臨澧一中2022屆高三數(shù)學(xué)解答題突破專項(xiàng)訓(xùn)練解析幾何07（與切線有關(guān)的問題）1．設(shè)橢圓上的任意一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)，上頂點(diǎn)為．（1）當(dāng)上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率時(shí)，求的最大值；（2）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，直線與軸和軸的交點(diǎn)分別為和，求面積的最小值．2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線．（1）寫出過雙曲線的左頂點(diǎn)且與雙曲線兩條漸近線平行的直線方程；（2）設(shè)是的左焦點(diǎn)，是右支上一點(diǎn)．若，求過點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，若與圓相切，求證：．3．過點(diǎn)的任一直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，且．（1）求的值；（2）已知，為拋物線上的兩點(diǎn)，分別過，作拋物線的切線和，且，求證：直線過定點(diǎn)．4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為1的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．（1）求的方程；（2）已知，，若在線段上，，是拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為，，求面積的最大值．5．如圖，已知拋物線，斜率為1的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，，過，分別作拋物線的切線，交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）已知為拋物線的焦點(diǎn)，連接，，，記面積為，面積為，記面積為，求的最小值．6．已知為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，，且的中點(diǎn)為．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若、是軌跡上的兩不同動(dòng)點(diǎn)，且，分別以、為切點(diǎn)作軌跡的切線，設(shè)其交點(diǎn)為．①證明：為定值；②求的面積的最小值．參考答案1．（1）因?yàn)樯享旤c(diǎn)坐標(biāo)為，離心率，則，解得，所以橢圓的方程為，設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，的最大值為；（2）設(shè)，，，，，，由題意可知斜率存在，且不為0，所以，則直線和的方程分別為，，因?yàn)辄c(diǎn)在和上，所以有，，則，兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，所以直線的方程為，可得和，所以，因?yàn)椋?，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，故面積的最小值為．2．（1）雙曲線，所以，雙曲線的左頂點(diǎn)，漸近線方程為，漸近線的斜率為，所以過雙曲線的左頂點(diǎn)且與雙曲線兩條漸近線平行的直線方程，即或；（2）雙曲線左焦點(diǎn)，設(shè)，則，由點(diǎn)是右支上的一點(diǎn)，可知，所以，得，所以，；（3）證明：設(shè)直線的方程為，因直線與已知圓相切，故，即①，由，得，設(shè)，，，，則，，又．所以．由①式可知，所以，．3．（1）依題意可設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，由得，可得，，因?yàn)椋从?，，則，（2）證明：設(shè)，，，，由（1）可知，，則在，處的切線的斜率分別為，，，，即，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，，，，，直線過定點(diǎn)．4．（1）設(shè)點(diǎn)，，，，則，．直線的斜率為1，，把、的坐標(biāo)代入拋物線方程，可得，兩式作差得，，即，，即，得．拋物線的方程為；（2），，在線段上，，且．設(shè)，，，，則切線，的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，可得．，即，則，切線的方程為，即；同理可得切線的方程為．又點(diǎn)在切線、上，，得直線的方程為，即．聯(lián)立，得，．又點(diǎn)到直線的距離，．，，，則．即面積的最大值為．5．（1）直線的斜率為1，故可設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，，，聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：，化簡可得，由已知方程有兩個(gè)不同的解，方程判別式△，即，，，，，切線的方程為，又，切線的方程為，①同理切線的方程為：，②①②可得，，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．（2）直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離，則，，又，同理，設(shè)點(diǎn)到直線的距離，則，又，，，，設(shè)，則，，設(shè)，則，令可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)時(shí)，，，的最小值為．6．（1）設(shè)，則又．點(diǎn)的軌跡（2）由題意，，三點(diǎn)共線且斜率存在．設(shè)，，則由∴