2022-2023學(xué)年遼寧省葫蘆島市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.sin子的值為（）

c

A.B.?2D.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z=（l+i）（2-i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在△ABC中，若acosA=bcosB,則AABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

4.已知平面向量方=（-2,4）,b=（1,2），若向量；I五+石與石垂直，則實(shí)數(shù)2的值為（）

A.-XB.-C.|D.一J

1513oo

5.歐拉公式6漢=因5》+匕團(tuán)》是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域

擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，

依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.復(fù)數(shù)e改為實(shí)數(shù)B.ei對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.\eix—sinx4-icosx\=y/~2D.|出“一/^—的最大值為1

6.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一則tan（—7r+a）+cos（Q—今=（）

A.—B.^―-C.—3—1D.1

zz

7.1fH何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐兒里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰

直角三角形的圓錐為直角圓錐，若某直角圓錐內(nèi)接于一球（圓錐的頂點(diǎn)和底面上各點(diǎn)均在該球

面上），且該圓錐的側(cè)面積為7~2兀，則此球的表面積為（）

A.\T~2nB.27rC.2A/-2TTD.47r

8.已知函數(shù)/（x）=sin（3X+今，對(duì)于VxeR,/（x）<fg且/㈤在區(qū)［0喘］上單調(diào)遞增，

則?的最大值是（）

A.gB1C.^D,^

666o

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.下列命題中，真命題有（）

A.若復(fù)數(shù)z「Z2滿足Zi+Z2WR,則Zi6R且Z26R

B.若復(fù)數(shù)4=*2,則z/zeR

C.若復(fù)數(shù)Zi，Z2滿足=反I，則Zi=Z2或Z］=z2

D.若復(fù)數(shù)z2為實(shí)數(shù)，則z為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)

10.已知函數(shù)/（%）=Asin（a）x+0）（力>0,a）>0,-n<

W<0）的部分圖象如圖所示，下列說(shuō)法中正確的是（）

A.函數(shù)"X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（—第0）對(duì)稱

B.函數(shù)/⑶的圖象關(guān)于直線"-奈對(duì)稱

C.函數(shù)/Xx）在后,自上單調(diào)遞增

D.函數(shù)"X）在［0,名的取值范圍為［一，3，司

11.已知平面四邊形ABCD,。是4BCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則下列命題正確的是（）

A.若南?而=0,則四邊形4BC0是正方形

B.^\AB+AD\=\AB-AD\,則四邊形4BCD是矩形

C.若|函-而|=|函+而-2方|，則△ABC為直角三角形

D.若動(dòng)點(diǎn)P滿足而=耐+皿,力，w+罰4c…）（m>0）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)

v\AB\s\nz.ABC\AC\s\nZ.ACB

△4BC的重心

12.在長(zhǎng)方體ABCO-aBiGO1中，441=48=240=2,M,N分別為4避「CC1的中點(diǎn)，

則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.MN1BD

B.三棱錐&一BMN的體積為g

C.三棱錐a-BMN外接球的表面積為57T

D.直線被三棱錐當(dāng)-BMN外接球截得的線段長(zhǎng)為學(xué)

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.^tana=2,則cos2a+4sinacosa—2=

14.二面角a--6的大小為60。，4,B分別在兩個(gè)面內(nèi)且4,B到棱的距離都為2,且SB=5,

則AB與棱，所成角的正弦值為.

15.將函數(shù)〃%)=5也(2%-1)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將所得圖象向上平移1個(gè)

單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求出g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo).

16.在AABC中，有彳^?(而一區(qū))=3旅?(瓦？一前)，則tanB的最大值是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知非零向量為，3滿足|@|=1,且(2五+1)(2元一])=3.

⑴求|方|；

(2)當(dāng)為.]=—：時(shí)，求|21++和向量石與2五+3的夾角。的值.

18.(本小題12.0分)

如圖，在正三棱柱4BC-&B1C1中，E,尸分別為棱441，BC的中點(diǎn).

(1)證明：A/7/平面BEQ；

(2)證明：平面BEG_L平面BBiGC.

19.(本小題12。分)

已知a,0為銳角,tana=",cos(a+0)=-

(1)求COS2Q的值；

(2)求tan(夕一a)的值.

20.(本小題12.0分)

已知△力BC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.c=2,2sin(C+》=彳.

⑴求A：

⑵若BC邊上的中線4M為「，求b.

21.(本小題12.0分)

如圖，在多面體ABCDEF中，菱形力BCD的邊長(zhǎng)為2,Z.BAD=60°,四邊形8DEF是矩形，平

面BDEFJ"平面4BC0,BF=3.

(1)在線段FC上確定一點(diǎn)“，使得平面BDH〃平面4EF；

(2)設(shè)G是線段EC的中點(diǎn)，在(1)的條件下，求二面角4—HG—B的大小.

22.(本小題12.0分)

在△ABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.己知4B1A0,^ACD=^,AD=O,

S^ABC=———R4?能,函數(shù)/(%)=yT^^asinx+bsinZx)+acosx-bcos2x-

(1)若a=b=1,求f(x)的值域；

(2)若對(duì)于任何有意義的邊a,“為-130在久€(-也芻上有解，求b的取值范圍.

AD

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：sin學(xué)^=sin(4兀+J)=sinJ=卒.

4'4，42

故選：D.

由題意利用誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值即可求解.

本題考查了誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義，屬基礎(chǔ)題.

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z后可得其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(3,1),從而可解.

【解答】

解：z=(l+i)(2-i)=3+i,

故z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(3,1)在第一象限，

故選：A.

3.【答案】D

【解析】解：由正弦定理asinA=bsinB化簡(jiǎn)已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB,

???^sin2A=~sin2B,

：.sin2A=sin2B,又4和B都為三角形的內(nèi)角，

2A=2B或24+2B=兀，即4=B或4+8=p

則A/IBC為等腰或直角三角形.

故選。

利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，再根據(jù)二倍角的正弦函數(shù)公式變形后，得到s譏24=s仇2B,由A和

B都為三角形的內(nèi)角，可得4=8或A+B=90°,從而得到三角形ZBC為等腰三角形或直角三角形.

此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識(shí)有正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)

的圖象與性質(zhì)，其中正弦定理很好得解決了三角形的邊角關(guān)系，利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式是

本題的突破點(diǎn).

4.【答案】D

【解析】解：平面向量五=(一2,4),b=(1,2).向量4萬(wàn)+方與方垂直，

則a五+石)不=。即;i五.石=_石、

故;1(一2+8)=-(I2+22),解得；I=-1.

O

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：由e'x=cosx+isinx,

可得e貨=cos5+isin5=i,是純虛數(shù)，故4錯(cuò)誤：

el=cosl+isinl,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(cosl,sinl),位于第一象限，故3錯(cuò)誤；

elx—sinx+icosx=cosx+isinx—sinx+icosx=(cosx—sinx)+(cosx+sinx)i,

\elx—sinx+icosx\=\(cosx—sinx)+(cosx+sinx)if

=J(cos%—sinx)2+(cosx+s譏%/=\f-2,故C正確；

eix—y/~-3—i=(cosx-V-3)+(sinx-1)3

\eix—7-3-t|=I(cosx-7-3)+(sinx-l)f|

=J(cosx—7-3)2+(sinx—l)2=Vcos2%+sin2xH-4—2sinx—lyT^cosx

=J5—4(^sinx+cosx)=J5-4s譏(x+,),

??.|e比一C—i|的最大值為3,故。錯(cuò)誤.

故選：C.

由e氏=cosx+isinx,逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.

本題考查復(fù)數(shù)的三角形式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：由題意得tana=—sina=?，

則tan(—兀+a)+cos(a—^)=tana+sina=-y[~3+/=-三.

故選:A.

由已知結(jié)合三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式即可求解.

本題主要考查了三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：由于一直角圓錐內(nèi)接于球，

如圖所示：

故圓錐的底面直徑為BC,即球的直徑；設(shè)球的半徑為R,

由于圓錐的母線48=CR，

所以S側(cè)=兀?R?=，2兀，解得R=1；

故S球=4?兀?R2=4兀.

故選：D.

首先根據(jù)圓錐和球的關(guān)系求出球的半徑，進(jìn)一步求出球的表面積.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：球和圓錐的關(guān)系，球的半徑的求法，球的表面積公式和圓錐的側(cè)面積公式,

主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閷?duì)于VxeR,f(x)W/(兀)所以/(x)在x=兀時(shí)取得最大值，

貝IJOOT+J=2/OT+與，k&Z,所以3=7+2k,keZ,

5z6

又/(x)在區(qū)間[0,句上單調(diào)遞增,

所以3>0且箸+?解得0V343,

1ODZ

當(dāng)左=1時(shí)，3=挈，所以3的最大值是挈.

OO

故選：C.

由不等式恒成立得到/(%)在T=兀時(shí)取得最大值，再利用函數(shù)的單調(diào)性，從而求出3的最大值.

本題考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，不等式恒成立的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：對(duì)于4令Zi=l+i,z2=1-iy則Zi+z2=2eR,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：令Z]=a+bi,Q,b￡R,則Zi=a—bi,所以Z2=Q—bi,

所以Z1Z2=(a+bi)(a—bi)=a24-b2e/?,故8正確；

對(duì)于C：令Zi=4+3i,？2=3+4i,則衛(wèi)=3-43氏|=V42+32=5,反|=732+(-4)2=5,

滿足=\z2\y故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：令2=0+兒，a,b￡R,則z?=(a+Z?i)2=M—力2+2時(shí)3

因?yàn)閦?為實(shí)數(shù)，所以2ab=0,所以Q=0或b=0,

當(dāng)二1時(shí)z=a+bi=bi為純虛數(shù)，當(dāng)f二%時(shí)z=Q+加=Q為實(shí)數(shù)，

3W0IQH0

當(dāng)｛￡”時(shí)2=。+兒=0為實(shí)數(shù)，故。正確.

故選：BD.

利用特殊值判斷4、C,根據(jù)共加復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算判斷B、D.

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解:根據(jù)函數(shù)f(%)=Asin(a)x4-^>)(24>0,a)>0,-n<(p<0)的部分圖象,

可得4=2,六％宗冷，二3=2.

再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得2<p=0,.?9=一手/(x)=2sm(2x-y).

令％=一去求得人吟=0,可得函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-竽,0)對(duì)稱，故A正確.

令》=-某求得f(x)=0,可得函數(shù)〃X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-/0)對(duì)稱,

不關(guān)于直線x=-4寸稱,故B錯(cuò)誤.

在區(qū),芻上，2x-ve函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，故C正確.

q14Jb3

在[0,芻上，2x-ve[-v4]>函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇一2,，a，故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

由題意，根據(jù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)(函數(shù)的最大值)求出4由周期求出3值，根據(jù)五點(diǎn)法作圖求出仍

可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.

本題主要考查根據(jù)函數(shù)y=4sin0x+w)的部分圖象求函數(shù)的解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),

屬于中檔題.

11.【答案】CD

【解析】解：對(duì)于4由荏?荷=0得4。1AB,但四邊形4BCD不一定是矩形，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,由|通+彳萬(wàn)|=|荏一而平方可得而?同=0，即力。148,但四邊形4BC0不一定

是矩形，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，由|萬(wàn)？一而|=|瓦？+赤一2元|，可得|瓦？|=\OA-OC+OB-OC\^V\BA\=\CA+

CB\，^\CA-CB\=\CA+CB\，

兩邊平方可得：CACB=0,-.CALCB,所以△ABC為直角三角形，故C正確；

對(duì)于。，作4E_LBC于點(diǎn)E,由于|荏|sinB=|就|sbiC=|荏|，D

所以而=市+叫而點(diǎn)謝+|祠s3cB)6>°)'即赤=//

方+病須+硝，BEc

即而=奇(荏+而)，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△力BC的重心，故D正確.

故選：CD.

直接利用向量的模，三角形形狀的判定，重心定理的應(yīng)用逐一判斷各選項(xiàng)即可.

本題考查平面向量的模，重心在三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】解：如圖，以。為原點(diǎn)，以ZM,DC,DDi所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，

對(duì)于4,由于。(0,0,0),B(l,2,0),N(0,2,1),

則亦=(一1,—2,0),M/V=(-1,1,-1),前?麗=-1#0，BD與MN不垂直，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由圖可知三棱錐BMN的體積為界卜1x2XIB正確；

對(duì)于C,E為MN的中點(diǎn)，由于4MBiB=90。，所以EM=EB=EB[=?，

又EQ,?,1),N(0,2,l),所以EN=J#+G)2=票可見(jiàn)E正是三棱錐/一BMN外接球的球心，

且外接球半徑為華，其表面積為4兀x：=5兀，C正確；

對(duì)于。，尸為上點(diǎn)，令EF二年

由余弦定理可得cos""=舟券=%

2

所以COSNFEB=—cos2z.EBA1=1-2cosZ.EBA1=—

5549

2

-+-+XXX-=-

所以FR2=4452

即直線被三棱錐&-BMN外接球截得的線段長(zhǎng)為亨，D正確.

故選：BCD.

以。為原點(diǎn)，以04DC,。/所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合圖形分析各

選項(xiàng).

本題主要考查立體幾何相關(guān)計(jì)算，屬中檔題.

13.【答案】一卷

【解析】解：原式=cos2a+4sinacosa—2

cos24sinacosa?

=----5-----；-----2

sina+cosza

cos2a+4sinacosa

______cos2a________2

sin'a+cos2a

cos2a

cos^g?4sinacosa

一cos2acos2an

1—222

sina^_cos^tr

cos2acos2a

l+4tana

=---5—--2o

tanza+l

1+4x201

=-5-----Z=-7，

2Z+15

故答案為:-

將原式轉(zhuǎn)化為齊次分式，化弦為切求解即可.

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】|

【解析】解：如圖所示，作4cIE,BD1I,其中C,。分別為垂足，則4C=BO=2,AB=5,

在面/?內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作CE〃。a且CE=DB,連接BE,AE,則四邊形CEBD為平行四邊形，

所以BE〃，，所以44BE為48與棱I所成的角，

因?yàn)锽D〃CE,所以1_LAC,/1CE,所以N4CE為a—/一口的平面角，即乙4CE=60。，

所以AACE為等邊三角形，所以AE=2,

因?yàn)?E〃，，I，平面4CE,所以BEJL平面4CE,

因?yàn)锳Eu平面4CE,所以BE1AE,

所以sin乙4BE=需*,即4B與棱/所成角的正弦值為去

AD□□

故答案為：|.

作Ad,BD1l,其中C,。分別為垂足，在面口內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作CE〃CB,且CE=DB,連接BE,AE,

根據(jù)二面角的定義，可得N4CE=60。，再利用平移的思想，知乙4BE即為所求.

本題考查空間角的求法，理解二面角、異面直線夾角的定義與找法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體

感、運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】(一11)(不唯一)

【解析】解：???/(x)=sin(2x-1),

:.g(x)=/(x+1)+1=1+sin(2x+1),

令2%4-1=kn(kEZ),

則X=竽的6Z),

.1.g(x)圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(K展,l)(keZ),

令k=0,得g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)(一表1).

故答案為(一；,1)(不唯一).

由題意，可得g。)=l+sin(2x+l),利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得g(x)圖象的對(duì)稱中心，從而可

得答案.

本題考查函數(shù)y=Asin(3x+s)的圖象變換，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】等

【解析】解：由布?(而一而)=3近?(瓦？一萬(wàn))，

可得：AB-AC-AB-CB=3BC-BA-3^C-AC^

即4雨衣=福刀+3萬(wàn)Q，

即gx(a2+c2-b2)=x(b2+c2-a2)+1x(a2+b2-c2),

整理得:a2+3c2=4b2,

.."=吆/=史巴誓也=居里*+42值五=?，

2ac2ac2ac8c8a\8c8a4

當(dāng)且僅當(dāng)壽=2即c=Ca時(shí)等號(hào)成立，

8c8a

在△ABC中，B為銳角，要使tcmB最大，則cosC取最小值,

.?"=、/cos2B=f

.DsinB<39

tanB=--=-F=-=--

cosBv_23

4

tanB的最大值為：等.

由條件即平面向量數(shù)量積的概念與余弦定理化簡(jiǎn)可得：a2+3c2=4b2,再由余弦定理及基本不

等式求出cosB的最小值，從而求得.

本題考查平面向量與余弦定理，基本不等式的綜合運(yùn)用，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)???(2五+斤)-(2為一區(qū))=3,

.??4226=3，??,|Q|=1,.*.|/?|=1:

(2)va-K=-1,

\2a+b\=J(2五+石A=』4a2+4a-b+bZ=J4+4x(-^)+1=<3>

b-(2a+b)=2a-b+b=2x(—g)+1=0，

5(2a+g)

：?cosd=

|b||2a+S|一

v9e[0,;r])9=.

【解析】（1）由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算即可；

（2）由平面向量的夾角公式直接計(jì)算.

本題考查平面向量的數(shù)量積與夾角，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】證明：（1）連接8停,設(shè)&CnBCi=G,連接EG,FG,

因?yàn)镕為BC中點(diǎn)，G為SC1中點(diǎn)，

所以GF〃CC],EF=：CCi，

又在棱柱中，E為A4中點(diǎn)，

所以AE〃（:G，4E=gcCi，

AE//GFE.AE=GF,

故AFGE為平行四邊形，所以4F〃EG,

又4FC平面BEC1，EGu平面BEC「

故4/7/平面BEG；

（2）在正三棱柱力BC-AiBiQ中，F(xiàn)為棱BC的中點(diǎn)，

則4F18C,因?yàn)槠矫鍭BCJ_平面BCQB],

平面ABC介平面BCC/i=BC,所以AF1平面8。。出，

由（1）知,AF//EG,所以EG1平面BCG/,

又EGu平面BEG，所以平面BEC】J_平面BBiCiC.

【解析】（1）連接當(dāng)配設(shè)8iCCBCi=G,連接EG,FG,可證4FGE為平行四邊形，得到4F〃EG,

根據(jù)線面平行的判定定理，即可得證；

（2）在棱柱中，先證4F1平面BCGB1，從而得到EGJL平面BCGB1，根據(jù)面面垂直的判定定理，即

可得證.

本題考查空間中線面平行和線面垂直于面面垂直的判定，考查轉(zhuǎn)化能力與推理能力，屬中檔題.

cos2a—sin2a1—tan2a

19.【答案】解:(l)cos2a=

cos2a+sin2a1+tan2a

i,c2tana14

(2)由tana=4,得=須2。=匚嬴兀=n=§,

因?yàn)閍,/?為銳角，所以a,￡6（0,今，則。+/?€（0,兀）,

又因cos(a+0)=一0，

所以sin(a+/?)=1cos2(a+0)=—,

所以tan(a+￡)=一第,

tan2a—tan(a+/?)

則tan(a-/?)=tan[2a—(a+夕)]=

l+tan2atan(a+/?)

所以tan(夕_￡)=.,

【解析】（1）根據(jù)二倍角的余弦公式結(jié)合商數(shù)關(guān)系及化弦為切即可得解；

（2）先利用二倍角的正切公式求出t（m2a,再根據(jù)平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系求出tan（a+夕），再根據(jù)

tan（a一。）=tan[2a-（a+。）]利用兩角差的正切公式即可得解.

本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及和差角公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(l)?.?c=2,2s出(C+*=等，2s譏(C++=?=啊鬻叱

???y/~3sinC4-cosC=sinB+s^nC

stnA9

即J"5s出CsinA+sinAcosC=sin(4+C)+sinC，

:.\/~3sinCsinA=cosAsinC+sinC,

sinCHO,\T~3sinA=cosA+1,

???sin(A=

，力一江(一也汾一”=當(dāng)

(2)由題意可得祠=；(而+四)，

即AM=—(AB+AC+2AB?AC^=—(￡>^++be)=%(b?+4+4b),

b2+2b-8=0,解得b=2(負(fù)值舍去).

【解析】(1)由已知結(jié)合正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合輔助角公式可求；

(2)由已知結(jié)合向量數(shù)量積的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)可求.

本題主要考查了正弦定理，和差角公式及輔助角公式在三角化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，還考查了向量數(shù)量積

的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)H為線段FC的中點(diǎn).證明如下：在菱形48co中，連接AC與BD交于點(diǎn)。，

于是。為4C中點(diǎn)，在△4FC中，?！睘橹形痪€，所以。“〃力F,

又因?yàn)樗倪呅蜝DE尸是矩形，BD//EF,AF,EFu平面4EF,

OH,BDu平面BDH,且OHCBD=。，所以平面4EF〃平面BOH.

(2)分別取EF,HG,0C中點(diǎn)M,N,P,連接M。，MA,MC,NP,NO,NA,

E

于是，N為線段MC中點(diǎn)，易知I,在矩形2DEF中M。1BD,菱形ABCZ）中4cd.BD,

且MOC4C=O,MO,力Cu平面AMC,所以BD1?平面4MC,

又G〃為△CEF的中位線，故GH“EF旦BD"EF,所以GH〃BD.

所以GH，平面4MC,又AN,ONu平面4MC,

所以GHJ.AN,GH1ON,所以乙4N。為二面角4-HG-B的平面角，

由已知I,平面2DEF_L平面4BCD,平面BDEFC平面4BCD=BD,

MOu平面BDEF,且MO1BD,可得M01A8CD,

又NP為ACM。的中位線，所以NP〃MO,且NP=^MO=|,

所以NP1平面4BCD,進(jìn)而NP_LAP,

在菱形4BCD中，4。=<3,P。=半，4P=40+P0=拶，

在直角ANP4中，tanz_M4P=絲=孕，所以4M4P=，，

AP3°

在直角ANPO中，tan乙NOP=^=C，所以NNOP=￡

所以〃N。=LNOP-乙NAP=%即二面角A-HG-B的大小為也

oo

【解析】（1）證明。H〃4F，8D〃EF即可得；（2）證明GH，平面4MC,則4AN。為二面角4-HG-B

的平面角，由此計(jì)算平面角的大小即可.

本題考查線面垂直，面面垂直，二面角，屬于中檔題.

22.【答案】解：(1)由題意可知：/(%)=V-3(nsmx4-bsin2x)4-acosx-bcos2x

=a(yT3sinx+cosx)+b(yj~3sin2x—cos2x)

=2asin(x+[)+2bsin(2x—1),

a=b=1,

???/(%)=2sin(x+2)+2sin[2(x+2)一芻=2sin(x+^)—cos[2(%+，)]2sin(x+^)—2[1—

2sm2(x+'

=4sinz(%+*)+2sin(x+看)-2=4[sin(x+看)+^]2—'，

令t=sin(x+5)W[-1,1],

??f(t)=4(t+；)2—拋物線開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為t=—~6[—1,1],

???當(dāng)”-=時(shí),/■⑴最小且為4

|1_(_")1>I-1-(-7)b

.?.當(dāng)t=l時(shí),/(，)最大且為4(1+；)2-[=4,

??./(乃的值域?yàn)閇一也4].

(