【校本教材】《高中數(shù)學(xué)思想與方法》校本課程

中學(xué)校本課程

中學(xué)數(shù)學(xué)思想

與常用方法

中學(xué)數(shù)學(xué)組

目錄

前言0

波利亞的怎樣解題表(1)

第一章高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想(8)

函數(shù)與方程的思想方法(9)

分類討論的思想方法(13)

特殊與一般的思想方法(15)

數(shù)形結(jié)合的思想方法(17)

化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法(21)

或然與必然的思想方法(23)

有限與無限的思想方法(25)

第二章高中數(shù)學(xué)解題基本方法(28)

配方法(28)

換元法(31)

待定系數(shù)法(34)

反證法(38)

定義法(41)

數(shù)學(xué)歸納法(44)

序言

美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。

而當我們解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去"套"，這只

是滿足于解出來，只有對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會貫通時,

才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對于數(shù)學(xué)思想方法的考

查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數(shù)學(xué)思

想方法。我們要有意識地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問題解決問題，形

成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。

高考試題主要從以下幾個方面對數(shù)學(xué)思想方法進行考查：

常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參

數(shù)法、消去法等；

數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與

一般、類比、歸納和演繹等；

常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、

轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。

數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識相比較，它有較高的地位和層次。

數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的

推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)

意識，只能夠領(lǐng)會和運用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認識、

處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子,

即使數(shù)學(xué)知識忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對你起作用。

數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行

為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知

識的同時獲得。

可以說，“知識"是基礎(chǔ)，"方法"是手段，"思想"是深化，

提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認識和運用，數(shù)

學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是"能力"。

《高中數(shù)學(xué)思想與方法》課程綱要

一、基本項目

課程名稱：《高中數(shù)學(xué)思想與方法》

課程類型:知識拓展類

授課教師：

授課對象:高二學(xué)生

二、課程目標

高中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時應(yīng)當對數(shù)學(xué)的思想和方法有所了

解和認識，這不僅因為數(shù)學(xué)的發(fā)展為人類文明積累了大量寶貴的科學(xué)

思想和科學(xué)方法，需要學(xué)生去學(xué)習(xí)和掌握，更重要的是為學(xué)生將來能

獨立地開展科學(xué)探究、創(chuàng)新活動奠定堅實的基礎(chǔ)所必須具有的思想與

方法。因此本課程旨在為學(xué)有余力的同學(xué)提供知識拓展并形成系統(tǒng)而

扎實的學(xué)科知識體系，加深對數(shù)學(xué)概念和規(guī)律的理解，達到培養(yǎng)具有

完備的學(xué)科思想和具有獨立科學(xué)探究能力，掌握靈活應(yīng)用學(xué)科知識進

行分析和解決問題的能力，為終身學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，同時，也為

全國奧林匹克競賽發(fā)現(xiàn)人才和選拔人才做準備。

1、知識與技能

A.系統(tǒng)學(xué)習(xí)和掌握高中數(shù)學(xué)知識，深刻理解數(shù)學(xué)的有關(guān)概念，掌

握數(shù)學(xué)相關(guān)規(guī)律。

B.掌握數(shù)學(xué)的科學(xué)思想和科學(xué)方法，初步能應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想和方

法來分析數(shù)學(xué)問題和解決數(shù)學(xué)問題。

2、過程與方法

A.經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，懂得如何進行科學(xué)探究的活動。

B.體會數(shù)學(xué)的科學(xué)思想和科學(xué)研究方法。

C.學(xué)會如何分析數(shù)學(xué)情景，學(xué)會如何進行建模，熟練掌握分析問

題和解決問題的常規(guī)和典型的方法與技巧。

3、情感態(tài)度及價值觀

A.通過對數(shù)學(xué)思想和方法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)、關(guān)注數(shù)學(xué)

的發(fā)展和數(shù)學(xué)為社會的發(fā)展所帶來的巨大貢獻。

B.樹立熱爰科學(xué)、崇尚科學(xué)的科學(xué)觀和人生觀。

三、課程簡介

本課程包括以下專題：（一）高考中常用數(shù)學(xué)基本方法：配方法、

換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析

與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實驗法；（二）高

考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思

想、轉(zhuǎn)化與化歸思想。每個專題都有所側(cè)重，均在課程模塊學(xué)習(xí)的基

礎(chǔ)上進行拓展學(xué)習(xí)，必要時可以進行加深，以達到系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)思想

與方法。

四、課程實施

學(xué)時安排:每個專題安排時間約為2課時，總課時為20學(xué)時，學(xué)生

每修完本專題可獲得1學(xué)分。每周開1課時，時間0.5學(xué)年。

教學(xué)方式:課內(nèi)理論教授與課外實踐相結(jié)合，要求課堂采用教師講解

法與學(xué)生探討法為主，貫徹新課改精神，采取啟發(fā)式教學(xué)，同時要求學(xué)生課

后積極實踐，即多想多練，課堂內(nèi)外相結(jié)合,培養(yǎng)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

五、課程評價

課程評價采用過程性評價和終結(jié)性評價相結(jié)的方式，以量化的形

式體現(xiàn)：

1、過程性評價

考勤（10%）,課堂交流參與度（10%）；完成作業(yè)（任務(wù)）情

況（20%）;

同學(xué)互評（10%）。

2、終結(jié)性評價

每個模塊學(xué)習(xí)結(jié)束時，進行一次能力測試或完成一項研究報告

（50%）o

3、最終評定成績由上述二方面組成，每方面均不低于應(yīng)得的

60%,可獲得相應(yīng)的學(xué)分。

波利亞的怎樣解題表

1、喬治?波利亞

喬治?波利亞（GeorgePolya,1887~1985）是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、

數(shù)學(xué)教育家.在解題方面，是數(shù)學(xué)啟發(fā)法（指關(guān)于發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和

規(guī)律，亦譯為探索法）現(xiàn)代研究的先驅(qū).由于他在數(shù)學(xué)教育方面取得的

成就和對世界數(shù)學(xué)教育所產(chǎn)生的影響，在他93歲高齡時，還被工CM

E（國際數(shù)學(xué)教育大會）聘為名譽主席.

作為一個數(shù)學(xué)家，波利亞在函數(shù)論、變分法、概率、數(shù)論、組合

數(shù)學(xué)、計算和應(yīng)用數(shù)學(xué)等眾多領(lǐng)域，都做出了開創(chuàng)性的貢獻，留下了

以"波利亞”命名的定理或術(shù)語"也與其他數(shù)學(xué)家合著的《數(shù)學(xué)分析

中的問題和定理》、《不等式》、《數(shù)學(xué)物理中的等周問題》、《復(fù)

變量》等書堪稱經(jīng)典；而以200多篇論文構(gòu)成的四大卷文集，在未來

的許多年里，將是研究生攻讀的內(nèi)容.

作為一個數(shù)學(xué)教育家，波利亞的主要貢獻集中體現(xiàn)在《怎樣解題》

（1945年）、《數(shù)學(xué)與似真推理》（1954年）、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》（1962年）

三部世界名著上，涉及"解題理論"、"解題教學(xué)"、"教師培訓(xùn)"

三個領(lǐng)域.波利亞對數(shù)學(xué)解題理論的建設(shè)主要

是通過“怎樣解題"表來實現(xiàn)的，而在爾后的著作中有所發(fā)展，

也在“解題講習(xí)班”中對教師現(xiàn)身說法.他的著作把傳統(tǒng)的單純解題

發(fā)展為通過解題獲得新知識和新技能的學(xué)習(xí)過程，他的目標不是找出

可以機械地用于解決一切問題的"萬能方法"，而是希望通過對于解

題過程的深入分析，特別是由已有的成功實踐，總結(jié)出一般的方法或

模式，使得在以后的解題中可以起到啟發(fā)的作用.他所總結(jié)的模式和

方法，包括笛卡兒模式、遞歸模式、疊加模式、分解與組合方法、一

般化與特殊化方法、從后往前推、設(shè)立次目標、歸納與類比、考慮相

關(guān)輔助問題、對問題進行變形等，都在解題中行之有效.尤其有特色

的是，他將上述的模式與方法設(shè)計在一張解題表中，并通過一系列的

問句或建議表達出來，使得更有啟發(fā)意義.著名數(shù)學(xué)家互爾登在瑞士

蘇黎世大學(xué)的會議致詞中說過："每個大學(xué)生、每個學(xué)者、特別是每

個教師都應(yīng)該讀這本引人入勝的書"（1952年2月2日）.

2、怎樣解題表

波利亞是圍繞“怎樣解題"、"怎樣學(xué)會解題"來開展數(shù)學(xué)啟發(fā)

法研究的，這首先表明其對"問題解決"重要性的突出強調(diào)，同時也

表明其對"問題解決"研究興趣集中在啟發(fā)法上.波利亞在風(fēng)靡世界

的《怎樣解題》（被譯成14種文字）一書中給出的”怎樣解題表"，

正是一部"啟發(fā)法小詞典”.

2.1"怎樣解題"表的呈現(xiàn)

第一：弄清問題

未知是什么?已知是什么?條件是什么?滿足條件是否可能？

要確定未知，條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或

者是矛盾的？

畫張圖，引入適當?shù)姆?

把條件的各個部分分開.你能否把它們寫下來？

第二：擬定計劃

找出已知數(shù)你以前見過它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

與未知數(shù)之間你是否知道與此有關(guān)的問題?你是否知道一個可能用得上的定理？

的聯(lián)系.如果看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題.

找不出口接的這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題.

聯(lián)系，你可能你能不能利用它?你能利用它的結(jié)果嗎?你能利用它的方法嗎?為了能利用

它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？

你能不能重新敘述這個問題?你能不能用不同的方法重新敘述它？

回到定義去.

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問

題.你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題?一個更普遍的問題?一

個更特殊的問

題?一個類比的問題?你能否解決這個問題的一部分?僅僅保持條件

的一部

分而舍去其余部分.這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度?它會怎樣

變化?你

能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西?你能不能想出適合于確定

未知數(shù)

的其他數(shù)據(jù)?如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者二

者都改變，

以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?你是否利用了整個條件?你是否考

慮了包含在問題中的必要的概念？

第三：實現(xiàn)計劃

實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟.

你能否清楚地看出這一步驟是正確的?你能否證明這一步驟是正確

的？

第四：回顧

你能否檢驗這個論證?你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果?你能不能

一下子

看出它來？

你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他的問題？

下面是實踐波利亞解題表的一個示例，能夠展示波利亞解題風(fēng)格

的心路歷程，娓娓道來，栩栩如生.

2.2"怎樣解題"表的實踐

例1給定正四棱臺的高h,上底的一條邊長a和下底的一條邊長

b,求正四棱臺的體積F.（學(xué)生已學(xué)過棱柱、棱錐的體積）

講解第一，弄清問題.

問題1.你要求解的是什么？

要求解的是幾何體的體積，在思維中的位置用一個單點F象征性

地表示出來（圖

1）.

問題2.你有些什么？

一方面是題目條件中給出的3個已知量a、b、h;另一方面是已

學(xué)過棱柱、棱錐的體積公式，并積累有求體積公式的初步經(jīng)驗.把已

知的三個量添到圖示處（圖2）,就得到新添的三個點a、b、h;它們

與F之間有一條鴻溝，象征問題尚未解決，我們的任務(wù)就是將未知量

與已知量聯(lián)系起來.

第二，擬定計劃.

問題3.怎樣才能求得F?

由于我們已經(jīng)知道棱柱、棱錐的體積公式，而棱臺的幾何結(jié)構(gòu)（棱

臺的定義）告訴我們，棱臺是"用一個平行于底面的平面去截棱錐"，

從一個大棱錐中截去一個小棱錐所生成的.如果知道了相應(yīng)兩棱錐的

體積B和A,我們就能求出棱臺的體積

F=B-A

.①

我們在圖示上引進兩個新的點A和B,用斜線把它們與F聯(lián)結(jié)起

來，以此表示這三個量之間的聯(lián)系（圖3,即①式的幾何圖示）.這就把

求F轉(zhuǎn)化為求A、B.問題4.怎樣才能求得A與B?

依據(jù)棱錐的體積公式（V=13

Sh）,底面積可由已知條件直接求得，關(guān)鍵是如何求出兩個棱推的

高.并且，一旦求出小棱錐的高X,大棱錐的高也

就求出，為X+h.

我們在圖示上引進一個新的點X,用斜線把A與X、a連結(jié)起來,

表示A能由a、X得出，A=13

a2X;類似地，用斜線把B與b、h、X連結(jié)起來，表示

B

圖

3

圖4

可由b、x、X得出，B=13

b2（X+h）（圖4）,這就把求A、B轉(zhuǎn)化為求x.問題5.怎樣才

能求得X?

為了使未知數(shù)X與已知數(shù)a、b、h聯(lián)系起來，建立起一個等量

關(guān)系.我們調(diào)動處理立體幾何問題的基本經(jīng)驗，進行"平面化”的思

考.用一個通過高線以及底面一邊上中點（圖5中，點Q）的平面去截兩

個棱錐，在這個截面上有兩個相似三角形能把a、b、h、X聯(lián)系起來

（轉(zhuǎn)化為平面幾何問題），由WPO1-^VQO2得

xaxhb=+（2）

這就將一個幾何問題最終轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求

解?解方程②，便可由a、b、h表示x,在圖示中便可

用斜線將x與a、b、h連結(jié)起來.至此，我們已在F

與已知數(shù)a、b、h之間建立起了一個不中斷的聯(lián)絡(luò)網(wǎng)，

解題思路全部溝通.

第三，實現(xiàn)計劃.作輔助線（過程略）如圖5,由相似三角形的性質(zhì),

得xaxhb=+，解得x=ahba-.進而得兩錐體的體積為A=13a2x

=13

3ahba-,B=13b2（x+h）=13

3bhba-,得棱臺體積為

F=B-A=13-33（）bahba-=13（a2+ab+b2）h.③

第四，回顧.

Q）正面檢驗每一步，推理是有效的，演算是準確的.再作特殊性

檢驗，令a-0,由③可得正四棱錐體的體積公式；令a-b,由③可

得正四棱柱體的體積公式.這既反映了新知識與原有知識的相容性，

又顯示出棱臺體積公式的一般性；這既溝通了三類幾何體極限狀態(tài)間

的知識聯(lián)系，又可增進三個體積公式的聯(lián)系記憶.

圖5

（2）回顧這個解題過程可以看到，解題首先要弄清題意，從中捕捉

有用的信息（如圖1所示,有棱臺，a、b、h、F共5條信息），同時又

要及時提取記憶網(wǎng)絡(luò)中的有關(guān)信息（如回想：棱臺的定義、棱錐的體積

公式、相似三角形的性質(zhì)定理、反映幾何結(jié)構(gòu)的運算、調(diào)動求解立體

幾何問題的經(jīng)驗積累等不下6條信息）,并相應(yīng)將兩組信息資源作合乎

邏輯的有效組合.這當中，起調(diào)控作用的關(guān)鍵是如何去構(gòu)思出一個成

功的計劃（包括解題策略）.由這一案例，每一個解題者還可以根據(jù)自己

的知識經(jīng)驗各自進一步領(lǐng)悟關(guān)于如何制定計劃的普遍建議或模式.

（3）在解題方法上，這個案例是分析法的一次成功應(yīng)用，從結(jié)論出

發(fā)由后往前找成立的充分條件.為了求F,我們只需求A、B（由棱臺體

積到棱錐體積的轉(zhuǎn)化——由未知到已知，化歸）；為了求A、B,我們

只需求x（由體積計算到線段計算的轉(zhuǎn)化——由復(fù)雜到簡單，降維）；為

了求X,我們只需建立關(guān)于X的方程（由幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化——數(shù)形結(jié)

合）；最后，解方程求X,解題的思路就暢通了，在當初各自孤立而空

曠的畫面上（圖1）,形成了一個聯(lián)接未知與已知間的不中斷網(wǎng)絡(luò)（圖5）,

書寫只不過是循相反次序?qū)⒕W(wǎng)絡(luò)圖作一敘述.這個過程顯示了分析與

綜合的關(guān)系，"分析自然先行，綜合后繼；分析是創(chuàng)造，綜合是執(zhí)行；

分析是制定一個計劃，綜合是執(zhí)行這個計劃”.

（4）在思維策略上，這個案例是“三層次解決”的一次成功應(yīng)

用.首先是一般性解決（策略水平上的解決），把F轉(zhuǎn)化為A,B的求解

（F=A-B）,就明確了解題的總體方向；其次是功能性解決（方法水

平的解決），發(fā)揮組合與分解、相似形、解方程等方法的解題功能；最

后是特殊性解決（技能水平的解決），比如按照棱臺的幾何結(jié)構(gòu)作圖、添

輔助線找出相似三角形、求出方程的解、具體演算體積公式等，是對

推理步驟和運算細節(jié)作實際完成.

（5）在心理機制上，這個案例呈現(xiàn)出"激活——擴散"的基本過

程.首先在正四棱臺（條件）求體積（結(jié)論）的啟引下，激活了記憶網(wǎng)絡(luò)中

棱臺的幾何結(jié)構(gòu)和棱錐的體積公式，然后，沿著體積計算的接線向外

擴散，依次激活截面知識、相似三角形知識、解方程知識（參見圖1~

圖5），……直到條件與結(jié)論之間的網(wǎng)絡(luò)溝通.這種"擴散——激活”

的觀點，正是數(shù)學(xué)證明思維中心理過程的一種解釋.

（6）在立體幾何學(xué)科方法上，這是"組合與分解"的一次成功應(yīng)

用.首先把棱臺補充（組合）為棱錐，然后再把棱推截成（分解）棱臺并作

出截面，這種做法在求棱

錐體積時曾經(jīng)用過（先組合成一個棱柱、再分解為三個棱錐），它又

一次向我們展示“能割善補”是解決立體幾何問題的一個訣竅，而

"平面化”的思考則是溝通立體

幾何與平面幾何聯(lián)系的一座重要橋梁.這些都可以

用于求解其他立體幾何問題，并且作為一般化的思

想（化歸、降維）還可以用于其他學(xué)科.

（7）"你能否用別的方法導(dǎo)出這個結(jié)果?”在信念

上我們應(yīng)該永遠而堅定地做出肯定的回答，操作上

未實現(xiàn)只是能力問題或暫時現(xiàn)象.對于本例，按照化棱臺為棱錐

的同樣想法，可以有下面的解法.

如圖6,正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，連結(jié)DAI,DB1,

DC1,DB,將其分成三個四棱錐D-A1B1C1D1,D-AA1B1

B,D-BB1C1C,其中

1111DABCDV-=13b2h,

11DAABBV-=11DBBCCV-.（等底等高）

圖6圖7

為了求11DAABBV-,我們連結(jié)ABl,將其分為兩個三棱錐

D-ABB1與D-A

因

11AABS?=

A1B1（圖7）,b

a

1ABBS?,故baIDABBV-,llDAABBV-;但

IDABBV-=

IBABDV-=1312a2h=16a2h,

故

11DAABBV-=IDABBV-+11DAABV-=16a2h+b

a16a2h=16(a2+ab)h.從而1111ABCDABCDV-=11D

AABBV-+11DBBCCV-+1111DABCDV-

=16(a2+ab)h+16(a2+ab)h+1

3b2h

=1

3(a2+ab+b2)h.

(8)"你能不能把這一結(jié)果或方法用于其他問題?”

能，至少我們可以由正四棱臺體積公式一般化為棱臺體積公式(方

法是一樣的).注意到

a2=S1,b2=S2,,

可一般化猜想棱臺的體積公式為

V臺=13(S1+S2)h.第一章高中數(shù)學(xué)基本思想

第一：函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括與提煉；在研

究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其他內(nèi)容時起著重要作用；

方程思想是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎(chǔ)；

高考把函數(shù)與方程思想作為七種重要思想方法重點來考查；

第二：數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即數(shù)與形兩個方面，在

一維空間，實數(shù)與數(shù)軸上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系，在二維空間，實數(shù)

對與坐標平面上的點建立——對應(yīng)關(guān)系;

數(shù)形結(jié)合中，選擇、填空側(cè)重突出考查數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，在解答題

中，考慮推理論證嚴密性，突出形到數(shù)的轉(zhuǎn)化；

第三：分類與整合思想

分類是自然科學(xué)乃至社會科學(xué)研究中的基本邏輯方法，從具體出

發(fā)，選取適當?shù)姆诸悩藴剩?/p>

劃分只是手段，分類研究才是目的；

有分有合，先分后合，是分類整合思想的本質(zhì)屬性；

含字母參數(shù)數(shù)學(xué)問題進行分類與整合的研究，重點考查學(xué)生思維

嚴謹性與周密性；

第四：化歸與轉(zhuǎn)化思想

將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，將未解

決問題化歸為已解決問題，靈活性、多樣性，無統(tǒng)一模式，利用動態(tài)

思維，去尋找有利于問題解決的變換途徑與方法；

高考重視常用變換方法：一般與特殊的轉(zhuǎn)化、繁與簡的轉(zhuǎn)化、構(gòu)

造轉(zhuǎn)化、命題的等價轉(zhuǎn)化；

第五：特殊與一般思想

通過對個例認識與研究，形成對事物的認識，由淺入深，由現(xiàn)象

到本質(zhì)、由局部到整體、由實踐到理論，由特殊到一般，再由一般到

特殊的反復(fù)認識過程；

構(gòu)造特殊函數(shù)、特殊數(shù)列，尋找特殊點、確立特殊位置，利用特

殊值、特殊方程；

第六：有限與無限的思想

把對無限的研究轉(zhuǎn)化為對有限的研究，是解決無限問題的必經(jīng)之

路；

積累的解決無限問題的經(jīng)驗，將有限問題轉(zhuǎn)化為無限問題來解決

是解決的方向；

立體幾何中求球的表面積與體積，采用分割的方法來解決，實際

上是先進行有限次分割，再求和求極限，是典型的有限與無限數(shù)學(xué)思

想的應(yīng)用；

第七：或然與必然的思想

隨機現(xiàn)象兩個最基本的特征，一是結(jié)果的隨機性，二是頻率的穩(wěn)

定性；

偶然中找必然，再用必然規(guī)律解決偶然；

等可能性事件的概率、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨立事

件同時發(fā)生的概率、獨立重復(fù)試驗、隨機事件的分布列、數(shù)學(xué)期望是

考查的重點；

第一節(jié)函數(shù)與方程思想

一、函數(shù)與方程

函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方

程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的圖像與X軸的交點的橫坐標，函數(shù)y

=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0通過方程進行研究。

就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：

一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以

及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)

關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，

達到化難為易，化繁為簡的目的.許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方

法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決。函數(shù)與方

程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點。

1.函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)

量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問

題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)

認識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和

解決問題。

2.方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方

程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的

性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決。方程的數(shù)學(xué)是對方程概念

的本質(zhì)認識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處

理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關(guān)系.

3.(1)函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù)y=f(x)，當y=0時，

就轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0,也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f(x)看做二元方程y-f(x)=

0o

函數(shù)問題(例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等)可以轉(zhuǎn)化為方程問

題來求解，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)=0,

就是求函數(shù)y=f(x)的零點。

(2)函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)y=f(x)，當y>0時，

就

轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而

研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式。

(3)數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀

點處理數(shù)列問題十分重要。

(4)函數(shù)f(x)=nbax)(+(nGN*)與二項式定理是密切相關(guān)的，

利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題。

(5)解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，

需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)

理論。

(6)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用

布列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決。

二、例題解析

I,運用函數(shù)與方程、表達式相互轉(zhuǎn)化的觀點解決函數(shù)、方程、

表達式問題。

【例1】已知155=-a

cb,(a、b、cwR),則有()(A)acb42>(B)acb42>

(C)acb42<(D)acb42<

解析法一：依題設(shè)有a-5-b-5+c=0.-.5是實系數(shù)一元二次方

程02=++cbxax的一個實根;

=acb42->0/.acb42>故選(B)

法二：去分母，移項，兩邊平方得：

22210255cacab++=>10ac+2-5ac=20ac

.-.acb42>故選(B)

點評解法一通過簡單轉(zhuǎn)化，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點，運用方

程的思想使問題得到解決；解法二轉(zhuǎn)化為b2是a、c的函數(shù)，運用重

要不等式，思路清晰，水到渠成。

練習(xí)1已知關(guān)于x的方程2x-(2m-8)x+2m-16=0的

兩個實根lx、

2x滿足lx<23<2

x,則實數(shù)m的取值范圍_____________o

答案：17{|}22

mm-<<;練習(xí)2已知函數(shù)32()fxaxbxexd=+++的圖象如

下，則()

(C)(l,2)bG(D)(2,)bG+oo

答案：A.

n:構(gòu)造函數(shù)或方程解決有關(guān)問題:

【例2]已知11f2log)(=,te[2,8],對于f(t)值域內(nèi)的所有

實數(shù)m,不等式xmmxx4242+>++恒成立，求x的取值范圍。解

析y￡[2,8],.-.f(t)e[2

1，3]原題轉(zhuǎn)化為：2)2()2(-+-xxm>0恒成立，為m的一次函

數(shù)(這里思維的轉(zhuǎn)化很重要)

當x=2時，不等式不成立。

..X#2。令g(m)=2)2()2(-+-xxm,me［2

1,3］問題轉(zhuǎn)化為g(m)在m￡［21,3］上恒對于0,

則:?????>>0

)3(0)21(gg;解得：x>2或x<-l

評析首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個變量m,

不等式的左邊恰是m的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決。

在多個字母變量的問題中，選準"主元"往往是解題的關(guān)鍵。

m:運用函數(shù)與方程的思想解決數(shù)列問題

【例3］設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，已知123=a,

12S>0,13S<0,

(1)求公差d的取值范圍；

(2)指出IS、2S、3S,12S中哪一個最大,并說明理由。

解析(1)由123=a得：da2121-=,

?.12S=dda4214444121+=+>013S=dda

5215678131+=+<0

.'.7

24-<d<=""bdsfid="344"d=""dn=""n=""na=""p=""s=""

(2)n=""x/d

512(212)1(21-+=-+=-.^<0,nS是關(guān)于n的二次函數(shù)，對稱軸

方程為：x=

d1225-v724-<d<2<=nnbdsfid="347"p=nn/.6</d

13當n=6時，nS最大。三、強化練習(xí)1.已