湖南省衡陽市二十六中2024屆高一數學第二學期期末調研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知a＞0，x，y滿足約束條件,若z=2x+y的最小值為1，則a=A． B． C．1 D．22．函數的最小正周期為（）A． B． C． D．3．在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若，則△ABC是A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務，則選中的2人都是女同學的概率為A． B． C． D．5．某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現，紅燈持續(xù)時間為40秒，若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現綠燈的概率為（）A． B． C． D．6．數列的首項為，為等差數列，且（），若，，則（）A． B． C． D．7．若向量，，則在方向上的投影為（）A．-2 B．2 C． D．8．若，且，則()A． B． C． D．9．若直線與平行，則實數的值為（）A．或 B． C． D．10．總體由編號為01，02，…，60的60個個體組成，利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第8列和第9列數字開始由左至右選取兩個數字，則選出的第5個個體的編號為()5044664429670658036980342718836146422391674325745883110330208353122847736305A．42 B．36 C．22 D．14二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知圓柱的底面圓的半徑為2，高為3，則該圓柱的側面積為________.12．若等比數列滿足，且公比，則_____.13．如圖，在正方體中，點是線段上的動點，則直線與平面所成的最大角的余弦值為________.14．已知正三角形的邊長是2，點為邊上的高所在直線上的任意一點，為射線上一點，且.則的取值范圍是____15．已知為直線，為平面，下列四個命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確命題的序號是______．16．對于0≤m≤4的任意m，不等式x2＋mx>4x＋m－3恒成立，則x的取值范圍是________________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列是各項均為正數的等比數列，且，．（1）求數列的通項公式；（2）為數列的前n項和，，求數列的前n項和．18．在等差數列{an}中，2a9＝a12+13，a3＝7，其前n項和為Sn．（1）求數列{an}的通項公式；（2）求數列{}的前n項和Tn，并證明Tn＜．19．已知函數（）的一段圖象如圖所示.（1）求函數的解析式；（2）若，求函數的值域.20．已知四棱錐的底面是菱形，底面，是上的任意一點求證：平面平面設，求點到平面的距離在的條件下，若，求與平面所成角的正切值21．某校研究性學習小組從汽車市場上隨機抽取輛純電動汽車調查其續(xù)駛里程(單次充電后能行駛的最大里程),被調查汽車的續(xù)駛里程全部介于公里和公里之間,將統(tǒng)計結果分成組:,,,,,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值;（2）求輛純電動汽車續(xù)駛里程的中位數;（3）若從續(xù)駛里程在的車輛中隨機抽取輛車,求其中恰有一輛車的續(xù)駛里程為的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示：當目標函數z=2x+y表示的直線經過點A時，取得最小值，而點A的坐標為（1，），所以，解得，故選B.【考點定位】本小題考查線性規(guī)劃的基礎知識，難度不大，線性規(guī)劃知識在高考中一般以小題的形式出現，是高考的重點內容之一，幾乎年年必考.2、D【解析】,函數的最小正周期為，選.【點睛】求三角函數的最小正周期，首先要利用三角公式進行恒等變形，化簡函數解析式，把函數解析式化為的形式，然后利用周期公式求出最小正周期，另外還要注意函數的定義域.3、A【解析】

由正弦定理，記，則，，，又，所以，即，所以.故選：A.4、D【解析】分析：分別求出事件“2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區(qū)服務”的總可能及事件“選中的2人都是女同學”的總可能，代入概率公式可求得概率.詳解：設2名男同學為，3名女同學為，從以上5名同學中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學的概率為，故選D.點睛：應用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出事件；第二步，分別求出基本事件的總數與所求事件中所包含的基本事件個數；第三步，利用公式求出事件的概率.5、B【解析】試題分析：因為紅燈持續(xù)時間為40秒,所以這名行人至少需要等待15秒才出現綠燈的概率為，故選B.【考點】幾何概型【名師點睛】對于幾何概型的概率公式中的“測度”要有正確的認識，它只與大小有關，而與形狀和位置無關，在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法．6、B【解析】由題意可設等差數列的首項為，公差為，所以所以，所以，即=2n-8,=,所以,選B.7、A【解析】向量，，所以，||=5，所以在方向上的投影為=-2故選A8、A【解析】

利用二倍角的正弦公式和與余弦公式化簡可得.【詳解】∵，∴，∵，所以，∴，∴.故選：A【點睛】本題考查了二倍角的正弦公式，考查了二倍角的余弦公式，屬于基礎題.9、B【解析】

利用直線與直線平行的性質求解．【詳解】∵直線與平行，解得a＝2或a＝﹣2．∵當a＝﹣2時，兩直線重合，∴a＝2．故選B．【點睛】本題考查滿足條件的實數值的求法，是基礎題，解題時要注意兩直線的位置關系的合理運用．10、C【解析】

通過隨機數表的相關運算即可得到答案.【詳解】隨機數表第1行的第8列和第9列數字為42，由左至右選取兩個數字依次為42，36，03，14，22，選出的第5個個體的編號為22，故選C.【點睛】本題主要考查隨機數法，按照規(guī)則進行即可，難度較小.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

圓柱的側面打開是一個矩形，長為底面的周長，寬為圓柱的高，即，帶入數據即可．【詳解】因為圓柱的底面圓的半徑為2，所以圓柱的底面圓的周長為，則該圓柱的側面積為.【點睛】此題考察圓柱側面積公式，屬于基礎題目．12、.【解析】

利用等比數列的通項公式及其性質即可得出．【詳解】，故答案為：1．【點睛】本題考查了等比數列的通項公式及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于容易題．13、【解析】

作的中心，可知平面，所以直線與平面所成角為，當在中點時，最大，求出即可?！驹斀狻吭O正方體的邊長為1，連接，由于為正方體，所以為正四面體，棱長為，為等邊三角形，作的中心，連接，，由于為正四面體，為的中心，所以平面，所以為直線與平面所成角，則當在中點時，最大，當在中點時，由于為正四面體，棱長為，等邊三角形，為的中心，所以，，所以直線與平面所成的最大角的余弦值為故直線與平面所成的最大角的余弦值為故答案為【點睛】本題考查線面所成角，解題的關鍵是確定當在中點時，最大，考查學生的空間想象能力以及計算能力。14、【解析】

以AB所在的直線為x軸，以AB的中點為坐標原點，AB的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，求出A.C,P,Q的坐標，運用平面向量的坐標表示和性質，求出的表達式，利用判別式法求出的取值范圍.【詳解】以AB所在的直線為x軸，以AB的中點為坐標原點，AB的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，如下圖所示：，設，，設，可得，由，可得即，，令，可得，當時，成立，當時，，即，，即，所以的取值范圍是.【點睛】本題考查了平面向量數量積的性質和運算，考查了平面向量模的取值范圍，構造函數，利用判別式法求函數的最值是解題的關鍵.15、③④【解析】

①和②均可以找到不符合題意的位置關系，則①和②錯誤；根據線面垂直性質定理和空間中的平行垂直關系可知③和④正確.【詳解】若，此時或，①錯誤；若，此時或異面，②錯誤；由線面垂直的性質定理可知，若，則，③正確；兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條直線必垂直于該平面，可知④正確本題正確結果：③④【點睛】本題考查空間中的平行與垂直關系相關命題的判斷，考查學生對于平行與垂直的判定和性質的掌握情況.16、(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】不等式可化為m(x－1)＋x2－4x＋3>0在0≤m≤4時恒成立．令f(m)＝m(x－1)＋x2－4x＋3.則??即x<－1或x>3.故答案為(－∞，－1)∪(3，＋∞)三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），n∈N+；（2）【解析】

（1）設公比為q，q>0，運用等比數列的通項公式，解方程即可得到所求；（2），再由數列的裂項相消求和，計算可得所求和．【詳解】(1)數列是各項均為正數的等比數列，設公比為q，q>0，，.即,，解得,可得，n∈N+；(2)，前n項和，由(1)可得a1=2,，即有.【點睛】本題考查數列的通項和求和，數列求和的常用方法有:分組求和,錯位相減求和,倒序相加求和等，本題解題關鍵是裂項的形式，本題屬于中等題.18、（1）（2）見解析【解析】

（1）等差數列{an}的公差設為d，運用等差數列的通項公式，解方程可得首項和公差，進而得到所求通項公式；（2）運用等差數列的求和公式，求得（），再由數列的裂項相消求和可得Tn，再由不等式的性質即可得證．【詳解】（1）等差數列{an}的公差設為d，2a9＝a12+13，a3＝7，可得2（a1+8d）＝a1+11d+13，a1+2d＝7，解得a1＝3，d＝2，則an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）Snn（3+2n+1）＝n（n+2），（），前n項和Tn（1）（1）（）．【點睛】本題考查等差數列的通項公式和求和公式的運用，以及數列的裂項相消求和，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．19、（1）；（2）【解析】

（1）由函數的一段圖象求得、、和的值即可；（2）由，求得的取值范圍，再利用正弦函數的性質求得的最大和最小值即可．【詳解】解：（1）由函數的一段圖象知，，，，解得，又時，，，，解得，；，函數的解析式為；（2）當時，，令，解得，此時取得最大值為2；令，解得，此時取得最小值為；函數的值域為．【點睛】本題考查了函數的圖象和性質的應用問題，屬于基礎題．20、（1）見解析（2）（3）【解析】

（1）由平面，得出，由菱形的性質得出，利用直線與平面垂直的判定定理得出平面，再利用平面與平面垂直的判定定理可證出結論；（2）先計算出三棱錐的體積，并計算出的面積，利用等體積法計算出三棱錐的高，即為點到平面的距離；（3）由（1）平面，于此得知為直線與平面所成的角，由，得出平面，于此計算出，然后在中計算出即可．【詳解】（1）平面，平面，，四邊形是菱形，，平面；又平面，所以平面平面.（2）設，連結，則，四邊形是菱形，，，，設點到平面的距離為平面，，，解得，即點到平面的距離為；（3）由（1）得平面，為與平面所成角，平面，，與平面所成角的正切值為．【點睛】本題考查平面與平面垂直的證明、點到平面的距離以及直線與平面所成的角，求解點到平面的距離，常用的方法是等體積法，將問題轉化為三棱錐的高來計算，考查空間想象能力與推理能力，屬于中等題．21、（1）（2）（3）【解析】

（1）利用小矩形的面積和為,求得值,即可求得答案;（2）中位數的計算方法為:把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于軸的直線橫坐標,即可求得答案;（3）據直方圖求出續(xù)駛里程在和續(xù)駛里程在的車輛數,利用排列組合和概率公式求出