專題02五大類數(shù)列題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺

技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）

（高考大題題型歸納。

［醒1錯(cuò)位相減求和無需錯(cuò)位直接出答案】

【醒2裂項(xiàng)相消巧妙變形問題】

【迎3分組求和必記常見結(jié)論】

r?4含（-葉類求和問題】

［壁5含絕對(duì)值求和問題】

數(shù)列求和之前需要拿握一些求數(shù)列通項(xiàng)的技巧，技巧如下：

a.i—a”=/（〃）

當(dāng)高考數(shù)列大題出現(xiàn)《勺與或《仆與遞推關(guān)系且關(guān)系式中系數(shù)為1時(shí)，應(yīng)

遵循以下步驟第一步：作差第二步：歹怪第三步：求和一簡(jiǎn)稱《知差求和》

注意：歹蟀時(shí)最后一項(xiàng)史族是%—a*』

占fl{%1的首項(xiàng)，q=1,1=4+2〃5eN'）求a”通項(xiàng)公式。

校里二

當(dāng)高考數(shù)列大題出現(xiàn)《瑪與。鵬》或《小與冊(cè)_1》遞推關(guān)系且關(guān)系式中系數(shù)不為1時(shí)，

應(yīng)遵循以下步驟第一步：秒求所￡系數(shù)第二步：尋倜的等四列第三步：痛數(shù)列的

通項(xiàng)第四步反解/一簡(jiǎn)稱《構(gòu)造法》

b

結(jié)論:4"=|6+

I

Ei模型演煉

已崎列㈤｝中，q=1,+1(〃N2),求㈤｝的通項(xiàng)公式.

模型三

an+l=kan+an+b

當(dāng)高考數(shù)列大題出現(xiàn)《冬與冊(cè)+1》或《4與。入1》遞推關(guān)系，關(guān)系式中系數(shù)不為1且還

存在n時(shí)，應(yīng)遵循以下步驟第一步：秒求所配系數(shù)第二步：尋搦i的等履列第三步：

求新數(shù)列的通項(xiàng)第四步反解一簡(jiǎn)稱《構(gòu)造法》

結(jié)論:=（用+幺+5）-左--An-B

模型演煉

已知：q=l,“N2時(shí)，4=：冊(cè)_1+2〃-1,求S”｝的通項(xiàng)公式。

模型四

同=S+Qn

當(dāng)高考數(shù)列大題出現(xiàn)《勺與。鵬》或《&與遞推關(guān)系，關(guān)系式中系數(shù)不為1目還

存在指數(shù)時(shí)，應(yīng)遵循以下步驟第一步：等式兩邊直接旗以或/第二步：尋墻i的

數(shù)列第三步：秒求所配系數(shù)第四步：尋班的等四列第五步：班數(shù)列的通項(xiàng)第六

步反解M一簡(jiǎn)稱《直接除書造法》

結(jié)論：a=c.qn

模型演煉

已知｛〃〃｝中，％=1,a”=2a?_i+2”（〃之2）求4”。

模型五

C+2=P—+ga”

%+2=4%+1+3q型，可化為。?+2+&7油=P-（0油+癡”）的形式。

待定系數(shù)法，其中人龍茜足C7

模型演煉

畫S列｛4［中，/=-1,叼=2,當(dāng)"€”,『2=5。向一6ati①求通項(xiàng)公式

題型1錯(cuò)位相被求和無需錯(cuò)位直接出答案

錯(cuò)位相減;

形式;酶是為=(￡7+

BAB

貝恪.C*1C

C-lC-l（C-1）2C-l（C-1）2

模型演煉

求和：5建=1+3x+5A-2+7X34---F（2n—l）x"

K3S!模型演煉

已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,且S.=2"+1.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式;

⑵若求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和不

02。?…\

專項(xiàng)滿分必刷

1.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝滿足。匚=8"，且q=L

(15出生，q,并求也｝的通項(xiàng)公式；

4，"為奇數(shù)，

Q泥瓦一二求他+她+&》《"!--->"4跳.

2，，偽偶數(shù)，

2.記S.(x)=x+x，+/+…+x"-2(xeR,weN').

(1片x=2時(shí)，S.(2)為數(shù)列｛《｝的前〃項(xiàng)和，求｛《｝的通項(xiàng)公式;

(2泥S￡(x)是SM,(X)的導(dǎo)函數(shù)，求取^(2).

3.設(shè)｛兄｝是等差數(shù)列，｛2｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，為“=4“-1。,=7也=2《，

“+?=40.

(1球數(shù)列｛2｝與｛〃｝的通項(xiàng)公式；

(2題列｛2｝,｛4｝的前"項(xiàng)和分別為SJ；

(0證明￡/"<L

(ii)求￡(一1億石.

J-1

4.已知數(shù)列｛兄｝中，4=1，4+32+；4+-+：4=4「13?式》

(1球數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式；

(2管4=2”,記7；為也｝的前〃項(xiàng)和，證明：*3時(shí)，7；＜川2川-4).

5.設(shè)等比數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和為邑，q=；,8s,=7S,.

(1球2；

I"Ml,、

(2)i殳。=_1_,求數(shù)列包｝的前"項(xiàng)和石.

同

a3

6.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為邑

a或q,

(2錯(cuò)方=。x2?，求數(shù)列色｝的前“項(xiàng)和人

7.設(shè)數(shù)列｛2｝滿足：4=2,%=%“+4"—4.

(1球數(shù)列｛兄｝的通項(xiàng)公式；

(2球數(shù)列｛"+37“｝的前〃項(xiàng)和邑.

8.已知S,是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，25.=見(4+1).

(1冰數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式；

(2)i?殳2=：Tq,求數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和乙

模串二裂項(xiàng)相消巧妙變形問題

裂項(xiàng)相消求和

⑶sin10/八。o

@^=/(n+D-/(n)②-----:---------7=tan(〃+l)-tann

COS770COS(77+iy

111Q〃)2=1+1(]

=-------------=———...........?an2〃+l)

n(n+1)nn+1(2T7-1X2?+1)22w—1

-------------=_[-------_------------]

四一lX〃+2)22+1)(n+lXn+2)

焉手蓑哥4=$一小啊＞小

N〃+C)

]

y/ri+5+1

1〃+1I/2n11

⑨%=蜂.丁=bga(〃+l)-bg"0)/=(2”_1)3+Jl)=F=TF^I

模型演演

在數(shù)列｛冊(cè)｝中，％=」一+:-+…+-L,又―求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)的

力+1W4-1刁+1an-anA

和.

模型演煉

求證:------------H-------------+…+

cos00cosTcosl°cos20cos880cos890

EM模型演煉/

已知q=lg"若數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S.=2,則〃=

n

02oNEFINEDAY

專項(xiàng)滿分必刷

一■

1.已知｛/｝是等差數(shù)列，4=4,且藥-4,a5M5+6成等比數(shù)列.

(1或｛6｝的通項(xiàng)公式3

(2港數(shù)列｛〃｝滿足骼組=4,且2=:，求色｝的前“項(xiàng)和

2.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛《｝中，q+%=20,&a,=324.

(1球｛2｝的通項(xiàng)公式:

⑵已知函數(shù)力x)=x+2五+1,數(shù)列也｝滿足：4=1,%=小),MEN*.

(i)求證：數(shù)列｛m｝為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式

T171

(ii)設(shè)c”=。,一如證明：MGN"

A-Ir“e

3.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列也｝,滿足〃+1皿=3,2a4=a：.

a球數(shù)列SJ的通項(xiàng)公式

1

(2低〃=21。部4,數(shù)列左｝的前〃項(xiàng)和為小求證：-2<[W-1.

J-lJ

4.已知s“為公差不為0的等差數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和，且4「石”+1(六風(fēng)”€曠).

(1球2的值;

(2港$3=4$2,求證：-^―111

2,

5.已知數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和為曷=能由

(1或數(shù)列｛《｝的通項(xiàng)公式q.

(2泥4=￡一，求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.

a#。**

6.已知S,是數(shù)列｛《｝的前〃項(xiàng)和，4=2,是公差為1的等差數(shù)列.

(1或數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式

(2證明:表111

4-

7.已知數(shù)列｛《｝的前"項(xiàng)和為工，目y=為“-2(〃€2).

(1注數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2港"=log：4i,C"=^7-，求證：ci+ci---t-c?<—.

8.設(shè)數(shù)列｛《｝的前〃項(xiàng)和為%已知邑=17,j各|是公差為今的等差數(shù)列.

(1或｛6｝的通項(xiàng)公式；

Q股求數(shù)列｛〃｝的前"項(xiàng)和工.

anan^

秒殺秘籍］

模鬢二分組抑必記常見結(jié)論

①祥甥悚蜂式：s.=〃3「)=〃q+“G；i)d

叫(q=1)

歹1式：S?=<_qa3gg工])

.1-q"q

"1n1

?s?=2^=-n(n4-l)@S?=N￥=T7(〃+1X2〃+D

k^L工*-I6

⑤S"=力左3=[/〃+l)f

jt-12

模型演演

求數(shù)列的前〃項(xiàng)和：1+1=2+43+7「、上+3〃-2,

aaa

!模型演煉

求數(shù)列｛M〃+M2〃+1)｝的前〃項(xiàng)和.

模型演煉

記正項(xiàng)等毆列S"｝滿足用+q=12,?等差數(shù)列上｝滿足。=4,既=%?

（1）求數(shù)列｛4｝,上｝的通項(xiàng)公式；

（2）越列4麗?項(xiàng)和S”.

^b也,1

03oNEFINEDAY

專項(xiàng)滿分必刷，

1.已知數(shù)列｛6｝,.在①數(shù)列｛《｝的前”項(xiàng)和為S“，s“=〃.-2；②數(shù)列｛《｝的前"

項(xiàng)之積為5“=2嚀（”eN>，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中并解答.（注：

如果選擇多個(gè)條件，按照第一個(gè)解答給分.在答題前應(yīng)說明“我選_____”）

（1波數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式;

（2冷”=4+1。尻?！?，求數(shù)列｛,｝的前〃項(xiàng)和人

2.已知數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為S“，且q=1,25“=2叫一”、鼠

（1球數(shù)列｛呢｝的通項(xiàng)公式；

（2始定底V,記集合｛H承eN）中的元素個(gè)數(shù)為％,若?+%+…+%>2024,

試求A:的最小值.

3.已知S"為數(shù)列｛t｝的前"項(xiàng)和，目滿足其=為“+1其中reR,且30.

(1或數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

<2?-1

(2)1殳4=(-1尸/，若對(duì)任意的叱N,都有￡。<洲<2>,,求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

7J>1M

4.已知數(shù)列｛6｝滿足q=i,j=■僚鬻且〃=*-%.

(1)證明a“｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列心“｝的通項(xiàng)公式;

b一5

Q*殳2=廣=，且數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和為證明：當(dāng)時(shí),

3”

3T

5.已知數(shù)列｛凡｝滿足4+%工+…+時(shí)”=(〃一1卜2川+2.

(1求｛《｝的通項(xiàng)公式；

114

(2)1§^=----T,證明：a+4+…+b”<?

6.已知數(shù)列｛6｝滿足a=L%+羽=3"5/eN二

(1)設(shè)么=4-"+2,證明：｛2｝是等比數(shù)列;

(2求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S“.

7.在等差數(shù)列｛〃“｝中，4+4+4=84,q=33.

(1注數(shù)列｛t｝的通項(xiàng)公式；

(2港記4(丘乂)為m｝中落在區(qū)間(5一5"|內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求低｝的前六項(xiàng)和4.

8.已知數(shù)列｛兄｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S-目。M=16,工=號(hào)+24.

(1或｛《｝的通項(xiàng)公式：

(2況｛《+1。樂/｝的前"項(xiàng)和為工，求滿足［＜2024的最大整數(shù)

秒殺秘籍J

模型四含(T)"類進(jìn)行求和問題

我們估旦把這種求和的方法稱為“并項(xiàng)法”，可以推廣到一般情況，用“并項(xiàng)法”求形如通

項(xiàng)公式為a?=（-ir/（n）的擺動(dòng)數(shù)列｛%｝前"項(xiàng)和的步驟如下：

第苜先獲得并項(xiàng)后的一個(gè)通項(xiàng)公式，即先求當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，的表達(dá)式；

第二步：然后對(duì)〃分奇、偶進(jìn)行討論，即當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，由

sn=3+叼）+&+。4）+（%+。6）+…+（。=1+。"）求出S”；

第三步：當(dāng)“為奇數(shù)目n>l時(shí)，由S”=Sa+4求出Sn,特別注意對(duì)n=1時(shí)要單獨(dú)討論,

即5要單獨(dú)求出.

第四步：將5代人當(dāng)〃為奇數(shù)且〃>1時(shí)S”的表達(dá)式進(jìn)行檢蛤，如果適合，結(jié)果寫成兩段分

段函數(shù)形式表示，如果不適合，結(jié)果寫成三段分段函數(shù)形式表示

■^/模型演煉

已知數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式/=（-記，求數(shù)列｛2｝的前”項(xiàng)和s“.

ES!模型演演

已知數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式4=（-『（2"+3〃），求數(shù)列｛冊(cè)｝的前“項(xiàng)和Sn.

f^ONtHNlDAY

專項(xiàng)滿分必刷

1.已知S”為數(shù)列｛6｝的前”項(xiàng)和，目滿足5“=次+r,其中reR,且?》（）.

a球數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

q2?-l

(2%殳〃=(-1F'上,若對(duì)任意的〃€、，都有z4<m<2>,,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

r"j-i

2.已知數(shù)列｛兄｝是遞增數(shù)列，前”項(xiàng)和為S“，q=l目當(dāng)“22時(shí)，S.、+S「a：.

(1注數(shù)列｛&'｝的通項(xiàng)公式；

(2股“=(-1)**^,求數(shù)列也｝的前”項(xiàng)和二

3.在數(shù)列｛《｝中，q=2,4=6,%=12,且數(shù)列｛%-q｝是等差數(shù)列一

(1冰｛?！埃耐?xiàng)公式；

(2港4=(-1)”，設(shè)數(shù)列色｝的前"項(xiàng)和為力求心.

4a

4.已知數(shù)列｛《｝滿足：4="a-=37T4-

a速證：數(shù)列；是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式；

(2)1殳2=匚1_,求數(shù)列色｝的前20項(xiàng)和q.

4%

5.設(shè)5“是數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和，且3a“=2，+L

(1冰數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式；

(2北殳〃=(-l)-'logq，求數(shù)列也｝的前”項(xiàng)和人

6.已知｛七｝是等比數(shù)列，滿足4=2,且q,q+Za成等差數(shù)列，數(shù)列｛2｝滿足

4+；&+；4+…+%=2w("eN).

(1冰｛《｝和｛力｝的通項(xiàng)公式；

(2股c“=(-1門4-&),求數(shù)列￡｝的前2“項(xiàng)和S”：

(3股4=。也，求數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和小

7.在等差數(shù)列｛6｝中，4=13,4=53.

(1冰｛6｝的通項(xiàng)公式；

(2球數(shù)列｛%?+GD"｝的前〃項(xiàng)和邑.

8.已知｛兄｝是等比數(shù)列，滿足4=2,且勾,q+2,a成等差數(shù)列，數(shù)列｛瓦｝滿足

4+彳a+/+…=2"("€N)一

(1或｛6｝和｛2｝的通項(xiàng)公式；

(2)1殳c.=(一1門4一2),求數(shù)列｛，“｝的前”項(xiàng)和邑.

秒殺秘籍J

模型五含絕對(duì)值求和問題

給出數(shù)列S”｝,要求數(shù)列｛k』｝的前〃項(xiàng)和，必須分清〃取什么值時(shí)冊(cè)>0(4〈0)

如耨列｛4｝為等差數(shù)列，S”為其前〃項(xiàng)和，［引同+㈤+…+㈤那么有：

①若%>0,d<0,420,%+i〈。購(gòu)S

TJsn\n<k)

找一【2另-S”G>k)

西q<0,dX),q40,%+i>0則有

T-Sn,(p<^

”=g-2既.(〃>左)

如果數(shù)列為等曖列，s”為其前〃項(xiàng)和，〈;同+同+…+㈤那么有：

_|咄1一同")_同一/團(tuán)

模型演煉

已略項(xiàng)都為正數(shù)的等魄列｛々｝,見

32,。3。405=8?

(1)郵列m”｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)2=1鳴4,7>固+同+岡+…+陽，求&

模型演煉

列為6,且4，丹+工2%麻通列.

(1)求｛&｝的通項(xiàng)公式3

(2)若d<0,求I6I+1%I+1引+…+\anI的直

模型演煉

在公差不為零的等差數(shù)列｛4｝中，4=11,且%、生、4成等膜列.

(1)搬列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)越列｛I*|｝的前門項(xiàng)和人

05oNEFINEDAY

專項(xiàng)滿分必刷

1、Q

1.已知數(shù)列｛「“｝的前”項(xiàng)和邑二-亍^+物(丘N],且Z的最大值為

(1蹣定常數(shù)七并求見；

Q或數(shù)列｛㈤｝的前15項(xiàng)和臬.

2.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為邑，4=3,S,=35.

(1或｛2｝的通項(xiàng)公式；

(2股數(shù)列｛㈤｝的前“項(xiàng)和為a求幾.

3.已知等差數(shù)列｛2｝，4=-10,記S“為｛《｝的前”項(xiàng)和，從下面①②③中再選取一個(gè)作為

條件,解決下面問題.①加,+4=0;②&=-55；③寺一.=2.

(1球5”的最小值;

(2?殳｛|凡|｝的前"項(xiàng)和為求4.

4.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝滿足=風(fēng)氣+2是4與4的等差中項(xiàng).

(1或數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2港〃=logq,求數(shù)列｛也|｝的前”項(xiàng)和.

5.在等比數(shù)列｛兄｝中，兄>0("€力)，公比ge(OJ),且q&+2q4+a4=25,又q與&

的等比中項(xiàng)為2.

(1球數(shù)列｛?.｝的通項(xiàng)公式；

(2港4=log*“，求｛血|｝的前〃項(xiàng)和人

6.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為整數(shù)，4=9,設(shè)其前〃項(xiàng)和為是,目:壬是公差為"的

等差數(shù)列.

(1球｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2港《=*-80,求數(shù)列他|｝的前n項(xiàng)和力.

7.在等差數(shù)列｛6｝中，已知公差d<0,q=10,且生，4,e成等比數(shù)列.

(1或數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式見；

(2娜J+I&I+L+|%|的值.

8.已知數(shù)列｛6｝的前"項(xiàng)和為S"，目—=”-13.

n

a球數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2錯(cuò)數(shù)列｛3｝的前"項(xiàng)和為石，設(shè)a=工，求用的最小值.

n

專題02五大類數(shù)列題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺

技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

（高考大題題型歸納。

［醒1錯(cuò)位相減求和無需錯(cuò)位直接出答案】

【醒2裂項(xiàng)相消巧妙變形問題】

【迎3分組求和必記常見結(jié)論】

r?4含（-葉類求和問題】

［壁5含絕對(duì)值求和問題】

數(shù)列求和之前需要拿握一些求數(shù)列通項(xiàng)的技巧，技巧如下:

a^-a?=f(ri)

當(dāng)高考數(shù)列大題出現(xiàn)《冬與或《仆與遞推關(guān)系且關(guān)系式中系數(shù)為1時(shí)，應(yīng)

遵循以下步驟第一步：作差第二步：歹怪第三步：求和一簡(jiǎn)稱《知差求和》

注意：歹蟀時(shí)最后一項(xiàng)!^^是%_%_1

AL模型演煉

日D{%}的首項(xiàng)，=1,1=4+2〃（neN'）求a”通項(xiàng)公式。

解：第T：作差

第』：歹怪

an-2~an-3::2("-3)

=2(n-2)

an-an-l=2(〃T)

左值石便

第二^：求和品_q=2[1+2H----F(n-1)]=n2-n

口訣：左左加右&加，相5崎用等差

2

an=n-n+l

校型二

當(dāng)高考數(shù)列大題出現(xiàn)《冬與。八1》或《冬與。入1》遞推關(guān)系且關(guān)系式中系數(shù)不為1時(shí)，

應(yīng)遵循以下步驟第一步：秒求球系數(shù)第二步：尋擒i的等毆列第三步：播熱列的

通項(xiàng)第四步反解成一簡(jiǎn)稱《構(gòu)造法》

結(jié)論：％=!<71+-~-

<左一1白

模型演煉

白啜列｛?！埃?，ax=\,an=2aAi+K〃-2)＞求｛4｝的通項(xiàng)公式.

解:第一步：秒求所配系數(shù)m=-^—=^—=l

上—12-1

第二步：尋找新的等比數(shù)列勺+1=2(4_]+1),二｛q+1｝是苜項(xiàng)為q+1=2,公比為2

的等比數(shù)列，

第三步：求新數(shù)列的通項(xiàng)即勺+1=2-27。”+1=2”

第四步反解品：.an=r-\

驗(yàn)證：當(dāng)〃=1也成立

夠初：二4=2"-1

模型三

an+l=kan+an+b

當(dāng)高考數(shù)列大題出現(xiàn)《冊(cè)與。蟲》或《4與冊(cè)_1》遞推關(guān)系，關(guān)系式中系數(shù)不為1且還

存在n時(shí)，應(yīng)遵循以下步驟第一步：秒求所鼠系數(shù)第二步：尋摘i的等比數(shù)列第三步：

求班列的通項(xiàng)第四步反解金一簡(jiǎn)稱《構(gòu)造法》

結(jié)論=（。1+<4+3卜上1-An-B

模型演煉

已知：q=l,“N2時(shí)，4=；。入1+2”-1,求｛2｝的通項(xiàng)公式。

解：第一步：秒求所配系數(shù)

設(shè)/+幺〃+3=；［*+1(〃-1)+3］

第二步：尋癲的等毆列

/.｛4-4〃+6｝是以3為苜項(xiàng)，g為公比的等比數(shù)列

第三步：熠讖列的通項(xiàng)

?,■/-4〃+6=3彳尸

3

第四步反解〃/./=聲+4〃-6驗(yàn)證：當(dāng)〃=］時(shí)通項(xiàng)也成立

un

3

故答案為：…產(chǎn)+4〃-6

模型四

a向=kq+q”

當(dāng)高考數(shù)列大題出現(xiàn)《4與。2》或《4與遞推關(guān)系，關(guān)系式中系數(shù)不為1且還

存在指數(shù)時(shí)，應(yīng)遵循以下步驟第一步：等式兩邊直接戢以4圻域g"第二步：尋博的

數(shù)列第三步：秒求所配系數(shù)第四步：尋找新的等值列第五步：摘i數(shù)列的通項(xiàng)第六

步反解明—簡(jiǎn)稱《直接除書造法》

結(jié)論：a“=c“q

模型演練

已知｛a〃｝中，q=l,a”=2a?_i+2”(〃22)求。〃。

第一步：等式兩邊直接同除以《加域/

由a-2臂令已

第二步：尋倜的能晶「、/一'

??.｛會(huì)｝成等差數(shù)列，M=g+(〃—l)

給證：當(dāng)〃=1也成立故答案為3=/2”-27

模型五

a7P%+qa1t

%+2=4%+1+§%型，可化為。?+2+九7油=B-(。油+%”)的形式。

待定系數(shù)法，其中;I、尸滿足(；：：

模型演煉

磁列｛4｝中，勺=-1，叼=2,當(dāng)〃e”，。＞2=5。Z一6為①求通項(xiàng)公式a”.

解：

①第一步：秒出系數(shù)

①式可化為：

%+2=X%+1+3%。油+%"1=P(4+1+=5%—6a?

"yS—2=5.()3=2,尤=-3麗(尸=3,A=-2)

'--^^^=2,2=-3廂(月=3,%=-2),不妨取(尸=3,2=-2).①式可化為:

^rH-2-2a/n4=3(4鵬-2a”)

第二步：捌斯的等比數(shù)列

則｛。2一為”｝是一個(gè)等比數(shù)列，苜項(xiàng)。2-26=2-2.(-1)=4,公比為3.

第三步：求新等婕列通項(xiàng)

/.?！?】-2%=4?31.利用上題結(jié)果有：

第四步：反解/a”=4?3"~1-5?2""1.

?1錯(cuò)位相被求和無需錯(cuò)位直接出答案

錯(cuò)位相減；

形式;駿是。”=(出7+8〉C”

nIc4勿B(yǎng)A—JBA

人“=C-^C-lfC-l)2—C-l(C-l)2

求和：Sn=1+3》+5/+7/+…+(2〃-1產(chǎn)

秒殺1n卷子上書寫

第一^：尋找標(biāo)準(zhǔn)形式

可知，｛(2〃-l)xz｝的通項(xiàng)是等差數(shù)列｛2”-1｝的通項(xiàng)與等比數(shù)列｛/1)的通項(xiàng)之積

第』：歹怪

+(2〃-1)丫

234

xSn=1x4-3x+5x+7x4--F(277—1)X”...................②

①一端

第三步：利解論秒求S'=草例Lt書寫

-1

an=(2〃-O-x"=

'In]_2一2_2'

S-x-x-x?*i_A_V丫

x-1x-1(x-1)2x-1(x-1)2

第四步:化解結(jié)論求S”=卷子上書寫

0(In-1)^1-(2n+1)^+(1+x)

=------------；----------

(1-x)2

秒殺2=卷子上書寫

第一尋找標(biāo)準(zhǔn)形式

可知，｛(2〃-1)/1｝的通項(xiàng)是等差數(shù)列｛2〃-1｝的通項(xiàng)與等比數(shù)列｛/I｝的通項(xiàng)之積

第歹怪

Sn=l+3x+5f+7/+…+(2〃-1)/T........①

234

xSn=lx+3x+5x+7x+---+(2n—l)x".........②

①一?S"=?

第三步：利解論秒求S0=翱韻吐書寫

氏=(2〃-1卜產(chǎn)1貝iJS”=(.4〃+5)3"-5

_1_2_

其中乂=二_出=一裂或3=-12

X—1x-1x-1(x-1)

第四步：化解結(jié)論求S”=卷子上癌

(2〃-1)/1-(2”+1*+(1+力

S“

(1-x)2

模型演煉

已知數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S“，且Sn=2"+l.

(1)求｛鞏｝的通項(xiàng)公式；

(2)若4=(2〃-1)4，求數(shù)列0/的前〃項(xiàng)和7；.

解：秒殺1n卷子上書寫

(1)快速求解通項(xiàng)

當(dāng)〃=1時(shí),=Sj=214-1=35

當(dāng)”22時(shí)，a”=S”-S-=(2”+1)-(+1)=.

用=3不適合a”=2降i.

3sn=1

綜上所述，an=；

22

(2W-^:尋找標(biāo)準(zhǔn)形式

3?7=1

由⑴可得4=(2〃一1)。”=，3〃_1>2叫心2

第二歹擇

當(dāng)”=1時(shí)，工=3；

123n-1

當(dāng)〃22時(shí)，rn=3+3-2+5-2+7-2+-+(2?-l)-2............①,

得2囂=34+322+5々3+…+(2〃-3>2i+(2〃-1)2……②，

①一加S〃=?

第三步：利解論秒求工=用韻Lt書寫

43=(2〃-1)-2"-1=(一一；卜"=("一；卜

第四步：化解結(jié)論求S”n卷子上書寫

二北=(2〃—3>2"+5,4=3滿足￡=(2〃_3).2"+5,

因此，［=(2〃-3)-2”+5.

'』ONEFINEDAY、

專項(xiàng)滿分必刷

1.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列也｝滿足=8”，目4=1.

(15出外，q,并求SJ的通項(xiàng)公式；

團(tuán),"為奇數(shù)，

(2圮二求aa+aa+a2+…+白山”

[2'用偶數(shù)，

1答案】(1)七=3,4=5,o,=2M-l(?eN')(2)12814

【詳解】⑴解法一：因?yàn)榻狻癥=8",q=l,4>0,

所以，當(dāng)〃=1時(shí)，G-C=8,耳=《+8=9,所以4=3.

當(dāng)”=2時(shí)，of-a；=8x2,a;=a;+16=25,所以a,=5一

當(dāng)〃22時(shí)，a；=(o；-限2)+…)+0>'

=8(〃-1)+8(〃-2)+…+8x1+1

=8[l+2+-+(n-l)]+l=8X"7)+]=(2“_1)2,所以a,=2n-l

當(dāng)"=1時(shí)，4=1也符合上式.

綜上，a.=2〃-l(“N?)

解法二：因?yàn)樗?a：=8*4=1,a.>0,

所以，當(dāng)〃=1時(shí)，片一片=8,耳=《+8=9,所以4=3.

當(dāng)”=2時(shí)，a;-a;=8x2,a;=o;+16=25,所以2=5一

因?yàn)樗盰=8",

所以《-a；=(2〃+1)2_(2n-1)-,即。=-(2〃+1)2=a;-(2n-I)2.

所以-以=吃-3-3)2=-=^-1=0,即口=(2w-iy.

又見>0,所以4=2?-1(“陰

方-L媯奇數(shù)C2〃T偽奇數(shù)

(2)解法一：由(1)得4=>即b*=

?十,")偶數(shù)陷滴偶數(shù)

記s=瓦瓦+&勿+&年■<—1■a5a6

貝=1x2,+5x2?+9x2；…+25x2’+29x2*①，

2s=1x2。+5x2,+…+21x2’+25x2*+29x2"②

22x(]—27)

①-②，得一S=1X2'+4X22+4X2'+-+4X2X-29X2,=2+4X=_--29x29=-12814,

1-2

所以S=12814,

故4員+自&+&。6■(--->?星壇=12814.

?2”-L偽奇數(shù)偽奇數(shù)

解法二：由(1)得2=^，即"="

.2，，的偶數(shù)甘，昉偶數(shù)

記s=瓦'+&4+慶區(qū)■<—a5a6>

貝i」S=1x2,+5x2?+9x2、13x2‘+17x2,+21x2"+25x2'+29x>

=2+20+72+208+544+1344+3200+7424=12814.

故H瓦++&a■*>■壇％=12814.

2.記S"(x)=x+x'+x'+…+x"-2(xeR/eN)

(1心x=2時(shí)，S.(2)為數(shù)列｛兄｝的前"項(xiàng)和，求也｝的通項(xiàng)公式；

(2圮S'(x)是%Ux)的導(dǎo)函數(shù)，求S￡(2).

【答案】⑴2=[；：：；；'⑵S：(2)=2023x2皿+L

IZ,1fl乙2.

【詳解】⑴當(dāng)〃=1時(shí),q=，(2)=0.

22/1

當(dāng)〃22時(shí)，aA.=S42)-S,.,(2)=(2+2+-r-2)-(2+2+-2-'-2)=2\

f0,n=l

又當(dāng)〃=1時(shí)，4=0不滿足上式，所以《=日心2

22nI4

(2)-.1S2tO4(x)=x+x+x'+--+x-2I

二S；心(X)=1+2工+3/+…+2024X20”

S二(2)=1+2x2+3x22+…+2024x2血①

2S」(2)=2+2x2?+3x2、+…+2024x2的②

①-②得，-S」(2)=l+lx2+lx22+…+1x2加一2024x2皿

1_^2024

-...2024x2血=-2023X22<C4-1.

1-2

二SUZJnZOZBxZ及x+L

3.設(shè)｛〃“｝是等差數(shù)列，｛2｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，M產(chǎn)%-14=78=2《，

4+4=40.

(1球數(shù)列｛4｝與｛2｝的通項(xiàng)公式

(2散列也｝,也｝的前”項(xiàng)和分別為5“二

(i)證明Z毋<1;

J-IW-i

(ii)求￡(-1工石.

41

【答案】(1)4=2"-3=2"；(2)(i)證明見解析；(ii)--+-(6?+1)4--2?

【詳解】(1)解：設(shè)等差數(shù)列｛《｝的公差為，，等比數(shù)列｛a｝的公比為q0>o),

則4=4+(〃-l)d,bn=4產(chǎn),

因?yàn)榧涌傻?q+2J("l)=q+d(2n-l)-l,解得4="-1,

又因?yàn)?=4+3d=7,可得aj=Ld=2,

又由4=2q且％+幺=40,可得(「Ri2如，解得9=2(負(fù)值舍去),

心7+M=40

所以q=2"L瓦=2、

(2)(i)證明：由4=*一1,可得邑=曳\山=〃2,

j2w+l11

所以雙、"k而卡

則宮念弓—占i+疝-磊2一看T

(ii)解：由。=2"，可得7>2")=2--2,

1—2

貝1」(一1廣2-6二+(—1廣三用

：=_(2"-2)(2M-1)+(22"H_2加=伽+1)22"-2,

可得4=3X4'+5X42+-+(2”1)X4*-'+(2H+1)X4",

貝I」44=3X4，+5X4，+…+(2M-1)X4"+(2M+1)X4"T,

兩式相減得-34=12+2^4-+4'+---+4)-(2n+l)x4*,

=12+2-4(；_：)_(2?>+1卜4"?=捐(6"+1).4"7,

_412"fJ—41

所以4=K+：(6"+1>4T,即工(-1歸石=-3+2(6"+1)4--2〃

yyj.iyy

4.已知數(shù)列｛6｝中，4=1必+<4+$4+-+)q=4-1("?^>

(1球數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式；

(2玲。=2"q,記5為也｝的前“項(xiàng)和，證明：*3時(shí)，7；＜n(2*H-4).

【答案】(1)4=”(2)證明見解析

【詳解】⑴因?yàn)?+卜+L+L.=。小-1,

23n

E、I11111

所以q+54+…+:見+—7^-,=0,-2-1,

zjnw+i

作差可得」7。1=見-2-。1，變形為。川=("+1)4+2-(”+1)%),即4=言，即

n+10一，n十/

片…碧，化簡(jiǎn)為言=總

M-2

因?yàn)?=1嗎+；4=4-1?&2,所以*2=〃+2,

WC

因吟唱，旦------?an,

*〃+2R>

所以數(shù)列｛《｝的通項(xiàng)公式為4=相

(2)因?yàn)?=2*?！?力2”,

所以4=L2+2-2'+…力2",2T=1?222?2J…”?21,

作差可得-7；=2+2'+…+2"-M-2***=］、_f2"',

所以工=5-1)2*”+2,

7；-4)=(〃-l.+2_喉~-4)=_2"H+4力+2,

設(shè)/x)=-2x2'+4x+2,xN3,則/(x)=—2x2Tn2+4在給定區(qū)間上遞減，又

/(3)=-16xln2+4<0

故/U)在［3,-)是減函數(shù)，〃X)Z=/I3)=-2'+4X3+2=-2<0,

所以當(dāng)〃23時(shí)，71<n(2--4).

5.設(shè)等比數(shù)列｛兄｝的前"項(xiàng)和為S“，q=；,8s,=7S-

(1球見；

log.KI

Q股方--，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和

㈤

【答案】⑵7>5-1>2』+2.

【詳解】(D設(shè)等比數(shù)列｛《｝的公比為9,由8'=7號(hào)，得8(鼠-1)=-5,,

貝I4+4+?=_：(q+4+%),即/(q+4+%)=-；(4+4+%),

OO

而q+%+4=q(l+q+gJ)#0,因此不=一：,解得4=一;

o2,

所以4=；(-；廣

ilog.dr

(2)由(1)知，|里卜廿)"，貝處=：="2",

</

則4=1-2'+2?22+32'+—+"2”,

于是27>1"+2"+32'+…

兩式相減得一4=2+2?+2,+…+2"-小2川=Ml二2)-M-2**1=(1-?)-2*+,-2,

1—2

即7；=(萬-1>2f+2.

33

6.已知數(shù)列｛6｝的前”項(xiàng)和為S.=5^+5”一

(l球見；

(2港b=qx2匕求數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和乙

,

【答案】(l)o,=3M,(n€N-)(2)71.=3(n-l)-2*+6,(WeN-)

【詳解】(1)由題意4=，=3,

3?323

當(dāng)"22/eN時(shí)，5.=-^+-^,=-(?-1)+-(?-1),

從而4=S“_Si一^(n-l|'+^(n-l)=京(2?-1)+；=3〃，

22|_2'2J22

當(dāng)〃=1時(shí)，也滿足q=3x1=3,故2=3%(〃€k).

⑵由(1)可知匕=4x2十=3力2"，

^7；.=3(1X2I+2X22+-+MX2,),27；=3(1X22+2X21+-+MX2M+*),

、(2(1-2*)、

從而一看=3(2'+2'+…+2"fx2"")=3-i------=6(2"-1)一3"2””,

所以7>3(”一12川+6,

所以數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和，=3("-1>2川+6,(〃eN)

7.設(shè)數(shù)列｛4｝滿足：q=2,%=勿“+4”-4.

(1注數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2域數(shù)列｛“+3ZJ的前〃項(xiàng)和5".

【答案】⑴見=3x2"-4n(2)S“=￡+厘+｝6"_(2”一1"37~

【詳解】(1)由題意知數(shù)列｛4｝滿足：4=2,。內(nèi)=2^+4"-4,

貝I」*+4(M+1)=2q+8〃=2(《+4n)

4=2,o.+4x1=6,故｛q+4”｝為首項(xiàng)是6,公比為2的等比數(shù)列,

故q,+4〃=6x2*7=3x2",即a,=3x2"-4w>

4適合上述結(jié)果，故q=3x2-4〃；

(2)設(shè)〃=〃+3乜=〃+3x6"-4心3">

貝|J5”=(1+2+…+〃)+3(6+62+--+6*)-4(lx3+2x32+--+wx3*),

設(shè)雹=4(1x3+2x32+…+”x31，故s=幽+?+18竺-6]_小

21—6

T=4x3,+8x32+12x3i+--+4nx3?,

37；,=4x32+8x3!+12x34+-+4MX3**',

作差得到27；=-4x3'-4x3i-4x31------4x3w+4nx3*',

故4=-6x”3=g_i)x3"T+3,

1—3

..C鞏"+1),18XQ-6")T

?D=--------+---------------19

“2