江西省吉安市一中2023-2024學年數學高一下期末教學質量檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P,則△PBC的面積大于的概率是()A． B． C． D．2．已知函數(,)的部分圖像如圖所示，則的值分別是()A． B．C． D．3．下列說法正確的是（）A．銳角是第一象限的角，所以第一象限的角都是銳角;B．如果向量，則；C．在中，記，，則向量與可以作為平面ABC內的一組基底；D．若，都是單位向量，則.4．甲箱子里裝有個白球和個紅球，乙箱子里裝有個白球和個紅球．從這兩個箱子里分別摸出一個球，設摸出的白球的個數為，摸出的紅球的個數為，則（）A．，且 B．，且C．，且 D．，且5．已知向量，且，則的值是（）A． B． C．3 D．6．已知向量，若，則的最小值為（）.A．12 B． C．16 D．7．公差不為零的等差數列的前項和為.若是的等比中項,，則等于（）A．18 B．24 C．60 D．908．函數的圖像關于直線對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．19．下列函數中周期為，且圖象關于直線對稱的函數是()A． B．C． D．10．若，，與的夾角為，則的值是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若過點作圓的切線，則直線的方程為_______________.12．一個封閉的正三棱柱容器，該容器內裝水恰好為其容積的一半（如圖1，底面處于水平狀態(tài)），將容器放倒（如圖2，一個側面處于水平狀態(tài)），這時水面與各棱交點分別為E，F、，，則的值是__________.13．若三角形ABC的三個角A，B，C成等差數列，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，三角形ABC的面積，則b的最小值是________．14．己知為數列的前項和，且，則_____．15．函數的定義域是_____.16．已知向量與的夾角為，且，；則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某市電視臺為了宣傳舉辦問答活動，隨機對該市15～65歲的人群抽樣了人，回答問題統(tǒng)計結果如圖表所示．組號

分組

回答正確

的人數

回答正確的人數

占本組的概率

第1組

5

0.5

第2組

0.9

第3組

27

第4組

0.36

第5組

3

(Ⅰ)分別求出的值；(Ⅱ)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，則第2,3,4組每組應各抽取多少人?(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，電視臺決定在所抽取的6人中隨機抽取2人頒發(fā)幸運獎，求:所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運獎的概率．18．設數列是公差為2的等差數列，數列滿足，，．（1）求數列、的通項公式；（2）求數列的前項和；（3）設數列，試問是否存在正整數，，使，，成等差數列？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.19．等差數列的各項均為正數，，的前項和為，為等比數列，，且．（1）求與；（2）求數列的前項和.20．在中，內角，，的對邊分別為，，，已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求邊的值．21．已知，，，．（1）求的最小值（2）證明：．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

記事件,基本事件是線段的長度，如下圖所示，作于，作于，根據三角形的面積關系得，再由三角形的相似性得，可得事件的幾何度量為線段的長度，可求得其概率.【詳解】記事件,基本事件是線段的長度，如下圖所示，作于，作于，因為，則有；化簡得：，因為，則由三角形的相似性得，所以，事件的幾何度量為線段的長度，因為，所以的面積大于的概率．故選：C【點睛】本題考查幾何概型，屬于基礎題.常有以下一些方面需考慮幾何概型，求解時需注意一些要點.(1)當試驗的結果構成的區(qū)域為長度、面積、體積等時，應考慮使用幾何概型求解.(2)利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域。(3)幾何概型有兩個特點:一是無限性，二是等可能性.基本事件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們所占據的區(qū)域都是有限的，因此可用"比例解法求解幾何概型的概率.2、B【解析】

通過函數圖像可計算出三角函數的周期，從而求得w，再代入一個最低點即可得到答案.【詳解】,，又，，，又，，故選B.【點睛】本題主要考查三角函數的圖像，通過周期求得w是解決此類問題的關鍵.3、C【解析】

可舉的角在第一象限，但不是銳角，可判斷A；考慮兩向量是否為零向量，可判斷B；由不共線，推得與不共線，可判斷C；考慮兩向量的方向可判斷D，得到答案．【詳解】對于A，銳角是第一象限的角，但第一象限的角不一定為銳角，比如的角在第一象限，但不是銳角，故A錯誤；對于B，如果兩個非零向量滿足，則，若存在零向量，結論不一定成立，故B錯誤；對于C，在中，記，可得與不共線，則向量與可以作為平面內的一組基底，故C正確；對于D，若都是單位向量，且方向相同時，；若方向不相同，結論不成立，所以D錯誤．故選C．【點睛】本題主要考查了命題的真假判斷，主要是向量共線和垂直的條件，著重考查了判斷能力和分析能力，屬于基礎題．4、D【解析】可取，；，，，，，故選D.5、A【解析】

由已知求得，然后展開兩角差的正切求解．【詳解】解：由，且，得，即．，故選A．【點睛】本題考查數量積的坐標運算，考查兩角差的正切，是基礎題．6、B【解析】

根據向量的平行關系，得到間的等量關系，再根據“”的妙用結合基本不等式即可求解出的最小值.【詳解】因為，所以，所以，又因為，取等號時即，所以.故選：B.【點睛】本題考查利用基本不等式求解最小值，難度一般.本題是基本不等式中的常見類型問題：已知，則，取等號時.7、C【解析】

由等比中項的定義可得，根據等差數列的通項公式及前n項和公式，列方程解出和，進而求出.【詳解】因為是與的等比中項，所以，即，整理得，又因為，所以，故，故選C.【點睛】該題考查的是有關等差數列求和問題，涉及到的知識點有等差數列的通項，等比中項的定義，等差數列的求和公式，正確應用相關公式是解題的關鍵.8、C【解析】

的對稱軸為，化簡得到得到答案.【詳解】對稱軸為：當時，有最小值為故答案選C【點睛】本題考查了三角函數的對稱軸，將對稱軸表示出來是解題的關鍵，意在考查學生對于三角函數性質的靈活運用.9、B【解析】因為，所以選項A,B,C,D的周期依次為又當時，選項A,B,C,D的值依次為所以只有選項A,B關于直線對稱，因此選B.考點：三角函數性質10、C【解析】

由題意可得||?||?cos，，再利用二倍角公式求得結果．【詳解】由題意可得||?||?cos，2sin15°4cos15°cos30°＝2sin60°，故選：C．【點睛】本題主要考查兩個向量的數量積的定義，二倍角公式的應用屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或【解析】

討論斜率不存在時是否有切線，當斜率存在時，運用點到直線距離等于半徑求出斜率【詳解】圓即①當斜率不存在時，為圓的切線②當斜率存在時，設切線方程為即，解得此時切線方程為，即綜上所述，則直線的方程為或【點睛】本題主要考查了過圓外一點求切線方程，在求解過程中先討論斜率不存在的情況，然后討論斜率存在的情況，利用點到直線距離公式求出結果，較為基礎。12、【解析】

設，則，由題意得：，由此能求出的值．【詳解】設，則，由題意得：，解得，．故答案為：．【點睛】本題考查兩線段比值的求法、三棱柱的體積等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．13、【解析】

先求出，再根據面積得到，再利用余弦定理和基本不等式得解.【詳解】由題得,所以.由余弦定理得，當且僅當時取等.所以b的最小值是.故答案為：【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14、【解析】

根據可知，得到數列為等差數列；利用等差數列前項和公式構造方程可求得；利用等差數列通項公式求得結果.【詳解】由得：，即：數列是公差為的等差數列又，解得：本題正確結果：【點睛】本題考查等差數列通項公式、前項和公式的應用，關鍵是能夠利用判斷出數列為等差數列，進而利用等差數列中的相關公式來進行求解.15、.【解析】

由題意得到關于x的不等式，解不等式可得函數的定義域.【詳解】由已知得,即解得，故函數的定義域為.【點睛】求函數的定義域，其實質就是以函數解析式有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可．16、【解析】

已知向量與的夾角為，則，已知模長和夾角代入式子即可得到結果為故答案為1．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)；(Ⅱ)第2組抽人；第3組抽3人；第4組抽1人；（III）.【解析】

(Ⅰ)由頻率表中第1組數據可知,第1組總人數為,再結合頻率分布直方圖可知∴=100×0.020×10×0.9=18,b=100×0.025×10×0.36=9,,(Ⅱ)第2,3,4組中回答正確的共有54人．∴利用分層抽樣在54人中抽取6人，每組分別抽取的人數為:第2組:人,第3組:人,第4組:人．(Ⅲ)設第2組的2人為、,第3組的3人為、、,第4組的1人為,則從6人中抽2人所有可能的結果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15個基本事件,其中第2組至少有1人被抽中的有，，，，，，，，這9個基本事件．∴第2組至少有1人獲得幸運獎的概率為本題考查分層抽樣方法、統(tǒng)計基礎知識與等可能事件的概率．注意等可能事件中的基本事件數的準確性．18、(1)；.(2)(3)存在，或者，【解析】

（1）令，得，故，代入等式得到，計算得到.（2）利用錯位相減法得到前N項和.（3），假設存在正整數，，使成等差數列，則，解得或者.【詳解】（1）令，得，所以將代入，得所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列，即.（2）兩式相減得到化簡得到.（3），假設存在正整數，，使成等差數列則，即，因為，為正整數，所以存在或者，使得成等差數列.【點睛】本題考查了等差數列，等比數列的通項公式，錯位相減法，綜合性大，技巧性強，意在考查學生的綜合應用能力.19、（1）；（2）【解析】試題分析：（1）的公差為，的公比為，利用等比數列的通項公式和等差數列的前項和公式，由列出關于的方程組，解出的值，從而得到與的表達式.（2）根據數列的特點,可用錯位相減法求它的前項和,由（1）的結果知，兩邊同乘以2得由(1)(2)兩式兩邊分別相減,可轉化為等比數列的求和問題解決.試題解析：（1）設的公差為，的公比為，則為正整數，，依題意有，即，解得或者（舍去），故．4分（2）．6分，，兩式相減得8分，所以12分考點：1、等差數列和等比數列；2、錯位相減法求特數列的前項和.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用，，然后用正弦定理求解即可