函數(shù)g(a)在(1,e)上單調(diào)遞減，

所以g(a：U=g6=-；<0，

所以當(dāng)lSa<e時(shí)，滿足題意.

當(dāng)a?e時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，

因?yàn)閷?duì)區(qū)間［0』內(nèi)的任意實(shí)數(shù)占、%、%，都有/(X)+/(/)?/(七)，

所以/(0)+7(0)2/⑴，

.1

故

2

所以〃<4.

故e<〃<4.

綜上所述，ad［1,4］.

故選C.

點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于“對(duì)區(qū)間［0,1］內(nèi)的任意實(shí)數(shù)0馬、不，都有/(%)+/(々)2/(%3)”的轉(zhuǎn)化?由于是函數(shù)的問(wèn)

題，所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值、極值等)來(lái)分析解答問(wèn)題.本題就

是把這個(gè)條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來(lái)，完成了數(shù)學(xué)問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，找到了問(wèn)題的突破口.

9、A

【解析】

先將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為y=|cosx|,結(jié)合題意可求得切點(diǎn)5及其范圍4e叁，乃，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，即可求得

(%4+2)tan%4的值.

【詳解】

.?7C?77C77T?7

sin%+—2k兀-----,2k兀+—(Kez),

函數(shù)y—<

.(吟「07n3TTV

即y=|cosx|

直線y=m(x+2)(m>0)與函數(shù)y=|cos%|圖象恰有四個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合圖象知直線y=+2)(m>0)與函數(shù)

y=—cosx相切于%,x4

因?yàn)閥'=sinx,

7-cosx

故％-sinx—4,

4Z+2

)-1

所以(％+2)tan%4=(%+2)x?os4=(x+-2x=-1

4)U+2),

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,由交點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)值，屬于難題.

10、B

【解析】

根據(jù)/(九)整體的奇偶性和部分的奇偶性，判斷出機(jī)的值.

【詳解】

依題意f(%)是奇函數(shù).而y=V+sinx為奇函數(shù)，y=/+(L為偶函數(shù)，所以g(x)=(l+”(加—%)為偶函數(shù)，故

g(%)-g(-%)=0,也即(1+X)(口_尤)_(1_尤)(加+%)=(),化簡(jiǎn)得(2wi—2)x=0,所以m=1.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

11、c

【解析】

根據(jù)含有〃個(gè)元素的集合，有2"個(gè)子集，有2'-1個(gè)真子集，計(jì)算可得；

【詳解】

解：集合集合,1,9｝含有4個(gè)元素,則集合合,0,1,9｝的真子集有元—1=15（個(gè)），

故選：C

【點(diǎn)睛】

考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對(duì)于含有〃個(gè)元素的集合，有2'個(gè)子集，有2"-1個(gè)真子

集，屬于基礎(chǔ)題.

12>C

【解析】

先根據(jù)直線x-ay+l=0與直線x+/丁_1=o平行確定a的值，進(jìn)而即可確定結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)橹本€X—ay+l=。與直線x+—1=0平行，

所以儲(chǔ)+。=0，解得。=0或。=一1；即q：a=0或。=一1；

所以由。能推出q；q不能推出「；

即口是q的充分不必要條件.

故選C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判定，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、20+1

【解析】

根據(jù)題意可知，直線6-y-左+2=。與直線x+6—2左—3=0分另IJ過(guò)定點(diǎn)，且這兩條直線互相垂直，由此可知，其交

點(diǎn)尸在以為直徑的圓上，結(jié)合圖形求出線段OP的最大值即可.

【詳解】

由題可知,直線入一y_k+2=0可化為左（x_l）+2_y=0,

所以其過(guò)定點(diǎn)A（l,2）,

直線為+6一2左一3=0可化為x-3+左（丁一2）=0,

所以其過(guò)定點(diǎn)8（3,2），且滿足左?1+（―1）?左=0,

所以直線依一y—左+2=。與直線》+外一2左一3=0互相垂直,

結(jié)合圖形可知，線段OP的最大值為|。。|+1,

因?yàn)镃為線段A3的中點(diǎn)，

所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得C（2,2）,

所以線段OP的最大值為272+1.

故答案為：20+1

【點(diǎn)睛】

本題考查過(guò)交點(diǎn)的直線系方程、動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系;考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力;根據(jù)圓的定

義得到交點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.

2o2

14、-生=1

44

【解析】

由已知、'，即"\取雙曲線頂點(diǎn)1及漸近線,、’口則頂點(diǎn)到該漸近線、'］，的距離為

a33'

43u2r23v2

。-、，由題可知「2,所以力，則所求雙曲線方程為L(zhǎng)—3L=l.

、卜5）、3：2“J344

15、①②④

【解析】

由題意可知，若要存在立+b使得依+AWg(x)成立，我們可考慮兩函數(shù)/(x)，g(x)是否存在公切點(diǎn)，若兩函

數(shù)在公切點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置一個(gè)單增，另一個(gè)單減，則很容易判斷，對(duì)①，③，④都可以采用此法判斷，對(duì)②分析式子特

點(diǎn)可知，y/x2+l>x>A/X2-1>進(jìn)而判斷

【詳解】

①xe時(shí)，令人(x)=x-sinx,貝UZ)'(x)=l-cos尤2。，/(力單調(diào)遞增，/o(%)>/(%)=0,即x?sinx.令

go(x)=x-tanx,貝!Jg。(尤)=x---,g()(x)單調(diào)遞減，g0(x)<g(x)=。，即xWtanx,因此sinxVxVtanx,滿足

cos'x

題意.

②xw[l,+oo)時(shí)，易知Jx2+1>x>y/x2-1?滿足題意.

③注意到〃0)=g(0)=2,因此如果存在直線丫=區(qū)+6,只有可能是/(力(或g(x))在x=0處的切線，

〃x)=2x,-(0)=0,因此切線為y=2,易知g(x”2&，.eT=2,/(%)>2,因此不存在直線>=區(qū)+6滿足題意.

④xe(0,+8)時(shí)，注意至!j/(l)=g。)=0,因此如果存在直線>=履+6,只有可能是g(x)(或/(%))在x=l處的

切線，g'(x)=21nx+2,g'⑴=2,因此切線為y=2x—2.

令力(x)=x--(2x-2),則以力=：-1,易知玲(外在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,內(nèi))上單調(diào)遞減，所以

加x)4%⑴=0,BP%--<2%-2.

X

令g°(x)=2Hn尤-(2x-2),則《(犬)=21nx,易知g°⑴在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,行)上單調(diào)遞增，所以

心(九)之go⑴=。，即2xlnx>2x-2.

因iHsx—V2x—2V2xlnx,糖意.

x

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義題型、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題

16、572

【解析】

2

,.,多項(xiàng)式(％+2)'”(%+1)"=a0+G1X+G2X++am+"x'"+"滿足%=4,ax—16

???令x=0,得2'Rxl"=.=4,則m=2

(x+2)m(%+l)n=(x2+4x+4)(%+1)〃

該多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為4c+4Cf1r,-1=16

:?c『=3

：?〃=3

:.m+n=5

2

令1=1,得(1+2)x(1+1)?=%+%+〃2H----Ham+n=72

故答案為5,72

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)證明見(jiàn)解析(2)B

3

【解析】

(1)證明AC，平面5。。1片即平面4ACG，平面5CGA得證；(2)分別以C4,C5,5。所在直線為x軸，y軸.

軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz,再利用向量方法求二面角A-與3-。的余弦值.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)榕c平面A3C,所以51C，AC

因?yàn)?。=3。=1,43=0.所以4。2+5。2=452.即AC±BC

又BCg。=。.所以4。，平面3。。4

因?yàn)锳Cu平面AACC1?所以平面4ACG，平面BCG用

(2)解：由題可得用CCACB兩兩垂直，所以分別以CAC3,與c所在直線為X軸，y軸.軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系Cxyz,則A(l,0,0),。(0,0,0),3(0,1,0),耳(0,0,1),所以3=(0,-l,l),AB=(-1,1,0)

設(shè)平面ABB｝的一個(gè)法向量為m-(x,y,z),

—y+z—0

由=0,根＞15=0.得〈

[—%+y=0

令x=l,得加=(1,1,1)

又CA，平面CBB1,所以平面C8區(qū)的一個(gè)法向量為CA=(1,0,0).

/沙\1百

cos(m,CA)=-j==——

V33

所以二面角A-B.B-C的余弦值為昱.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間幾何位置關(guān)系的證明，考查二面角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

18、(1)見(jiàn)解析(2)迪

2

【解析】

(1)由余弦定理及已知等式得出關(guān)系，再由正弦定理可得結(jié)論；

(2)由余弦定理和已知條件解得/仇然后由面積公式計(jì)算.

【詳解】

22222222

解：(1)c=a+/,_labcosC=a+b-ab=a-ab-2b+3b，

由cr-ab-2b2=0得到c2=3b2，由正弦定理得sin2C=3sin2B.

因?yàn)?,Ce(O,7Z-),所以百sin5=sinC.

(2)由題意及余弦定理可知a2+b2+ab=49,①

由。2—。匕一2/=0得(a+b)(a—2Z?)=0,即a=2Z?,②

聯(lián)立①②解得。=近，a=2A/7.所以S^BC=匕sinC=.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用正余弦定理解三角形.考查三角形面積公式，由已知條件本題主要是應(yīng)用余弦定理求出邊.解題時(shí)要注

意對(duì)條件的分析，確定選用的公式.

22f7

19、(I)]+]=l；(II)AAQB面積的最大值為g,此時(shí)直線/的方程為x=±苧y—Q.

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的定義求解軌跡方程；

(2)設(shè)出直線方程后，采用工x|A3|xd(d表示原點(diǎn)到直線AB的距離)表示面積，最后利用基本不等式求解最值.

2

【詳解】

解：(I)由定義法可得，尸點(diǎn)的軌跡為橢圓且2a=4,c=l.

22

因此橢圓的方程為L(zhǎng)+匕=i.

43

22

(II)設(shè)直線/的方程為x-道與橢圓亍+4=1交于點(diǎn)

B(%，%)，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去x可得(3〃+4)/-6島-3=0,

_

Hri6y/3t、,、，_3

即％+,2=-?-------9=~^~27?

123/+43r+4

11I-/----------------------

AAQB面積可表示為SaoB=]I。。I?I%-%1=],如?，(%+%下一4%乂

二百/(￡巨)2_4--=叵岑-?的產(chǎn)+3/+4=小—廳工

2'3/+43r+423r+43r+4

____6M6Vr-

令百幣="，則M/l，上式可化為/+3一,-3，

Lt?

U

當(dāng)且僅當(dāng)“=JI,即/=±逅時(shí)等號(hào)成立，

3

因此AA6?面積的最大值為G，此時(shí)直線/的方程為x=±半y-JL

【點(diǎn)睛】

常見(jiàn)的利用定義法求解曲線的軌跡方程問(wèn)題:

(1)已知點(diǎn)M(-c,0),N(c,0),若點(diǎn)P(x,y)滿足|9|+|附|=2"且2。＞2°,則尸的軌跡是橢圓;

(2)已知點(diǎn)M(-c,0),N(c,0),若點(diǎn)尸(x,y)滿足11PMi-|PN||=2a且2a<2c,則尸的軌跡是雙曲線.

20、(1)Q=2sin，，0=—Qp&R).(2)\p-p|=3

6x2

【解析】

(i)先將曲線G的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，即可代入公式化為極坐標(biāo)；根據(jù)直線的直角坐標(biāo)方程，求得傾斜角,

即可得極坐標(biāo)方程.

(2)將直線/的極坐標(biāo)方程代入曲線Q、可得8,夕2,進(jìn)而代入可得2|的值.

【詳解】

JQ—cose

(i)曲線G的參數(shù)方程為一,."(。為參數(shù))，

y=1+sin，

消去。得f+y—2y=0,

把公+/=夕2,y=〃sin。代入得0?—2sin0=0,

從而得G的極坐標(biāo)方程為夕=2sin6>,

???直線/的直角坐標(biāo)方程為y=18x，其傾斜角為

36

TT

直線I的極坐標(biāo)方程為8=土(夕eR).

6

jr

(2)將。=￡代入曲線G，c2的極坐標(biāo)方程分別得到

6

Pi=2sin—=1,pi=4sin(—+—)=4,

oo3

則3一夕21=3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了參數(shù)方程化為普通方程的方法，直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程的方法，極坐標(biāo)的幾何意義，屬于中檔題.

21、(1)見(jiàn)解析(2)A=l,〃=0(3)見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：(1)邑=4%-]5?2),所以仇=2〃T，故數(shù)列｛0｝是等比數(shù)列；(2)利用特殊值法，得“=1,2=1,

1yi

故2=1,4=0；⑶得2=5，〃=1,所以s“=耳?！?a,T，得(〃一1)4+1-(〃一2”“—2a“T=0,可證數(shù)列｛4｝

是等差數(shù)列.

試題解析：

(1)證明：若2=0,4=4,則當(dāng)S,,=4%1(”工2),

所以%=Sn+l~Sn=4(%—%),

即an+l~2%=2(%—2%_1),

所以么=2鼠1，

又由Q]=2,Q]+%=4。1,

得%=3〃]=6,%—2〃]=2w0,即2w0,

所以3=2,

故數(shù)列也｝是等比數(shù)列.

(2)若｛%,｝是等比數(shù)列，設(shè)其公比為4(q4),

當(dāng)〃=2時(shí)，S2=2Aa2+/day,即％+%=24%，得

1+q=2雞+//,①

當(dāng)〃=3時(shí)，53=32<23+/^a2,即4+%+%=32%+4〃2，得

]+q+/=34q2+"q,②

當(dāng)〃=4時(shí)，S4=42%+〃/，即4+。2+。3+。4=4幾。4+4〃3，得

1+q+12+q3=42q3+以―,(§)

②一①X“，得1=的2,

③一②X?,得1=27,

解得夕=1,4=1.

代入①式，得4=。.

此時(shí)S〃=nan(n>2)9

所以4=%=2,,“｝是公比為1的等比數(shù)列，

故2=1,〃=0.

(3)證明：若。2=3,由囚+g=ZXg+〃q,得5=62+2〃，

31

又2+〃=—,解得