浙江省2024年普通高考適應性測試

數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標

號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將

答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.中，48=5,BC=6,CA=7,則AA8C的面積為（）

A.6aB.6GC.376D.3g

2.已知％，"為兩條不同的直線，％?為兩個不同的平面，對于下列四個命題：

①機uucz,加〃","〃夕=>a〃,；@nl/m,nua=>加〃cn；

③a11/3,mua,nu0=mIIn；@m//a,nuan加//〃.

其中正確命題的個數有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

3.下列說法正確的是（）

A.若隨機變量則。（〃）=3

B.若隨機變量J~N（2Q2）,且尸（自<4）=0.8,則尸（2<自<4）=0.4

C.一組數據11,12,12,13,14,15,16,18,20,22的第80百分位數為19

17P（8）=g,則事件/與事件2相互獨立

D.若尸（/c5）=§,尸（/）=§，

4.設￡是非零向量，入是非零實數,則下列結論中正確的是（）

A.Z的方向2a的方向相反B.|-2tz|>|tz|

C.々與外々方向相同D.卜42囚a

5.已知sina+costz=g,0<a<7r,則J^sin（a-g）的值為

4

6.在某班進行的演講比賽中，共有6位選手參加，其中2位女生，4位男生，如果2位女生不

能連續(xù)出場，且女生不能排在第一個和最后，則出場順序的排法種數為（）

A.120B.144C.480D.90

4；v2

7.已知過原點且斜率為；的直線/交雙曲線下-2=1（。>0/>0）于M,N兩點，點廠是雙曲線

3ab-

的一個焦點，若赤.赤=0，則雙曲線的離心率為（）

A.V5B.V3

C.2D.V2

8.已知數列｛《,｝滿足%=1,且weN*,貝1］（）

+1

A.a5oB，?

c.D.a50e

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數〃x）=/sin（s+。）［/>0,。>0,時的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的

5兀2劃111712左兀

-----1------,------1-------,keZ

183183

29兀

x=--

18

是/（X）圖象的一個對稱中心

10.四邊形45c。內接于圓。，AB=CD=5,4D=3,/BCD=60°,下列結論正確的有

四邊形45。。為梯形

四邊形48CD的面積為旦8

4

圓O的直徑為7

人ABD的三邊長度可以構成一個等差數列.

11.已知正方體/5CD-4片GA的棱長為1,建立如圖所示的空間直角坐標

系4-孫z,則下列說法正確的是（）

A.點2到直線4c的距離為@B.點4到平面4臺。的距離為由

23

C.若點尸(XJ,2)在直線4。上，貝！Jx=y=l—ZD.若點尸(x,y,z)在平面45。內，則X—y+z=l

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

4964

log3-log2

2325627

13.已知函數/(%)=」1nx,g(x)=—X+Q,若函數/(x)=/(x)—g(x)有三個零點

—x~-x+4,xW0

%,馬,馬，則%?馬?馬的取值范圍是.

14.如圖，邊長為1的正三角形N3C的邊NC落在直線/上，/C中點與定點。重合，頂點8與

定點尸重合.將正三角形N3C沿直線/順時針滾動，即先以頂點C為旋轉中心順時針旋轉，當頂

點3落在/上，再以頂點8為旋轉中心順時針旋轉，如此繼續(xù).當滾動到△/4G時，頂點

8運動軌跡的長度為;在滾動過程中，礪.麗的取值范圍為.

P⑻

A0C

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.(13分)已知函數/(x)=xlnx+ax+6在(1,7■⑴)處的切線為2x-2y-l=0.

(1)求實數的值；

(2)求/(x)的單調區(qū)間和最小值.

16.(15分)如圖，三棱柱NBC-44G的側棱與底面垂直，/C=3C,點。是N2的中點.求

證：

ClBl

(1)/￡〃平面。叫

(2)平面CDB[_L平面4BB出.

17.(15分)考查黃煙經過培養(yǎng)液處理與是否跟發(fā)生青花病的關系.調查了1633株黃煙，得到

如表中數據，請根據數據作統計分析:

培養(yǎng)液處理未處理合計

青花病30224254

無青花病2413551379

合計5415791633

Pg>k)0.050.010.0050.001

k3.8416.6357.87910.83

附：K、〃(〃—歷)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

18.(17分)已知函數/(x)=ax—lnx—3.

(1)當°=1時，求函數/(x)在點(1,-2)處的切線方程；

(2)若函數"X)在xe［「,e］上的圖象與直線＞=［0故1)總有兩個不同交點，求實數。的

取值范圍.

19.(17分)同余定理是數論中的重要內容.同余的定義為：設a,beZ,%eN*且〃＞1.若

機|(。-6)則稱a與6關于?！?？同余，記作a=6(modm)(“『'為整除符號).

(1)解同余方程必一x=0(mod3)；

⑵設(1)中方程的所有正根構成數列｛%｝,其中為＜出.

①若(〃eN*),數列｛?｝的前〃項和為邑,求Szg；

②若%=tang”+「tana2i(neN*),求數列匕｝的前"項和北.

參考答案：

1.A

【分析】利用余弦定理求出COSB的值，利用同角三角函數的基本關系求出sine的值，再利用三角形的面積

公式可求得043。的面積.

【詳解】由余弦定理可得cos3=----------------=-----------=—，則8為銳角，

2ABBC2x5x65

故sin2=A/1-COS2B==~~，

因此，口ABC的面積為=gA21CsinC=；x5x6x孚=6

故選：A.

2.A

【分析】根據線、面位置關系結合線、面平行的判定定理分析判斷.

【詳解】對于①：因為面面平行的判定定理要求九，相交，若沒有，則d尸可能相交，故①錯誤；

對于②：因為線面平行的判定定理要求根也若沒有，則可能根ua,故②錯誤；

對于③：根據線、面位置關系可知：加〃"，或九〃異面，故③錯誤；

對于④：根據線、面位置關系可知：加〃"，或九"異面，故④錯誤；

故選：A.

3.C

【分析】對A,根據二項分布的方差公式求解即可；對B,根據正態(tài)分布的對稱性求解即可；對C,根據百

分位數的定義判斷即可；對D,根據對立事件的概率公式，結合事件A與事件8相互獨立事件滿足

P（A8）=P（A）P（8）判斷即可.

【詳解】對A,￡>（〃）=皿（1一p）=12x：x：=j,故A錯誤；

對B,若隨機變量"N（2,〃），且尸偌<4）=0.8,貝1|尸（2<J<4）=P《<4）一P管<2）=0.8—0.5=0.3,故

B錯誤；

對C,數據組共10個數據，故第80百分位數為從小到大第8,9個數據的平均數，即曳#=19,故C正

確；

711

對D,P（A）=-,P（B）=-,故尸（Ac5）=§W-（A）P（5）,故事件A與事件5不相互獨立，故D錯誤;

故選：C.

4.C

【分析】根據數乘向量運算的定義判斷各選項.

【詳解】對于A,當；1>0時，々與彳,方向相同，因此A不正確；

對于B,|4|<1時，卜彳司<”,因此B不正確；

對于C,因為所以2與同向，C正確；

對于D,|花|是實數，/我是向量,不可能相等.

故選：C.

5.B

【詳解】since+cosa=j,0<or<^,貝!Jsinor>°,cose<0,(sina+cosap=*-2sinacostz=-￡,故

V2sin[a-?)=sina-cosa=J(sina-cosa.=Jl-2sinacosa=：

選B

6.B

【分析】先排4位男生，再在他們形成的間隔(除兩端)插入兩個女生即可得解.

【詳解】計算出場順序的排法種數需要兩步：第一步，排4位男生有閡種，第二步，在4位男生形成的中

間間隔中插入2位女生有可種，

由分步乘法計算原理得禺&=24.6=144,

所以出場順序的排法種數為144.

故選：B

7.A

【分析】通過對稱性以及數量積與垂直的關系可得口兒小尸是直角三角形，|。加|=。，由題意可設出

代入雙曲線方程可得關于“，c的齊次式，進而可得結果.

【詳解】設坐標原點為。，雙曲線的另一個焦點為尸'，連接M廣，NF',

由對稱性知刊=|。廣叫=|CW|,所以四邊形k是平行四邊形，

又礪?標=0，所以四邊形是矩形，

故UMEF’是直角三角形，|OM|=；|a[=c.

不妨設點M在第一象限，直線/的傾斜角為

443

貝（jtan6=§,sin,cos,

則點”（ccosdcsing）,即.

又點M在雙曲線上，所以巴二一空=1,BP9/-50e2+25=0,

25/25bl

BP（e2-5）（9e2-5）=0,又e>l,所以/=5,e=也，

故選：A.

【點睛】本題是求解雙曲線離心率的問題，解決本題的關鍵是由已知條件建立關于。，c的等式，解題時,

應善于從題目給出的條件中挖掘幾何元素間的關系，然后將這種關系用含。，。的等式表示，即可求得離心

率.

8.B

【分析】根據題意求出的=:，判斷出數列｛%｝遞減，且0<%vi,再對。用=97兩邊取倒數，然后平方

2+1

z\2/\2z\2z、2

整理得_L_1=2+片，再利用單調性進行放縮，可得出當”23時，2<---<2+-,結

a4

\n+J

合不等式的性質即可得解.

【詳解】an+\=」[,%=1,

見+1

1dI

%=5，4產。，則^=

乙Unun1

>0,

.?.。<乎<1,即數列｛風｝遞減，則0<%Vl,

...=^L_

?^n+l2,1，

4+1

]]（V（V（\2z\2

?，.兩邊取倒數得=一+。〃，即」一=—+2+〃；，貝！J二---=2+〃；,

"〃+10rlIan+lJ\an）Ian+\JIgJ

?.?數列｛七｝遞減，

z\2zx2

...當〃=2時，2<2+肥=2+工，BP2<--—=2+-；

4⑷⑷4

當“23時，2<2+。；<2+出2=2+工，BP2<f—-f—<2+-,2<f—-W<2+-,

4（aj⑷4⑷（a"4

1

<2+

an+\7\anJ4

（i丫<(2+448,即100<"]<112<121,

???根據不等式的性質可得2X48<—

\a5Q）a

2)\4JI“50J

?11

??---<<----.

115010

故選：B.

9.ABC

【分析】由題可知A=3,4=［解得0=3,又占3在〃x）=3sin（3x+9）的圖象上，結合時<T得夕=《

23\lo

得〃x）=3sin即可判斷A；根據三角函數的性質可判斷B、C、D.

【詳解】由題可知4=3,]=工-[-馬=J,所以7===0,解得0=3,

2lokloyJ3CO

在的圖象上，所以3=3sin（g+。

所以/(x)=3sin(3x+0),又

所以r+°=g+2憂4eZ,所以o=-g+2E,4eZ,又所以。=-々，

所以f(x)=3sin(3x-1故A正確；

4-+2fai<3x--<—+2far,A：eZ,m#—+—<x<—+—eZ,

232183183

57i2防i1IK2kli

所以〃x）的單調減區(qū)間為---1----,----1----,keZ,故B正確;

183183

令3x—二二四+E#wZ,解得工二三+生歡wZ,當％=4時，x=—,故C正確;

3218318

令3尤一:=E/eZ,解得x=]+9,左eZ,令]+?=?，笈eZ,貝=故D錯誤.

故選：ABC.

10.ABD

【分析】直接利用余弦定理，三角形的面積公式，圓的內接四邊形性質，和等差數列的證明對選項逐一判

斷即可.

(詳解】AB=CD=5,AD=3,ZBCD=60°/BAD=120°

連接AC,2D,由AB=CD可得=又因為NAB￡>=NACD,所以口24。W]CZM(AAS)

/BAD=ZCDA=120°

ZBCD+ZCDA=180°，BC//DA

顯然AB不平行CD即四邊形ABCD為梯形，故A正確；

在AABD中，BD-=AB-+AD2-2AB?A。cos120°=5?+3?一2x5x3x1-』=49

在ABCD中由余弦定理可得BD2=CB2+CD2-2CBCDcosZBCD

.〔72=CB2+52-2x5xCBcos60。解得CB=8或C8=-3(舍去)

11

:.SnKAn=AB-ADsin120°=x5x3x—==-CB-CDsin60°=-x5x8x—=^l

aBAD22242224

SABCD=SlBCD+SuBAD=+竺Yi=史1故B正確

ADCZ/LDCZJUBAD444

在口54￡)中由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB-AZ)cosABAD

.-.BD2=52+32-2x5x3cos120°=49BD=7.?.圓的直徑不可能是7,故C錯誤；

在△A3。中，AO=3,AB=5,BD=7,滿足+=

&A5O的三邊長度可以構成一個等差數列，故D正確.

故選：ABD

11.AB

\D,A-n\——..

【分析】由題意對于A,可由等面積法驗算；對于B,由dJ：?即可驗算;對于C,由AP=(x,y,z

\n\

與京=(1,1,-1)共線即可驗證；對于D,由力?4?=尤+y+(z-l)=0即可驗證.

由題意A(0,0,1),c(l,1,0)W(0,1,1),8(1,0,0),。(0,1,0),

所以麻=(LOT),取=(0,-l,0)，4C=(1,1,-1),

若點P(x,y,z)在直線4c上，則乖=(x,y,z-l),

由印=(x,y,z-l)與“=共線可得x=y=l-z,故C正確；

又瓦?9=0,所以RCLRA，

M|^C|=V2,|^A|=I,|AC|=V3,

不妨設點。到直線4c的距離為h,

由等面積法有1*lx亞=：*&x/2,解得力=逅，故A錯誤；

223

踵=。,0,-1),麗=(0,1,-1),不妨設平面\BD的法向量為n=(%,y,z),

[x-z=0/、

則令z=l,解得x=y=l,即取平面48。的法向量為力=1,1』，

[y-z=0

若點P(無,y,z)在平面A3。內，則4尸=(無,y,z-i),

所以否?%?=尤+y+(z-l)=0,即x+y+z=l,故C錯誤；

又萬耳=(0,-1,0),

故選：AB.

12.-1

【分析】利用指數累的運算性質和對數的運算性質計算即可求解.

［詳解］原式二］—22】叫

=l-221og43+—+—

1616

=1-3+1

二—1.

故答案為：T.

13.r5,。］

C241111111.

?一■_?_、，,,,12<〃=—%+4=—lnx,+x7H---=In1----1—--=InH----W4

【分析】由題后首先得ae(2,4］,x2x2x2J_x3進一

x2

步有x2x3=1,由此即可順利得解.

【詳解】由題意設Mx)=/(x)+x,則函數歹(x)=〃x)-g(x)的零點即為方程“x)=a的根，

在同一平面直角坐標系中分別畫出函數可力的圖象以及直線V=。如圖所示：

若函數尸(x)=〃x)-g(x)有三個零點占(不妨設為再</<三)，

則方程/z(x)=a的根有三個根占，尤2，%，且石<1<尤3，

所以ae(2,4］,

c2,,1,111,1」“

2<〃=-石+4=—In^2+%2=In1---1—--=In七+毛-4

且x2x2x2x3,

x2

1/\1

因為y=lnx+x+—在(1,+s)單調遞增，所以迅=一,即左毛=1，

X々

所以玉?九2“3=石，

令2=〃=—f+4,x<0,解得％=—血,令4=〃=一一+4,%<0,解得x=0,

所以再f飛=為式一挺

故答案為：(-72,0].

【點睛】關鍵點睛：關鍵是根據函數單調性得到々鼻=1,由此即可順利得解.

14.3]叵

32

【分析】根據題意可知，點3的軌跡為兩個圓心角都為之2〃的圓弧和一個點，即可求出點3的軌跡長度，分

3

別求出點B在滾動的過程中縱坐標的范圍，求出點即可求解.

【詳解】根據題意可知，點3的軌跡為兩個圓心角都為士2萬的圓弧和一個點，且圓弧的半徑為1,

3

24

所以頂點3運動軌跡的長度為2xlx§?,

p]o,中j,OP=0,^,設則礪=(x,y)

所以歷?而=@y,

2

滾動的過程中B的縱坐標y滿足owyW1,

―?—?G「6

所以。5?。尸=事》￡0,^-,

故答案為：.

.j乙

d=0(、

15.(1),1；(2)小)的單調減區(qū)間為0-，/(無)的單調增區(qū)間為化+』，/Wmn=1--.

b=—\e)j2e

[2

【分析】(1)求出函數的導數，計算「⑴，/⑴可求出。，b的值；

(2)求出函數的解析式，求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；進而可求

得函數的最小值.

【詳解】(1)v/(x)=x\nx+ax+b,/(x)=lnx+tz+1

又?.?函數/(%)在(11(1))處的切線為2x-2y-l=0,/⑴=1,

7，(l)=a+l=la=Q

;1，解得：，

f(l)=a+b=-b=-

、乙2

(2)由(1)可得：/(x)=l+lnx,

當xe，,：時，f'(x)<0,/(x)單調遞減；

當xe1[,+oo|時，f'(%)>0,/(x)單調遞增，

f(x)的單調減區(qū)間為10,口，f(x)的單調增區(qū)間為g,+8

【點睛】該題考查的是有關導數的問題，涉及到的知識點有根據切線方程確定參數的值，應用導數研究函

數的單調性和最值，屬于簡單題目.

16.(1)證明見解析

⑵證明見解析

【分析】(1)作輔助線連接C0,設C耳與G8的交點為E,連接DE,利用三角形中位線證明。E〃AG，

根據線面平行的判定定理證明結論；

(2)證明再證明COJ.AB,根據面面垂直的判定定理即可證明結論.

【詳解】(1)證明：連接CR,設C片與68的交點為E,連接。E,則E為BQ中點，

因為點。是的中點，所以DE〃AG，

因為DEu平面CDB「AC}U平面CDBt,所以AQZ7平面CDBt.；

(2)證明：在三棱柱ABC-AgC]中，

因為3耳_L平面ABC,CDu平面ABC,

所以

又AC=BC,點。是AB的中點,

所以CD_LAB.

因為BBtcAB=B,BBt,ABu平面BB.AiA,

所以C。，平面

又CDu平面CDBl,所以平面CDB11平面ABB^.

17.有99.9%的把握認為黃煙經過培養(yǎng)液處理與是否跟發(fā)生青花病是有關系的.

n^ad-bc^

【詳解X試題分析】先依據題設中的22列聯表中的數據,運用公式片=

(〃+Z?)(c+d)(〃+c)(b+d)

計算出K?『33x(30x1355-224X24)：68,033,

再與參考數據表中的數據進行比對與分析進行

254x1379x54x1579

推斷:

則有K=_______"(ad_bc『___1_6_33x(30x1355-224x24)

解：根據公式,----------------------L=68.033.

(〃+b)(c+d)(〃+c)(Z?+d)254x1379x54x1579

68.033>10,828,

???說明有99.9%的把握認為黃煙經過培養(yǎng)液處理與是否跟發(fā)生青花病是有關系的.

5O

18.(1)y=-2；(2)-<a<e

e

【分析】(1)把，=1代入函數解析式，求出函數在x=l出的導數，可得函數兀V)在點(1，-2)處的切線方程；

(2)求出原函數的導函數，分和〃〉0討論，當a>0時由導函數在不同區(qū)間的符號得到原函數的單調

性，從而求出函數在區(qū)間［e，e］上的最小值點，由題意列出不等式組，可得。的取值范圍.

【詳解】(1)當。=1時，/(x)=x-lar-3,f\)=l--,：.f'(l)=0,

xX

???函數/⑺在點a-2)處的切線方程為：尸-2；

(2)由/(x)=〃x—lnx—3,得尸(x)=a-L

x

當〃=0時，/(%)=—在工￡N飛］上單調遞減，不滿足題意；

當。<0時，八=在X￡心力］上恒小于0,函數在無￡卜-4向上單調遞減，不滿足題意；

當〃〉0,由廣(x)=a一工二竺一^=0可得%=工,

xxa

當或I'e時，—5)20或70)40,函數〃x)=axTnx-3在xe［e