中學(xué)數(shù)學(xué)必修四復(fù)習(xí)題

一、填空題:

1.巳知扇形的半徑是16,圓心角是2弧度，則扇形的弧長是.

【答案】32

2.函數(shù)尸an(2x9)的圖象與直線產(chǎn)-a(adR)的交點(diǎn)中距離的最小值為.

【答案】=

【解析】尸an(2W)的最小正周期仁》故尸an(2x$與尸〃的交點(diǎn)中距離的最小值為今

3.在△ABC中，AE=^AB,EF〃BC交AC于點(diǎn)、F,設(shè)相=a，AC=b,用a，b表示向量才為.

【答案】—a

IT2sin(-a)-cos(ir+a)

4-己知cosq+a尸2cos(兀-a),則sin1石+c°N羅a)

【答案】3

.2V52V5

sina=——,sina=------,

【解析】通解由cos(1+a)=2cos(兀-a)得sina=2cosa,又cos2a+sin2a=],所以5成，A則

Vs

cosa=——cosa=

5

2sin(-a)-cos(n+a)-2sina+cosa

.................---=3

sin(j-a)+cos(^-a)cosa-sina

2sin(-a)-cos(n+a)_-2sina+cosa-3cosa

優(yōu)解由cos(1+a)=2cos(兀-a)得sina=2cosa,所以:

si嗎-a)+cos(乎-a)cosa-sina-cosa=3?

5.圓的一段弧長等于這個圓的內(nèi)接正三角形的一條邊長，那么這段弧所對的圓心角的弧度數(shù)為.

【答案】V3

【解析】設(shè)圓的半徑為r,則其內(nèi)接正三角形的邊長為a=gr,故弧長l=a=V5r,所以這段弧所對的圓心角的弧

度數(shù)為吟哼二^

6.已知向量荏與的夾角為120。,且|同|=2,前|=3,若族=文血+元,且?_L阮,則實(shí)數(shù)2的值為.

【答案】5

［解析］由麗?瓦=?布+前)?(而-近)=0得露耳前：(荏尸+(前＞-前?布=00-3九42+9+3=

°7?

7.已知6G(0,7T),且sin(。_)=叫，則sin。+cos。=.

【答案嗎

【解析】因?yàn)閟in(6_：)=y(sin0-cos0)=率.sin0-cos0=疝1-2sin0cos0=^,2sin0cos0=^>

0,依題意知：9G(0,1),又(sin。+cos0)2=14-2sin0cos0=

7、7

sin。+cos0—g.故答案為g.

8.己知向量荏_L屁，|而|=5，\BC\=3.則荏?而=.

【答案】16

【解析】由已知條件構(gòu)造RtAABC,斜邊AC,則前2=前2一屁2,而=m_配，則易求荏.血的值.由已知條件

構(gòu)造RtAABC,斜邊AC,^AB2=AC2-BC2=if>,AC=AB+前，則荏AC=AB-(AB+'BC)=AB2=\6.

9.將函數(shù)/W=sin(oxW)+l(°>0)的圖像向左平移三個單位,所得圖像關(guān)于y軸對稱，則正數(shù)3的最小值為

【答案】2

這時函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，所以?E=也+上。=3k+2,七乙所以正數(shù)。的最小值為2.

JOL

10.已知在AABC中,向量荏與前的夾角為|前1=2,則II目的取值范圍是______.

O

【答案】(0,4]

【解析】；而1=1荏+骸=函2+就|2+2|函函|cos*,，l福2+而|2_百|(zhì)福阮|=4,把阮I(lǐng)看作未知

量，得到一個一元二次方程阮|2-㈣荏II前|+(|A8|2-4)=0,這個方程的判別式

」=(-回福)2-4(|畫2一4)=16"函2加,.?.一但宿W4,依據(jù)實(shí)際意義知0<|^B|<4.

11.若cosxcosy+sinxsin)帶則cos(2v_2y)=.

【答案】】

【解析】由cosxcosy+sinxsinnJMlcos(x-y)=g,則sin2(x-y)=l-cos2(x-y)=1-(-)2=r,

33"39

cos(2x-2y)=cos2(x-y)-sin2(x-y)=(-1)28--=--7.

oyy

12.設(shè)向量a=(1,2),b=(—2,6),且?！ㄍ邉t2。+3b=.

【答案】(一4,-8)

【解析】由a〃b得,1xm+2x2=0,解得m=-4,所以b=(-2,-4),2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=

(—4,—8).

13.已知角0的終邊在第三象限,tan2敘-2&,則tan0=,cos9=.

【答案】鼎更

3

【解析】由tan2"-2企得tan2月二:%二.2&,即@aNJ-ian。-/=0,解得lan。二&或tan。二等，又角。的終

邊在第三象限，故tan敘迎,故氏=/，由sin20+cos20=l得cos20=1,即cos0=~.

14.化簡:嘩R嘩飛

cos(j+a)+cos(--a)-----------

【答案】V3

_._,2sin-costzn

【解析】原式=;-I---=tan-=V3.

2cos-cosa3

15.將函數(shù)尸sinx的圖象向左平移:個單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮為原來的右縱坐標(biāo)不變，便

得到函數(shù)式x)的圖象，則解析式為.

【答案】/(x)=sin(2x+5

【解析】將函數(shù)y=siM的圖象向左平移E個單位，則所得圖象對應(yīng)函數(shù)的解析式為尸sin(x+),再將所得圖

象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮為原來的右縱坐標(biāo)不變，便得到函數(shù)段)的圖象，則f(x)=sin(2x+》.

16.函數(shù)y=sin(2x+,)(0<<p<)圖象的一條對稱軸是x=已則卬的值是一.

【答案w

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=sin(2x+9)(0<<p<與圖象的一條對稱軸是x=2所以sin俱+3)=±1,又因?yàn)椤?lt;

V<飄吟<?+9<g，即？+0=*解得8=*故填率

Zoo<5。43n

17.已知|Q|=3,網(wǎng)=5,且a-b=12,則向量a在b方向上的投影為—.

【答案】Y

【解析】由a?b=12得|a||6|cos0=12,而|a|=3,\b\=5,所以cosJ=g,所以|a|cos8=3x(=晟所以

向量a在b方向上的投影為當(dāng).

18.當(dāng)時,函數(shù)4x)=sinx-3cosx取得最大值，則cos?的值為.

【答案】一見電

10

【解析】因?yàn)?(%)=sinx-3cosx=-/10(sin%,答—cosx1^=VT0sin(x—3)淇中cos。=嚕,sin(p=邛V

當(dāng)於)取得最大值時，?！猈=；+2/CTI,cos。=cos管4-2fcn+卬)=—sintp=一號"，故填券

19.已知a6(一,0),且cos2a=sin(a-則tan]等于.

【答案】—趙

3

【解析】由cos2a=sin(a-》有2cos2a+cosa-1=0,而ae(一],0),解得cosa=今得a=一去故tan￡=

tan(—

63

4

20.己知B為銳角,cos2B=一1，則cos石二.

【答案】*

4/]0

【解析】由cos2B=-=可得2cos23-1=一4],而8為銳角，所以所以cosB="

5510

二、解答題

21.已知函數(shù)/(%)=sin(6ox+9)(3>0,0<(P<n)為偶函數(shù)，且其圖象上相鄰的一個最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間

的距離為V4+收.

(I)求f。)的解析式；

(II)若/(a)+sina=求我絲也的值.

31+tana

【答案】解：(I)因?yàn)?'(x)=sin(3X+0)(3>0,0W04TT)為偶函數(shù)，故W=去

從而/'(x)=sin(3x+])=costox.

由/(%)圖象上相鄰的一個最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間的距離為"TR，知T=2n,故3=1.所以/(x)=cosx.

2

sin2a-cos2a+l2sinacosa+2sina=2sinacosa

(11)原式=1+列更c(diǎn)osa+si前

cosacosa

由條件知cosa+sina=|,平方得1+2sinacosa=.

從而原式=2sinacosa=

9

22.已知函數(shù)f(%)=1+2sin(2x-g).

(1)當(dāng)％G[p=],求兀v)的最大值和最小值.

(2)求/U)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間.

⑶若不等式段)-m<2在冗6冷勺上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)因?yàn)橐?lt;x<—,

42

717127r

所以一<2x---<—.

633

jrjrS

當(dāng)24-1=1，即犬=乃"時，./

當(dāng)y

~6即」;1時，

(2)最小正周期T=2三=7t.

(0

令一1+2上江工2x—gw]+2/c7r(keZ)

得一9+kn<x<^+kn(kEZ).

所以單調(diào)遞增區(qū)間為

[——+kic,j+fczr](kGZ).

一、itit

(3)由題設(shè)條件可知一人》對x€恒成立,

nn

又當(dāng)

XC712

所以,所以

23.已知向量?=(1,2),6=(-1,3),。=4。+6]eR.

(1)求向量a馬b的夾角&,

(2)求|c|的最小值.

【答案】⑴?.?|。|=倔步|=6。。為=5,

?Zj_Cl-b5y[2

??COS\J--="z=-7==—.

|a||d|V5xV102

:ow-咐.

(2)V|c|=7(Aa+b)2=<5(/1+1)2+5,

.?.當(dāng))=-l時,|c|取得最小值，即|c|min=*.

24.已知A,B,C的坐標(biāo)分別為A(4,0),仇0,4),C(3cos?,3sina).

⑴若aw(-兀,0),且庇|=|瓦]求角a的值；

(2)若前?品=0,求2sin"+sin2a的值

1+tana

【答案】⑴前二(3cosa-4,3sina),BC=(3cosa,

3sina-4).

由|前1=1前I,得(3cosa-4)2+9sin2a=9cos2a+(3sina-4)2,所以sina=cosa.

因?yàn)??！?-兀,0),所以。=

4

(2)因?yàn)?sm"+sin2a=

1+tana

2sinacosa(cosa+sina)3.

------------------------=2sinacosa,

cosa+sina

又而近二0,

所以3cosa(3cosa-4)+3sina(3sina-4)=0.

3

所以sina+cosa=-.

4

兩邊平方得2sinacos,

所以2sin2a+sin2a7

1+tana16

25.已知點(diǎn)A(2,0),B(0,2),C(cosa,sina)(其中0<a<7t),O為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴若I。？+能仁夕，求方與友的夾角；

(2)若前，求tana的值.

【答案】(1)由已知得函+近=(2+cosa,sina).

<*,\OA+^C\=y/7,(2+cosa)24-sin2a=7,B|J4+4cosa+cos2a+sin2a=7,cos

又aCQ.sina],.?.泥=(凈

而祝會0+fX2二6

又^^=(0,2),/.cosZBOC=1X2-2'

I函-國I

NBOC=*故而與方的夾角為？

oo

(2)由已知得前二(cosa-2,sina),反二(cosa,sina-2),

VJC±FC,.'.^CFC=O,

/.cosa(cosa-2)+sina(sina-2)=0,sina+cosa=1.

-IQ

；?兩邊平方得(sina+cos4=-,即2sinacosa+-=0,

44

3

即2sinacos(sin2a+cos2a)=0,

4

即3sin2a+8sinacosa+3cos2a=0.

兩邊同時除以cos2a,W3tan2a+8tana+3=0,

解得tana=±立或士2

33

3

2sinotcosa=—<0ae(0,兀),sina>0,cosa<0.

49

又sina+cosa=->0,/.sina>-cosa,.*.^^-<-1,

2cosa

即tana<-1,/.tana=~4--^>-1應(yīng)舍去，故tana=±亞.

33

26.已知年三.

（I）若。與I的夾角為60。，求,力卜（0：聞；

（H）若（"=61,求。與I的夾角.

【答案】（I）：I正勺壯三，<>與）的夾角為60°,二"bubcosf.U

，(0+一\h\=a=-11.

(11)???(％-必)?(“，6㈤-\abM'=37-5。=61，，。??「，，

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