第一章集合與常用邏輯用語、不等式(必修第一冊)第1節(jié)集合[課程標準要求]1.了解集合的含義,體會元素與集合的屬于關系;能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.2.理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集;在具體情境中了解全集與空集的含義.3.理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集與交集;理解在給定集合中一個子集的補集的含義,會求給定子集的補集;能使用Venn圖表達集合間的基本關系及集合的基本運算,體會圖形對理解抽象概念的作用.1.元素與集合(1)集合中元素的三個特性:確定性、互異性、無序性.(2)元素與集合的關系:①屬于,記為∈;②不屬于,記為?.(3)集合的表示方法:列舉法、描述法、Venn圖法.(4)常見數(shù)集的記法數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N+)ZQR2.集合間的基本關系文字語言符號語言記法基本關系集合A中任意一個元素都是集合B中的元素x∈A?x∈BA?B或B?A真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一個元素不屬于A①A?B;②?x∈B,x?AAB或BA集合A,B的元素完全相同A?B,B?AA=B續(xù)表文字語言符號語言記法空集不含任何元素的集合,空集是任何集合的子集①?x,x?;②?A(1)A?B包含兩層含義:AB或A=B.(2)是任何集合的子集,也是任何非空集合的真子集.(3)若A?B,要分A=或A≠兩種情況討論,不要忽略A=的情況.3.集合的基本運算運算表示文字語言符號語言圖形語言記法交集由所有屬于A且屬于B的元素組成的集合{x|x∈A,且x∈B}A∩B續(xù)表運算表示文字語言符號語言圖形語言記法并集由所有屬于A或屬于B的元素組成的集合{x|x∈A,或x∈B}A∪B補集全集U中不屬于A的所有元素組成的集合{x|x∈U,且x?A}?UA4.集合的運算性質(1)交集的運算性質:A∩B=B∩A;A∩A=A;A∩=∩A=;A∩B=A?A?B.(2)并集的運算性質:A∪B=B∪A;A∪A=A;A∪=∪A=A;A∪B=A?B?A.(3)補集的運算性質:A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=,?U(?UA)=A;?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB);?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).1.對于有限集合A,其元素個數(shù)為n,則集合A的子集個數(shù)為2n,真子集個數(shù)為2n-1,非空真子集個數(shù)為2n-2.2.A?B,A∩B=A,A∪B=B,?UB??UA以及A∩(?UB)=兩兩等價.1.(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M={x|x<4},N={x|3x≥1},則M∩N等于(D)A.{x|0≤x<2} B.{x|13C.{x|3≤x<16} D.{x|13解析:法一因為M={x|x<4},所以M={x|0≤x<16}.因為N={x|3x≥1},所以N={x|x≥13所以M∩N={x|13法二觀察選項進行特取,取x=4,則4∈M,4∈N,所以4∈(M∩N),排除A,B;取x=1,則1∈M,1∈N,所以1∈(M∩N),排除C.2.(必修第一冊P9習題T1改編)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},則(?UP)∪Q等于(C)A.{1} B.{3,5}C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}解析:根據(jù)補集的運算得?UP={2,4,6},所以(?UP)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.3.已知集合M={1,4,x},N={1,x2},若N?M,則實數(shù)x組成的集合為(C)A.{0} B.{-2,2}C.{-2,0,2} D.{-2,0,1,2}解析:因為N?M,所以x=x2,解得x=0,x=1或x2=4,解得x=±2,當x=0時,M={1,4,0},N={1,0},N?M,滿足題意.當x=1時,M={1,4,1},不滿足集合中元素的互異性.當x=2時,M={1,4,2},N={1,4},N?M,滿足題意.當x=-2時,M={1,4,-2},N={1,4},N?M,滿足題意.4.已知集合A={(x,y)|x24+A.9 B.10C.11 D.12解析:由橢圓的性質得-2≤x≤2,-2≤y≤2,又x∈Z,y∈Z,所以集合A={(-2,0),(2,0),(-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1),(0,0),(-1,1),(-1,-1),(1,1),(1,-1)},共有11個元素.5.已知集合A={x|x≥3},B={x|x≥m},且A∪B=A,則實數(shù)m的取值范圍是.

解析:由題意可知B?A,所以m≥3.答案:[3,+∞)集合的概念與表示1.已知集合A={x|x2≤4},集合B={x|x∈N*,且x-1∈A},則B等于(C)A.{0,1} B.{0,1,2}C.{1,2,3} D.{1,2,3,4}解析:因為A={x|x2≤4}=[-2,2],B={x|x∈N*,且x-1∈A},所以B={1,2,3}.2.已知集合A={(x,y)|y≤3-A.3 B.4 C.5 D.6解析:由已知可得滿足條件的點有(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),共4個,所以集合A中的元素共有4個.3.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,則m的值為(B)A.1 B.-3C.1或-32 D.-1或解析:令m+2=3,得m=1,此時2m2+m=3,不合題意.令2m2+m=3,得m=-32或m=1(舍去).若m=-32,m+2=124.設a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,ba,b},則a2023+b2024=解析:由題意知a≠0,所以a+b=0,則ba所以a=-1,b=1.故a2023+b2024=-1+1=0.答案:0解決集合含義問題的關鍵有三點:一是確定構成集合的元素;二是確定元素的限制條件;三是根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構造關系式解決相應問題.集合間的基本關系1.已知集合A={x∈Z|-3≤x<4},B={x|log2(x+2)<2},則A∩B的子集個數(shù)為(C)A.3 B.7 C.8 D.128解析:A={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={x|0<x+2<4}={x|-2<x<2},所以A∩B={-1,0,1},所以A∩B的子集個數(shù)為8.2.已知集合A={x|y=x-1+2},B={x|x=1aA.A=B B.A?BC.BA D.AB解析:因為A={x|y=x-1+2}={x|x≥1},B={x|x=1a所以BA.3.已知集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x|1-m≤x≤1+m}.若B?A,則m的取值范圍是(A)A.(-∞,2] B.[-1,3]C.[-3,1] D.[0,2]解析:當B≠時,要滿足B?A,只需1-m≥-4.已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0},B={x∈N|0<x<5},則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為.

解析:由題意得A={1,2},B={1,2,3,4},又因為A?C?B,所以C={1,2}或{1,2,3}或{1,2,3,4}或{1,2,4},共4個.答案:4(1)判斷集合之間的關系的常用方法:對于用列舉法表示的集合,只需要觀察其元素即結合定義判斷它們之間的關系,對于用描述法表示的集合,要從所含元素的特征來分析,若集合之間可以統(tǒng)一形式,則需要統(tǒng)一形式后判斷.(2)空集是任何集合的子集,在涉及集合關系問題時,必須考慮空集的情況,否則易造成漏解.(3)已知兩個集合間的關系求參數(shù)時,關鍵是將條件轉化為元素或區(qū)間端點間的關系,進而轉化為參數(shù)所滿足的關系,常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.集合的基本運算集合的運算[例1](1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},則A∩B等于()A.{-1,2} B.{1,2}C.{1,4} D.{-1,4}(2)(2023·江蘇鹽城模擬)已知集合U={x|1<x<6,x∈N},A={2,3},B={2,4,5},則(?UA)∩B等于()A.{4,5} B.{2,3,4,5}C.{2} D.{2,4,5}(3)已知全集U={x∈N|0<x<8},A∩(?UB)={1,2},?U(A∪B)={5,6},B∩(?UA)={4,7},則集合A為()A.{1,2,4} B.{1,2,7}C.{1,2,3} D.{1,2,4,7}解析:(1)法一由|x-1|≤1,得-1≤x-1≤1,解得0≤x≤2,所以B={x|0≤x≤2},所以A∩B={1,2}.故選B.法二因為4?B,所以4?A∩B,故排除C,D;又-1?B,所以-1?A∩B,故排除A.故選B.(2)由題意得,U={2,3,4,5},又A={2,3},則?UA={4,5},因為B={2,4,5},所以(?UA)∩B={4,5}.故選A.(3)U={1,2,3,4,5,6,7},根據(jù)題意得到如圖所示的Venn圖,所以A={1,2,3}.故選C.根據(jù)集合的運算求參數(shù)[例2](1)(2023·河南新鄉(xiāng)模擬)若集合M={x|x2+5x-14<0},N={x|m<x<m+3},且M∩N=,則m的取值范圍為()A.(-10,2)B.(-∞,-10)∪(2,+∞)C.[-10,2]D.(-∞,-10]∪[2,+∞)(2)(2020·全國Ⅰ卷)設集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},則a等于()A.-4 B.-2 C.2 D.4解析:(1)由題意可得,M={x|-7<x<2},滿足題意時,m≥2或m+3≤-7,求解不等式可得m的取值范圍為(-∞,-10]∪[2,+∞).故選D.(2)A={x|-2≤x≤2},B={xx≤由A∩B={x|-2≤x≤1},知-a2所以a=-2.故選B.(1)進行集合運算時,首先看集合能否化簡,能化簡的先化簡,再研究其關系并進行運算.(2)數(shù)形結合思想的應用:①離散型數(shù)集或抽象集合間的運算,常借助Venn圖求解.②連續(xù)型數(shù)集的運算,常借助數(shù)軸求解,運用數(shù)軸時要特別注意端點是實心還是空心.[針對訓練]1.(2022·遼寧鞍山二模)記集合M={x|x>2或x<-2},N={x|x2-3x≤0},則M∩N等于()A.{x|2<x≤3} B.{x|x>0或x<-2}C.{x|0≤x<2} D.{x|-2<x≤3}解析:N={x|x2-3x≤0}={x|0≤x≤3},所以M∩N={x|2<x≤3}.故選A.2.設集合A={1,2,3,4},B={a,4}且A∪B={1,2,3,4},則實數(shù)a的可能取值組成的集合是()A.{1,2,3} B.{2,3,4}C.{1,3,4} D.{1,2,4}解析:依題意a≠4,當a=1時,B={1,4},滿足A∪B={1,2,3,4},當a=2時,B={2,4},滿足A∪B={1,2,3,4},當a=3時,B={3,4},滿足A∪B={1,2,3,4},所以a的值可以為1,2,3.故選A.3.若集合A={x|x<a},B={x|lgx≥0},且滿足A∪B=R,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1,+∞) B.[1,+∞)C.(0,+∞) D.[0,+∞)解析:集合A={x|x<a},B={x|lgx≥0},由題意得B={x|x≥1},因為A∪B=R,所以a≥1.所以實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).故選B.4.(2023·江蘇南通模擬)設集合A={1,a+6,a2},B={2a+1,a+b},若A∩B={4},則a=,b=.

解析:由題意知,4∈A,所以a+6=4或a2=4,當a+6=4時,則a=-2,得A={1,4,4},不符合元素的互異性,故舍去;當a2=4時,則a=2或a=-2(舍去),當a=2時,A={1,4,8},B={5,2+b},又4∈B,所以2+b=4,得b=2,所以a=2,b=2.答案:22[例1]已知全集U=A∪B={0,1,2,3,4},A∩(?UB)={1,3},則集合B等于()A.{1,3} B.{1,2,3,4}C.{0,2,4} D.{0,1,2,3,4}解析:由U=A∪B={0,1,2,3,4},A∩(?UB)={1,3},所以由Venn圖得B={0,2,4}.故選C.[例2]已知M,N均為R的子集,若N∪(?RM)=N,則下列關系正確的是()A.M?N B.N?MC.M??RN D.?RN?M解析:由題意知,?RM?N,其Venn圖如圖所示,所以只有?RN?M正確.故選D.[例3]設P,Q是兩個非空集合,定義集合間的