北京師范大學附中2024年高一下數學期末質量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則2．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A． B． C． D．4．中，角所對的邊分別為，已知向量，，且共線，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．光線自點M（2，3）射到N（1，0）后被x軸反射，則反射光線所在的直線方程為（）A． B．C． D．6．已知、都是公差不為0的等差數列，且，，則的值為（）A．2 B．-1 C．1 D．不存在7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為（）A．3 B．4 C．5 D．68．設函數,，其中,.若，且的最小正周期大于，則（）A．, B．,C．, D．,9．在△ABC中，三個頂點分別為A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），點P（x，y）在△ABC的內部及其邊界上運動，則y﹣x的最小值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．310．角的終邊經過點且，則的值為()A．-3 B．3 C．±3 D．5二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知一圓臺的底面圓的半徑分別為2和5，母線長為5，則圓臺的高為_______.12．在中,內角的對邊分別為,若的周長為,面積為，，則__________．13．設為，的反函數，則的值域為______.14．已知數列的前項和是，且，則______.（寫出兩個即可）15．已知向量滿足，則16．光線從點射向y軸，經過y軸反射后過點，則反射光線所在的直線方程是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在半徑為、圓心角為的扇形的弧上任取一點，作扇形的內接矩形，使點在上，點在上，設矩形的面積為,（1）按下列要求寫出函數的關系式：①設，將表示成的函數關系式；②設，將表示成的函數關系式，（2）請你選用（1）中的一個函數關系式，求出的最大值．18．是亞太區(qū)域國家與地區(qū)加強多邊經濟聯系、交流與合作的重要組織，其宗旨和目標是“相互依存、共同利益，堅持開放性多邊貿易體制和減少區(qū)域間貿易壁壘.”2017年會議于11月10日至11日在越南峴港舉行.某研究機構為了了解各年齡層對會議的關注程度，隨機選取了100名年齡在內的市民進行了調查，并將結果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（分組區(qū)間分別為，，，，）.（1）求選取的市民年齡在內的人數；（2）若從第3，4組用分層抽樣的方法選取5名市民進行座談，再從中選取2人參與會議的宣傳活動，求參與宣傳活動的市民中至少有一人的年齡在內的概率.19．某算法框圖如圖所示.(1)求函數的解析式及的值；(2)若在區(qū)間內隨機輸入一個值，求輸出的值小于0的概率.20．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，的平分線所在直線方程為，求：（Ⅰ）頂點的坐標；（Ⅱ）直線的方程21．已知數列的前項和為，且滿足.（1）求證：數列是等比數列；（2）設，數列的前項和為，求證：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

利用不等式的性質或舉反例的方法來判斷各選項中不等式的正誤.【詳解】對于A選項，若且，則，該選項錯誤；對于B選項，取，，，，則，均滿足，但，B選項錯誤；對于C選項，取，，則滿足，但，C選項錯誤；對于D選項，由不等式的性質可知該選項正確，故選：D.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，常用不等式的性質以及舉反例的方法來進行驗證，考查推理能力，屬于基礎題.2、A【解析】

先分別求出集合，，由此能求出．【詳解】集合，，1，，或，，，．故選：．【點睛】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是基礎題．3、D【解析】

由，，，得解.【詳解】解：因為，，，所以，故選：D.【點睛】本題考查了指數冪，對數值的大小關系，屬基礎題.4、D【解析】

由向量共線的坐標表示得一等式，然后由正弦定理化邊為角，利用誘導公式得展開后代入原式化簡得，分類討論得解．【詳解】∵共線，∴，即，，，整理得，所以或，或或（舍去）．∴三角形為直角三角形或等腰三角形．故選：D.【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查向量共線的坐標表示，考查正弦定理，兩角和的正弦公式，考查三角函數性質．解題時不能隨便約分漏解．5、B【解析】試題分析：點關于軸的對稱點，則反射光線即在直線上，由，∴，故選B.考點：直線方程的幾種形式.6、C【解析】

首先根據求出數列、公差之間的關系，再代入即可?！驹斀狻恳驗楹投际枪畈粸榱愕牡炔顢盗校栽O故，可得又因為和代入則．故選：C．【點睛】本題主要考查了極限的問題以及等差數列的通項屬于基礎題。7、C【解析】

根據框圖模擬程序運算即可.【詳解】第一次執(zhí)行程序，，，繼續(xù)循環(huán)，第二次執(zhí)行程序，，，，繼續(xù)循環(huán)，第三次執(zhí)行程序，，，，繼續(xù)循環(huán)，第四次執(zhí)行程序，，，，繼續(xù)循環(huán)，第五次執(zhí)行程序，，，，跳出循環(huán)，輸出，結束.故選C.【點睛】本題主要考查了程序框圖，涉及循環(huán)結構，解題關鍵注意何時跳出循環(huán)，屬于中檔題.8、B【解析】

根據周期以及最值點和平衡位置點先分析的值，然后帶入最值點計算的值.【詳解】因為，，所以，則，所以，即，故；則，代入可得：且，所以.故選B.【點睛】（1）三角函數圖象上，最值點和平衡位置的點之間相差奇數個四分之一周期的長度；（2）計算的值時，注意選用最值點或者非特殊位置點，不要選用平衡位置點（容易多解）.9、B【解析】

根據線性規(guī)劃的知識求解．【詳解】根據線性規(guī)劃知識，的最小值一定在的三頂點中的某一個處取得，分別代入的坐標可得的最小值是．故選B．【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，屬于基礎題．10、B【解析】

根據三角函數的定義建立方程關系即可．【詳解】因為角的終邊經過點且，所以則解得【點睛】本題主要考查三角函數的定義的應用，應注意求出的b為正值．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解析】

根據圓臺軸截面等腰梯形計算．【詳解】，設圓高為，由圓臺軸截面是等腰梯形得：，即，，故答案為：4.【點睛】本題考查求圓臺的高，解題關鍵是掌握圓臺的性質，圓臺軸截面是等腰梯形．12、3【解析】

分析：由題可知，中已知，面積公式選用，得，又利用余弦定理，即可求出的值.詳解：，，由余弦定理，得又，，解得.故答案為3.點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的．其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標出來，然后確定轉化的方向；第二步：定工具，即根據條件和所求合理選擇轉化的工具，實施邊角之間的互化；第三步：求結果.13、【解析】

求出原函數的值域可得出其反函數的定義域，取交集可得出函數的定義域，再由函數的單調性可求出該函數的值域.【詳解】函數在上為增函數，則函數的值域為，所以，函數的定義域為.函數的定義域為，由于函數與函數單調性相同，可知，函數在上為增函數.當時，函數取得最小值；當時，函數取得最大值.因此，函數的值域為.故答案為：.【點睛】本題考查函數值域的求解，考查函數單調性的應用，明確兩個互為反函數的兩個函數具有相同的單調性是解題的關鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.14、或【解析】

利用已知求的公式，即可算出結果．【詳解】（1）當，得，∴，∴．（2）當時，，兩式作差得，，化簡得，∴或，即（常數）或，當（常數）時，數列是以1為首項，2為公差的等差數列，所以；當時，數列是以1為首項，﹣1為公比的等比數列，所以．【點睛】本題主要考查利用與的關系公式，即，求的方法應用．15、【解析】試題分析：=,又，，代入可得8，所以考點：向量的數量積運算.16、（或寫成）【解析】

光線從點射向y軸，即反射光線反向延長線經過關于y軸的對稱點，則反射光線通過和兩個點，設直線方程求解即可?！驹斀狻坑深}意可知，所求直線方程經過點關于y軸的對稱點為，則所求直線方程為，即.【點睛】此題的關鍵點在于物理學上光線的反射光線和入射光線關于鏡面對稱，屬于基礎題目。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（1）①通過求出矩形的邊長，求出面積的表達式；②利用三角函數的關系，求出矩形的鄰邊，求出面積的表達式；（2）利用（1）②的表達式，化為一個角的一個三角函數的形式，根據的范圍確定矩形面積的最大值.試題解析：（1）①因為，所以，所以，．②當時，，則，又，所以，所以，（）．（2）由②得，，當時，取得最大值為．考點：1.三角函數中的恒等變換；2.兩角和與差的正弦函數.【方法點睛】本題主要考查的是函數解析式的求法，三角函數的最值的確定，三角函數公式的靈活運用，計算能力，屬于中檔題，此題是課本題目的延伸，如果（2）選擇（1）①中的解析式，需要用到導數求解，麻煩，不是命題者的本意，因此正確的選擇是選擇（1）②中的解析式，化成一個角的一個三角函數的形式，根據的范圍確定矩形面積的最大值,此類題目選擇正確的解析式是求解容易與否的關鍵.18、（1）30人；（2）.【解析】

（1）由頻率分布直方圖，先求出年齡在內的頻率，進而可求出人數；（2）先由分層抽樣，確定應從第3，4組中分別抽取3人，2人，記第3組的3名志愿者分別為，第4組的2名志愿者分別為，再用列舉法，分別列舉出總的基本事件，以及滿足條件的基本事件，基本事件個數比即為所求概率.【詳解】（1）由題意可知，年齡在內的頻率為，故年齡在內的市民人數為.（2）易知，第4組的人數為，故第3，4組共有50名市民，所以用分層抽樣的方法在50名志愿者中抽取5名志愿者，每組抽取的人數分別為：第3組；第4組.所以應從第3，4組中分別抽取3人，2人.記第3組的3名志愿者分別為，第4組的2名志愿者分別為，則從5名志愿者中選取2名志愿者的所有情況為，，，，，，，，，，共有10種.其中第4組的2名志愿者至少有一名志愿者被選中的有：，，，，，，，共有7種，所以至少有一人的年齡在內的概率為.【點睛】本題主要考查由頻率分布直方圖求頻數，以及古典概型的概率問題，會分析頻率分布直方圖，熟記古典概型的概率計算公式即可，屬于?？碱}型.19、（1）；（2）【解析】

(1)從程序框圖可提煉出分段函數的函數表達式，從而計算得到的值;(2)此題為幾何概型，分類討論得到滿足條件下的函數x值，從而求得結果.【詳解】(1)由算法框圖得：當時，，當時，，當時，，，(2)當時，，當時，由得故所求概率為【點睛】本題主要考查分段函數的應用，算法框圖的理解,意在考查學生分析問題的能力.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設，可得中點坐標，代入直線可得；將點坐標代入直線得，可構造出方程組求得點坐標；（Ⅱ）設點關于的對稱點為，根據點關于直線對稱點的求解方法可求得，因為在直線上，根據兩點坐標可求得直線方程.【詳解】（Ⅰ）設，則中點坐標為：，即：又，解得：，（Ⅱ）設點關于的對稱點為則，解得：邊所在的直線方程為：，即：【點睛】本題考查直線方程、直線交點的求解；關鍵是能夠熟練應用中點坐標公式和點關于直線對稱點的求解方法，屬于常考題型.2