決勝2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測(cè)卷06

數(shù)學(xué)

（新高考九省聯(lián)考題型）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的

姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知樣本數(shù)據(jù)為不、&、“3、/、/、/、“7,去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后的數(shù)據(jù)與原來(lái)

的數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征一定不變的是（）

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差

2.已知全集。=R,集合4國(guó)茜足N=（4c5）,則下列關(guān)系一定正確的是（）

AA=BB.BeAC./c（C*）=0D.（CvA）^B=0

3.p：m=2,q:（加尤+y）5的展開(kāi)式中好y3項(xiàng)的系數(shù)等于4o.則。是9的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.若cos]+2a]-4sin2a=-2,貝I]tan2a=（）

A.—2B.—C.2D.g

22

5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量力與礪關(guān)于蔣由對(duì)稱(chēng)，向量G=（0,1），若滿(mǎn)足

厲2+展刀=。的點(diǎn)力的軌跡為其則（）

A.虎一條垂直于荔由的直線B.￡是一個(gè)半徑為1的圓

C.方是兩條平行直線D.￡是橢圓

6.夾彈珠游戲是兒童特別喜歡的游戲，夾彈珠能有效提高參與者的注意力與協(xié)調(diào)性，調(diào)整邏輯思維判

斷和空間控制平衡能力，鍛煉小肌肉，增強(qiáng)手眼協(xié)調(diào)，培養(yǎng)敏捷的反應(yīng)能力，從而提高參與者的適應(yīng)

能力.如圖，三個(gè)半徑都是也cm的玻璃彈珠放在一個(gè)半球面形狀的容器（不計(jì)厚度）中，每顆彈珠的

頂端恰好與容器的上沿處于同一水平面，則這個(gè)容器的表面積（包括容器的內(nèi)部和外部?jī)刹糠郑┦?/p>

）

A.（5+V21）7LCm2B,2（5+V21）71cm2c,4（5+V21）7icm2D,8（5+V21）TTCm2

71

7.已知函數(shù)/(x)=sin°xcos0+cosQxsin00>0,0<0<2，小）=0，/（%）=1，若

忖一%|的最小值為I"，且/71；，則/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

71_r7.r5兀

A.一+2伍一兀+2E，左￡ZB.——兀+2優(yōu)一+2E，左￡Z

|_66JL66J

5,71,兀2

C.--------71+/C71,-------卜際，左￡ZD.----F2ATI.—兀+2左71，左￡Z

121233

8.已知￡,且是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P,0是它們的兩個(gè)公共點(diǎn)，且R送于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

27r，+:約C的最小值是（）

/尸乙。=。-,若橢圓的離心率為G，雙曲線的離心率為02,則

e；+1e；+3

R1+G「273D.述

卜?甘D.-----U.----

333

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,則（)

Zl=l22024

A.B.z+z=1C.z+z+1=0D.Z=Z

12-3

io.設(shè)48是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且。（/）=5，。（3）=5，。（/+8）=—，則()

4

-1——1

A.P(45)=正B.P(AB)=-

C.P(B\/)=：_3

D.P(A\B)=-

11.已知定義在R±的函數(shù)/（x）,g（x）,其導(dǎo)函數(shù)分別為

/,(x),g,(x),/(l-x)=6-g,(l-x),/(l-.X)—g'(l+x)=6,且g(x)+g(_%)=4,

貝1J()

A.g'（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）中心對(duì)稱(chēng)B.g,(x+4)=g,(x)

C八6）=/'（2）D./⑴+"3)=12

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,公差不為0,若出，/，4成等比數(shù)列，則｛%,｝的前5項(xiàng)的和為

13.已知圓錐的母線長(zhǎng)為2,則當(dāng)圓錐的母線與底面所成的角的余弦值為時(shí)，圓錐的體積最

大，最大值為.

14.在ATIBC中，角4民。所對(duì)的邊分別為仇c，若。=2,。=33058=從05。,？,0分別在邊

45和CB上，且尸。把的面積分成相等的兩部分，則尸。的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.為了開(kāi)展“成功源自習(xí)慣，習(xí)慣來(lái)自日?！敝黝}班會(huì)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的行為習(xí)慣，提高

學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，在全校學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生的某年度綜合評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)成績(jī)，研究學(xué)習(xí)成

3

績(jī)是否與行為習(xí)慣有關(guān).已知在全部100人中隨機(jī)抽取一人，抽到行為習(xí)慣良好的概率為一，現(xiàn)按“行

5

為習(xí)慣良好”和“行為習(xí)慣不夠良好”分為兩組，再將兩組學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)分成五組：［50,60)、

［60,70)、［70,80)、［80,90)、［90,100］,繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率頻率

(1)若規(guī)定學(xué)習(xí)成績(jī)不低于80分為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件填寫(xiě)下列2x2列聯(lián)表，并判斷

是否有99%的把握認(rèn)為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵與行為習(xí)慣是否良好有關(guān)”；

行為習(xí)慣良好行為習(xí)慣不夠良好總計(jì)

學(xué)習(xí)標(biāo)兵

非學(xué)習(xí)標(biāo)兵

總計(jì)

(2)現(xiàn)從樣本中學(xué)習(xí)成績(jī)低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記抽到的學(xué)生中“行為習(xí)慣不夠良好”

的人數(shù)為X,求X的分布列和期望.

參考公式與數(shù)據(jù)：%?——)、/——--其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸年叫0.1000.0500.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

12

16.已知/(x)=Inx+^x-ax(aeR).

1.1

(1)若一在工+8)恒成立，求己的范圍；

22x

(2)若/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)s,t,求/⑺+/G)的取值范圍.

17.如圖，在三棱錐力-BCD中，443c和△BCD都是正三角形，庭BC的中點(diǎn)，點(diǎn)制茜足

~DF=AEA(A^O).

(1)求證：平面48C7,平面40尸；

⑵若0=忸。|=2百，且防〃平面/C。，求D戶(hù)的長(zhǎng).

18.已知拋物線C:/=4%的焦點(diǎn)為各頂點(diǎn)均在C上，且而+。斤+而=0.

(1)證明：尸是△尸0R的重心；

(2)APQ?能否是等邊三角形？并說(shuō)明理由；

(3)若「，。均在第一象限，且直線尸。的斜率為叵，求△尸Q?的面積.

3

19.對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列2…，氏，定義變換北，4將數(shù)列踐換成數(shù)列彳(尸卜

n,ax-l,tz2-I,---,a)2-1.對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列。：［,8,…,乙"，定義

5（0）=23+2仇+--+〃也“）+母+f+~+￡,定義變換汽，4將數(shù)列0各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉

所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列《（。）.

（1）若數(shù)列“為2,4,3,7,求S僅（々））的值；

⑵對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列耳，令加=4（1（4）），keN.

⑴探究5傳（片））與S（玲）的關(guān)系；

（ii）證明：S（鼻⑶.

決勝2024年高考數(shù)學(xué)押題預(yù)測(cè)卷06

數(shù)學(xué)

(新高考九省聯(lián)考題型)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的

姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知樣本數(shù)據(jù)為不、&、%3、/、%、弓、“7,去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后的數(shù)據(jù)與原來(lái)

的數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征一定不變的是()

A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差

【答案】c

【解析】樣本數(shù)據(jù)為不、入2、m、/、鼻、%,、X7,去掉一個(gè)最大值和一個(gè)最小值后的數(shù)據(jù)與原

來(lái)的數(shù)據(jù)相比，假設(shè)從小到大就是從西到吃，極差可能變化，故A錯(cuò)；

平均數(shù)為]=3+/+,+匕+3,可能變，故B錯(cuò)；

中位數(shù)還是按從小到大排序中間位置的數(shù)，故c正確；

22222

=1[(x2-X)+(X3-X)+(X4-X)+(X5-x)+(x6-x)],有可能變，故D錯(cuò).

故選：C

2.已知全集。=R,集合44蔭足4=(4c5),則下列關(guān)系一定正確的是()

AA=BB.BeAC.4c(QB)=0D.(C?cB=0

【答案】C

【解析】因?yàn)榧?礴足B),故可得A口3,

對(duì)A：當(dāng)A為8的真子集時(shí)，不成立；

對(duì)B：當(dāng)A為3的真子集時(shí)，也不成立；

對(duì)C：/c(Cu3)=0,恒成立；

對(duì)D：當(dāng)A為3的真子集時(shí)，不成立；

故選：C.

3.p:m=2,q：Sn+y)5的展開(kāi)式中//項(xiàng)的系數(shù)等于40,則。是9的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【解析】的展開(kāi)式中含x2y3項(xiàng)為C；（mx）'y3=Clm~x2y3,

故C刎2=40,解得冽=±2,

故“加=2”是"加=±2”的充分不必要條件.

故選：A

4.若cos[]+2a]—4sin2a=—2,則tan2a=（）

11

A.—2B.--C.2D.—

22

【答案】C

【解析】由00$['|"+2"-451112。=-2,得-sin2a-4sin2a=-2，

日門(mén)2sinacosa+4sin2a2tancif+4tan2a_

即----；-2-------9-----=2，即---------?----------二2，

sina+cosatana+1

所以2tana+4tan2a=2tan2a+2，所以tana=\-tan2a，

2tana

則tan2a==2

1-tan2a

故選：C.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量力與巫關(guān)于蔣由對(duì)稱(chēng)，向量G=(0,1)，若滿(mǎn)足

厲2+出方=0的點(diǎn)/的軌跡為反則(）

A.醍一條垂直于荔由的直線B.￡是一個(gè)半徑為1的圓

C.總是兩條平行直線D.￡是橢圓

【答案】B

【解析】設(shè)/(X/),由題有。=(x,y),OB={x,-y）,

所以3(x,—y),AB=(O,-2j),

所以方？+無(wú)益=/+_/—2y=0，即/+(>—=1，

所以點(diǎn)/(x,y)的集合是以(0,1)為圓心，1為半徑的圓.

其軌跡E為半徑為1的圓，

故選：B.

6.夾彈珠游戲是兒童特別喜歡的游戲，夾彈珠能有效提高參與者的注意力與協(xié)調(diào)性，調(diào)整邏輯思維判

斷和空間控制平衡能力，鍛煉小肌肉，增強(qiáng)手眼協(xié)調(diào)，培養(yǎng)敏捷的反應(yīng)能力，從而提高參與者的適應(yīng)

能力.如圖，三個(gè)半徑都是也cm的玻璃彈珠放在一個(gè)半球面形狀的容器(不計(jì)厚度)中，每顆彈珠的

頂端恰好與容器的上沿處于同一水平面，則這個(gè)容器的表面積(包括容器的內(nèi)部和外部?jī)刹糠?是

()

A.（5+V21）71cm之B,2（5+VH）7icm2C,4（5+V21）71cm之D,8（5+V21）7icm2

【答案】D

【解析】。在面。。203上的投影為為大球球心，。1，。2，03為小球球心?

O

\py

a

002=02°3==2?0[M=^-X2A/3=2,OM=拒，大球半徑為尺，

(A-V3)2=4+3=7,.-.7?=V7+V3.

二.S表=4球2=4兀.(io+25)=8兀(5+收)，

故選：D.

7.已知函數(shù)/(x)=sinoxcos。+cosoxsin。(0>0,0<9苦]，/(占)=0,/(尤2)=1,若

|西一日的最小值為T(mén)，且則/(X)*J單調(diào)遞增區(qū)間為()

兀75兀

A.一+2版,一兀+2加，左EZB.—Ji+2ATC.—卜2kli,keZ

L66JL66J

57兀77ry「兀21

C.---71+kll,---FKJI，左￡ZD.----F2ATC.—Ji+2AJI,keZ

L1212JL33J

【答案】B

【解析】因?yàn)?(x)=sin(yxcos0+cos(yxsin0=sin?x+0),

71

又/(xJ=0,/(%2)=1,且上一%|的最小值為

T712兀

所以一=—,即7=2兀，又。>0,所以。=——二1,

42T

所以/(x)=sin(x+°),又/[']=；，所以sin(711n1

即cos0=5，

因?yàn)?＜夕＜5，所以夕二§,

所以/(x)=sin[x+1],令一]++兀

—F2kit，k￡Z,

2

5兀7T

解得----F2kit4x4—F2kittk￡Z,

66

「5兀

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-：兀+2E,：+2版,ksZ.

66

故選:B

8.已知片，鳥(niǎo)是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P,提它們的兩個(gè)公共點(diǎn)，且R0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

277-3^2

/。耳。二—二，若橢圓的離心率為，，雙曲線的離心率為6,貝!J寸7+可氣的最小值是（）

JC]I1,2J

.2+V3口1+V3n4g

3333

【答案】A

【解析】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為外,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為電，

則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得:|吶+陷|=2a^PF]-\PF2|=2%,

2兀

「JP耳|=ax+&J尸閶=%2，設(shè)忸引=2c,APF2Q=—,

jr

根據(jù)橢圓與雙曲線的對(duì)稱(chēng)性知四邊形尸片QE為平行四邊形，則/片”=屋

則在△尸片鳥(niǎo)中，由余弦定理得，”Xc=（%+〃2）+（〃]一出）-2（%+g）（%一出）COS],

13

化簡(jiǎn)得a；+3a；=4c之,gp—+—=4,

e\e2

e；3e；1313（1,3八1

則二+==="i——+F—=117+1++1X

勺+1e?+34+i.I-4+1-4+12e2J6

e\e2、qe2J

4+131+1]4+13g+1]

=-x4+告—+~>-x4+21——x-^---乙

64+i4+16[7+l-2+1

eie2Ie\e2

=6X（4+2V3）=3，

、2

(3,丫(1

4

7+1=37+11

e11

當(dāng)且僅當(dāng)《\2時(shí)等號(hào)成立,

生地＞1

3=4

<￡

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為-g，W，貝U(

)

2D=2024"

A.\z\=lB.z+z=1C.z+z+l=0Z=Z

【答案】ACD

【解析】由題可知，z=—；+忖=+［咚］=1，

故A正確;

z=――,z+亍=—1,故B錯(cuò)誤；

22

2f1V3.V13V3.1V3.二52

=------1------1=---------------1=------------1,所以z+z+l=—1+1=0,C正確;

2244222

iG]

,3,2

Z=z、z=二1,

I22只22J

674),一

F；匚[、[202420222202223

所以Z=Z=Z'ZzI?z=z=z,故D正確.

故選：ACD

12—3

10.設(shè)45是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且尸(/)二干尸(5)=§,尸(4+5)="則()

-1——1

A,尸(/5)=正B.P(，B)=]

C.P(B\A)=-D.P(A\B)=-

6

【答案】ACD

--11-3-1

【解析】P(A+5)=P(A)+P(5)-P(AB)=-+--PW=-,P(AB)=—,故A對(duì).

VP(B)=P(AB)+P(AB),.-.1=P(AB)+《,P(9=；,故B錯(cuò).

__￡

p(囿/)=烏誓=￥=:,故c對(duì).

尸(4)6

2

P(B)=P(AB)+P(AB)=P(AB)+P(/)—P(AB),

|=P(AB}+1P(25)=pP(A\3)=^^='=|,故D對(duì).

JZ1Z4ryn)4o

3

故選：ACD.

11,已知定義在R上的函數(shù)/(x),g(x),其導(dǎo)函數(shù)分別為

/,(x),g,(x),/(l-x)=6-g,(l-x),/(l-x)-g,(l+x)=6,且g(x)+g(—x)=4,

則()

A.g'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對(duì)稱(chēng)B.g'(x+4)=g，(x)

C./(6)=/'⑵D./(1)+/(3)=12

【答案】BCD

/(1-x)=6-gr(l-x)“\，/、

【解析】由題意可得O)〈，兩式相減可得g'(l+x)=-g'(l-x)①，

/(l-x)=6+g(1+x)

所以g'(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱(chēng)，A錯(cuò)誤；

由g(x)+g(-x)=4②，②式兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得g'(x)=g'(—x),可知g'(x)是偶函數(shù)，

以1+x替換①中的x可得g'(2+x)=-g'(-x)=—g'(x),

可得g'(4+x)=—g'(2+x)=g'(x),所以g'(x)是周期為4的周期函數(shù)，B正確；

因?yàn)椤▁)=6—g'(x),可知/(x)也是周期為4的周期函數(shù)，即/(x+4)=/(x),

兩邊求導(dǎo)可得/'(x+4)=/'(x),所以/'⑹=八2),C正確;

因?yàn)間'(l+x)=-g'(-x),令x=o,則g<l)=-g'⑴,即g")=0,

又因?yàn)間'(x)是偶函數(shù),所以g〈_l)=g<l)=0,

又因?yàn)間'(x)是周期為4的周期函數(shù)，則g'(3)=g'(-1)=0,

由〃力=6一,(力可得懦曹*::

所以/(1)+/(3)=12,D正確.

故選：BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為1,公差不為0,若生，的，。6成等比數(shù)列，則｛%｝的前5項(xiàng)的和為

【答案】-15

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為4且dwO,且％=1,

因?yàn)榈?生，&成等比數(shù)列，可得片=出4，即(l+2d>=(l+d)(l+5d),

即d=—2或d=0(舍去)，

5x4

所以邑=5xl+；-x(-2)=-15.

故答案為：-15

13.已知圓錐的母線長(zhǎng)為2,則當(dāng)圓錐的母線與底面所成的角的余弦值為.時(shí)，圓錐的體積最

大，最大值為.

【答案】手1673

---------71

27

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑r,母線為/,高為力,

設(shè)母線與底面所成的角為a(0<a<

貝!Jcosa=—(0<cosa<1),

則r=2cosa，

貝U/=Ji一尸2-2A/1-COS2a，

則圓錐的體積為憶=

=g乃?(2COS6Z)2?2A/1-COS2a

=—^-x/cos4a-cos6a,

3

☆%=cosa(0<x<l),貝(JP(x)=g?Jx4—f,

令/(x)=/-,求導(dǎo)得f\x)=4x3-6x5=2x3(2-3x2),

令(a)=o,則x=Y5或—逅(舍去)，

33

所以當(dāng)xe卜日

時(shí)，f'(x)>0,單調(diào)遞增,

當(dāng)xe,1時(shí)，/'(X)<0,“X)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)％=逅時(shí)，“X)取得極大值，也是最大值.

3

1673

此時(shí)廠(x)=gX，-X、最大,曦X=---------71,

27

:逅時(shí),

即圓錐的母線與底面所成的角的余弦值cosa=

3

最大值為明

圓錐的體積最大,

故答案為：回1673

---------71.

327

14.在A^8C中,角41B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=2,。=3,cosB=bcosC,P,Q分別在邊AB

和C8上，且P0把的面積分成相等的兩部分，則的最小值為

【答案】V3

A

由cosB=bcosC，得°—二=b.礦+〃一L

laclab

即”-二尸+…

，解得b=J7，

2x2x32x26

22

「Q+。-b24+9-7_1__7i0=ix2x3x^=^3

cos5=-----7；~T=彳*二；，>△

2ac2x2x323ABC222

當(dāng)令5f磔-$4二當(dāng)…』一

°&PBQ

0<x<3

397—

令｛3，得一<x<3,PQ2=/+/一29cos5=x2+=—3N2j9—3=3,

0<—<22x

、x

所以尸0mm=6,當(dāng)且僅當(dāng)必=2即x=6時(shí)等號(hào)成立?

X

故答案為：6

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.為了開(kāi)展“成功源自習(xí)慣，習(xí)慣來(lái)自日?！敝黝}班會(huì)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的行為習(xí)慣，提高

學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，在全校學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生的某年度綜合評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)成績(jī)，研究學(xué)習(xí)成

3

績(jī)是否與行為習(xí)慣有關(guān).已知在全部100人中隨機(jī)抽取一人，抽到行為習(xí)慣良好的概率為一，現(xiàn)按“行

(1)若規(guī)定學(xué)習(xí)成績(jī)不低于80分為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件填寫(xiě)下列2x2列聯(lián)表，并判斷

是否有99%的把握認(rèn)為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵與行為習(xí)慣是否良好有關(guān)”；

行為習(xí)慣良好行為習(xí)慣不夠良好總計(jì)

學(xué)習(xí)標(biāo)兵

非學(xué)習(xí)標(biāo)兵

總計(jì)

(2)現(xiàn)從樣本中學(xué)習(xí)成績(jī)低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記抽到的學(xué)生中“行為習(xí)慣不夠良好”

的人數(shù)為X,求X的分布列和期望.

______〃(ad-bc》_______,其中〃

參考公式與數(shù)據(jù)：力2=(=a+b+c+d.

a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸(/安)0.1000.0500.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

O

【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有(2)分布列見(jiàn)解析，E[X)=-

3

【解析】(1)已知在全部100人中隨機(jī)抽取一人，抽到行為習(xí)慣良好的概率為一，

5

32

則100名學(xué)生中，行為習(xí)慣良好的有100x1=60人，行為習(xí)慣不夠良好的有100xg=40人.

由頻率分布直方圖可知，行為習(xí)慣良好組中不低于80分的學(xué)生有(0.025+0.045)x10x60=42人,

行為習(xí)慣不夠良好組中不低于80分的學(xué)生有(0.010+0.030)x10x40=16人

則2x2列聯(lián)表為：

行為習(xí)慣良好行為習(xí)慣不夠良好總計(jì)

學(xué)習(xí)標(biāo)兵421658

非學(xué)習(xí)標(biāo)兵182442

總計(jì)6040100

=>0(42)24—1竺6)j=1800。&867，尸(/?6.635)=0.01,

60x40x42x58203,

因?yàn)?867>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為“學(xué)習(xí)標(biāo)兵與行為習(xí)慣是否良好有關(guān)”.

(2)行為習(xí)慣良好組中低于60分的學(xué)生有0.005x10x60=3人，

行為習(xí)慣不夠良好組中低于60分的學(xué)生有0.010x10x40=4人，則X的可能值為0、1、2,

r°r210if44C2co2

尸(x=o)=W,，P(x=i)=當(dāng)=3尸。=2)=巖=

7

X的分布列為:

12

16.已知/(x)=lnx+—x-ax(aeR).

101

(1)若/(x)〈一x2一一在［1,+oo)恒成立,求a的范圍；

22x

(2)若/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)s,t,求/⑺+/(s)的取值范圍.

【答案】(1)［；,+8)(2)(-00,-3)

1丫2］

【解析】(1)由函數(shù)/(x)=lnx+712—QX,因?yàn)?(%)?-------在［1,8)上恒成立,

222x

即Q2----1---在［1，+00)恒成立，

x2x2

人一、Inx1、x-xInx-1

令h(x)=—+-^,可得"(x)=------——，

x2xx

令*x)=x-xlnx—1,可得，'(x)=—Inx40,

所以《%)在［1,+8)單調(diào)遞減，所以*%)<Z(l)=0,

所以“(X)W0恒成立，所以“X)在［1,+8)單調(diào)遞減，所以依X)max=始)=；，

所以。之；,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為［；,+8).

(2)因?yàn)?(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)S/,

可得s,，是/v)=-+^-?=-+1=0的兩不等正根，

XX

△=/—4>0

即S"是工2一QX+1=0的兩不等正根，貝!］滿(mǎn)足<s+，=a〉0,解得。>2,

s%=1

則/(0+/(s)=ln'+lns+；/_q?+s)=]n(s0+；Q+s)2—〃(/+§)

—ln(s%)+—(z+s)2_/s—q(/+5)—_1<_~x22—1——3,

所以/(%)+/(s)的取值范圍為(—8,—3).

17.如圖，在三棱錐4—BCD中，AZBC和△5C。都是正三角形，￡是5。的中點(diǎn)，點(diǎn)方滿(mǎn)足

5F=2￡4(2^0).

A

F

B~i~~D

C

（1）求證：平面4SC1平面40尸；

⑵若[40=忸。|=2百，且防〃平面/C。，求Z）戶(hù)的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）6

【解析】（1）如圖，連接DE,因?yàn)辂?幾成，所以DF//4E.所以4E,D,/四點(diǎn)共面.

因?yàn)樵谌忮F/-8CQ中，AA8C和△8C。都是正三角形，￡是8C的中點(diǎn)，

所以AE1BC,DELBC.因?yàn)閆E,D￡u平面40尸，AE^DE=E,所以3C1平面40斤,

又3Cu平面48C,所以平面48C1平面40尸.

（2）如圖，記△BCD的中心為。，連接。4,由（1）得/013C.同理可證/0_LCZ）,

且3CcCD=C,所以2。，平面BCD,以媯坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)椤?CQ是正三角形，忸。|=2道，所以|0。|=2,|0￡|=1,|。4|=2血.

所以/（0,0,2&）,5（-V3,-l,0）,C（A-1,O）,￡?（0,2,0）,￡（0,-1,0）.

所以元=卜百CO=（-73,3,0）.

,、n-CA=0-y/3x+y+2?z=0

設(shè)平面ZCZ）的一個(gè)法向量為五=（x,y,z）,則｛_.，即｛L,

n-CD=0[-y/3x+3y=0

令y=6，貝！Jx=J^，z=l，所以為=（6,后,1）.

因?yàn)榛?（0,1,2行），前=（百,3,0）,

所以而=前+礪=前+幾應(yīng)=（6,3,0）+/1（0,1,2后）=（百,；1+3,2仞）.

因?yàn)?歹〃平面/CD,所以萬(wàn).而=0，

即君*n+（/1+3）及+2&=0,解得;1=—2,

止匕時(shí)阿|=2同=6.故0的長(zhǎng)為6.

z

"F

18.已知拋物線C:y2=4%的焦點(diǎn)為各頂點(diǎn)均在。上，且方+辦+麗=0.

（1）證明：/是△尸。R的重心；

（2）能否是等邊三角形？并說(shuō)明理由；

（3）若尸，。均在第一象限，且直線P0的斜率為也，求APQ?的面積.

3

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）不肯能，理由見(jiàn)解析（3）土匡

98

【解析】（1）設(shè)尸。的中點(diǎn)為M,。尺的中點(diǎn)為N,

因?yàn)樗?辦+而=0，所以而+河=2而;=麗，

又尸為公共端點(diǎn)，所以及三點(diǎn)共線，

同理可得2麗=而，又尸為公共端點(diǎn)，所以尸,N,尸三點(diǎn)共線，

所以RM,PN是APQR的兩條中線，

所以尸是△尸Q?的重心；

（2）由題意歹（1,0）,設(shè)尸（西,％）,0（%/2），尺（％3，%），

則尸尸=。-X],必），。尸=（1一%，%），跖=（1一％3，%），

由麗+/+而=0,可得X1+X2+X3=3,必+%+乃=0,

由拋物線的定義可得|尸耳=再+1/。目=%+1,|即=%3+1，

若△尸Q?是等邊三角形,則由⑴知|PF|=|QR|=|RF|,

由|母1=|。尸|，可得引=尤2，

又因尸,0不重合，所以必=一%彳0,

所以％=_（弘+%）=0，

3

所以工3=0,項(xiàng)=%2=5，人（0,0）,

故歸尸I=I。尸I=54+1=35wI尺尸I=1,這與歸耳=I。司=.目矛盾,

所以△尸Q?