2020-2021學(xué)年赤峰二中高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（文科）

一、單選題（本大題共12小題，共36.0分）

1.命題“Vx>0,使得/+久+120”的否定是（）

A.3x0W0,使得部+配+1W0B.3x0>。，使得?+%+1<0

C.Vx>0,使得/+x+1>0D.V%<0,使得/+x+1>0

2.已知i是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z1=l-3i,z2=3-2i,則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2

3.已知拋物線必=8久的準(zhǔn)線與雙曲線"—V=1交于4B兩點，點F為拋物線的焦點，若△凡4B

為直角三角形，則雙曲線的離心率是（）

A.V5B.2V5C.V21D.—

2

4.有關(guān)命題的說法錯誤的是（）

A.命題“若%2-3%+2=。則％=r的逆否命題為：“若第W1,則%2-3%+2H0”

B."％=1”是"%2一3%+2=0”的充分不必要條件

2

C.對于命題p：3x0ER,Xg+x0+1<。.貝X/xER,%+%+1>0

D.若pAq為假命題，則p、q均為假命題

5.若/（%）=-+力必（％+2）在（一2,+8）上是減函數(shù)，則b的取值范圍是（）

A.（-00,-1]B.（-00,-1）C.（-00,0]D.（-8,0）

6.已知命題

Pi：函數(shù)/（%）=ex—在R上單調(diào)遞增

x

p2：函數(shù)g（%）=e+?一%在R上單調(diào)遞減

則在命題的：PiVp2,q2：P1AP2，的：（*i）Vp2和《4：PIA（"2）中，真命題是（）

A.qrq3B.%93C.q1,D.q?，

A

7.已知雙曲線C：—Ay=11的禺心率，?=：且其右焦點用（5,0），則雙曲線C的方程為

a2b2

A.片一二C.—-^-=1D.—-^-=1

=1B.—=l

4316991634

=x+Inx,則黑o"2+AX）~T⑵（）

8.已知函數(shù)/（%）4=

△x

A.2B.-2C.-4D.3

9.已知：復(fù)數(shù)z=^+^i,它的共軌復(fù)數(shù)為2,則m=()

22v7

A1,V3.n1V3.c1V3.11V3.

A.---1---------ID.-----------IC.------IL).--\------I

22222222

10.函數(shù)/■(x)=s譏久+2x,若對于區(qū)間［-兀,?r］上的任意％1，x2>都有久2)lW3則實數(shù)t的

最小值是()

A.47TB.2兀C.nD.0

11.一個正三角形的頂點都在拋物線外=軌上，其中一個頂點在坐標(biāo)原點，這個三角形的面積是

()

A.48V3B.24V3C.yV3D.46V3

22

12.已知橢圓信+琶=l(a>b>0)的左頂點為M,上頂點為N,右焦點為尸，若麗?而=0,則

橢圓的離心率為()

A.立B,在二C.—D.漁二

2222

二、單空題(本大題共4小題，共12.0分)

13.命題：“若富=舞且般=E，則常出朋=卷”的逆否命題是—命題；(填“真”或“假”)

14.已知雙曲線C的兩個焦點坐標(biāo)為6(0,-3),尸2(。，3)，且一個焦點到其中一條漸近線的距離為苧，

則雙曲線C的離心率為.

15.若不等式吧+工>些+與在％>0且無片1時恒成立，貝心的取值范圍是____.

x+1Xx-1X

16.已知拋物線C：的焦點為邑點p在C上，且|PF|=10,貝必POF(其中。坐標(biāo)原點)的面

O

積為.

三、解答題(本大題共7小題，共84.0分)

17.設(shè)函數(shù)/(x)=2sinxcos2-+cosxsincp-sinx{0<(p<兀)在x=兀處取最小值.

(1)求S的值；

(2)在AABC中，a,b,c分別是角4B,C的對邊，已知a=1,b=42,/'(B)=—，.求△ABC的面

積S.

18.已知數(shù)列｛即｝滿足的=1,an+1=5an(ne/V*),數(shù)列伯工是公差不為0的等差數(shù)列,若｛,｝滿足

在①瓦，匕4成等比數(shù)列，②。2=&+③62Tl=26口+IO1€N*)這三個條件中任選兩個,

補充到上面的問題中，若問題中的數(shù)列｛5｝存在，求數(shù)列｛?｝的前幾項和Sn；若問題中的數(shù)列｛,｝

an

不存在，說明理由.

19.如圖在空間四邊形力BCD中，AB^AD,CB=CD,求證：AC1BD.

22

20.己知橢圓C：琶=1(。>。>0)的右焦點為(1，°)，且右焦點到上頂點的距離為遮.

(I)求橢圓C的方程；

(n)過點P(2,2)的動直線交橢圓C于a,B兩點，

(i)若|P4||PB|=g,求直線的斜率；

112

(范)點Q在線段上，且滿足,+而=而，求點Q的軌跡方程.

|「人|\rDIPVI

21.已知函數(shù)/'(x)=a，-a-x,a>e,e=2.71828...為自然對數(shù)的底數(shù).

(I)當(dāng)。=e時，求函數(shù)/(久)在點(l,f(l))處的切線方程；

(II)設(shè)?16N*,比較/na與ln(a—1)+In(2a—1)+In(3a—1)+…+ln(nct—1)的大小，并加

以證明.

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的方程為(工―2/+/=%過點(一2,0)且斜率為k(k>0)的直線I

與曲線C相切于點4

(1)以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程和點4的極坐標(biāo);

(2)若點B在曲線C上，求AO/IB面積的最大值.

23.設(shè)函數(shù)/(%)=|%-a|+|%-5|.

(1)當(dāng)Q=1時，求/(%)的最小值；

(2)如果對任意的實數(shù)%,都有成立，求實數(shù)Q的取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：解：命題命題“V*>0,使得/+x+l>0"是全稱命題，

則其否定是特稱命題，即三工。>0,使得/+%+1<0,

故選：B.

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進行判斷即可.

本題主要考查含有量詞的命題的否定，全稱命題的否定是特稱命題是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

2.答案：D

解析：解：??,Zi=1—3i,z2=3-2i,

.Zi_l-3i_(l-3i)(3+2i)_9-7i_97.

"z2-3-2i~(3-2i)(3+2i)-13-1313'

則u在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為：(總-3，位于第四象限.

故選：D.

直接把復(fù)數(shù)Z「Z2代入套然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡求值，求出為在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點

的坐標(biāo)，則答案可求.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

3.答案：D

解析：解：拋物線y2=8X的焦點尸(2,0),準(zhǔn)線x=—2,

???△R4B是等腰直角三角形,

解得m=密,

,■,c^a2+b^=±+l=^,

cV2i

e=-----,

a2

故選D

先根據(jù)拋物線方程求得準(zhǔn)線方程，代入雙曲線方程求得y,根據(jù)雙曲線的對稱性可知AFAB為等腰直

角三角形，進而可求得4或B的縱坐標(biāo)為4,進而求得小，利用a,b和c的關(guān)系求得c,則雙曲線的離

心率可得.

本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，離心率的求法，解題的關(guān)鍵是通過雙曲線的對稱性質(zhì)判斷出4

凡4B為等腰直角三角形.

4.答案:D

解析：

本題主要考查邏輯聯(lián)結(jié)詞、四個命題等，屬于基礎(chǔ)題.

4：命題的逆否命題是首先對換命題的條件與結(jié)論再分別對新的條件與結(jié)論進行否定.

B-.因為方程--3久+2=0的解是x=1或x=2,所以B是正確的.

C：存在性命題的否定是全稱命題.

根據(jù)真值表可得：若p/\q為假命題時則p、q至少有一個是假命題，故。錯誤.

解：X：命題的逆否命題是首先對換命題的條件與結(jié)論再分別對新的條件與結(jié)論進行否定，故A正

確.

B-.方程久2一3刀+2=0的解是％=1或%=2,所以“x=1”是一3x+2=0”的充分不必要

條件是正確的.

C：存在性命題的否定是全稱命題，即把存在改為任意把小于改為大于等于，所以C正確.

D-.根據(jù)真值表可得：若p/\q為假命題時則p、q至少有一個是假命題，故D錯誤.

故選D

5.答案：A

解析：解：由題意可知/%<0,在xe(—2,+8)上怛成立，

即6<x(x+2)在久e(—2,+oo)上恒成立，

由于y=x(x+2)=(x+l)2-1>-1,

所以6<—1,

故選：A.

先對函數(shù)進行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減即可得到答案.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的正負(fù)和原函數(shù)的增減性的問題.即導(dǎo)數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于。時

原函數(shù)單調(diào)遞減.

6.答案：C

解析：解：函數(shù)y=蠟在R上單調(diào)遞增，y=-eT在R上單調(diào)遞增,

故函數(shù)/(X)=ex—e-“在R上單調(diào)遞增，

即Pi為真命題；

函數(shù)g(x)-ex+e-工在［0,+8)上單調(diào)遞增，

即P2為假命題；

則命題qi：P1VP2為真命題，

：

q2PiAP2為假命題，

%：("i)Vp2為假命題，

<?4:PiA("2)為真命題，

故選：C.

先判斷命題Pl，P2的真假，進而根據(jù)復(fù)合命題真假判斷的真值表，可得答案.

本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔.

7.答案：B

解析：由已知得［=3解得

c=5-

故6=3,從而所求的雙曲線方程為貯上卜故選艮

169

8.答案：B

解析：解：根據(jù)題意，對于函數(shù)/(%),有工嵋0"2+盤-"2)=八2),

又由/(%)=比+伉*,則/''0)=1+：則有/''(2)=1+?=|；

故選：B.

根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的定義可得0"2+AX)力2)=,結(jié)合函數(shù)的解析式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進

△X7v7

而可得r(2)的值，即可得答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的定義以及導(dǎo)數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案：C

解析：解：由2=工+但i,得2=工一旦，

2222

故選：C.

由z得到2,然后直接展開平方運算求值.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)的計算題.

10.答案:A

解析：解：對于區(qū)間［一兀,兀］上的任意/，%2>都有1/(X1}—/(%2)1W4

等價于對于區(qū)間［一兀，兀］上，f［x}max-f(x)min<t,

???/(%)=sinx+2%,

???/'(%)=cosx+2>0,

???函數(shù)在［-凡捫上單調(diào)遞增，

???fMmax=/(兀)=27T,譏=/(一兀)=一2兀,

,,,fmaxf(X)mtn=4兀，

t>4?r,

二實數(shù)t的最小值是4兀，

故選：A.

問題等價于對于區(qū)間［-兀，兀］上，f(x)max-f{x}min<t,求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，分別求出函數(shù)的最大值

和最小值，從而求出t的范圍即可.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題.

11.答案：A

解析：解：設(shè)其中一個頂點是。,2?)

因為是正三角形

所以量=1加30。=遺

X3

BP-=i

X3

解得％=12

所以另外兩個頂點是(12,48)與(12,-4g)

三角形的面積12-(4V3+4V3)?|=48V3

故選：A.

根據(jù)拋物線方程先設(shè)其中一個頂點是(居2?),根據(jù)正三角形的性質(zhì)學(xué)=1加30。=［求得工，進而

可得另兩個頂點坐標(biāo)，最后根據(jù)面積公式求得答案.

本題主要考查拋物線的應(yīng)用.利用拋物線性質(zhì)解決解三角形問題.

12.答案：D

解析：

本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，向量的垂直，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用橢圓的性質(zhì)，通過而?荷=0,推出a、c關(guān)系，求解即可.

解：橢圓《+《=l(a>6>0)的左頂點為M(—a,0),上頂點為N(0,b),右焦點為F(c,0),

若麗?而=0，可知NM1NF,

可得：a2+b2+h2+c2=(a+c)2,又Q2=b2+c2,

所以a?—c2=ac,

即e?+e—1=0,eG(0,1),

解得e=且，

2

故選：D.

13.答案：真

解析：試題分析：原命題為真，則逆否命題是真命題，互為逆否命題的兩命題同真同假.

14.答案：V2

解析：

本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)雙曲線方程為1一馬=l(a>0,6>0),則雙曲線的漸近線方程為y=土打，即a光士by=0,利

用點到直線的距離，結(jié)合已知條件列式，可得c=3,a=這，利用雙曲線的離心率公式，即可計算

2

出該雙曲線的離心率.

解：由條件可得雙曲線的焦距2c=6,故c=3.

22

設(shè)雙曲線方程為彳一今=l(a>0,b>0),

則雙曲線的漸近線方程為y=±藍久，即a光士by=0.

則屋3虧=越，化簡得。2=爐，

y/a2+b22

又小+ft2=C2=9,所以Q=—,

2

所以雙曲線的離心率為e=三=a.

故答案為應(yīng).

15.答案:(一8,0]

解析：解：不等式族+工>々+與在刀>0且XK1時恒成立，

x+1xx-1X

則處+3些+與=義+(-°),

x+1xx-1xl-xzX

設(shè)h(x)=2lnx+(kT)yT)),x>0,

則〃Q)=(kT)(:z+l)+2x,

(1)設(shè)k<0,由〃(久)=M/+?；(XT)2知,

當(dāng)久豐1時,h'(x)<0,

而無(1)=0,

二當(dāng)久€(0,1)時，h(x)>0,可得三^八(久)>0,

從而當(dāng)x>0且久41時，-+->—+-；

x+1xx-1X

(2)設(shè)0<k<l,由于當(dāng)xe(l，W)時，-l)(x2+1)+2x>0,

h'(%)>0,

而九⑴=0,

???當(dāng)％e(1,匕)時，h(x)>0,可得號7八(%)<°，這與題設(shè)矛盾，

(3)設(shè)kN1時,此時九'(%)>0,而九(1)=0,

故當(dāng)為6(1,+8)時，/i(x)>0,可得三這與題設(shè)矛盾，

綜上所述k的取值范圍為(-8,0].

故答案為：(一8,0].

把不等式移向變形，可得照+工_(照+,=工(2伍X+.T)(/T)),令h⑺=2萬x+(kT)(D),

x+1xvx-lxJ1-x2'XJv7XJ

x>0,則〃(久)=厘咚也，對k分類討論可得h(x)的符號，結(jié)合義的符號求得k的取值范圍.

本題考查了恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔

題.

16.答案:8

解析：解：由拋物線的方程可得焦點尸坐標(biāo)為：(0,2),準(zhǔn)線方程為：y=-2,

|PF|=10,可得外+2=10,所以外=8,代入拋物線的方程可得阿p|=8,

-I-1

所以SAPOF—~\0F\■\xP\=-x2x8=8,

故答案為：8.

由拋物線方程可得焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，再由拋物線的性質(zhì)及|P~的值求出P的縱坐標(biāo)，代入拋物線

的方程可得P的橫坐標(biāo)，進而求出面積.

本題考查拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.

17.答案：解：(l)/(x)=sinx-(2cos2—1)+cosx-sin<p=sinx-cos<p+cosx-sincp=sin(x+<p),

JL/(7T)=sin(7r+0)=—1,

'''I，

/(%)=sin(x+])=cosx.

(2)/(B)=cos8=—

???B=-7T,

4

由力2=a2+c2—2ac?cosB知c2+y]2c—1=0,

V6—V2

c=-------，

2

1.V3-1

：.Sc=-ac-sinBD=-----?

24

解析：(1)利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，根據(jù)函數(shù)在1=兀處取最小值求得。，代

入函數(shù)解析式.

(2)根據(jù)f(8)的值，求得8,進而根據(jù)余弦定理求得c,最后利用三角形面積公式求得答案.

本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用.考查了三角函數(shù)基礎(chǔ)公式

的靈活運用.

18.答案：解：選擇①②.

設(shè)數(shù)列｛?。墓顬閐(dH0).

???瓦,歷,九成等比數(shù)列，，園=瓦/，即(瓦+d)2=瓦(瓦+3d),

,**。2=b]+64，，=1,。九+1=5a九,=5,

???瓦+力1+3d=5,

2/)-1+3d=5-rLLr

,z,可得2瓦d+=3瓦d,即42=瓦/

((瓦+d)，=瓦(瓦+3d)

??,dW0,解得d=瓦，代入②可得d=1,bn=n.

??,{a九}是等比數(shù)列，且的=1,an+1=5an(n6N*),

??=5"?則區(qū)=布?

=1+1+—??+—

gSn=1+6+…+布+前，

兩式作差得:2=1+*+5+…+/Y=咨一1，

解得:Sn—表）一晨g

選擇①③.

設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d（d豐0）.

由③可知，與=2bl+1,b4=2b2+1=2（2瓦+1）+1=4瓦+3,

由①，瓦，⑦，九成等比數(shù)列，得出=瓦84，

即（2瓦+1）2=4（4瓦+3）,解得瓦=-1,???歷=-1，則d=o,

與題意矛盾，故數(shù)列｛%｝不存在；

選擇②③.

設(shè)數(shù)列｛b九｝的公差為d（d。0）.

由③可知，厲=2bl+1,b4=2b2+1=2（2瓦+1）+1=4瓦+3=瓦+3d,

解得仇=d-1,

,**。2=b]+Z74，=1,a?t+i=5a九,彳導(dǎo)a2=5,

79

b1+b1+3d=5,即2（d-1）+3d=5,解得d=%b=

因此力九=—1.

｛。九｝是等比數(shù)列，

cLfi=5九1,且a】=1,a?i+i=5a九（?rEN）,

.bn_7n-5

??瓦一571，

則Sn=端+看+￡+…+笨，

12.9.?7n-12?7n-5

55cn=^+^+-+^^+^T>

兩式作差可得:沁/+力…+土嘉W+3號一罪,

解得F-黑詈

解析：分選擇①②、①③、②③三種情況，設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d（d豐0）,由已知條件求得數(shù)列也｝

的公差d,進一步求出通項公式，再由為等比數(shù)列，求其通項公式，代入數(shù)列｛察｝,利用錯位相

an

減法求其前n項和立.

本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了利用錯位相減法求數(shù)列的前幾項和，考查運算求解

能力，是中檔題.

19.答案：解：證明如下：

取BD的中點。，連接2。，CO,

5LAB=AD,BC=DC,

所以△ABD,△BCD為等腰三角形,

所以BD1AO,BD1CO,

又anc。=o,

所以BO1平面力OC,

又AC莖平面04C,

所以BOVAC.

解析：作輔助線，先證明BD1平面力。C,利用直線與平面垂直的性質(zhì)，求出即可.

考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，基礎(chǔ)題.

20.答案：解：（I）由題意得：c=l,a=5

???b2=a2-c2-1,

(H)(i)設(shè)直線28：y=fc(x-2)+2,

點4%,%)，B(x2,y2)>

由上+y2=i,

ly=k(x-2)+2

得：(1+2k2)/+4k(2-2k)x+2(2-2fc)2-2=0(*),

4k(2-2k)2(2-2k)Z-2

，

Xi+-'XiX?=72

1zl+2k21zl+2k

22

\PA\\PB\=Vl+/c|2-x1|-Vl+fc|2-%2|

2XX

=(1+fc)[4-2(%i+x2)+12]

10(l+fc2)20

=-------=—,

l+2k23

解得：k2=1,即/c=1或—1；

(五)設(shè)點Q(%o，y。)，由點Q在直線上，

得yo=做%0-2)+2,(**),

巾1112ZR1,12

\PA\\PB\\PQ\B2Tl2-X22-XQ

?.?'+,=4Txi+X2),

2—Xj2—%24—2(%I+%2)+%I%2

2-%0=2x32=2x(2+巧--4)=工，

4—(%i+%2)4—(%i+%2)l+2k

.u_3+%。

"-2(2To)，

把它帶入(**)式，得yo=做曲—2)+2=某盤(x0-2)+2=-|x0+|,

即點Q的軌跡方程是：x+2y-l=0,(曾<^<三).

解析：(I)根據(jù)題意求出a,c的值，從而求出b的值，求出橢圓的方程即可；

(II)①設(shè)出直線方程，和橢圓聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出直線斜率k的值即可；

3)設(shè)出Q的坐標(biāo)，根據(jù)高+冊=磊，得士+土=表，求出k的值，帶入直線方程，整理即

|x/11\rD\/-X]乙一八2/-A.Q

可.

本題考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，考查考查橢圓的性質(zhì)以及直線的斜率問題，是一道綜合題.

21.答案：解：(I),；a=e時，/(x)—ex—ex,

f'(X)=ex—e,

f(l)=0,/(l)=0,

于是在點(l,f(l))處的切線方程為y=0.

(II)n(：+i)伍a>ln(a—1)+ln(2a—1)+ln(3a-1)+???+ln(na—1),

理由如下：因為a2e,

欲證Ina>ln(a-1)+ln(2a-1)+ln(3a-1)+—Fln(na—1)成立，

L目^、丁九(4+1)

八而證a-2->(a—l)(2a—l)(3a—1)...(na—1)?

只需證心>na-1.

構(gòu)造函數(shù)g(x)=則g'(x)="售

因為a>e,所以伍a>1.

-1-1

令d(x)>0,得；g'(x)<0,得力>■；—.

u、/Ina°'Ina

所以函數(shù)g(x)在(-8,高)單調(diào)遞增；在(a,+8)上單調(diào)遞減.

所以函數(shù)g⑺的最大值為g忘)=高.所以已<烹，

所以4一~，即Ne(%—1)①。，貝!J

ax-1elna、/

ctx—ax+1=ct\ctxi—(%—1)]+1—CL磯―l)Zn(i—(%—1)]+1_CL

>磯2(%—1)—(X—1)]+1—a=—2)+1>0,

所以a*>ax-1.

取x=n,得a">na—1成立.

所以當(dāng)a>e時，"C)171cl