北京市匯文中學(xué)2023-2024學(xué)年高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題5分，共50分）1．（5分）若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．（5分）已知向量，，且，則x的值為（）A．-2B．2C．-8D．83．（5分）在三角形ABC中，角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，，，則（）A．B．C．或D．4．（5分）已知圓錐的軸截面是一個(gè)邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的體積為（）A．B．C．D．5．（5分）已知P為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（）A．B．C．D．6．（5分）已知非零向量，，則“”是“”成立的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件7．（5分）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則的形狀是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等邊三角形8．（5分）對于非零向量，，定義運(yùn)算“”：，其中為，的夾角．設(shè)，，為非零向量，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．B．C．若，則D．9．（5分）如圖，直三棱柱中，，，P為棱的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)．以下結(jié)論中正確的是（）A．存在點(diǎn)Q，使B．不存在點(diǎn)Q，使C．對任意點(diǎn)Q，都有D．存在點(diǎn)Q，使10．（5分）圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱為“圭”）．當(dāng)正午太陽照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖2是一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角（即）為26.5°，夏至正午太陽高度角（即）為73.5°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a，則表高（即AC的長）為（）A．B．C．D．二、填空題（每題5分，共30分）11．（5分）已知復(fù)數(shù)，則________；________．12．（5分）已知向量，，則________；向量在上的投影向量的坐標(biāo)為________．13．（5分）正四面體ABCD中，二面角A-BC-D大小的余弦值為________．14．（5分）已知點(diǎn)O（0，0），A（1，2），B（m，0）（），則________，若B是以O(shè)A為邊的矩形的頂點(diǎn)，則________．15．（5分）若的面積為，且為鈍角，則________；的取值范圍是________．16．（5分）如圖矩形ABCD中，，E為邊AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻轉(zhuǎn)成．若M為線段的中點(diǎn)，則在翻轉(zhuǎn)過程中，下列敘述正確的有________（寫出所有序號）．①BM是定值；②一定存在某個(gè)位置，使；③一定存在某個(gè)位置，使；④一定存在某個(gè)位置，使．三、解答題（每題14分，共70分）17．（14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：．18．（14分）已知．（Ⅰ）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．19．（14分）如圖，四邊形ABCD是菱形，，，．（1）求證：；（2）求證：；（3）設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得，并證明你的結(jié)論．20．（14分）已知在中，．（1）若，求的大小；（2）若，求的面積的最大值．21．（14分）對于數(shù)集，其中，，定義向量集，若對任意，存在，使得，則稱X具有性質(zhì)P．（Ⅰ）判斷{-1，1，2}是否具有性質(zhì)P；（Ⅱ）若，且{-1，1，2，x}具有性質(zhì)P，求x的值；（Ⅲ）若X具有性質(zhì)P，求證：，且當(dāng)時(shí)，．參考答案與試題解析一、選擇題（每題5分，共50分）1．【解答】解：復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)（-2，1）位于第二象限．故選：B．2．【解答】解：，，且，，即．故選：B．3．【解答】解：，，，由正弦定理可得：．，即．方法2：，，排除A，B，C，故選：D．4．【解答】解：由題知，如圖，為圓錐的軸截面，邊長均為2，則圓錐的高，底面半徑，故圓錐體積．故選：A．5．【解答】解：由于，利用向量的線性運(yùn)算，，整理得：．故選：A．6．【解答】解：若非零向量，滿足，則，，故“”是“”成立的必要條件，若，兩邊同時(shí)平方可得，，，令，時(shí)，滿足非零向量，且，成立，但．故“”不是“”成立的充分條件，綜上所述，“”是“”成立的必要不充分條件．故選：B．7．【解答】解：，由正弦定理可得，由兩角和的正弦公式可得：，，可得，又，，，故的形狀為等腰三角形．故選：A．8．【解答】解：非零向量，，定義運(yùn)算“”：，其中為，的夾角．故：①，故A正確．②，則：或，所以：和共線，故：C正確．③由于：，故：D正確，所以利用排除法得到：B錯(cuò)誤．故選：B．9．【解答】解：A選項(xiàng)，由于，，，則BQ，AC一定異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，根據(jù)直三棱柱性質(zhì)，，，故，又，，，故，又，故，顯然，即，故，Q重合時(shí)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，直棱柱的側(cè)面必是矩形，而，故矩形成為正方形，則，B選項(xiàng)已經(jīng)分析過，，由，故，又，，故，又，則必然成立，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，取AB中點(diǎn)M，連接CM，PM，根據(jù)棱柱性質(zhì)可知，CM和平行且相等，故平面可擴(kuò)展成平面，過B作，垂足為N，根據(jù)，，故，顯然，故，由，，，故，若，則，過Q作，交于O，連接，于是共面，又，，故，由于，故，延長OQ交AC于J，易得，則，而J在線段AC上，這是不可能的，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．10．【解答】解：由題可知：，在中，由正弦定理可知：，即，則，又在中，，所以，故選：D．二、填空題（每題5分，共30分）11．【解答】解：，則，．故答案為：；．12．【解答】解：，，則；，，故向量在上的投影向量的坐標(biāo)為：．故答案為：（0，-1）；．13．【解答】解：設(shè)正四面體ABCD的棱長為2，取BC中點(diǎn)O，連接AO，DO，則就是二面角A-BC-D的平面角，，．故答案為：．14．【解答】解：根據(jù)題意，點(diǎn)O（0，0），A（1，2），B（m，0），則，，則，，，故，若B是以O(shè)A為邊的矩形的頂點(diǎn)，而與不垂直，則必有，又由，則有，解可得，故答案為：，5．15．【解答】解：的面積為，可得：，，可得：，所以，為鈍角，，，．．故答案為：；．16．【解答】解：對于①④，取CD中點(diǎn)F，連接MF，BF，則，，，，故④正確，由，，，由余弦定理可得，所以是定值，故①正確，對于②，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)榫匦蜛BCD中，，，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，故②正確，假設(shè)③正確，即在某個(gè)位置，使，又因?yàn)榫匦蜛BCD中，，，所以，即，又因?yàn)?，所以，則，這與矛盾，所以不存在某個(gè)位置，使，故③錯(cuò)誤．故答案為：①②④．三、解答題（每題14分，共70分）17．【解答】證明：（Ⅰ）E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)，可得，而，，所以；（Ⅱ），，所以，，因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，，，所以，所以，由（Ⅰ）可得，所以．18．【解答】解：（Ⅰ），的最小正周期，令，，解得：，，可得單調(diào)遞減區(qū)間為，．（Ⅱ），，由函數(shù)圖象性質(zhì)可有，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，．19．【解答】證明：（1），，，．同理，，，；（2）四邊形ABCD是菱形，，，，，．，，；解：（3）時(shí)，，理由如下：作，則MN平行且等于，，，AF平行且等于MN，AMNF是平行四邊形，，，，20．【解答】解：（1）．由正弦定理可得，由余弦定理可得：，，化為，．是等邊三角形，．（2），，由余弦定理可得：，．，．的面積的最大值為．21．