甘肅省蘭州大學(xué)附中2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖所示：在正方體中，設(shè)直線與平面所成角為，二面角的大小為，則為（）A． B． C． D．2．在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．3．的內(nèi)角的對邊分別為,邊上的中線長為,則面積的最大值為（）A． B． C． D．4．若某市所中學(xué)參加中學(xué)生合唱比賽的得分用莖葉圖表示（如圖），其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．91 B．91.5C．92 D．92.55．在平面直角坐標(biāo)系中，過點的直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點，則的面積的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．46．等差數(shù)列的首項為.公差不為，若成等比數(shù)列，則數(shù)列的前項和為（）A． B． C． D．7．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則最大角的余弦值為（）A． B． C． D．8．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．9．在△ABC中，AC，BC＝1，∠B＝45°，則∠A＝（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°10．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則的最小值為_______．12．如圖，在內(nèi)有一系列的正方形，它們的邊長依次為，若，，則所有正方形的面積的和為___________.13．已知向量，，，則_________.14．已知函數(shù)的最小正周期為，若將該函數(shù)的圖像向左平移個單位后，所得圖像關(guān)于原點對稱，則的最小值為________.15．在中，角的對邊分別為，若，則角________.16．函數(shù)（）的值域是__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等差數(shù)列的前n項和為，關(guān)于x的不等式的解集為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和.18．的內(nèi)角的對邊為，（1）求；（2）若求．19．精準(zhǔn)扶貧是鞏固溫飽成果、加快脫貧致富、實現(xiàn)中華民族偉大“中國夢”的重要保障.某地政府在對某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)實施精準(zhǔn)扶貧的工作中，準(zhǔn)備投入資金將當(dāng)?shù)剞r(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行二次加工后進(jìn)行推廣促銷，預(yù)計該批產(chǎn)品銷售量萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）與推廣促銷費萬元之間的函數(shù)關(guān)系為（其中推廣促銷費不能超過5千元）.已知加工此農(nóng)產(chǎn)品還要投入成本萬元（不包括推廣促銷費用），若加工后的每件成品的銷售價格定為元/件.（1）試將該批產(chǎn)品的利潤萬元表示為推廣促銷費萬元的函數(shù)；（利潤=銷售額-成本-推廣促銷費）（2）當(dāng)推廣促銷費投入多少萬元時，此批產(chǎn)品的利潤最大？最大利潤為多少？20．某產(chǎn)品具有一定的時效性，在這個時效期內(nèi)，由市場調(diào)查可知，在不做廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣出b件；若做廣告宣傳，廣告費為n千元比廣告費為千元時多賣出件。（1）試寫出銷售量與n的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時，廠家應(yīng)該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，做幾千元的廣告，才能獲利最大？21．在中，邊所在的直線方程為，其中頂點的縱坐標(biāo)為1，頂點的坐標(biāo)為.（1）求邊上的高所在的直線方程；（2）若的中點分別為，，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

連結(jié)BC1，交B1C于O，連結(jié)A1O，則∠BA1O是直線A1B與平面A1DCB1所成角θ1，由BC⊥DC，B1C⊥DC，知∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，由此能求出結(jié)果．【詳解】連結(jié)BC1，交B1C于O，連結(jié)A1O，∵在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，∴BO⊥平面A1DCB1，∴∠BA1O是直線A1B與平面A1DCB1所成角θ1，∵BO＝A1B，∴θ1＝30°；∵BC⊥DC，B1C⊥DC，∴∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，∵BB1＝BC，且BB1⊥BC，∴θ2＝45°．故選A．【點睛】本題考查線面角、二面角的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．2、C【解析】

縱豎坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)．【詳解】點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)為．故選C．【點睛】本題考查空間直角坐標(biāo)系，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

作出圖形，通過和余弦定理可計算出，于是利用均值不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意可知，而，同理，而，于是，即，又因為，代入解得.過D作DE垂直于AB于點E，因此E為中點，故，而，故面積最大值為4，答案為D.【點睛】本題主要考查解三角形與基本不等式的相關(guān)綜合，表示出三角形面積及使用均值不等式是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力，難度較大.4、B【解析】試題分析：中位數(shù)為中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)，所以中位數(shù)為考點：莖葉圖5、B【解析】

利用直線的方程過點分別與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點，可得：，，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，過點的直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點，且構(gòu)成，所以，直線斜率一定存在，設(shè)，，：，，則有：，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)：，即時，等號成立，的面積為：.故選：B【點睛】本題考查了直線的截距式方程、基本不等式求最值，注意驗證等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)等比中項定義可得；利用和表示出等式，可構(gòu)造方程求得；利用等差數(shù)列求和公式求得結(jié)果.【詳解】由題意得：設(shè)等差數(shù)列公差為，則即：，解得：本題正確選項：【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，涉及到等比中項、等差數(shù)列前項和公式的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠構(gòu)造方程求出公差，屬于?？碱}型.7、D【解析】

設(shè)，由余弦定理可求出.【詳解】設(shè),所以最大的角為,故選D.【點睛】本題主要考查了余弦定理，大邊對大角，屬于中檔題.8、D【解析】

利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，逐一判斷各個選項中的函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】由于函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故排除A；由于函數(shù)是偶函數(shù)，但它在區(qū)間上單調(diào)遞增，故排除B；由于函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故排除C；由于函數(shù)是偶函數(shù)，且滿足在區(qū)間上單調(diào)遞減，故滿足條件．故答案為：D【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性的定義和判定方法，以及基本初等函數(shù)的奇偶性是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

直接利用正弦定理求出sinA的大小，根據(jù)大邊對大角可求A為銳角，即可得解A的值．【詳解】因為：△ABC中，BC＝1，AC，∠B＝45°，所以：，sinA．因為：BC＜AC，可得：A為銳角，所以：A＝30°．故選：A．【點評】本題考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、A【解析】

分別考慮即時；即時，原不等式的解集，最后求出并集?！驹斀狻慨?dāng)即時，，則等價于，即，解得：，當(dāng)即時，，則等價于，即，所以，綜述所述，原不等式的解集為故答案選A【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，一元二次不等式的解集，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

運用基本不等式求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，，所以，所以最小值為【點睛】本題考查了基本不等式的運用求最小值，需要滿足一正二定三相等.12、【解析】

根據(jù)題意可知，可得，依次計算，，不難發(fā)現(xiàn)：邊長依次為，，，，構(gòu)成是公比為的等比數(shù)列，正方形的面積：依次，，不難發(fā)現(xiàn)：邊長依次為，，，，正方形的面積構(gòu)成是公比為的等比數(shù)列．利用無窮等比數(shù)列的和公式可得所有正方形的面積的和．【詳解】根據(jù)題意可知，可得，依次計算，，是公比為的等比數(shù)列，正方形的面積：依次，，邊長依次為，，，，正方形的面積構(gòu)成是公比為的等比數(shù)列．所有正方形的面積的和．故答案為：【點睛】本題考查了無窮等比數(shù)列的和公式的運用．利用邊長關(guān)系建立等式，找到公比是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．13、【解析】

根據(jù)向量平行交叉相乘相減等于0即可．【詳解】因為兩個向量平行，所以【點睛】本題主要考查了向量的平行，即，若則，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

先利用周期公式求出，再利用平移法則得到新的函數(shù)表達(dá)式，依據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，求出的表達(dá)式，即可求出的最小值．【詳解】由得，所以，向左平移個單位后，得到，因為其圖像關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，有，則，故的最小值為．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及圖像變換，以及型的函數(shù)奇偶性判斷條件．一般地為奇函數(shù)，則；為偶函數(shù)，則；為奇函數(shù)，則；為偶函數(shù)，則．15、【解析】

根據(jù)得，利用余弦定理即可得解.【詳解】由題：，，，由余弦定理可得：，.故答案為：【點睛】此題考查根據(jù)余弦定理求解三角形的內(nèi)角，關(guān)鍵在于熟練掌握余弦定理公式，準(zhǔn)確計算求解.16、【解析】

由，根據(jù)基本不等式即可得出，然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出，即求出原函數(shù)的值域．【詳解】解：，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，；原函數(shù)的值域是．故答案為：．【點睛】考查函數(shù)的值域的定義及求法，基本不等式的應(yīng)用，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)的定義．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)不等式的解集，得到和，從而得到等差數(shù)列的公差，得到的通項公式；（2）由（1）得到的的通項，得到的通項，利用等比數(shù)列的求和公式，得到答案.【詳解】（1）因為關(guān)于x的不等式的解集為，所以得到，，所以，，為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，所以，所以，所以（2）因為，所以所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.【點睛】本題考查一元二次不等式解集與系數(shù)的關(guān)系，求等差數(shù)列的通項，等比數(shù)列求和，屬于簡單題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）由題目中告訴的，利用正弦定理則可得到，再結(jié)合余弦定理公式求出角的值．（2）根據(jù)第一問求得的的值和題目中告訴的角的值可求得角的值，再利用正弦定理可求得邊和的值．【詳解】(1)由正弦定理，得，由余弦定理，得，又所以．(2)由（1）知：,又所以，又，根據(jù)正弦定理，得，，所以【點睛】本題考查利用正余弦定理求解邊與角．19、(1)；(2)當(dāng)推廣促銷費投入3萬元時，利潤最大，最大利潤為27萬元.【解析】試題分析：⑴根據(jù)題意即可求得，化簡即可；⑵利用基本不等式可以求出該函數(shù)的最值，注意等號成立的條件，即可得到答案；解析：（1）由題意知∴.（2）∵∴.當(dāng)且僅當(dāng)時，上式取“”∴當(dāng)時，.答：當(dāng)推廣促銷費投入3萬元時，利潤最大，最大利潤為27萬元.20、(1)(2)【解析】試題分析：(1)根據(jù)若做廣告宣傳，廣告費為n千元比廣告費為千元時多賣出件，可得，利用疊加法可求得.(2)根據(jù)題意在時,利潤,可利用求最值.試題解析：（1）設(shè)表示廣告費為0元時的銷售量，由題意知，由疊加法可得即為所求。（2）設(shè)當(dāng)時，獲利為元，由題意知，，欲使最大，則，易知，