三校協(xié)作

2023-2024學年第一學期聯(lián)考

高三數(shù)學試題

第I卷（選擇題，共60分）

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.）

1.若集合"=B=則/CB的元素的個數(shù)是（）

A.1B,2C.3D.4

2.復(fù)數(shù)”占的虛部為（）

X2+2

3.函數(shù)y=sinx?ln——--的圖象可能是（）.

4.設(shè)ANBC的內(nèi)角4瓦。的對邊分別為a,6,c,若a=2j"c=4,C=45°,則A的值可以為（）

A.30°B,60°C.120°D.30?；?50°

5.若向量［（0,2,2），6=（1,0,2）'且（W+1）,2力,則［在「方向上的投影向量是（）

A-2bB-bC.-bD--2b

^2022.i^2023.i

6.設(shè)"，b=,則下列說法中正確的是（）

22023+122024+1

ba

A.a<bD.—I—=2

ab

7.我國古代的洛書中記載著世界上最古老的一個幻方：如圖，將1,2,3,…，9填入3x3的方格內(nèi)，使

第1頁/共5頁

三行，三列和兩條對角線上的三個數(shù)字之和都等于15.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,....M填入

"X"的方格中，使得每行，每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，這個正方形叫做〃階幻方.記〃階幻

方的每n列的數(shù)字之和為如圖，三階幻方的N3=15,那么Ng=（）

H■

□

A.41B.369C.1476D.3321

%

8.函數(shù)/（x）=（、，若2/2（》）—3/（乃+1=0恰有6個不同實數(shù)解，正實數(shù)。的

COXH----，一兀<%<0

范圍為（）

yr10」B.[「1不0，4八jc.[（2,-10j1A二[2,%

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有

多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得。分.）

9.函數(shù)/（x）=2sin（0x+o）]0〉O,[9|＜、）的部分圖象如圖所示，則（）

5兀x

12

60=2

0I是函數(shù)/（X）圖象的一個對稱中心

第2頁/共5頁

1Ijr

D.直線x=/是函數(shù)/（x）圖象的對稱軸

,|

10.已知數(shù)列｛4｝中，q=l,a?+1=a?+2（?eN*）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a4=13B.｛4｝是遞增數(shù)列C.al0<1000D.an+l=2an+1

11.已知函數(shù)/（x）的定義域為R,若g（x）+/（x）=l,且g（x+l）,/（2—x）均為奇函數(shù)，則（）

A.g（O）=-lB.g（l）=0C.g（2）=lD.g（3）=0

12.如圖，直四棱柱44CQ]中，底面/BCD為平行四邊形，NBZQ=60°,/3=44IT，點

尸是經(jīng)過點用的半圓弧4萬上的動點（不包括端點），點。是經(jīng)過點。的半圓弧前上的動點（不包括

端點），則下列說法正確的是（）

A.四面體尸8c0的體積的最大值為:

B.比的取值范圍是[0,4]

C.若二面角G——C的平面角為9,則tan，〉g

D.若三棱錐尸-5CQ的外接球表面積為S,則Se[47i,13兀）

第H卷（非選擇題，共90分）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）

qin）a

13.已知角1的頂點為原點，始邊為x軸的非負半軸，若其終邊經(jīng)過點尸（-1,2）,—-——=_.

COS。+1

14.命題FxwR,"2+狽+1<0，，為假命題，則實數(shù)。的取值范圍是.

15.設(shè)點片，P],U在。。上，若西+誣+西=6,則/<心鳥=.

16.已知無窮等差數(shù)列｛4｝中的各項均大于0,且為+。；+生=8,則蟲一包的范圍為.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

第3頁/共5頁

71

17.已知函數(shù)/(x)=2GCOS2~+X—2sin(兀+x)cosx一退

(1)當xep|-,求/(x)的最值，及取最值時對應(yīng)的x的值;

(2)在A48C中，A為銳角，且/(Z)=G,a=G,b+c=2G，求A4BC的面積.

18.已知函數(shù)/(x)=ex—V—。，xeR的圖象在》=0處的切線為＞=

(1)設(shè)g(x)=/(x)+x2-X,求g(x)的最小值;

(2)若左對任意的xe(O,+s)恒成立，求實數(shù)左的取值范圍.

X

19.已知數(shù)列｛與｝的前"項和為S,,,q=1,且2〃，+1-2(〃+1)5"=〃(〃+1)(〃6>1*).

(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列;

n

(2)已知等差數(shù)列｛4｝滿足&=5,其前9項和為63.令設(shè)數(shù)列｛g｝的前〃項和為北，求

n

13

證：一＜/＜一.

34

20.如圖，在四棱錐尸—48C。中，△尸48是邊長為2的正三角形，BC=AB,AD!IBC,

BC=2AD,AB1BC,平面0AS，平面.

(1)設(shè)平面尸48c平面PCD=/,問：線段尸3上是否存在一點E,使///平面4DE?

(2)平面尸48與平面尸CD的夾角的余弦值.

21.已知A48C的三個角A,B,C的對邊分別為。，b,c,c(cosA-^3sinA)-b-2a>c=2.

第4頁/共5頁

（1）求角c；

⑵若AB=BC,在A48C的邊ZC和8c上分別取點。，E,將ACDE沿線段DE折疊到平面

后，頂點。恰好落在邊45上（設(shè)為點尸），設(shè)CE=x,當C￡取最小值時，求△尸8￡的面積.

22.已知函數(shù)/(x)=lnx-ax——.

x

（1）討論函數(shù)八幻的單調(diào)性；

（2）函數(shù)/（X）有兩個零點苞,》2（再＜/）,求證：＞2e2.

第5頁/共5頁

三校協(xié)作

2023-2024學年第一學期聯(lián)考

高三數(shù)學試題

第I卷（選擇題，共60分）

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.）

1.若集合"=B=則/CB的元素的個數(shù)是（）

A.1B,2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合解不等式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得集合48,根據(jù)集合的交集運算，即可得答案.

【詳解】由題意得||x-l|<2,xeN}={%|-1<x<3,xeN}={0,1,2,3},

8={x[Inx<0}={x|0<x<1},

故Nc5={l},即4cB的元素的個數(shù)是1個，

故選：A

2.復(fù)數(shù)z=占的虛部為（）

—

11

11.11.

A.一一B.——1C.-D.-1

2222

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)i的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的除法運算可得答案.

所以z的虛部為g.

故選：C.

2

3X+2.函數(shù)y=sinx」n±4*的圖象可能是（）?

第1頁/共23頁

【解析】

【分析】利用排除法，結(jié)合函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值的符號分析判斷.

【詳解】因為y=/(x)=sinx」n±4*定義域為｛x\x豐°｝，

X

且=：)：2=_sinx.ln^4^=一/(x)，

(-x)x

所以y=sinx?ln±4*為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故B,D都不正確；

x

對于C,X￡(O,兀)時，sinx>0,'=1+彳〉1,

XX

22

所以InX+y2〉0,所以y=sinx」nx=+2士〉O,故C不正確；

XX

2?)

對于選項A,符合函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，也符合xw(O,冷時，y=sinx」n=三〉O,故A正確.

X

故選：A.

4.設(shè)A4BC的內(nèi)角4瓦。的對邊分別為a,"c,若a=2j5,c=4,C=45°,則A的值可以為()

A.30°B.60°C.120°D.30°或150°

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦定理求出sinN=g,結(jié)合幺e(0。,135。)求出答案.

【詳解】由正弦定理得一二=—J,即,

sin/smCsin/sin45°

第2頁/共23頁

故sin4=一,

2

因為C=45°,所以Ze(0。,135°),故2=30°.

故選：A

5.若向量1(o,2,2)，6=(1,0,2)>且(1+1),21,則[在了方向上的投影向量是()

A-2bB-bc--bD--2b

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算求出彳=-1,再根據(jù)投影向量的定義即可求解.

【詳解】；[=(0,2,2)，6=(1,0,2)-

a+?=(l,2,2+2)，22=(2,0,22)

(a+b)L2b,

(a+?)-2^=2+(2+2)22=0*解得彳=T，

一一a-bb-2b7

'a在6方向上的投影向量為=.正

故選：C.

)2022])2023,

6.設(shè)a=6=則下列說法中正確的是()

22023+122°24+1

,門丫門丫,,ba、

A.a<bB.[—)<[—JC.+b">2D.—+—=2

【答案】B

【解析】

vi

【分析】根據(jù)。力的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)判+斷其單調(diào)性，即可判斷A；結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單

調(diào)性，判斷B；根據(jù)。力的范圍判斷C,利用基本不等式以及等號成立條件判斷D.

【詳解】設(shè)/3=在卜則/⑺二"＞；」+二_

2+1J''2x+l+122X+1+1

第3頁/共23頁

因為y=2-Y+1在R上單調(diào)遞增，故/(x)在R上單調(diào)遞減,

<^2022.122。23工]

所以/(2022)>〃2023),即5號〉標￡,二.。〉b，A錯誤,

因為了=((廠在R上單調(diào)遞減，故＜［；］，B正確;

)20224]^2023,i

由于即j"'

故/+〃<2,C錯誤;

-+->2.---=2,當且僅當a=b時取等號,

abNab

ha

但故一+―〉2,D錯誤,

ab

故選：B

7.我國古代的洛書中記載著世界上最古老的一個幻方：如圖，將1,2,3,9填入3x3的方格內(nèi)，使

三行，三列和兩條對角線上的三個數(shù)字之和都等于15.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,…，I填入

"X"的方格中，使得每行，每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，這個正方形叫做〃階幻方.記〃階幻

方的每列n的數(shù)字之和為N"，如圖，三階幻方的N3=15,那么Ng=()

□■

A.41B.369C.1476D.3321

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式求解即可.

Q1

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)得：九階幻方所有數(shù)字之和為萬(1+81)=3321,

由于每列和對角線上的數(shù)字之和都相等，

3321

所以每列的數(shù)字之和為——=369,

9

第4頁/共23頁

故選：B.

亞,x〉0

X

8.函數(shù)/(x)=<,若2/2(x)—3/(x)+i=o恰有6個不同實數(shù)解，正實數(shù)。的

sin(Dx+—,-7C<X<0

I6

范圍為()

上B.上C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】把問題轉(zhuǎn)化為>=/(x)與>=1或了=3的交點，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合，再結(jié)合單調(diào)性和對稱性求

出參數(shù)范圍即可.

【詳解】由題知，

2/(力—3/(x)+l=0的實數(shù)解可轉(zhuǎn)化為/(x)=1■或/(x)=l的實數(shù)解，即

y=/(x)與歹=1或y=g的交點，

當》>。時，/(x)=-^r(x)=2(1~lnx)

XX

所以xe(O,e)時,f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

xe(e,+oo)時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

如圖所示:

12

所以1=6時/(%)有最大值：-</(x)=-<1

2maxe

所以x>0時，由圖可知^=/(%)與〉=1無交點，即方程f(x)=l無解,

y=/(x)與y=；有兩個不同交點，即方程/(x)=|■有2解

第5頁/共23頁

當x<0時，因為外>0,—兀WxWO,

兀兀兀

所以一物十—Vcox+—<—,

666

.71,7171

令％=3+一,貝打￡一初l+一,一

6L66

兀兀

則有y=sin/且/e-can+-,-,如圖所示：

_66

晚

v=sin?1

/八、^21

~19兀7^/11兀阿V—^-7

-丁--6~"606

因為x>0時，已有兩個交點，

所以只需保證y=sinf與y=g及與歹=1有四個交點即可，

所以只需一膽<—0兀+巴《一口色，解得2W?！大?

6663

故選：D

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有

多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得。分.)

9.函數(shù)/(x)=2sin(0x+o)［0〉O,［9|<、)的部分圖象如圖所示，則()

A.60=2

71

B.(p=—

3

C點［:刀］是函數(shù)/(x)圖象的一個對稱中心

1［兀

D.直線x=/是函數(shù)/(x)圖象的對稱軸

【答案】ACD

【解析】

第6頁/共23頁

【分析】A選項，根據(jù)圖象得到函數(shù)最小正周期，進而得到。=女2；B選項，將哈-2代入解析

T

式，求出9=-1；C選項，/RI=O,C正確；D選項，計算出—2,故D正確.

【詳解】A選項，設(shè)/(x)的最小的正周期為T,

由圖象可知,解得7=兀，

2兀

因為刃＞0,所以。=——=2,A正確;

T

B選項，將［一^|,一2)代入/(x)=2sin(2x+0)中得，2sin［-弓+。)二一2,

12

TT7TJT

故----(p-----F2左兀,kRZ,即0=----F2ATT,keZ,

623

因為陷＜方，所以只有當左=0時，滿足要求，

故夕=-：7T，B錯誤；

C選項，/(x)=2sinl2x-jj,故/=0,

故點0是函數(shù)/(x)圖象的一個對稱中心，C正確;

D選項J=2sin［工一§)=一2，

故直線》=五是函數(shù)/(x)圖象的對稱軸，D正確.

故選：ACD

10.已知數(shù)列｛%｝中，%=1,%+］=%+2"UeN*),則下列結(jié)論正確的是()

A.4="B.｛%｝是遞增數(shù)列C.a10＜1000D.%什］=2%+1

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)題意，化簡得到羽-1=；(墨-1),得到(墨表為等比數(shù)列，進而求得數(shù)列的通項公

式%=2"-1,結(jié)合選項，逐項判定，即可求解.

第7頁/共23頁

【詳解】由%=4+2",可得翳=；牛+J，則磊-笨-1)，

又由%=1,可得以-1=-工，所以數(shù)列“表示首項為公比為:的等比數(shù)列，

22[2nJ22

所以祟-1=-=-(；)"，所以%=2"—1,

由%=24-1=15,所以A不正確；

由4+1-%=2向一1一2〃+1=2"〉0,即％+1>%,所以｛%｝是遞增數(shù)列，所以B正確；

由須=210—1=1023>1000,所以C錯誤；

由%+i=2"+i—1,2%+1=2-2"-2+1=2用—1,所以4+i=24+l,所以D正確.

故選：BD.

11.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,若g(x)+/(x)=l,且g(x+l)J(2-x)均為奇函數(shù),則()

A.g(0)=-lB.g(l)=0C.g(2)=lD.g(3)=0

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義可得g(x)=-g(-x+2),/(x)=-/(4-x),即可代值逐一求解.

【詳解】因為g(x+l),/(2—x)均為奇函數(shù)，所以g(x+l)=—g(—x+l),/(2—x)=—/(2+x),即

g(x)=-g(-x+2)①,/(x)=-/(4-x),

因為g(x)+/(x)=l,BP/(x)=l-g(x),所以1—g(x)=—[1—g(4—x)],gpg(x)+g(4-x)=2

②.

由①，取x=l得g(l)=o,

由②,令x=2,得g⑵=1；令x=3,得g⑶+g⑴=2,所以g(3)=2.

由①，令x=0,得g(0)=—g(2)=—l.

故選：ABC

12.如圖，直四棱柱48C?！?4GA中，底面/BCD為平行四邊形，ZBAD=60°,^B=AAi=1,點

尸是經(jīng)過點用的半圓弧布上的動點(不包括端點)，點0是經(jīng)過點。的半圓弧前上的動點(不包括

端點)，則下列說法正確的是()

第8頁/共23頁

A.四面體P8C0的體積的最大值為:

B.就的取值范圍是[0,4]

C.若二面角G—08—C的平面角為8,則tan，〉；

D.若三棱錐尸-3C。的外接球表面積為S,則Se[47i,13兀）

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)棱錐的體積公式可判斷A；根據(jù)向量的相等以及數(shù)量積的定義可判斷B；結(jié)合二面角平面角定

義找出9,結(jié)合解直角三角形判斷C；確定三棱錐尸的外接球球心位置，列等式求得半徑表達式，

求得其取值范圍，即可求出三棱錐尸-5C。外接球表面積取值范圍，判斷D.

【詳解】由題意知在直四棱柱48cz）—44GA中，半圓弧病經(jīng)過點。，故8C=2,

點P到底面ABCD的距離為幺4=1，

當點。位于半圓弧病上的中點時邑最大，即四面體P5c0體積最大，

=XX2X1><1=

WJ（^ce）max|||'故A正確；

由于耳心=詬=通，貝1」元?乖=國?乖，

又在RtA4^中,cosZD.AP=霽，

故"?乖=而?乖=|而||乖|cos/Z）i40=4COS2/240，

因為NO14Pq所以cos/A4Pe（0,l）,則石?乖e（0,4）,故B錯誤；

因為CG，平面/8CO,Q8u平面48C。，故而08，。。，

。。1口。。=。,。6，。。匚平面。。。，故05_L平面。。。，。0<2平面。。。，

第9頁/共23頁

故08，G。，所以NGQC是二面角G—。5—C的平面角,

則tanNC]QC=*=7、，因為CQe（0,2）,所以tan/GQ。〉；，故C正確；

設(shè)線段3c的中點為N,線段及G的中點為K,則三棱錐尸-5CQ的外接球球心。在NK上，

在四邊形中，AAXMK=UQ°,4K=J1+1—2xlxlx（—g）=百，

設(shè)PK=t,QMt<5,在RtZXOQN中ON=,在RtrOPK中OK=個R2T2,

故ON+OK=SJR--1+^R2-t2=1-

/440「13\r\

整理得7?2=￡_『，所以R-el,—\,所以外接球的表面積為5=4位9-式4私13兀），D正確，

故選：ACD

【點睛】難點點睛：解答本題的難點在選項D的判斷，解答時要發(fā)揮空間想象，明確空間的點線面位置關(guān)

系，確定外接球球心位置，進而找出等量關(guān)系，求得球的半徑取值范圍，即可求解球表面積取值范圍.

第II卷（非選擇題，共90分）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）

q*inDa

13.已知角a的頂點為原點，始邊為無軸的非負半軸，若其終邊經(jīng)過點尸（-1,2）,—-——=_.

cosa+1

【答案】-:

3

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得到tana=-2,利用二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系化為齊次式，化弦為切,

代入求值.

【詳解】由題意得tana=2=—2,

-1

sin2。_2sinacosa_2tanor_-4_2

cos2cif+12cos2<7+sin2a2+tan2a2+43

第10頁/共23頁

故-答案為,：-2一

3

14.命題FxeR,辦2+以+140”為假命題，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】［0,4)

【解析】

【分析】依題意可得“VxeR,a^+ax+l〉?！笔钦婷}，分。=0、awO兩種情況討論，分別計算可

得.

【詳解】命題“玉:￡R,OX?+QX+1<0”是假命題，

則它的否定命題“VXER,辦2+辦+1>0，，是真命題，

當。=0時，不等式為1>0,顯然成立；

6Z>0

當時，應(yīng)滿足〈A24八，解得0<〃<4,

A=Q-4a<0

所以實數(shù)。的取值范圍是［0,4).

故答案為：［0,4).

15.設(shè)點片，P2,6在。。上，若西+漉+西=0,則巴鳥=

兀

【答案】j##60°

【解析】

________/

【分析】先根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算律，得。-；再根據(jù)平面向量的數(shù)量積定義，得

132

cos/《O6=—；；最后根據(jù)圓的性質(zhì)即可解答.

/>>

r洋解】(Z/,\\

記OO的半徑為一，則阿卜漉=誣=小

OPI+OR,+OI}=Q

第11頁/共23頁

..西+西=—困

（西+西）.（西+西卜卜西.（-西，即函兩

VOPXOP3=10^|10^|cosNPQP3

.cos/POP=O)：。匕1「I

??Si利網(wǎng)兩萬，因為/《。鳥e[0,7i],

.?.在△々。6中，則山鳥|=百，同理由閭=區(qū)周=技,

所以三角形巴為等邊三角形,

"3鳥=?

TV

故答案為：—.

3

16.已知無窮等差數(shù)列｛4｝中的各項均大于0,且％+用+%=8,則，一詈的范圍為.

【答案】[―1,+立）

【解析】

【分析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,分析可得d的取值范圍，由/+□；+%=8求出的，則

a,a,22+8d1y…1

有二一--=^T7——『=「；—1—4d,構(gòu)造函數(shù)/（x）=-------4x-l,利用導數(shù)可求出其最值,

axa32-2a21-a1-x

從而可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，

由于無窮等差數(shù)列｛4｝中的各項均大于0,

則d>0,由于7+a；+%=8,則a；+2a3-8=0,

解得%=2或%=—4（舍去）,

22+8d1

所以2-生—1—4d

axa32—2d\-d

因為q=%-2d=2-2d>0,所以0〈d<l,

4/(x)=---4x-l(0<x<l),

1-x

第12頁/共23頁

則/'(X)="TT—4,由/'(x)=0,得"^一4=0,得(1—x)2=1,解得x=J_或x=1_(舍

(1-x)-(1-X)422

去).

當0<x<L時，f\x)<0,當,<x<l時，f\x)>0,

22

所以/*)在上遞減，在上遞增，

1,1,

所以當x=!時，/(X)取得最小值-----——4x—1=—1

21-12

2

所以/(x)e[T+oo),即------的范圍為[T+8).

Q]^^3

故答案為：［T+S)

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.已知函數(shù)/(x)=2^/3COS2-2sin(7i+x)cosx-V3

(1)當xe,求/(x)的最值，及取最值時對應(yīng)的x的值；

(2)在AABC中，A為銳角,且f(A)=V3,a=#>,b+c=2\/3，求AABC的面積.

【答案】⑴九x(x)=2,x=||；篙(x)=l，可

⑵

4

【解析】

【分析】(1)利用誘導公式以及二倍角公式結(jié)合輔助角公式化簡可得/(X)的表達式，根據(jù)XC范圍,

結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案；

(2)結(jié)合(1)的結(jié)果可求出角/,利用余弦定理可求出be的值，利用三角形面積公式即可求得答案.

【小問1詳解】

/(%)=2A/3sin2x+sin2x-V3=2Gx--+sin2x-G

=sin2x-V3COS2X=2sin(2x——),

第13頁/共23頁

7171兀，—7T2兀

/—<X<—,.\-<2x——<——

42633

JT

1<2sin(2x-y)<2,

當2》W，即X=［時，"X)max=2；

當2k9=*即X0時,/(x)min=L

【小問2詳解】

由f(A)=2sin(2幺-鼻=拒，即sin(2Z—四)=業(yè),

332

1Jrjr27r

而A為銳角，0<4<一兀，則—<24----<—，

2333

八，兀兀,兀

24—=一.A——，

333

又。=道),b+c=2-\/3，

由余弦定理得=/+/-2bccos/，即3=(Z?+C)2-36C,即6c=3,

…_1.?,_1.V3_3A/3

..SARr——besinA——x3x——------

“BC2224

18.已知函數(shù)/(x)=e*-、2一。，XER的圖象在x=0處的切線為歹=".

(1)設(shè)g(X)=/(X)+'2—%,求g(%)的最小值;

(2)若左對任意的xe(0,+co)恒成立，求實數(shù)后的取值范圍.

x

【答案】(1)0(2)k<e-2

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出。，再利用導數(shù)判斷函數(shù)g(x)單調(diào)性進而求解最小值；

(2)先將恒成立問題轉(zhuǎn)化為左</口，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性進而求出函數(shù)最小值即可.

VXJmin

【小問1詳解】

f\x)=e-2x,由題意知a=/'(O)=l,

所以g(x)=/(%)+-彳=d_工_］，g'(x)=ev-1

令g'(x)=0得x=0,

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當x<0時,g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

當x>0時,g'(x)〉O,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

故g(X)mm=g(0)=0，即g(%)的最小值為0.

【小問2詳解】

令欣x)=2,則左<〃(x)mm，/(x)=(x—D(e：—xT)(x〉0)

由(1)可知當xe(0,+oo)時6工一工一1>0，

所以當0<x<l時，h'(x)<0,函數(shù)〃(X)在(0,1)單調(diào)遞減;

當x>l時，h\x)>0,函數(shù)丸(x)在(0,+e)單調(diào)遞增；

所以〃(x)mm=〃(l)=e—2，

故左<e-2.

19.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，q=1,且2〃S“+i—2(〃+l)S“=〃(〃+l)(〃eN*).

(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

(2)已知等差數(shù)列｛4｝滿足a=5,其前9項和為63.令c.=3,設(shè)數(shù)列｛c“｝的前〃項和為北，求

證：—<T<—.

34

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

cc1

【分析】(1)由題意可得—-^=—,再結(jié)合當時，a"=S「S"T=〃求出即可；

n+1n2

(2)用基本量法求出｛4｝,利用裂項相消法求出北，適當放縮即可證明.

【小問1詳解】

證明：；2〃5"+「2(〃+1)5"=〃(〃+1)(〃64),二.'—3=1

〃+1n2

???數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列

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C1〃+1

—=l+（n-l）x—=

n2F

可得s—F

...當"22時，an=sn-sn_x=n

當〃=1時，也滿足上式，an=n

【小問2詳解】

證明：?「9"4)=迫=63,，4=7

.??等差數(shù)歹U{〃}的公差d=色子==4—2d=3

：.bn=n+2

111/1、

〃anbn〃（〃+2）2n〃+2

T1、/1、/1、/I1、」1L

??北=彳［（1—［）+（7—二）+（1一〔+…+（-----7）+（--------）］

232435n—1〃+1n〃+2

1/31

二——（----------

22〃+172+2

113

--------+---------->0）.■.?；,<-

n+1n+2

11

,*>&i-北=>0,，數(shù)列｛7；｝是遞增數(shù)列

〃+1〃+3

■g3

20.如圖，在四棱錐尸—45。中，△P48是邊長為2的正三角形，BC=AB,AD//BC,

BC=2AD,AB1BC,平面尸，平面ABC。.

第16頁/共23頁

AD

(1)設(shè)平面R48c平面PCD=/，問：線段P3上是否存在一點E,使〃/平面4DE?

(2)平面尸45與平面PCD的夾角的余弦值.

【答案】(1)存在E為尸3的中點，使///平面/DE

⑵—

2

【解析】

【分析】(1)分別取尸3、尸C的中點￡、R，證明四邊形E72必為平行四邊形，DF//AE,仄而DF//

平面尸48,再由線面平行的性質(zhì)定理得到。E///,即NE///,從而///平面NQE；

(2)由平面048_1_平面48cZ),得出尸。，平面48cZ),建立空間直角坐標系求解.

【小問1詳解】

存在E為尸2的中點，使〃/平面4DE.

分別取尸8、尸C的中點￡、F,連接4E、EF、DF,

EF//BC,EF=-BC,

2

???ADIIBC,BC=2AD,

：.EF/1AD,EF=AD,

..?四邊形EEDN為平行四邊形，，DF//AE,

1?,AEu平面PAB,DF(Z平面PAB,

。廠//平面尸48,

平面PABPl平面PCD=1,DFu平面PCD,

第17頁/共23頁

-.DF//1,：.AE//l,

AEu平面ADE,I(Z平面ADE,

，///平面4DE.

即線段尸8上存在一點E,使///平面

【小問2詳解】

分別取48、8中點0、M,連接尸。、OM,：.0M//BC,

???AB1BC,-?.AB10M,

PA=PB,■-P0LAB,

;平面尸451.平面48cZ),平面尸45rl平面48cz)=48,尸Ou平面P/5,

PO1平面ABCD

以。為原點，以04,OP,(W分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

，P(0,0,回C(-I,2,o),D(1,1,O),

PD=(1,1,-V3)，DC=(-2,1,0),

設(shè)向量加=(x/,z)為平面PCD的一個法向量，

m-PD=x+y-V3z=0,一

則｛___.取x=l,得加

m-DC=-2x+y=0,

又〃=(0,1,0)為平面尸45的一個法向量，

設(shè)平面PAB與平面PCD的夾角為8,

?。/---\2V2

-cos8-cos(m,n)=/.=——，

、/J1+4+32

B

「?平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值為—.

2

第18頁/共23頁

21.已知A48C的三個角A,B,C的對邊分別為。，b,c,c(cosA-A/3sinA)-b-2ac=2.

（1）求角C；

⑵若AB=BC,在A48C的邊NC和BC上分別取點D,E,將ACDE沿線段DE折疊到平面/BE

后，頂點。恰好落在邊48上（設(shè)為點尸），設(shè)C￡=x,當C￡取最小值時，求△尸的面積.

JT

【答案】（1）-

3

（2）140-24

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，進而求得C.

（2）利用正弦定理或余弦定理，結(jié)合基本不等式或三角函數(shù)的最值等知識求得CE取最小值時△尸的

面積.

【小問1詳解】

由正弦定理得sinC（cosN-GsinZ）=sin5—2sinA

sinC(cos4-J3sin/)=sin(/+C)-2sinZ

sinC(cosA=sinAcosC+cosAsinC-2sinA

即V3sin/sinC+sinAcosC=2sin4，

vAG(0,7l),「.sin/〉。，

.?.2sinC+￡=2即sinC+巳兀=1,

6