無窮級數(shù)與函數(shù)迫近

孫永健制作二○○四年二月第1頁

無窮級數(shù)與函數(shù)迫近

級數(shù)和演示

函數(shù)冪級數(shù)展開

傅立葉級數(shù)第2頁定義稱為級數(shù)前n項(xiàng)和(n=1,2,···).簡稱部分和.由此可由無窮級數(shù)，得到一個部分和數(shù)列若存在，則稱級數(shù)收斂，并稱此極限值S為級數(shù)和，記為.若不存在，則稱級數(shù)發(fā)散.第3頁

例1：觀察部分和序列改變趨勢，并求和。級數(shù)和演示第4頁解：第5頁程序1S[n_]:=Sum[1/k^2,{k,n}]data=Table[S[n],{n,100}];ListPlot[data]第6頁運(yùn)行后圖象第7頁圖1第8頁程序1

再求出其和來S[n_]:=Sum[1/k^2,{k,n}]data=Table[S[n],{n,100}];ListPlot[data]N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}]]第9頁運(yùn)行后得其和近似值為

1.644934066848第10頁例2求和第11頁第12頁程序2

s[n_]:=Sum[(-1)^k/k^2,{k,n}]d=Table[s[n],{n,100}];ListPlot[d]N[Sum[(-1)^n/n^2,{n,1,Infinity}]]第13頁圖2第14頁圖3第15頁運(yùn)行后得其和近似值為

-0.82246703342411321第16頁例3求冪級數(shù)和。第17頁程序3

Sum[x^n/(n*3^n),{n,1,Infinity}]第18頁運(yùn)行后結(jié)果第19頁函數(shù)冪級數(shù)展開

例4寫出函數(shù)f(x)=sinx冪級數(shù)展開式，并利用圖形考查冪級數(shù)部分和迫近函數(shù)情況。第20頁解：冪級數(shù)展開必為：即為Maclaurin級數(shù)第21頁展開式為第22頁故sinx可展開為第23頁程序4f[x_]:=Sin[x]g[n_,x_]=D[f[x],{x,n}];s[n_,x_]:=Sum[g[k,0]*x^k/k!,{k,0,n}]第24頁程序4f[x_]:=Sin[x]g[n_,x_]=D[f[x],{x,n}];s[n_,x_]:=Sum[g[k,0]*x^k/k!,{k,0,n}]Do[Plot[{s[n,x],Sin[x]},{x,-Pi,Pi},PlotRange->{-1.1,1.1},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}],{n,1,9,2}]第25頁運(yùn)行后圖象

第26頁圖4第27頁圖5第28頁圖6第29頁圖7第30頁圖8第31頁結(jié)論1 從這些圖能夠比較清楚地看到冪級數(shù)展開式前n項(xiàng)部分和迫近函數(shù)情況，這里n=9，在區(qū)間[-π,π]上冪級數(shù)與函數(shù)本身看起來已沒有什么差異。我們再來看分別在閉區(qū)間[-π,π]和

[-2π,2π]上在同一個坐標(biāo)系中這些圖象情況第32頁程序4f[x_]:=Sin[x]g[n_,x_]=D[f[x],{x,n}];s[n_,x_]:=Sum[g[k,0]*x^k/k!,{k,0,n}]Do[Plot[{s[n,x],Sin[x]},{x,-Pi,Pi},PlotRange->{-1.1,1.1},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}],{n,1,9,2}]t=Table[s[n,x],{n,1,9,2}];Plot[Evaluate[t],{x,-Pi,Pi}]Plot[Evaluate[t],{x,-2Pi,2Pi}]第33頁運(yùn)行后圖象第34頁圖9第35頁圖10第36頁圖11第37頁結(jié)論2從圖中可看到，函數(shù)冪級數(shù)展開式前n項(xiàng)部分和函數(shù)迫近函數(shù)程度，伴隨n增大而提升。但對于確定n而言，它只在展開點(diǎn)附近一個局部范圍內(nèi)才有很好近似準(zhǔn)確度。第38頁傅立葉級數(shù)

自然界中許多現(xiàn)象是周期性重復(fù)，比如，聲波是空氣粒子周期性振動而產(chǎn)生，人們呼吸時肺部運(yùn)動和心臟跳動也是周期性，交流電也表達(dá)了周期改變。對自然界這種周期改變現(xiàn)象能夠用周期函數(shù)近似地描述。在數(shù)學(xué)上也就是用三角多項(xiàng)式迫近函數(shù)問題，傅立葉級數(shù)就是一個迫近方法第39頁以2π為周期周期函數(shù)f(x)傅立葉級數(shù)由下式所定義：其中第40頁例5設(shè)周期為2π周期函數(shù)f(x)在一個周期內(nèi)表示式為試生成f(x)傅立葉級數(shù)，并從圖上觀察該函數(shù)部分和迫近f(x)情況。第41頁程序5f[x_]:=Which[x<0,0,x<Pi,1,x<2Pi,0,x<3Pi,1,x<4Pi,0]a[n_]:=Integrate[Cos[n*t],{t,0,Pi}]/Pib[n_]:=Integrate[Sin[n*t],{t,0,Pi}]/Pis[x_]:=a[0]/2+Sum[a[k]*Cos[k*x]+b[k]*Sin[k*x],{k,1,n}]Do[Plot[Evaluate[{s[x],f[x]}],{x,-Pi,3Pi},PlotPoints->50,PlotStyle->{RGBColor[