（人教版）七年級下冊數(shù)學(xué)《第五章相交線與平行線》專題與平行線有關(guān)的角度計算題型一直接利用平行線的性質(zhì)或判定求角度題型一直接利用平行線的性質(zhì)或判定求角度1．（2023秋?惠安縣期末）如圖，直線l1和l2被l3所截，若l1∥l2，∠1+∠2＝232°，則∠3的度數(shù)為（）A．64° B．66° C．84° D．86°【分析】根據(jù)對頂角相等結(jié)合已知可求出∠1的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求出∠4的度數(shù)，再根據(jù)對頂角相等即可得出∠3的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵∠1+∠2＝232°，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝116°，∵l1∥l2，∴∠1+∠4＝180°，∴∠4＝64°，∵∠3＝∠4，∴∠3＝64°，故選：A．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)及對頂角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，則∠C的度數(shù)是（）A．154° B．144° C．134° D．124°【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵DA⊥AB，CD⊥DA，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠A+∠D＝180°，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B＝56°，∴∠C＝180°﹣∠B＝124°，故選：D．【點評】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?遂平縣期末）如圖．直線a∥b，直線L與a、b分別交于點A、B，過點A作AC⊥b于點C．若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為（）A．130° B．50° C．40° D．25°【分析】直接利用垂直的定義得出∠ACB＝90°，再利用平行線的性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵AC⊥b，∴∠ACB＝90°，∵∠1＝50°，∴∠ABC＝40°，∵a∥b，∴∠ABC＝∠2＝40°．故選：C．【點評】此題主要考查了垂線以及平行線的性質(zhì)，正確得出∠ABC的度數(shù)是解題關(guān)鍵．4．如圖，直線l1∥l2，CD⊥AB于點D，∠1＝44°，則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．44° C．46° D．56°【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余，可以得到∠CBD的度數(shù)，再根據(jù)直線l1∥l2，可以得到∠CBD＝∠2，從而可以得到∠2的度數(shù)，本題得以解決．【解答】解：∵CD⊥AB于點D，∠1＝44°，∴∠CBD＝46°，∵直線l1∥l2，∴∠CBD＝∠2，∴∠2＝46°，故選：C．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)、垂線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．5．如圖，一個由4條線段a，b，c，d組成的“魚”形圖案，若∠1＝45°，∠2＝45°，∠3＝140°，則∠4的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．45° D．50°【分析】先由∠1、∠2的關(guān)系得到b與c的關(guān)系，再利用平行線的性質(zhì)求出∠4．【解答】解：∵∠1＝45°，∠2＝45°，∴∠1＝∠2．∴b∥c．∴∠3+∠4＝180°．∵∠3＝140°，∴∠4＝180°﹣140°＝40°．故選：B．【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運(yùn)用．6．（2023秋?泰興市期末）如圖，AB∥CD，直線EF和AB、CD分別交于點G、H，若∠EGB＝（2x+30）°，∠CHF＝（80﹣3x）°，則x的值為（）A．10 B．20 C．100 D．110【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和對頂角的性質(zhì)，可以得到∠EGB和∠CHF的關(guān)系，然后即可求得x的值．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EGB＝∠EHD，∵∠EHD＝∠CHF，∴∠EGB＝∠CHF，∵∠EGB＝（2x+30）°，∠CHF＝（80﹣3x）°，∴2x+30＝80﹣3x，解得x＝10，故選：A．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．7．如圖，DE∥BC，點A在直線DE上，∠DAB＝78°，∠ACF＝135°，∠BAC＝度．【分析】由DE∥BC可知∠DAC＝∠ACF＝135°，再利用角的差求∠BAC即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DAC＝∠ACF＝135°，∵∠DAB＝78°，∴∠BAC＝∠DAC﹣∠DAB＝57°．故答案為：57．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計算．8．（2023秋?東坡區(qū)期末）如圖，AB∥CD，∠ACD＝155°，∠AFE＝26°，則∠CEF的度數(shù)為．【分析】先利用平行線的性質(zhì)可得∠A＝25°，然后利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD＝155°，∴∠A＝180°﹣∠ACD＝25°，∵∠CEF是△AEF的一個外角，∠AFE＝26°，∴∠CEF＝∠A+∠AFE＝51°，故答案為：51°．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，直線AB∥EF，直線AG，BD分別交直線EF于點C，D．若∠A＝2∠B，∠ECG＝108°，則∠BDF的度數(shù)為°．【分析】由∠ECG＝108°，AB∥EF，可得∠A＝72°，而∠A＝2∠B，知∠B=12∠A＝36°；故∠BDF＝∠【解答】解：∵∠ECG＝108°，∴∠ACD＝108°，∵AB∥EF，∴∠A＝180°﹣∠ACD＝72°，∵∠A＝2∠B，∴∠B=12∠∵AB∥EF，∴∠BDF＝∠B＝36°；故答案為：36．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．10．（2022春?五蓮縣期末）如圖，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，則∠BCD的度數(shù)為．【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故答案為：20°．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．11．（2023秋?商水縣期末）如圖，已知DE∥CB，∠B＝∠D．（1）判斷AB、CD是否平行，并說明理由．（2）若∠B+∠F＝102°，求∠DEF的度數(shù)．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠D＝∠BCF，從而可求得∠BCF＝∠B，即可判定AB∥CD；（2）由平行線的性質(zhì)可得∠B+∠BED＝180°，∠F＝∠BEF，結(jié)合條件即可求解．【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：∵DE∥CB，∴∠D＝∠BCF，∵∠B＝∠D，∴∠BCF＝∠B，∴AB∥CD；（2）∵DE∥CB，∴∠B+∠BED＝180°，∴∠B+∠BEF+∠DEF＝180°，∵AB∥CD，∴∠F＝∠BEF，∴∠B+∠F+∠DEF＝180°，∵∠B+∠F＝102°，∴∠DEF＝78°．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的判定定理與性質(zhì)并靈活運(yùn)用．12．（2023秋?長沙期末）如圖，直線EF與CD交于點O，OA平分∠COE交直線l于點A，OB平分∠DOE交直線l于點B，且∠1+∠2＝90°．（1）求∠AOB的度數(shù)；（2）求證：AB∥CD；（3）若∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度數(shù)．【分析】（1）利用角平分線的定義可得∠AOE=12∠COE（2）利用（1）的結(jié)論可得：∠AOB＝90°，從而利用平角定義可得：∠AOC+∠2＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠AOC＝∠1，從而利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得AB∥CD，即可解答；（3）利用角平分線的定義可得∠2=12∠DOE，從而可得∠DOE：∠3＝4：5，然后利用平角定義可得∠DOE+∠3＝180°，從而可得∠3＝100°，進(jìn)而可得∠COE＝∠3＝100°，最后利用角平分線的定義可得∠【解答】（1）解：∵OA，OB分別平分∠COE和∠DOE，∴∠AOE=12∠COE∴∠AOE+∠BOE=12∠COE+12∠DOE=12（∠∴∠AOB＝90°，∴∠AOB的度數(shù)為90°；（2）證明：由（1）得：∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠2＝180°﹣∠AOB＝180°﹣90°＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∴∠AOC＝∠1，∴AB∥CD；（3）解：∵OB平分∠DOE，∴∠2=12∠∵∠2：∠3＝2：5，∴∠DOE：∠3＝4：5，∵∠DOE+∠3＝180°，∴∠3=180°×5∴∠COE＝∠3＝100°，∵OA平分∠COE，∠AOE=1∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝130°，∴∠AOF的度數(shù)為130°．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．題型二借助學(xué)具的特征求角度題型二借助學(xué)具的特征求角度1．（2023秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，一把長方形直尺沿直線斷開并錯位擺放，點E、D、B、F在同一條直線上，若∠ADE＝131°，則∠DBC的度數(shù)為．【分析】由平行線是的性質(zhì)推出∠GED＝∠ADE＝131°，∠DBC+∠GED＝180°，即可求出∠DBC的度數(shù)．【解答】解：∵AD∥EG，∴∠GED＝∠ADE＝131°，∵EG∥BC，∴∠DBC+∠GED＝180°，∴∠DBC＝49°．故答案為：49°．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)得到∠GED＝∠ADE，∠DBC+∠GED＝180°．2．（2023秋?威寧縣期末）一把直尺按如圖所示擺放，AB∥CD，且∠1＝70°，則∠2的度數(shù)是（）A．70° B．60° C．30° D．80°【分析】根據(jù)題意可得：EF∥HG，從而利用平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠3＝70°，然后再利用平行線的性質(zhì)可得∠3＝∠2＝70°，即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：EF∥HG，∴∠1＝∠3＝70°，∵AB∥CD，∴∠3＝∠2＝70°，故選：A．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋?海安市期末）將一直尺和一塊含30°角的三角尺按如圖放置，若∠CDE＝40°，則∠BFA的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．130° D．140°【分析】先求∠CFA的度數(shù)，再求∠BFA的度數(shù)．【解答】解：∵DE∥AF，∴∠CDE＝∠CFA，∵∠CDE＝40°，∴∠CFA＝40°，∴∠BFA＝180°﹣∠CFA＝140°．故選：D．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)．4．（2023秋?銅官區(qū)期末）如圖，將一塊含有45°角的三角板的兩個頂點放在直尺的一組對邊上．如果∠2＝65°，那么∠1的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】根據(jù)題意∠2＝65°即可算出∠3度數(shù)，再利用平行性質(zhì)即可算出本題答案．【解答】解：如下圖所示：∵∠2＝65°，一塊含有45°角的三角板，∴∠3＝90°﹣65°＝25°，∵兩個頂點放在直尺的一組對邊上，∴∠3＝∠4＝25°，∴∠1＝45°﹣25°＝20°，故選：B．【點評】本題考查平行線性質(zhì)，關(guān)鍵是余角定義，角度計算．5．（2023秋?錦江區(qū)校級期末）一塊含30°角的直角三角板，按如圖所示方式放置，頂點A，C分別落在直線a，b上，若直線a∥b，∠1＝35°，則∠2的度數(shù)是（）A．45° B．35° C．30° D．25°【分析】先根據(jù)題意得出∠1+∠BAC的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠1＝35°，∴∠1+∠BAC＝35°+30°＝65°，∵a∥b，∴∠2+∠ACB+∠1+∠BAC＝180°，即∠2+90°+35°+30°＝180°，∴∠2＝25°．故選：D．【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，將一副三角尺按如圖所示的位置在同一平面內(nèi)擺放，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠B＝30°，∠ECD＝45°．若AB∥CE，CB與DE相交于點F，則∠BCD的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ECA＝120°，進(jìn)而利用角的關(guān)系解答即可．【解答】解：∵AB∥CE，∴∠ECA＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，∵∠ECD＝45°，∴∠DCA＝120°﹣45°＝75°，∵∠BCA＝90°，∴∠BCD＝90°﹣75°＝15°，故選：A．【點評】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)解答．7．（2023秋?新都區(qū)期末）如圖，將含有30°的直角三角尺CAB（∠C＝60°）直角頂點A放到矩形DEFH的邊DE上，若∠EAB＝15°，則∠FQG的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．45°【分析】先根據(jù)∠EAB＝15°，∠CAB＝90°得出∠CAE的度數(shù)，再由HF∥DE得出∠CMF的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理得出∠CQM的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠EAB＝15°，∠CAB＝90°，∴∠CAE＝90°﹣15°＝75°，∵HF∥DE，∴∠CMF＝∠CAE＝75°，∵∠C＝60°，∴∠CQM＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∴∠FQG＝∠CQM＝45°．故選：D．【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．8．將一副三角尺如圖放置，其中∠D＝∠BAC＝90°，∠F＝30°，∠B＝45°，則∠BCF的度數(shù)為（）A．105° B．120° C．150° D．165°【分析】由∠D＝∠BAC，利用“同位角相等，兩直線平行”，可得出AC∥DF，利用“兩直線平行，同位角相等”，可求出∠ACE的度數(shù)，結(jié)合∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE，可求出∠BCE的度數(shù)，再利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即可求出∠BCF的度數(shù)．【解答】解：∵∠D＝∠BAC＝90°，∴AC∥DF，∴∠ACE＝∠F＝30°，∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝45°﹣30°＝15°．又∵∠BCE+∠BCF＝180°，∴∠BCF﹣180°﹣∠BCE＝180°﹣15°＝165°．故選：D．【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角，根據(jù)各角之間的關(guān)系，求出∠BCE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．一副三角形板如圖放置，DE∥BC，∠C＝∠DBE＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°，則∠ABD的度數(shù)為（）A．5° B．15° C．20° D．25°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，即可得到∠DC＝45°，∠AB＝60據(jù)此可得∠ABD的度數(shù)．【解答】解：Rt△ABC中，∠A＝30°，∴∠ABC＝60，∵BC∥DE，∠EDB＝∠E＝45°，∴∠DBC＝45°，∴∠ABD＝60°﹣45°＝15°，故選：B．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．10．如圖，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點F在AC上，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE．則∠AFD的度數(shù)是（）A．25° B．20° C．15° D．10°【分析】利用三角板的度數(shù)可得∠A＝30°，∠D＝45°，由平行線的性質(zhì)定理可得∠1＝∠D＝45°，利用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)果．【解答】解：如圖，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，∴∠D＝180°﹣∠EFD﹣∠DEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∵AB∥DE，∴∠1＝∠D＝45°，∴∠AFD＝∠1﹣∠A＝45°﹣30°＝15°，故選：C．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)定理和外角的性質(zhì)，求出∠A，∠D的度數(shù)是解本題的關(guān)鍵．11．（2023秋?蓮湖區(qū)期末）如圖，把一塊三角板的60°角的頂點放在直尺的一邊上，若∠2＝55°，求∠1的度數(shù)．【分析】先根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)，得到∠3＝∠2，再根據(jù)平角的定義，即可得出∠1的度數(shù)．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3．∵∠2＝55°，∴∠3＝55°．∵∠1+60°+∠3＝180°，∴∠1＝65°．【點評】本題主要考查了平行的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，同位角相等．12．將一副直角三角板如圖1擺放在直線MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不動，將三角板ABC繞點C以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當(dāng)AC與射線CN重合時停止旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2，當(dāng)AC為∠DCE的角平分線時，t＝．（2）當(dāng)t＝18時，求∠BCD的度數(shù)？（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板ABC的AB邊平行于三角板EDC的某一邊時（不包含重合的情形），求此時t的值為．（直接寫出答案即可）【分析】（1）當(dāng)AC為∠DCE的角平分線時，可以求出旋轉(zhuǎn)角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的速度即可求解．（2）當(dāng)t＝18時，旋轉(zhuǎn)角為90°，可求出∠ACD，即可求出∠BCD．（3）數(shù)形結(jié)合，分情況進(jìn)行討論即可．【解答】解：（1）當(dāng)AC為∠DCE的角平分線時，旋轉(zhuǎn)角為15°，∴t=15故答案為3．（2）當(dāng)t＝18時，旋轉(zhuǎn)角為90°，如圖：∵∠DCE＝30°，∠ACB＝45°，∴∠ACD＝60°，∠BCD＝60°﹣45°＝15°．（3）當(dāng)三角板ABC的AB邊平行于三角板EDC的某一邊時，有3種情況：①當(dāng)AB∥DE時，如圖：此時，BC與CD重合，t＝（30+40）÷5＝15，②當(dāng)AB∥CE時，如圖：∵AB∥CE，∴∠BCE＝∠B＝90°，∴∠ACE＝90°+45°＝135°，∴t＝135÷5＝27，③當(dāng)AB∥CD時，如圖：∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠D＝90°，∴∠ACE＝30°+90°+45°＝165°，∴t＝165÷3＝33．綜上所述，t＝15或27或33．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合，分類討論．題型三抽象出平行線模型求角度題型三抽象出平行線模型求角度1．如圖，在彎形管道ABCD中，若AB∥CD，拐角∠ABC＝122°，則∠BCD的大小為（）A．58° B．68° C．78° D．122°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABC+∠BCD＝180°，代入求出即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝122°，∴∠BCD＝180°﹣122°＝58°，故選：A．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，能熟練地運(yùn)用平行線的性質(zhì)定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．2．如圖，萬歲山大宋武俠城的兩條小路AB∥CD，則∠BAE+∠AEC+∠ECD＝（）A．180° B．270° C．360° D．540°【分析】作輔助線EF∥AB，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，可以得到∠BAE+∠AEC+∠ECD的度數(shù)．【解答】解：過點E作EF∥AB，如圖：∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BAE+∠AEF＝180°，∠FEC+∠ECD＝180°，∵∠AEF+∠FEC＝∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°，故選：C．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．（2023秋?海門區(qū)期末）如圖，兩面鏡子AB，BC的夾角為∠α，入射光線OM經(jīng)過鏡子兩次反射后的出射光線NO平行于AB，圖中∠1＝∠2，∠3＝∠4．當(dāng)OM∥BC時，∠α的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】由平行線的性質(zhì)推出∠4＝∠α，∠1＝∠α，又∠3＝∠4，∠2＝∠1，得到∠1＝∠2＝∠α，判定△MNB是等邊三角形，得到∠α＝60°．【解答】解：∵ON∥AB，∴∠4＝∠α，∵∠3＝∠4，∴∠3＝∠α，∵OM∥BN，∴∠1＝∠α，∵∠2＝∠1，∴∠2＝∠α，∴∠3＝∠2＝∠α，∴△MNB是等邊三角形，∴∠α＝60°．故選：C．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠3＝∠2＝∠α．4．（2023秋?即墨區(qū)期末）生活中的椅子一般依據(jù)人體工學(xué)原理設(shè)計，如圖為生活中一把椅子的側(cè)面圖，從人體脊柱的形勢而言，當(dāng)靠背角度∠DEF＝115°時，能產(chǎn)生較為接近自然腰部的形狀，此時最舒適．已知DE與地面平行，支撐桿BD與地面夾角∠ABD＝50°，則制作時用螺絲固定時支撐桿BD和AF需構(gòu)成夾角∠ACB為（）A．70° B．65° C．60° D．50°【分析】先求出∠DEC的度數(shù)，再求出∠CAB的度數(shù)，最后求出∠ACB的度數(shù)．【解答】解：∵∠DEF＝115°，∴∠DEC＝180°﹣∠DEF＝65°，∵DE∥AB，∴∠CAB＝∠DEC＝65°，∵∠ABD＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABD﹣∠CAB＝65°．故選：B．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)．5．當(dāng)光從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時，光線會發(fā)生折射，不同介質(zhì)的折射率不同．如圖，水平放置的水槽中裝有適量水，空氣中兩條平行光線射入水中，兩條折射光線也互相平行．若∠1＝110°，則∠2的度數(shù)為（）A．70° B．60° C．50° D．40°【分析】根據(jù)題意可得：AB∥CE，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠ACE＝70°，再利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠2＝∠ACE＝70°，即可解答．【解答】解：如圖：由題意得：AB∥CE，∴∠1+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝180°﹣∠1＝70°，∵AC∥BE，∴∠2＝∠ACE＝70°，故選：A．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋?鹿寨縣期末）如圖1是某景區(qū)電動升降門，將其抽象為幾何圖形，如圖2所示，BA垂直于地面AE于A，當(dāng)CD平行于地面AE時，則∠ABC+∠BCD＝．【分析】過點B作BF∥AE，如圖，由于CD∥AE，則BF∥CD，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得∠BCD+∠CBF＝180°，由AB⊥AE得AB⊥BF，所以∠ABF＝90°，于是有∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝270°．【解答】解：過點B作BF∥AE，如圖：∵CD∥AE，∴BF∥CD，∴∠BCD+∠CBF＝180°，∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝90°+180°＝270°．故答案為：270°．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線，并熟記兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解決問題的關(guān)鍵．7．（2023秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖是路燈維護(hù)工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行．若∠1＝30°，則∠2+∠3的度數(shù)為．【分析】過∠2頂點做直線l∥支撐平臺，直線l將∠2分成兩個角，根據(jù)平行的性質(zhì)即可求解．【解答】解：過∠2頂點做直線l∥支撐平臺，∴l(xiāng)∥支撐平臺∥工作籃底部，∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°，∴∠4+∠5+∠3＝30°+180°＝210°，∵∠4+∠5＝∠2，∴∠2+∠3＝210°．故答案為：210°．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．某興趣小組利用幾何圖形畫出螳螂的簡筆畫，如圖，已知∠BAC＝130°，AB∥DE，∠D＝70°，則∠ACD＝．【分析】過點C作CF∥AB，先證明CF∥DE，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ACF＝130°，∠DCF＝110°，最后利用角的和差關(guān)系求解即可．【解答】解：過點C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠ACF＝∠BAC，∠D+∠DCF＝180°，又∠BAC＝130°，∠D＝70°，∴∠ACF＝130°，∠DCF＝110°，∴∠ACD＝∠ACF﹣∠DCF＝20°．故答案為：20°．【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．9．樂樂觀察“抖空竹”時發(fā)現(xiàn)，可以將某一時刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝121°，則∠AEC的度數(shù)是（）A．30° B．29° C．28° D．27°【分析】延長DC交AE于F，依據(jù)AB∥CD，∠BAE＝92°，可得∠CFE＝92°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE．【解答】解：如圖，延長DC交AE于F，∵AB∥CD，∠BAE＝92°，∴∠CFE＝92°，又∵∠DCE＝121°，∴∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE＝121°﹣92°＝29°．故選：B．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，同位角相等．10．（2023秋?鷹潭期末）生活現(xiàn)象如圖1，桿秤是中國最古老也是現(xiàn)今人們?nèi)匀辉谑褂玫暮饬抗ぞ?，是利用杠桿原理來稱質(zhì)量的簡易衡器，由木制的帶有秤星的秤桿、金屬秤砣、提繩等組成．?dāng)?shù)學(xué)模型如圖2，是桿秤的示意圖，AC∥BD，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)∠A＝104°，∠BOE＝76°，請判斷OE與BD的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】由AC∥BD可得∠A+∠ABD＝180°，進(jìn)而得出∠ABD＝76°，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得答案．【解答】解：OE∥BD，理由如下：∵AC∥BD，∴∠A+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝180°﹣104°＝76°，∴∠ABD＝∠BOE，∴OE∥BD．【點評】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些判定和性質(zhì)解題的關(guān)鍵．11．如圖所示①是一種網(wǎng)紅彈弓的示意圖，在兩頭系上皮筋，拉動皮筋可形成如圖②所示的平面示意圖，彈弓的兩邊可看成平行的，即AB∥CD．活動小組在探索∠APD與∠A，∠D的數(shù)量關(guān)系時，有如下發(fā)現(xiàn)：當(dāng)拉起皮筋使∠A＝∠D時，瞄準(zhǔn)最準(zhǔn)確．現(xiàn)測得∠A＝160°，∠APD＝40°，判斷此時瞄準(zhǔn)是否最準(zhǔn)確，請說明理由．【分析】如圖所示，過點P作PQ∥AB，利用平行線的性質(zhì)得到∠APQ＝180°﹣∠A＝20°，∠D＝180°﹣∠DPQ，在求出∠DPQ的度數(shù)即可得到答案．【解答】解：此時瞄準(zhǔn)最準(zhǔn)確．如圖所示，過點P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PQ∥CD，∴∠APQ＝180°﹣∠A＝20°，∠D＝180°﹣∠DPQ，∵∠APD＝40°，∴∠DPQ＝∠APD﹣∠APQ＝20°∴∠D＝160°，此時瞄準(zhǔn)最準(zhǔn)確．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型四折疊問題中求角度題型四折疊問題中求角度1．（2023秋?天元區(qū)期末）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，D、C分別在M、N的位置上，EM與BC的交點為G，若∠EFC＝125°，則∠1＝（）A．35° B．55° C．70° D．65°【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠DEF+∠EFC＝180°，再根據(jù)翻折的性質(zhì)和平角的定義列式計算，即可求出∠1．【解答】解：∵長方形對邊AD∥BC，∴∠DEF+∠EFC＝180°，∴∠DEF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣125°＝55°，由翻折的性質(zhì)得：∠DEF＝∠MEF＝55°，∴∠1＝180°﹣55°×2＝70°，故選：C．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，將長方形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在點C′處，折痕為EF，若∠ABE＝30°，則∠EFC′的度數(shù)為（）A．120° B．100° C．150° D．90°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)知∠BEF＝∠DEF，而∠AEB的度數(shù)可在Rt△ABE中求得，根據(jù)平角定義可求出∠BED的度數(shù)，即得∠BEF的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解．【解答】解：Rt△ABE中，∠ABE＝30°，∴∠AEB＝60°，由折疊的性質(zhì)知：∠BEF＝∠DEF=12∠∵∠BED＝180°﹣∠AEB＝120°，∴∠BEF＝60°，∵BE∥C′F，∴∠BEF+∠EFC′＝180°，∴∠EFC′＝180°﹣∠BEF＝120°．故選：A．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，熟記折疊的性質(zhì)及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．2．如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點A落在CD邊上的點A'處，點B落在點B'處，若∠1＝115°，則圖中∠2的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．60°【分析】由鄰補(bǔ)角概念和翻折變換性質(zhì)得出∠EFB′＝∠1＝115°，∠EFC＝65°，據(jù)此知∠CFB′＝50°，結(jié)合∠B＝∠B′＝90°知∠2＝90°﹣∠CFB′，從而得出答案．【解答】解：∵∠1＝115°，∴∠EFB′＝∠1＝115°，∠EFC＝65°，∴∠CFB′＝50°，又∵∠B＝∠B′＝90°，∴∠2＝90°﹣∠CFB′＝40°，故選：A．【點評】本題主要考查翻折變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握翻折變換的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)及直角三角形兩銳角互余、對頂角相等的性質(zhì)．3．（2022?南京模擬）如圖，將一塊長方形紙條折成如圖的形狀，若已知∠1＝α，則∠2的度數(shù)為（）A．90°﹣α B．45°+α C．45°+α2 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖，作過點B的射線AF'，∵AB∥CD，∴∠1+∠FBC+∠2＝180°，∠F'BC＝∠2∵紙條是對折，∴∠FBC＝∠F'BC＝∠2，∴2∠2+∠1＝180°，∵∠1＝α，∴∠2=12×∴∠2＝90°?12故選：D．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，本題的解題關(guān)鍵找出是紙條對折后的角度關(guān)系．4．（2022秋?宛城區(qū)校級期末）如圖，把一個長方形紙片沿OG折疊后，C，D兩點分別落在C'，D'兩點處，若∠AOD'：∠D'OG＝4：3，則∠BGO＝度．【分析】設(shè)∠AOD'＝4x，則∠D'OG＝3x，由翻折可知∠DOG＝∠D'OG＝3x，根據(jù)平角的定義解出x，由矩形的性質(zhì)進(jìn)而可以得出∠BGO的度數(shù)．【解答】解：∵∠AOD'：∠D'OG＝4：3，設(shè)∠AOD'＝4x，則∠D'OG＝3x，由翻折可知∠DOG＝∠D'OG＝3x∵∠AOD'+∠D'OG+∠DOG＝180°，即10x＝180°，解得x＝18°，∵AD∥BC，∴∠BGO＝∠DOG＝3x＝54°，故答案為：54．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)和平角的等于180°，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)圖中折疊前后重合的角相等．5．（2023秋?北林區(qū)校級期末）將長方形ABCD紙片沿AE折疊得到如圖所示的圖形，已知∠CED′＝68°，則∠EAB的度數(shù)是．【分析】由折疊可得∠DEA＝∠D'EA，再由已知的條件可求得∠DEA的度數(shù)，從長方形可得AB∥CD，從而可求∠EAB的度數(shù)．【解答】解：由折疊得：∠DEA＝∠D'EA，∵∠CED′＝68°，∴∠DED'＝180°﹣∠CED'＝112°，∴∠DEA=12∠∵四邊形ABCD是長方形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEA＝56°．故答案為：56°．【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．6．（2023秋?萍鄉(xiāng)期末）如圖，△ABC中，∠B＝40°，點D為邊BC上一點，將△ADC沿直線AD折疊后，點C落到點E處，若DE∥AB，則∠ADE的度數(shù)為°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BDE＝∠B＝40°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠ADE＝∠ADC，根據(jù)平角的定義可得∠ADB+∠ADC＝180°，由此可以求出∠ADC的度數(shù)即可得到答案．【解答】解：∵DE∥AB，∠B＝40°，∴∠BDE＝40°，由折疊的性質(zhì)得∠ADE＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∠ADB＝∠ADE﹣∠BDE＝∠ADC﹣40°，∴∠ADC﹣40°+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝110°，∴∠ADE＝∠ADC＝110°．故答案為：110．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋?淮南期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠1＝76°，D、E分別在AB、AC上，將△ADE沿DE折疊得△FDE，且滿足EF∥AB，則∠B的度數(shù)為．【分析】由折疊的性質(zhì)得∠FED＝∠1，∠A＝∠F，根據(jù)平角的定義求出∠FEC的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠F的度數(shù)，即可得出∠A的度數(shù)，從而求出∠B的度數(shù)．【解答】解：由折疊的性質(zhì)得∠FED＝∠1，∠A＝∠F，∵∠1＝76°，∴∠FED＝76°，∴∠FEC＝180°﹣∠FED﹣∠1＝180°﹣76°﹣76°＝28°，∵EF∥AB，∴∠F＝∠FEC＝28°，∴∠A＝28°，∵∠C＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣28°＝62°，故答案為：62°．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平角的定義，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋?丹徒區(qū)期末）如圖，長方形ABCD沿AE折疊，使D點落在BC邊上的F點處，如果∠EFC＝30°，則∠DAE等于．【分析】由長方形的性質(zhì)得出∠D＝90°，AD∥BC，再由折疊的性質(zhì)得出∠DAE＝∠FAE，∠AFE＝∠D＝90°，結(jié)合已知∠EFC＝30°即可求出∠AFB的度數(shù)，從而求出∠DAE的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD為長方形，∴∠D＝90°，AD∥BC，由折疊得，∠DAE＝∠FAE，∠AFE＝∠D＝90°，∵∠EFC＝30°，∴∠AFB＝180°﹣∠AFE﹣∠EFC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠DAF，即60°＝2∠DAE，∴∠DAE＝30°，故答案為：30°．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，長方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握這些圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022?鄭州模擬）如圖，將一張長方形紙帶沿EF折疊，點C、D的對應(yīng)點分別為C'、D'．若∠DEF＝α，用含α的式子可以將∠C'FG表示為（）A．2α B．90°+α C．180°﹣α D．180°﹣2α【分析】由折疊的性質(zhì)可得：∠DEG＝2α，C'F∥D'E，由AD∥BC可得∠D'GF＝∠DEG＝2α，從而有∠C'FG＝180°﹣∠D'GF，即可得出結(jié)果．【解答】解：由長方形紙帶ABCD及折疊性質(zhì)可得：∠D'EF＝∠DEF＝α，C'F∥D'E，∴∠DEG＝2∠DEF＝2α，∠C'FG＝180°﹣∠D'GF，∵AD∥