2024年高考押題預測卷【新高考卷】

數(shù)學?全解全析

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

12345678

BDBCABCD

1.定義差集V—N={x|無eM且九eN},己知集合4={2,3,5},8={3,5,8},則A—(AB)=()

A.0B.{2}C.{8}D.{3,5}

1.【答案】B

【解析】因為A={2,3,5},6={3,5,8},所以A6={3,5},所以A—(AB)={2}.

故選：B

2.已知函數(shù)〃x)=sin2〃)x+Gsin0xcos0x(G>O)的最小正周期為兀，下列結(jié)論中正確的是()

A.函數(shù)/(尤)的圖象關于x=*對稱

6

jrb-jr\

[五+5”GZ)

JT5冗

C.函數(shù)外可在區(qū)間—上單調(diào)遞增

1兀

D.函數(shù)/(%)的圖象可以由g(%)=cos2x+-的圖象向右平移y個單位長度得到

2.【答案】D

1-cos2^x6sin2s

【解析】A選項,/(X)=sin269X+A/3sill69XCOS6(7X=

22

12冗

=sin+—因為函數(shù)/(x)的最小正周期為一=兀解得(0=1,所以

22co

1

/(%)=sin2x--71+-,

62

當x=5時，sin|2x--^Usin|,故A錯誤；

6<6J<36；2

jTjrKTT

B選項，令2x——ku,左￡Z,即犬=---1---，左￡Z,

6122

(jrKIT,1]

函數(shù)/(%)的對稱中心是]五+5"，5)("￡Z),故B錯誤;

顯然/口）=$也"+3在其上不單調(diào)，故c錯誤；

1JT

D選項，g（x）=cos2x+]的圖象向右平移1個單位長度，

得到g[x—1']=cos[2x—g[+；=sin[2x_E1+g=/（x）,故D正確.

故選：D.

3.2024年3月16日下午3點，在貴州省黔東南苗族侗族自治州榕江縣“村超”足球場，伴隨平地村足球隊在

對陣口寨村足球隊中踢出的第一腳球，2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開帷幕.某校足球

社的五位同學準備前往村超球隊所在村寨調(diào)研，將在第一天前往平地村、口寨村、忠誠村，已知每個村至

少有一位同學前往，五位同學都會進行選擇并且每位同學只能選擇其中一個村，若學生甲和學生乙必須選

同一個村，則不同的選法種數(shù)是（）

A.18B.36C.54D.72

3.【答案】B

【解析】若五位同學最終選擇為3,1,1,先選擇一位同學和學生甲和學生乙組成3人小組，

剩余兩人各去一個村，進行全排列，此時有C；A；=18種選擇，若五位同學最終選擇為2,2,1,將除了甲乙

外的三位同學分為兩組，再進行全排列，此時有C；C；A；=18種選擇，綜上，共有18+18=36種選擇.

故選：B

4.南丁格爾玫瑰圖是由近代護理學和護士教育創(chuàng)始人南丁格爾（HorenceNightingale）設計的，圖中每個扇

形圓心角都是相等的，半徑長短表示數(shù)量大小.某機構(gòu)統(tǒng)計了近幾年中國知識付費用戶數(shù)量（單位：億人

次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖（如圖所示），根據(jù)此圖，以下說法錯誤的是（）

A.2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加

B.2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多

C.2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加量逐年遞增

D.2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍

4.【答案】C

【解析】對于A,由圖可知，2015年至2022年，知識付費用戶數(shù)量逐年增加，故A說法正確；

對于B和C,知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量分別為：2016年，0.96-0.48=0.48；

2017年，1.88-0.96=0.92；2018年，2.95-1.88=1.07；

2019年，3.56-2.95=0.61；2020年，4.15-3.56=0.59；

2021年，4.77-4.15=0.62；2022年，5.27-4.77=0.5；

則知識付費用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，知識付費用戶數(shù)量的逐年增加量不是逐年遞增，故B說法正

確，C說法錯誤；

對于D,由5.27>10x0.48,則2022年知識付費用戶數(shù)量超過2015年知識付費用戶數(shù)量的10倍，故D說

法正確.

綜上，說法錯誤的選項為C.

故選：C

2兀

5.在,ABC中，D為邊BC上一點,ZDAC=~,AD=4,AB=2BD,且八4￡)。的面積為4君，則

sinZABD=()

AV15—V3口A/15+A/3-A/5—y/3「A/5+A/3

8844

5.【答案】A

【解析】因為=-AD-ACsinZDAC=-x4xACx—=4A/3，解得AC=4,

222

TT

所以八4￡）。為等腰三角形，則/ADC=：,

6

2DBDB]

ABDB

ADA中由正弦定理可得,即1sinZBAD，解得sin/3AO=：

sinZADBsinZBAD4

2

5兀__

因為NAD3=——，所以為銳角，所以cosN84D=J1二

6

所以sinZABD=sin(ZADC-ABAD)=sin《—ABAD

=sin—cosZBAD-cos—sinZBAD=岳一道

668

A

故選：A

S4+311

6.已知正項數(shù)列｛4｝的前幾項和為S“嗎=1,若謂1,且----+L++--------------<M恒成立,

a?dyCl?^^4aa

nn+2

則實數(shù)”的最小值為（）

144

A.-B.-C.一D.3

393

6.【答案】B

【解析】因為2=^,^^anSn+i=(an+3)Sn=anSn+3Sn,an(Sn+l-Sn)=3Sn,

%an

即a〃a“M=3S“，則%+O+2=3S,M，與上式作差后可得4打{an+2~an)=3(5/1-Sj=3%,

/、

1(11)

因為正項數(shù)列｛a.｝,所以4+2-。“=3,所以一--=~%+2-。八

a

44+23k冊冊+2Jn+2

因為q=1,anan+i=3Sn=>a1a2=3qn2=3,

_,1111'11+11+1111

所以-----1-----F…-I------二—

a

%4+2’n+2J

]_，1+11111(11)

lx14-------1-------

3、'n+l。"+2y33\an+lan+27

4(11)4

-------1-------

9\an+lan+29

4

所以實數(shù)M的最小值為一,

9

故選：B.

7.設方程3。加83%|=1的兩根為X],%2&<%2），則)

1

>—

A,0<x,<1,X2>3B.

x2

C.0<xyx2<1D.X]+%2>4

7.【答案】C

【解析】由3'?|log3x|=1可得|log3x\=^1

3

在同一直角坐標系中同時畫出函數(shù)y=|log3x|和yII的圖象，如圖所示:

由圖象可知，因為|log31|

所以0<%<1<%2<2,

所以1<石+%2<3故A,D錯誤;

lOg3)=1O§3芯+1O§3%2=mJ

、不、巧

]_

因為無1<尤2，所以>,所以lOg3(須/)<0,

13

737

1

所以0<X]X2<l,即看<一，故B錯誤，C正確.

故選：C

8.在棱長為2的正方體ABC。—A4Goi中，P,Q,R分別為棱BC,CD,CQ的中點，平面PQR截

正方體ABC。-A/GR外接球所得的截面面積為（）

,2任8

1-------兀BR.-71

33

【答案】D

【解析】取正方體的中心為。，連接OP,OQ,OR,

由于正方體的棱長為2,所以正方體的面對角線長為2夜，體對角線長為26，

正方體外接球球心為點。，洋徑R=L義2拒=6,

2

又易得OP=OQ=OR==夜，且PQ=PR=QR=；義20=0,

所以三棱錐O-尸然為正四面體，如圖所示，取底面正三角形PQR的中心為

即點。到平面PQR的距離為OM,又正三角形PQR的外接圓半徑為,

CMC_PQ___2九r-

由正弦定理可得上一sin60。—3，即所以

2

JOQ2_“Q2⑼2_

OM=------------------------------9

3

即正方體ABC。—44Goi外接球的球心。到截面PQR的距離為=2叵

3

所以截面PQR被球。所截圓的半徑=y/R2-OM22R25

rl3)

則截面圓的面積為兀，=g兀.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

91011

ABADBD

9.已知zeC,彳是z的共輾復數(shù)，則(

什l+3in,_-4-3i

A.若Z=『K，則2=---

1—3i5

B.若z為純虛數(shù)，則z2<0

若z—(2+i)>。，則z>2+i

D.若/={2||2+3943},則集合/所構(gòu)成區(qū)域的面積為6兀

9.【答案】AB

2

l+3i(l+3i)―4+3i._-4-3i

【解析】z=—,、一，所cr以z=---,故A正確;

l-3i(l-3i)(l+3i)5

由z為純虛數(shù)，PTT^Z=M(ZJGR,Z2^0),

所以z2=Z?i2,因為i2=—l且6/0,

所以z?<0，故B正確;

由z-(2+i)>0,-a+i(a>2),

因為z=a+i(a>2)與2+i均為虛數(shù),

所以二者之間不能比較大小，故C錯誤;

設復數(shù)Z=a+bi,a力eR,所以a+(Z?+3)i

由|z+3i|<3得4+優(yōu)+3）2<9,

所以集合M所構(gòu)成區(qū)域是以（0,-3）為圓心3為半徑的圓,

所以面積為9兀，故D錯誤.

故選：AB

TT

10.已知向量a在向量》方向上的投影向量為，且〃與Z?夾角:，則向量.可以

6

為（）

A.（0,2）B.（2,0）

10.【答案】AD

,,a-bA/3

【解析】由題設可得，故^=—，

bb2

V3

而卜|=2,1與Z?夾角故2_V3,故［=2,

116IM

4

cos卜力）=|^=孝，因卜,“?0,可，故,力）、，故A正確.

對于A,

對于B,cos卜力）,因卜,兀故故B錯誤.

costa?=4^=l,因卜力”[0,可，故（a,b）=0,故C錯誤.

對于C,

cos（a,*|^=#，因,6?0,可，故,6=個，故D錯誤.

對于D,

故選：AD.

2

11.已知拋物線C：y=2Px（p>0）的焦點為F,A（x1,y1）,B（x2,y2）,D（x3,%）為拋物線C上的任意三點

（異于坐標原點。），F(xiàn)A+FB+FD=0^且|E4|+|EB|+|EC>|=6,則下列說法正確的有（）

A.p=4

B.若貝U|FD|=|

c.設A,3到直線x=—1的距離分別為4，&,則4+4<|鉆|

111八

D.若直線A3,AD,5D的斜率分別為的B，左包，即》，則1+1+[=0

*AB^AD^BD

n.【答案】BD

【解析】對于A,因為A民。為拋物線上任意三點，且用+/3+即=0,

所以方為r.ABD的重心,

所以％+務+玉=4，%+%+%=。

又I，啊+|用|+|見|=西+々+七+與=6,即夕=2,故A錯誤；

對于B,延長FD交AB于點E,

因為P為,ABD的重心，所以|陽|=23耳，且尸是A3的中點，

因為“4LEB,在Rt_E4B中，有|AB|=2|EE|,所以|ED|=|AB],故B正確;

對于C,拋物線方程為丁=4%,所以拋物線的準線為x=-1,

所以A,3到直線x=-1的距離之和4+4=|剛+1，

因為RA,3三點不一定共線，所以|E4|+|EB|習

即4+d221As|，故C錯誤；

對于D,因為%2=4石，%2=4X2，

兩式相減，得：(x+%)(y一%)=4(%-%2)，

所以

3鼬4

同理可得左B?

%+%%+%

所以J-+J-+J-=2(X+%+%)

=0,故D正確

^AB^AD^BD/

故選：BD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.1f—2—1]展開式中/項系數(shù)為.

12.【答案】-115

【解析】由題意得卜2—2—1）可化簡為卜，

且其展開式通項為C[x2—2]（―球，左G{0,1,2,3,4,5}

其中對于21的展開式通項為CL（爐廠（一2）?]<_<2）"。”,

re{0,l,2,,5-k},

當左=1/=2時，止匕時10—2左一3廠=2,則/的系數(shù)為—120,

當左=4,r=0時，止匕時10—2左一度=2,則/的系數(shù)為5,

所以/項系數(shù)為—120+5=—115.

故答案為：-115.

22

13.已知橢圓。：=+3=1（。〉6〉0）的左、右焦點分別為耳，B，尸是C上一點，且尸乙，月鳥，H

ab

是線段尸耳上靠近鳥的三等分點，且0〃?期=0,則。的離心率為.

^6—\/2

13.【答案】

2

【解析】由題意，不妨設點尸在第一象限，如圖.

a+Ca+C

因為P互，片工，貝1］忸叫=名，\pF\=2a-—=,\HFl\=-\PFi\=

aaa33a

因為OH.尸￡=0,則OH，尸耳，可知△尸耳

a2+c2

則\F用.E\二扁\HE\’即三2C口二%士'整理得/一如L

a

由e=9得/—必+1=0,解得e二逆二亙或e二隨衛(wèi)〉1（舍去）,

a22

所以。的離心率為近二史

2

故答案為：丁.

14.隨著自然語言大模型技術的飛速發(fā)展，ChatGPT等預訓練語言模型正在深刻影響和改變著各衍各業(yè).為了

解決復雜的現(xiàn)實問題，預訓練模型需要在模擬的神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)中引入激活函數(shù)，將上一層神經(jīng)元的輸出通

過非線性變化得到下一層神經(jīng)元的輸入.經(jīng)過實踐研究，人們發(fā)現(xiàn)當選擇的激活函數(shù)不合適時，容易出現(xiàn)梯

度消失和梯度爆炸的問題.某工程師在進行新聞數(shù)據(jù)的參數(shù)訓練時，采用=作為激活函數(shù)，為

了快速測試該函數(shù)的有效性，在一段代碼中自定義：若輸x的x滿足|/（%+1）-/（尤）|<。則提示“可能出現(xiàn)

|小+1)|

梯度消失”，滿足〉人則提示“可能出現(xiàn)梯度爆炸”，其中。表示梯度消失閾值，6表示梯度爆炸間

值.給出下列四個結(jié)論:

①“X）是R上的增函數(shù)；

②當6=e時，3xeR,輸入x會提示“可能出現(xiàn)梯度爆炸”；

③當a=e-5時，Vx>5,輸入x會提示“可能出現(xiàn)梯度消失”;

@Vtz>0,3xeR,輸入x會提示“可能出現(xiàn)梯度消失”.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

14.【答案】①③④

【解析】對于①：因為“力的定義域為R,

且丁=1+-工在R上單調(diào)遞減，所以/(九)是R上的增函數(shù)，故①正確;

對于②：因為/(^^^^^。對任意^6區(qū)恒成立，

1

l+e-x

且y=e'.是R上的增函數(shù)，則e>i<e^2，即eA+1>ex+2無解，

所以不存在xeR,輸入x會提示“可能出現(xiàn)梯度爆炸"，故②錯誤；

對于③④：因為“可是R上的增函數(shù)，則/(%+1)>/(力，即/(x+l)-/(x)>0,

?1+e-W1+exex+lex+1+l

令g(x)=e，+l*+l'

￥2x+1

e-v-e(e-l)(e-l)

則如"一(八尸上+廣(e，+l)2+l)2

(i>

令〃(x)=e2x+i—l,則力(九)在R上單調(diào)遞增，且/z——二0,

I2J

當x〉一；時，/z(%)>0,即g'(x)<0,可知g(x)在，

上單調(diào)遞減;

當x<—；時，/z(%)<0,即g，(x)>0,可知g(x)在，。。，-g］上單調(diào)遞增；

貝}=j]=「，

\2)---

P.241p2_|_1v丫e+1

且當X趨近于+C0或Y0時，g(x)趨近于0,

/廠

所以g(x)的值域為°，51m

所以對Va>OJxeR,輸入彳會提示“可能出現(xiàn)梯度消失”，故④正確；

因為g(x)在[5,內(nèi))上單調(diào)遞減，則8⑴^8⑸二士^-亞匕，

1065

11_5e+e+e+1

且寸寸一乖砸可皿即且⑴中對任意Q5恒成立，

所以當a=e<時，Vx>5,輸入x會提示“可能出現(xiàn)梯度消失”，故③正確；

故答案為：①③④.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)已知函數(shù)/'(x)=at+—.

er

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若直線丁=1與曲線>=/(元)相切，求”的值.

15.(13分)

【解析】⑴”力的定義域為R,/'(x)=a—e,

c

當aWO時,_f(x)<O,〃x)單調(diào)遞減;

當a>0時，令/=得x=-lna,(3分)

當xe(—oo,Tna)時，/'(九)<0,/(%)單調(diào)遞減；

當XG(-lna,+8)時，/(%)單調(diào)遞增.

綜上，當aWO時，在R上單調(diào)遞減；

當a>0時，/(%)在(一8,Tna)單調(diào)遞減；在(—Ina,+8)上單調(diào)遞增.(7分)

(2)由(1)知，/'(x)=a--,

設切點(不，/(%))，則/'(%)=。--[=0，

易知a>0,故/=-lna.(10分)

又即=L將犬o=-ln〃代入，得Q—“l(fā)na—l=6

C

設/z(x)=x-xlnx-l(%>0),則〃'(％)=-lnx.

令〃'(x)=0,即一lnx=O,解得x=l,

當xe(0,1)時,h(x)>0,人(%)單調(diào)遞增，

當xe(l,+e)時,//(x)<0,人(x)單調(diào)遞減,

所以/z(x)W/z(l)=l—Ixlnl—1=0,

綜上，a—\.(15分)

16.(15分)短視頻已成為當下宣傳的重要手段，東北某著名景點利用短視頻宣傳增加旅游熱度，為調(diào)查某

天南北方游客來此景點旅游是否與收看短視頻有關，該景點對當天前來旅游的500名游客調(diào)查得知，南方

游客有300人，因收看短視頻而來的280名游客中南方游客有200人.

(1)依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，根據(jù)小概率值統(tǒng)=0.001的獨立性檢驗，分析南北方游客來此景點旅

游是否與收看短視潁有關聯(lián)：單位：人

短視頻

游客合計

收看未看

南方游客

北方游客

合計

(2)為了增加游客的旅游樂趣，該景點設置一款5人傳球游戲，每個人得到球后都等可能地傳給其余4人

之一，現(xiàn)有甲、乙等5人參加此游戲，球首先由甲傳出.

(i)求經(jīng)過i次傳遞后球回到甲的概率；

(ii)記前加次傳遞中球傳到乙的次數(shù)為X，求X的數(shù)學期望.

2

參考公式：力2=.+皈n+(a0d(-。be+}力9+4其中…+”。+小4?T13?/(；、)

附表:

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

16.(15分)

【解析】（1）將所給數(shù)據(jù)進行整理，得到如下列聯(lián)表:

短視頻

游客合計

收看未看

南方游客200100300

北方游客80120200

合計280220500

零假設“0：南北方游客來此景點旅游與短視頻無關聯(lián).（4分）

500x(200x120—80x100)28000

2

Z“34.632〉10.828=aooi

300x200x280x220231

根據(jù)小概率值已=0.001的獨立性檢驗，我們推斷“。不成立，

即認為南北方游客來此景點旅游與收看短視頻有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001（7分）

（2）（i）設經(jīng)過i次傳遞后回到甲的概率為［,

e==-處2）,

又q-2=-gw0，

所以1片―是首項為—g,公比為一;的等比數(shù)列，

所以—.（10分）

（ii）（方法一）

設第i次傳遞時甲接到球的次數(shù)為X，則X服從兩點分布，石（匕）=￡，

設前m次傳遞中球傳到甲的次數(shù)為Y，

、

+p

E（Y）=E；=工石（匕）=片+6+片+m

7i=l

m

1-m.

m14m4

-------x一=——xH--------------

551+125525

4

因為E（X）=---------，所以E（X）=一+------x（15分）

4'/52525

（方法二）

設第i次傳遞時,乙接到球的概率和次數(shù)分別為分與Xj,則X,服從兩點分布,

E（X,）=q，由題可知z=；（l_q,T），=

\1所以是首項為白1，公比為一:1的等比數(shù)歹U,

又名=],所以一弓

乙20UIJJ/2U0"~4r

1111

—=—x，Qi=--------x

1520z55

（mmm

E（X）=E=￡E（X,）=Z蟲=不

k/=li=li=l

,,mil

故￡（X）=一+-------x（15分）

―52525

17.（15分）如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABC。是矩形，_S4D是正三角形，且平面平

面ABCD,AB=1,P為棱AD的中點，四棱錐S-ABCD的體積為友.

3

s

（l）若石為棱的的中點，求證：巫//平面SCO；

（2）在棱&4上是否存在點使得平面。/08與平面5AD所成夾角的余弦值為拽？若存在，求出線段

5

AM的長度；若不存在，請說明理由.

17.（15分）

【解析】（1）取SC中點八連接班E,尸分別為甌SC的中點，

：.EFBC,EF=-BC,,底面四邊形ABCD是矩形，P為棱A。的中點，

2

PD//BC,PD=-BC,：.EF//PD,EF=PD,

2

故四邊形？EED是平行四邊形，二。石〃立）,

又?￡0匚平面5。0,。石仁平面88,.?.。石〃平面50（6分）

（2）假設在棱S4上存在點/滿足題意，如圖：連接SP,MP，MB，

在等邊AS4O中，P為A。的中點，所以

又平面平面ABCD,平面5Aoe平面ABCD=A￡>,SPu平面SW,

.?.SPL平面ABCD,則SP是四棱錐S-ABCD的高，

設AD=皿加>0），貝”P=巧加,5矩形根，

'V四棱錐s-ABCD=；S矩形ABCD,SP=；WIX9機=2^'所以根=2,（9分）

以點尸為原點，PA,AB,PS的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則尸(0,0,0),A(l,0,0),3(1,1,0),S(0,0,3),

故PA=(l,0,0),P3=(l,l,0),AS=bl,0,6b

設AM=2AS=(—40,后)(0<；1<1),

PM=PA+AM=(1-2,0,732),

設平面QMS的一個法向量為％=（%,j,z）,

n,.PM=(l-2)x+V32z=0,

則,)所以可取勺=

nx-PB=x+y=0,

易知平面&4。的一個法向量為%=（0,1,0）,（12分）

/-巧叫卜屈|2A/3

COS（%,%）=n=~/=-----

'/耳,222+15

2I.1[dV24

0</I<1,A=—,/.AM=AM=J—I-0H----=—，

3??\993

4

故存在點M,AM=§滿足題意.（15分）

2

18.（17分）已知動點P與定點A（〃0）的距離和P到定直線彳=上的距離的比為常數(shù)以.其中

mn

m>Q,n>Q,且加。打，記點尸的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說明軌跡的形狀；

（2）設點8（一口,0）,若曲線。上兩動點M,N均在x軸上方，AM3N,且AN與相交于點。.

L11

①當根=2后,〃=4時，求證：w可+網(wǎng)的值及"Q的周長均為定值；

②當機〉”時，記-A3Q的面積為S,其內(nèi)切圓半徑為小試探究是否存在常數(shù)4,使得S=2廠恒成立?

若存在，求4（用以”表示）；若不存在，請說明理由.

18.（17分）

yl（x-m）2+y2_m

【解析】（1）設點P（蒼y）,由題意可知U=7,

X-----

m

C\222

即（x—%）2+y2=—,經(jīng)化簡，得。的方程為二+J,=1,

I“）n~n~-m~

當W7Y”時，曲線C是焦點在X軸上的橢圓；

當機〉”時，曲線C是焦點在X軸上的雙曲線.（3分）

（2）設點〃（石，％）川仁,為），”（%3，%），其中％>0，為〉0且七=一々，%=一%，

22

（i）由⑴可知C的方程為%+鼻-=1,A（20,O）,網(wǎng)—2&,0）,

H%一%為

因為AM//5N,所以ETET五三萬=二^,

因此，三點共線，且叫N|=，卜+2拒『+貨=/—（―2夜『+（—%『=|3'卜（6分）

（法一）設直線W的方程為x=/>+2夜，聯(lián)立。的方程，得仁+2卜2+4&；-8=0,

4萬8

貝”%+%=—

一一7+2

由⑴可知畫=手卜黑卜4—昌，忸N|=|AM[=4一條,

11\AM\+\BN\

所以-----1---------=J-----------!

\AM\忸N||AM|-|BA^|

4--2^(%+%)

4-0/(%+，3)+2/%>3

11

所以府+網(wǎng)為定值L（9分）

\AM\2V24

（法二）設NM4%=，，則有~,解得AM=——j=-

2y/2-\AM\cosO4112+acos6

\AM'\2V214

同理由.A；1_，解得=~7=~

2V2+\AMJCOS042-J2cos，

▼,11112+&COS。2-亞cos0.

所以i----r+1——r=1-----+,------=--------------+--------------=1,

\AM\忸N|\AMr\\AM'\r44

所以向+扁為定值L⑴分）

由橢圓定義忸Q|+|QM|+|阿=8,n\QM\=8-\B^-\AM\,

AM//5N.嘰皿8-1*回

（8TM）?研（￡^2^

解得忸

Q|=\AM\+\BN\'同可何?QI一下宿行'

（8-|BA^|）-|AM|（8-|AM|）.忸N|S（\AM\+\BN\）-2\AM\-\BN\

所以|AQ|+忸Q|=+

\AM\+\BN\\AM\+\BN\|AM|+|BA^|

=81——-——?—=8—2=6

\AM\+\BN\

因為|AB|=4及，所以，ABQ的周長為定值6+4行.（9分）

（ii）當機〉”時，曲線。的方程為=1,軌跡為雙曲線,

nm2—n2

根據(jù)（i）的證明，同理可得M,AM'三點共線，且忸N|=|4W[

（法一）設直線MM'的方程為％=sy+m,聯(lián)立。的方程,

得[(加2_〃2,2_/],2+2sm(ni2_〃2)y+(加2_/)二0,

2

2sm(m1—n2m2—n2

?,?%+%=一」——,(*)

m2—n2m2—n2s2—2n

c

因為|AA/j=Z玉—=—Xj-n,\BN\=\AM'\=—x3-n,

mJnn

、]1_1i+

所以IAM廣函-MM+IAM]―|AM|-|AM,|

2

m5%%+-------#—(*+%)+

nn2

112〃

將（*）代入上式,化簡得甌+面TE（13分）

\AM\m

22

(法二)設ZMAx=e,依條件有7―