北京市石景山區(qū)2024學年中考數(shù)學最后一模試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.函數(shù)=+b和丁=奴2+"+。在同一直角坐標系內的圖象大致是（）

11

A.--B.-C.-2D.2

22

3.從甲、乙、丙、丁四人中選一人參加詩詞大會比賽，經過三輪初賽，他們的平均成績都是86.5分，方差分別是S甲

2=1.5,S/=2.6,S丙2=3.5,S丁2=3.68,你認為派誰去參賽更合適（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

4.下列運算正確的是（）

A.2a+3a=5a2B.（a3）3=a9C.a2*a4=a8D.a6-i-a3=a2

5.對于代數(shù)式ax2+bx+c（a/））,下列說法正確的是（）

①如果存在兩個實數(shù)prq,使得ap?+bp+c=aq2+bq+c,則ax?+bx+c=a（x-p）（x-q）

②存在三個實數(shù)m/n/s,使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c

③如果ac<0,則一定存在兩個實數(shù)m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+c

④如果ac>0,則一定存在兩個實數(shù)m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+c

A.③B.①③C.②④D.①③④

6.圖中三視圖對應的正三棱柱是（）

▽

7.下列各運算中，計算正確的是（）

A.a12-ra3=a4B.（3a2）3=9a6

C.（a-b）2=a2-ab+b2D.2a?3a=6a2

8.某校對初中學生開展的四項課外活動進行了一次抽樣調查（每人只參加其中的一項活動），調查結果如圖所示，根據圖

形所提供的樣本數(shù)據，可得學生參加科技活動的頻率是（）

A.0.15B.0.2C.0.25D.0.3

9.一組數(shù)據8,3,8,6,7,8,7的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.8,6B.7,6C.7,8D.8,7

10.2017年5月5日國產大型客機C919首飛成功，圓了中國人的“大飛機夢”，它顏值高性能好，全長近39米，最大

載客人數(shù)168人，最大航程約5550公里.數(shù)字5550用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.555X104B.5.55X103C.5.55xl04D.55.5X103

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11.若x=a-1,貝!JX2+2X+1=.

12.4的平方根是.

13.因式分解：mn2+6mn+9m=.

14.小明把一副含45。，30。的直角三角板如圖擺放，其中NC=NF=90。，/A=45。，ZD=30°,則Na+Np等于.

15.如圖，在四邊形ABCD中，點E、F分別是邊AB、AD的中點，BC=15,CD=9,EF=6,ZAFE=50°,貝!JNADC

的度數(shù)為.

A

D

7\

RC

16.若正多邊形的一個外角是45。，則該正多邊形的邊數(shù)是.

17.在如圖所示的正方形方格紙中，每個小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格點，AB與CD相交于

M,則AM：BM=_.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）定義：在三角形中，把一邊的中點到這條邊的高線的距離叫做這條邊的中垂距.例：如圖①，在AABC

中，D為邊BC的中點，AEJ_BC于E,則線段DE的長叫做邊BC的中垂距.

⑴設三角形一邊的中垂距為d（dNO）.若d=0,則這樣的三角形一定是，推斷的數(shù)學依據

（2）如圖②，在△ABC中，NB=15。，AB=30,BC=8,AD為邊BC的中線，求邊BC的中垂距.

（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB=6,AD=1.點E為邊CD的中點，連結AE并延長交BC的延長線于點F,連結

AC.求△ACF中邊AF的中垂距.

19.（5分）已知P是。。外一點，PO交。O于點C,OC=CP=2,弦ABLOC,NAOC的度數(shù)為60。，連接PB.

20.（8分）（1）如圖1,在矩形A3C。中，點。在邊A3上，ZAOC=ZBOD,求證：AO=OB；

（2）如圖2,A8是。。的直徑，如與。。相切于點A,。尸與。。相交于點C,連接C5,ZOPA=40°,求NABC的

度數(shù).

B

圖1

21.（10分）如圖，要修一個育苗棚，棚的橫截面是棚高AB=L5m,長d=10m,棚頂與地面的夾角為

ZACB=27°.求覆蓋在頂上的塑料薄膜需多少平方米（結果保留小數(shù)點后一位）.（參考數(shù)據：sin270=0.45,

cos27°=0.89,tan27°=0.51)

22.（10分）計算：（n-3.14）0-2V3COS30°+（1）-2-|-3|.

23.（12分）如圖，口ABCD的對角線AC,BD相交于點O.E,F是AC上的兩點，并且AE=CF,連接DE,BF.

(1)求證：ADOEg△BOF；

（2）若BD=EF,連接DE,BF.判斷四邊形EBFD的形狀，并說明理由.

24.（14分）如圖，某人在山坡坡腳C處測得一座建筑物頂點A的仰角為63.4。，沿山坡向上走到P處再測得該建筑

物頂點A的仰角為53。.已知BC=90米，且B、C、D在同一條直線上，山坡坡度i=5：1.

⑴求此人所在位置點P的鉛直高度.（結果精確到0.1米）

⑵求此人從所在位置點P走到建筑物底部B點的路程（結果精確到0.1米）（測傾器的高度忽略不計，參考數(shù)據：

4

tan53°-y,tan63.4°~2）

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、C

【解題分析】

根據a、b的符號，針對二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象位置，開口方向，分類討論，逐一排除.

【題目詳解】

當a>0時，二次函數(shù)的圖象開口向上，

一次函數(shù)的圖象經過一、三或一、二、三或一、三、四象限，

故A、D不正確；

b

由B、C中二次函數(shù)的圖象可知，對稱軸x=-->0,且a>0,則b<0,

2a

但B中，一次函數(shù)a>0,b>0,排除B.

故選C.

2、B

【解題分析】

根據求絕對值的法則，直接計算即可解答.

【題目詳解】

故選：B.

【題目點撥】

本題主要考查求絕對值的法則，掌握負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，是解題的關鍵.

3,A

【解題分析】

根據方差的概念進行解答即可.

【題目詳解】

由題意可知甲的方差最小，則應該選擇甲.

故答案為A.

【題目點撥】

本題考查了方差，解題的關鍵是掌握方差的定義進行解題.

4、B

【解題分析】

直接利用同底數(shù)塞的乘除運算法則以及塞的乘方運算法則、合并同類項法則分別化簡得出答案.

【題目詳解】

A、2a+3a=5a,故此選項錯誤；

B、(a3)3=a9,故此選項正確；

C、a2?a4=a6,故此選項錯誤；

D、a6va3=a3,故此選項錯誤.

故選：B.

【題目點撥】

此題主要考查了同底數(shù)幕的乘除運算以及合并同類項和幕的乘方運算，正確掌握運算法則是解題關鍵.

5、A

【解題分析】

設y=ax2+bx+c{a*0)

(1)如果存在兩個實數(shù)prq,使得ap2+bp+c=aq?+bq+c,則說明在y=ox?+Z?x+c(aW0)中，當x=p和x=q時的y

值相等，但并不能說明此時p、q是丁=以2+法+c(a/0)與x軸交點的橫坐標，故①中結論不一定成立；

(2)am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c,則說明在y=ox?+Z?x+c(aW0)中當x=m、n、s時，對應的y值相等，因

此m、n、s中至少有兩個數(shù)是相等的，故②錯誤；

(3)如果ac<0,則b2-4ac>0,則y=+法+c(a力0)的圖象和x軸必有兩個不同的交點，所以此時一定存在兩個

實數(shù)m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+c,故③在結論正確；

(4)如果ac>0,則b?-4ac的值的正負無法確定，此時y=奴？+。犬+式。/0)的圖象與x軸的交點情況無法確定，

所以④中結論不一定成立.

綜上所述，四種說法中正確的是③.

故選A.

6、A

【解題分析】

由俯視圖得到正三棱柱兩個底面在豎直方向，由主視圖得到有一條側棱在正前方，從而求解

【題目詳解】

解：由俯視圖得到正三棱柱兩個底面在豎直方向，由主視圖得到有一條側棱在正前方，于是可判定A選項正確.

故選A.

【題目點撥】

本題考查由三視圖判斷幾何體，掌握幾何體的三視圖是本題的解題關鍵.

7、D

【解題分析】

【分析】根據同底數(shù)塞的除法、積的乘方、完全平方公式、單項式乘法的法則逐項計算即可得.

【題目詳解】A、原式=a\故A選項錯誤，不符合題意；

B、原式=27a6,故B選項錯誤，不符合題意；

C、原式=a?-2ab+b?,故C選項錯誤，不符合題意；

D、原式=6a?,故D選項正確，符合題意，

故選D.

【題目點撥】本題考查了同底數(shù)塞的除法、積的乘方、完全平方公式、單項式乘法等運算，熟練掌握各運算的運算法

則是解本題的關鍵.

8、B

【解題分析】

讀圖可知：參加課外活動的人數(shù)共有(15+30+20+35)=100人，

20

其中參加科技活動的有20人，所以參加科技活動的頻率是F=0.2,

100

故選B.

9、D

【解題分析】

試題分析：根據中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進行解答即可.把這組數(shù)據從小到大排列：3,6,7,7,8,8,8,

8出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是8；最中間的數(shù)是7,則這組數(shù)據的中位數(shù)是7

考點：（1）眾數(shù)；（2）中位數(shù).

10、B

【解題分析】

科學記數(shù)法的表示形式為axlOn的形式，其中l(wèi)W|a|＜10,n為整數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移

動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負

數(shù).

【題目詳解】

解：5550=5.55x1.

故選B.

【題目點撥】

本題考查了科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為“xlO”的形式，其中l(wèi)W|a|V10,"為整數(shù)，表示時關鍵

要正確確定a的值以及n的值.

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11、2

【解題分析】

先利用完全平方公式對所求式子進行變形，然后代入x的值進行計算即可.

【題目詳解】

；x=-y/2-1，

.,.x2+2x+l=（x+l）2=（72-1+D2=2,

故答案為：2.

【題目點撥】

本題考查了代數(shù)式求值，涉及了因式分解，二次根式的性質等，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

12、±1.

【解題分析】

試題分析：：（土2）2=4,的平方根是士1.故答案為士L

考點：平方根.

13、加（九+3,

【解題分析】

提公因式法和應用公式法因式分解.

【題目詳解】

解：mn2+6rnn+9m=m(n2+6n+9)=m(n+3)-.

故答案為：m(n+3)2

【題目點撥】

本題考查因式分解，要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來,

之后再觀察是否是完全平方式或平方差式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式.

14、210°

【解題分析】

根據三角形內角和定理得到NB=45。，NE=60。，根據三角形的外角的性質計算即可.

【題目詳解】

解：如圖：

VZC=ZF=90°,ZA=45°,ZD=30°,

.?.NB=45°,NE=60°,

；.N2+N3=120°,

.,.Za+Zp=ZA+Zl+Z4+ZB=ZA+ZB+Z2+Z3=90o+120o=210°,

故答案為：210。.

【題目點撥】

本題考查的是三角形的外角的性質、三角形內角和定理，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解

題的關鍵.

15、140°

【解題分析】

如圖，連接BD,?.?點E、F分別是邊AB、AD的中點，

.^.EF是△ABD的中位線，

；.EF〃BD,BD=2EF=12,

:.NADB=NAFE=50°,

VBC=15,CD=9,BD=12,

.*.BC2=225,CD2=81,BD2=144,

/.CD2+BD2=BC2,

.,.ZBDC=90°,

ZADC=ZADB+ZBDC=50°+90°=140°.

故答案為：140。.

4/D

//

//..\1

16、1；

【解題分析】

根據多邊形外角和是360度，正多邊形的各個內角相等，各個外角也相等，直接用360。+45?？汕蟮眠厰?shù).

【題目詳解】

???多邊形外角和是360度，正多邊形的一個外角是45。，

.?.360°4-45°=1

即該正多邊形的邊數(shù)是L

【題目點撥】

本題主要考查了多邊形外角和是360度和正多邊形的性質（正多邊形的各個內角相等，各個外角也相等）.

17、5：1

【解題分析】

根據題意作出合適的輔助線，然后根據三角形相似即可解答本題.

【題目詳解】

解：

作AE〃BC交DC于點E,交DF于點F,

設每個小正方形的邊長為a,

貝！!△DEF^>ADCN,

?_E_F____D__F____1

1

/.EF=—a,

3

VAF=2a,

?*.AE=—a,

3

VAAME^ABMC,

5

.AMAE一Cl5

-=3一,

"'~BMBC-12

4Q

故答案為：5：1.

【題目點撥】

本題考查相似三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解

答.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

9

18、(1)等腰三角形；線段的垂直平分線上的點到兩端的距離相等；(2)1；(3)

【解題分析】

試題分析：(1)根據線段的垂直平分線的性質即可判斷.

(2)如圖②中，作AE,3c于E.根據已知得出AE=5E,再求出3。的長，即可求出OE的長.

(3)如圖③中，作尸于先證△AOE四△歹CE,得出4E=EF,利用勾股定理求出AE的長，然后證明

AADEs^CHE,建立方程求出EH即可.

解：(1)等腰三角形；線段的垂直平分線上的點到兩端的距離相等

(2)解：如圖②中，作AE_LBC于E.

在RtAABE中，；NAEB=90。，ZB=15°,AB=3j],

；.AE=BE=3,

；AD為BC邊中線，BC=8,

；.BD=DC=1,

/.DE=BD-BE=1-3=1,

...邊BC的中垂距為1

(3)解：如圖③中，作CH1.AF于H.

/.ZD=ZEHC=ZECF=90°,AD〃BF,

VDE=EC,ZAED=ZCEF,

/.△ADE^AFCE,

.\AE=EF,

在RtAADE中，VAD=1,DE=3,

AE=4-=5,

VZD=EHC,ZAED=ZCEH,

/.△ADE^ACHE,

.DE_AE_

*,777-EC'

?J_>

**T77=~?，

；.EH=

/.AACF中邊AF的中垂距為—

19、(1)BC=2；(2)見解析

【解題分析】

試題分析：(1)連接OB,根據已知條件判定AOBC的等邊三角形，則BC=OC=2；

(2)欲證明PB是。O的切線，只需證得OBLPB即可.

(1)解：如圖，連接OB.

VAB±OC,ZAOC=60°,

.\ZOAB=30°,

；OB=OA,

.\ZOBA=ZOAB=30°,

:.ZBOC=60°,

VOB=OC,

/.△OBC的等邊三角形，

/.BC=OC.

又OC=2,

/.BC=2；

(2)證明：由(1)知，△OBC的等邊三角形，則NCOB=60。，BC=OC.

VOC=CP,

/.BC=PC,

，NP=NCBP.

又；/OCB=60。，NOCB=2NP,

ZP=30°,

/.ZOBP=90o,BPOB±PB.

又；OB是半徑，

.??PB是。O的切線.

考點：切線的判定.

20、（1）證明見解析；（2）25°.

【解題分析】

試題分析：（D根據等量代換可求得NAOD=NBOC,根據矩形的對邊相等，每個角都是直角，可知NA=NB=90。,

AD=BC,根據三角形全等的判定AAS證得△AOD^^BOC,從而得證結論.

（2）利用切線的性質和直角三角形的兩個銳角互余的性質得到圓心角/POA的度數(shù)，然后利用圓周角定理來求NABC

的度數(shù).

試題解析：（1）VZAOC=ZBOD

ZAOC-ZCOD=ZBOD-ZCOD

BPZAOD=ZBOC

?.?四邊形ABCD是矩形

NA=NB=90°,AD=BC

^AOD=NBOC

.?.AO=OB

(2)解：???AB是二，。的直徑，PA與。相切于點A,

APAIAB,

二ZA=90°.

XVZOPA=40°,

/.ZAOP=50°,

；OB=OC,

，ZB=ZOCB.

XVZAOP=ZB+ZOCB,

:./B=ZOCB=-ZAOP=25°.

2

21、33.3

【解題分析】

根據解直角三角形的知識先求出AC的值，再根據矩形的面積計算方法求解即可.

【題目詳解】

繇--Ar-AB-L5」5」0

fflrs?AC————

sinZACBsin27°0.453

矩形面積=10XWH33.3(平方米)

3

答：覆蓋在頂上的塑料薄膜需33.3平方米

【題目點撥】

本題考查了解直角三角形的應用，掌握正弦的定義是解題的關鍵.

22、-1.

【解題分析】

本題涉及零指數(shù)塞、負指數(shù)幕、二次根式化簡和特殊角的三角函數(shù)值4個考點.在計算時，需要針對每個考點分別進

行計算，然后根據實數(shù)的運算法則求得計算結果.

【題目詳解】

原式=1—2&x立+4—3,

2

=1-3+4-3,

=-1.

【題目點撥】

本題主要考查了實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型.解決此類題目的關鍵是熟練掌握負整數(shù)指數(shù)

塞、零指數(shù)塞、二次根式、絕對值等考點的運算.

23、（2）證明見解析；（2）四邊形EBFD是矩形.理由見解析.

【解題分析】

分析：（1）根據SAS即可證明；

（