第第頁5.4.2正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值（第2課時）（分層作業(yè)）（3種題型分類基礎(chǔ)練+能力提升練）【夯實基礎(chǔ)】題型一：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性1.函數(shù)y＝cosx在區(qū)間[－π，a]上為增函數(shù)，則a的取值范圍是________．【答案】(－π，0]【解析】(1)因為y＝cosx在[－π，0]上是增函數(shù)，在[0，π]上是減函數(shù)，所以只有－π＜a≤0時滿足條件，故a∈(－π，0]．2．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))的單調(diào)遞減區(qū)間為________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，－\f(2π,9)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,9)，\f(π,3)))【解析】由eq\f(π,2)＋2kπ≤3x＋eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，得eq\f(π,9)＋eq\f(2kπ,3)≤x≤eq\f(4π,9)＋eq\f(2kπ,3)(k∈Z)．又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，所以函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))的單調(diào)遞減區(qū)間為－eq\f(π,3)，－eq\f(2π,9)，eq\f(π,9)，eq\f(π,3).3.已知函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))，則它的單調(diào)減區(qū)間為________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)【解析】y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，由2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z，∴單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)．4.已知函數(shù)f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2x))＋1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．[解]令u＝eq\f(π,4)＋2x，函數(shù)y＝eq\r(2)sinu的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤eq\f(π,4)＋2x≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(3π,8)＋kπ≤x≤eq\f(π,8)＋kπ，k∈Z.所以函數(shù)f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2x))＋1的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)＋kπ，\f(π,8)＋kπ))，k∈Z.題型二：利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小5.已知α，β為銳角三角形的兩個內(nèi)角，則以下結(jié)論正確的是()A．sinα＜sinβ B．cosα＜sinβC．cosα＜cosβ D．cosα＞cosβ【答案】B【解析】α，β為銳角三角形的兩個內(nèi)角，α＋β＞eq\f(π,2)，α＞eq\f(π,2)－β，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，eq\f(π,2)－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cosα＜coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))＝sinβ.6.比較下列各組數(shù)的大?。孩賑oseq\f(15π,8)，coseq\f(14π,9)；②cos1，sin1.[解]①coseq\f(15π,8)＝coseq\f(π,8)，coseq\f(14π,9)＝coseq\f(4π,9)，因為0＜eq\f(π,8)＜eq\f(4π,9)＜π，而y＝cosx在[0，π]上單調(diào)遞減，所以coseq\f(π,8)＞coseq\f(4π,9)，即coseq\f(15π,8)＞coseq\f(14π,9).②因為cos1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))，而0＜eq\f(π,2)－1＜1＜eq\f(π,2)且y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))＜sin1，即cos1＜sin1.7.利用三角函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。?1)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))與sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10)))；(2)sin196°與cos156°；(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))與coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π)).[解](1)∵－eq\f(π,2)＜－eq\f(π,10)＜－eq\f(π,18)＜eq\f(π,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,18)))＞sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,10))).(2)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°，cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°，∵0°＜16°＜66°＜90°，∴sin16°＜sin66°，從而－sin16°＞－sin66°，即sin196°＞cos156°.(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))＝coseq\f(23,5)π＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(3,5)π))＝coseq\f(3,5)π，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π))＝coseq\f(17,4)π＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,4)))＝coseq\f(π,4).∵0＜eq\f(π,4)＜eq\f(3,5)π＜π，且y＝cosx在[0，π]上是減函數(shù)，∴coseq\f(3,5)π＜coseq\f(π,4)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)π))＜coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,4)π)).題型三：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最值問題8.函數(shù)y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域為________．【答案】[－4,0]【解析】y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2.因為－1≤sinx≤1，所以－4≤y≤0，所以函數(shù)y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域為[－4,0]．9.已知函數(shù)f(x)＝asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋b(a＞0)．當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，f(x)的最大值為eq\r(3)，最小值是－2，求a和b的值．[解]∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，∴－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤1，∴f(x)max＝a＋b＝eq\r(3)，f(x)min＝－eq\f(\r(3),2)a＋b＝－2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝\r(3)，,－\f(\r(3),2)a＋b＝－2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2＋\r(3).))【能力提升】一、單選題1．的單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用整體法求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】由，令，解得，即，即，故選：C.2．函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性的求法求得正確答案.【詳解】，，，，令可的的遞增區(qū)間為.故選：C二、多選題3．下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在各個區(qū)間的單調(diào)性判斷.【詳解】因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故選項A錯誤；因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，故選項B正確；因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故選項C錯誤；因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，故選項D正確；故選：BD4．下列關(guān)于余弦函數(shù)說法正確的是（

）A．最小正周期是 B．定義域是R C．值域是 D．有最值【答案】ABD【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，一一判斷各選項，即得答案.【詳解】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可知：余弦函數(shù)最小正周期是，A正確；余弦函數(shù)定義域是R，B正確；余弦函數(shù)值域是，C錯誤；余弦函數(shù)的最大值為1，最小值為-1，D正確，故選:ABD5．下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)正弦在單調(diào)遞增可判斷A,根據(jù)在單調(diào)遞減可判斷B,根據(jù)誘導(dǎo)公式以及正余弦的單調(diào)性可判斷C,D.【詳解】對A,因為，在單調(diào)遞增，所以,故A正確；對B，因為，在單調(diào)遞減，所以,故B錯誤；對于C,，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選：AC6．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．的最小值為2 B．是奇函數(shù)C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．在上單調(diào)遞減【答案】BCD【分析】根據(jù)的范圍，三角函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，由于，所以的值可以為負數(shù)，A選項錯誤.B選項，，所以為奇函數(shù)，B選項正確.C選項，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，C選項正確.D選項，，所以在區(qū)間上遞增，令，，令，，其中，所以，所以在上遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在上單調(diào)遞減，D選項正確.故選：BCD7．已知函數(shù)，，，在上單調(diào)，則的取值可以是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】AC【分析】根據(jù)，可確定，即可確定的取值情況，然后結(jié)合在上單調(diào)遞增，進行驗證即可確定答案.【詳解】函數(shù)，,則①,又，則是函數(shù)的一個對稱中心，故②,兩式相減得：，在上單調(diào)遞增，則,則，故的取值在1,3,5,7,9,11之中；當(dāng)時，，，故，此時在單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時，，，不符合題意；當(dāng)時，，，故，此時，因為，則，在單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)時，，，故，此時，，故在上不單調(diào)，不符合題意；故選：AC三、填空題8.已知函數(shù)和的圖象均連續(xù)不斷，若滿足：，均有，則稱區(qū)間為和的“區(qū)間”，則和在上的一個“區(qū)間”為_________．（寫出符合題意的一個區(qū)間即可）【答案】【分析】結(jié)合正弦函數(shù)與余弦函數(shù)在區(qū)間上的正負性，得到答案.【詳解】和的定義域都是，當(dāng)時，，，滿足“區(qū)間”的定義，故和在區(qū)間上的一個“區(qū)間”可以是．故答案為：9．已知函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為________.【答案】【分析】令，求得的范圍，即可求得的單調(diào)遞增區(qū)間．【詳解】令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為．故答案為：．四、解答題10．已知函數(shù)，其中，，其圖像經(jīng)過點.(1)求的解析式；(2)作出函數(shù)在內(nèi)的簡圖，并指出函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)；(2)圖像見解析，遞減區(qū)間為.【分析】（1）由圖像所過的點有，結(jié)合參數(shù)范圍及正弦函數(shù)性質(zhì)求，即可得解析式；（2）應(yīng)用五點法畫出函數(shù)圖像，結(jié)合圖像確定遞減區(qū)間.（1）∵函數(shù)的圖像經(jīng)過點，∴，，則，∴.（2）按五個關(guān)鍵點列表：x0-1131-1描點并將它們用光滑的曲線連接起來，如圖所示，由圖像知：函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間為.11．已知函數(shù)（）的最小正周期為.(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)【分析】（1）由最小正周期求出，進而得到，代入求值即可；（2）整體法求解函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間.(1)由最小正周期公式得：，故，所以，所以(2)令，解得：，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.是12．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)取得最大、最小值時自變量的集合；(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明；【答案】(1)函數(shù)取最大值時自變量的集合是，函數(shù)取得最小值時自變量的集合是；(2)函數(shù)為奇函數(shù)，證明見解析.【分析】（1）先用誘導(dǎo)公式化簡，再用整體法可得函數(shù)取最值時自變量的取值范圍；（2）利用函數(shù)奇偶性定義進行判斷.【詳解】（1）因為，令，，即，時，函數(shù)取得最大值；令，，即，時，函數(shù)取得最小值，所以函數(shù)取得最大值時自變量的集合是，函數(shù)取得最小值時自變量的集合是；（2）函數(shù)為奇函數(shù)；因為函數(shù)定義域為R，且，故函數(shù)為奇函數(shù).13．已知函數(shù)，.(1)用“五點法”畫出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖像：(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由題意，由“五點作圖法”，列表描點作圖，可得答案；（2）由題意，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得答案.（1）由“五點法”，列表如下：描點，作圖如下：（2）由的單調(diào)遞增區(qū)間為，且，則，解得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.14．已知函數(shù)，.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值為，最小值為【分析】（1）根據(jù)整體法解不等式即可求解，（2）由得，進而可得最值.（1）令，解得,所以的單調(diào)