專題16利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

一、【知識(shí)梳理】

【考綱要求】

1.結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).

【考點(diǎn)預(yù)測】

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

條件恒有結(jié)論

f'(x)>0f(x)在(a,6)上單調(diào)遞增

函數(shù)尸f(x)在區(qū)間(a,

f(x)<0Mx)在(a,加上單調(diào)遞減

⑹上可導(dǎo)

f(x)=0f(x)在(a,⑸上是常數(shù)函數(shù)

2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)，性的步驟

第1步，確定函數(shù)的定義域;

第2步，求出導(dǎo)函數(shù)/(x)的零點(diǎn);

第3步，用/(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出/(x)在各區(qū)間上

的正負(fù)，由此得出函數(shù)y=F(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

【常用結(jié)論】

1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,〃上遞增，則/(x)NO,所以“/(x)>0在(a,6)上成立”是

“廣(X)在(a,6)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.

2.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)/■(*),(劉)=0”是“函數(shù)f(x)在x=x0處有極值”的必要不充分條件.

【方法技巧】

1.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：

(1)確定函數(shù)/1(*)的定義域；

⑵求/(x);

(3)解不等式/(x)〉0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

(4)解不等式/(x)〈0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

2.(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.

(2)若導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)及兩根的大小;

若不能因式分解，則需討論判別式」的正負(fù)，二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，兩根的大小及根是否在

定義域內(nèi).

3.個(gè)別導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不影響所在區(qū)間的單調(diào)性，如/?(x)=x:F5)=3]20(「(x)=0

在x=0時(shí)取到)，/<x)在R上是增函數(shù).

4.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：

(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y=f(x)在(a,6)上單調(diào)，則區(qū)間(a,6)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的

子集.

(2)f(x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的xd(a,6)都有V(x)NO(「(x)WO),且在

(a,加內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，/(x)不恒為零，應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則

會(huì)漏解.

(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.

5.利用導(dǎo)數(shù)比較大小，其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小的問題轉(zhuǎn)化為先

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性比較大小.

6.與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式，要充分挖掘條件關(guān)系，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)；題目中若存在f(x)與

F(x)的不等關(guān)系時(shí)，常構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的積(或商)的函數(shù)，與題設(shè)形成解題鏈條,

利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，從而求解不等式.

二、【題型歸類】

【題型一】不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

［典例1］函數(shù)f(x)=V—21nx的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,+8)

C.(—8,1)D.(-1,1)

2

【解析】(x)=2x—

X

=2(X+D(XT)(X〉O),

X

令f(x)=0,得x=l,

...當(dāng)xd(0,1)時(shí)，f(x)〈0,f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xd(l,+8)時(shí)，f(工)〉0,f(x)單調(diào)遞增.

故選A.

【典例2］若函數(shù)Mx)=5則函數(shù)F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為________.

e

【解析】/"(X)的定義域?yàn)?0,+8),

——Inx-l

x

f'(x)=-----7----，

e

令(T)----Inx—1(x>0),

x

O(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，且0(1)=0,

???當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，0(x)>O,

當(dāng)(1,+8)時(shí)，0(x)〈O,

在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

【典例3】已知定義在區(qū)間(0,X)上的函數(shù)/'(x)=x+2cosx,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

【解析】f(x)=l—2sinx,xd(0,n).

,n?5兀

令f(x)=0,得-或

66

it

當(dāng)■時(shí)，fr(x)>0,

6

it5兀

當(dāng)工■〈水N-時(shí)，ff(^)<0,

o6

5Ji

當(dāng)時(shí)，f(x)〉0,

0

.,.f(x)在(0,句和(丁，nJ上單調(diào)遞增，在什，丁J上單調(diào)遞減.

【題型二】含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

【典例1】已知函數(shù)/1(x)=x2e-"—l(a是常數(shù))，求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

【解析】根據(jù)題意可得，當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=V—1,函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,

0)上單調(diào)遞減.

當(dāng)a￥0時(shí)，f(x)=2胚一a)屋""=e-"(—a/+2x).

因?yàn)閑-聆0,

2

所以令g(x)=—aV+2x=0,解得x=0或x=i

a

①當(dāng)司>0時(shí)，函數(shù)g(x)=—af+2x在(-8,0)和+8)上有g(shù)(x)<0,即/(x)<0,

函數(shù)p=F(x)單調(diào)遞減；

「2一

函數(shù)g(x)=-af+2x在0,一上有g(shù)(x)20,

a

即/(x)》0,函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增.

②當(dāng)水0時(shí)，函數(shù)g(x)=—蘇+2*在(一8,號(hào)和(0,+8)上有g(shù)(x)>0,即/(x)>0,

函數(shù)y=F(x)單調(diào)遞增；

「2一

函數(shù)g(x)=—af+2x在一，。上有g(shù)(x)W0,

a

即/(x)W0,函數(shù)y=Mx)單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)尸/<x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,

0)；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=『(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0),仔，+8),單調(diào)遞增區(qū)間為0,1；

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)尸f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,曰，(0,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間為:0.

【典例2］已知函數(shù)廣(x)=lnx+〃(l—x).

⑴討論F(x)的單調(diào)性；

⑵若/<x)在(2,+8)上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)日》的定義域?yàn)?0,+8),/(x)=」一a若HWO,則/(X)>0,F(x)在(0,

x

+8)單調(diào)遞增；若a>0,則當(dāng)xe(0,5)時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)xeg+—時(shí)，f底)<0,

所以f(x)在(0,單調(diào)遞增，在g,+8)單調(diào)遞減.

(2)由⑴知，當(dāng)aWO時(shí)，f(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，合要求；當(dāng)a>0時(shí)，?⑸在g+,

單調(diào)遞減，則2》士即.?.實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,o］u

a2

ex1

【典例3］已知函數(shù)廣(x)=不一二一ax(a￡R).

2e

3

⑴當(dāng)己=5時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)F(x)在［―1,1］上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)》的取值范圍.

【解析】⑴當(dāng)2=/時(shí),f(x)

2zez

f'(x)(eT—3e*+2］=^7(eA—1)(eA—2),

令f(x)=0,得e'=l或e"=2,即x=0或x=ln2.

令f(x)>0,則xVO或x>ln2；

令f(x)V0,則0VxVln2.

???F(x)的遞增區(qū)間是(一8,0),(ln2,+8)；遞減區(qū)間是(0,ln2).

e1

⑵/(x)=.+「

令e'=方，由于x￡[—l,1],二.方￡e

令爾耒上,

,，、11t2-2

h'(t)———o=----------o-

yJ2t2d

.?.當(dāng)teI，取時(shí)，h'(t)WO,函數(shù)力(t)為單調(diào)減函數(shù);

當(dāng)(鏡，e］時(shí)，h'(t)>0,函數(shù)為⑺為單調(diào)增函數(shù).

故力(。在］e上的極小值點(diǎn)為t=y^2.

又力(e)=￡+，vd』=；+e,力(鏡)=鏡.

乙Q\ej/e

:.小Wh(t)We+:.

\?函數(shù)f(x)在［―1,1］上為單調(diào)函數(shù)，

若函數(shù)f(x)在［-1,1］上單調(diào)遞增，

貝Uawl+l對(duì)tGe恒成立，所以aW4

若函數(shù)f(x)在［―1,1］上單調(diào)遞減，

則對(duì)J,e恒成立，所以aNe+上

綜上可得a的取值范圍是(-8,^2］Ue+/，+8

【題型三】比較大小或解不等式

【典例1］已知函數(shù)『(x)=xsinx,xGR,則fe)，(一"的大小關(guān)系為()

A.f"⑴"用

【解析】因?yàn)開f(x)=xsinx,所以_f(—x)=(一X)?sin(—x)=xsinx=f(<x),所以函數(shù)

廣(x)是偶函數(shù)，所以F(—F,又當(dāng)入金?萬)時(shí)'￡(x)=sinx+xcosx>0,

所以函數(shù)F(x)在(0,方)上單調(diào)遞增，所以仔)"⑴"仔)，即

,(一3〉/■⑴〉f卜丹.故選A.

【典例2】已知函數(shù)/1(X)=/—/'—2x+L則不等式f(2x—3)>1的解集為

【解析】『(x)=e'一e'—2x+l,定義域?yàn)镽,

f'(x)=e"+er—222^6口丁一2=0,

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取“=”，

；"(x)在R上單調(diào)遞增，

又/'(0)=1,

原不等式可化為f(2x—3)>f(0),

3

即2x—3>0,解得x>~,

二原不等式的解集為(I，+8).

【典例3】設(shè)函數(shù)F(x)=e'+x—2,g(x)=lnx+3—3,若實(shí)數(shù)a,6滿足F(a)=0,g(6)

=0,貝”()

A.B.f(垃

C.0〈g?"(6)D.F(6)<gQ)<0

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)#x)=6、+x—2在R上單調(diào)遞增，且"0)=1—2<0,AD=e-l>0,所

以_f?=0時(shí)，(0,1).又g(x)=lnx+f—3在(0,+8)上單調(diào)遞增，且g(l)=—2<0,

所以<0.

由g(2)=ln2+1>0,由6)=0得62(1,2),

又廣(l)=e—l>0,所以F(6)>0.

綜上可知，g{a)<0<AA).故選A.

【題型四】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍

-1

【典例1］已知函數(shù)廣(x)=；3+2己才一Inx,若f(x)在區(qū)間-2

3上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的

-

取值范圍為.

【解析】由題意知f(x)=x+2a」20在《，2上恒成立,

即2a2-x+，在2上恒成立，

x3

84

即a^~

jo

3上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

【典例2］若函數(shù)f(角=e"(sinx+a)在區(qū)間

是()

A.(1,+°0)B.[2,+8)

C.[1,+°°)D.(一木,+8)

【解析】由題意得

f'(x)=e'(sinx+a)+excosx

=e［/sin(x+高+z,

???廣5)在(一萬，句上單調(diào)遞增，

(JIJIA

,廠(x)20在(一■p句上恒成立，又e，)，

.../sin(x+S+a20在(一三，S上恒成立，

A

當(dāng)XW(［一J亍I萬JIM

3冗、

x+丁JI十(7JI

.「小+寧卜［一當(dāng)1,

.'.,^2sin^+^~j+a￡(-1+a,yf2,~\~a］,

—1+aNO,解得即乃@［1,+°°).

故選C.

【典例3］已知函數(shù)F(x)=lnx,g(x)=；蘇+2*(收0).

(1)若函數(shù)力(x)=Hx)—g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；

⑵若函數(shù)為(x)=f(x)—g(x)在［1,4］上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

【解析】(1)力(x)=lnx—~ax—2x,(0,+°°),

所以〃(x)=J—ax-2,由于力(x)在(0,+8)上存在單調(diào)遞減區(qū)間,

X

所以當(dāng)x￡(0,+8)時(shí)，,一HX—2<0有解，

x

12

即a>「一一有解.

xx

19

設(shè)G(x)=下一一，

XX

所以只要H>G(x)min即可.

而C(x)=g—1)—1,

所以G(X)min=—L

所以a>—l.

又因?yàn)椤癢O,所以a的取值范圍為(-1,0)U(0,+°°).

(2)因?yàn)榱?x)在［1,4］上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)[1,4]時(shí)，h'(x)=：—ax—2W0恒成立,

19

即---恒成立.

xx

19

由(1)知G(x)=---->

xx

所以22G(x)max,而G(x)=(}—1)—1,

因?yàn)閤￡[l,4],

所以屋；，1，

x|_4_

7

所以G(X)max=-77(此時(shí)x=4),

7

所以己與一77，又因?yàn)閍WO,

所以己的取值范圍是一看，oju(0,+8).

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】設(shè)函數(shù)Hx)=sinx+e'—e-*—x,則滿足F(x)+f(5—3x)<0的x的取值范圍為

()

A.g,+8)B.1—8,I)

C?由+8)D.1,I)

【解析】因?yàn)镕(x)=sinx+ex—e~A-x,

所以f{~x)=sin(一分+e-e'+x

=—(sinx+ex—e~x—^=—f{x),

所以F(x)為奇函數(shù).

又/(A)=COS^+e%+e-x-1,

因?yàn)閏osIN-2,e'+e-'=e'+*2,

所以f(x)=cosx+e*+e-*—l>0,

所以f(x)在R上單調(diào)遞增，

所以由f(x)+f(5—3x)〈0,

得F(x)<—/*(5—3*)=_f(3x—5),

因?yàn)閺V(x)在R上單調(diào)遞增，

5

所以3x—5,解得x>~,

所以滿足f(x)+f(5—3x)〈0的x的取值范圍為g,+8).

【訓(xùn)練二】(多選)已知函數(shù)/"(X)的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)F(x)的圖象如圖所示，則對(duì)于

任意的劉，下列結(jié)論正確的是()

A.F(x)<0恒成立

B.(XLX2)"(X1)—/(^2)]<0

(矛1+劣2、f(Xl)+/(A2)

C-{22

(Xi+x^\F(X1)+F(X2)

D----2—

【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，導(dǎo)函數(shù)r(x)的圖象在x軸下方，即/(x)<0,故原函數(shù)

為減函數(shù)，并且遞減的速度是逐漸減慢.所以f(x)的示意圖如圖所示：

/'(x)<0恒成立，沒有依據(jù)，故A不正確；

B表示(荀一人2)與[『(xi)—『(劉)]異號(hào)，即f(x)為減函數(shù)，故B正確；

C,D左邊的式子意義為用，用中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，即圖中點(diǎn)6的縱坐標(biāo)值，

右邊式子代表的是函數(shù)值的平均值，即圖中點(diǎn)A的縱坐標(biāo)值，顯然有左邊小于右邊，故C

不正確，D正確.

【訓(xùn)練三】已知函數(shù)/1(x)=alnx—ax—3(aGR).

(1)求函數(shù)Ax)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,/<2))處的切線的傾斜角為45°,對(duì)于任意的te[l,2],

函數(shù)&5)=系+/?卜'(x)+§在區(qū)間(￡,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)必的取值范圍.

O(1一

【解析】(1)函數(shù)/'(X)的定義域?yàn)?0,+8),且5)=^-----—,

X

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間為(0,1),遞減區(qū)間為(1,+8)；

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間為(1,+8),遞減區(qū)間為(0,1);

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)為常函數(shù)，無單調(diào)區(qū)間.

(2)由(1)及題意得，(2)=-|=1,

即a——2,

f^x)=—21nx+2x—3,

f(x)==%>0).

X

.,.g(x)=x+H+2jx—2^r,

g'(x)—Zx+(勿+4)x—2.

???g(x)在區(qū)間(33)上總不是單調(diào)函數(shù),

即g，(x)在區(qū)間3)上有變號(hào)零點(diǎn).

g⑺<0,

由于(0)=—2,

g(3)>0,

當(dāng)(力V0時(shí)，即3/+E+4)力一2<0對(duì)任意方￡[1,2]恒成立,

由于/(0)<0,

故只要W(1)VO且(2)<0,

即勿<—5且一9,即—9，

37

又(3)>0,即m>——

37

-Z-</Z7<—9.

o

即實(shí)數(shù)力的取值范圍是1,—9).

【訓(xùn)練四】對(duì)于三次函數(shù)/'(x),給出定義：設(shè)f'(x)是函數(shù)y=

/"(x)的導(dǎo)數(shù)，f〃(x)是/(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f〃(x)=0有實(shí)數(shù)解劉，則稱點(diǎn)(劉，f(加)

為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三

次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)g(x)=2f—6/+4,則｛擊)十

冉+...+收二

生iooj十十QiooJ-------------

【解析】g'(x)=6*—12x,Jg"(x)=12x—12,

由g"(x)=0,得x=l,又g(l)=0,

???函數(shù)g(x)的對(duì)稱中心為(1,0),

故g(x)+g(2—+=0,

=^"(1)=0.

【訓(xùn)練五】已知函數(shù)F(x)=^ax~(a+1)jr+lnx(a>0),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

【解析】/(X)=ax—(a+1)+)=3-D/T)(x〉o),

XX

①當(dāng)?！此?時(shí)'fl,

由F(x)>o,解得注或o<x<i,

由,(xX0,解得1〈水

②當(dāng)己=1時(shí)，f'(x)N0在(0,+8)上恒成立.

③當(dāng)物時(shí)，。〈九

由f'(x)>0,解得X>1或O<x-,

a

由/(x)<0,解得4Kl.

a

綜上，當(dāng)O〈a<l時(shí)，f(x)在g+8卜口(0,1)上單調(diào)遞增，在[1,0上單調(diào)遞減;

當(dāng)3=1時(shí)，F(xiàn)(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)a>l時(shí)，f(x)在(1,+8)和0,q上單調(diào)遞增，在、，1)上單調(diào)遞減.

X

【訓(xùn)練六】已知函數(shù)f(x)=-.

X

⑴若a〉0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)\/荀，^￡[1,3],荀￥也都有“幻二二匈<2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

X\—X2

【解析】(l)f(x)的定義域?yàn)闉?

1)

2

—X

'：a>0,

...當(dāng)xd(—8,0)U(0,1)時(shí)，f(x)〈0,

當(dāng)xG(l,+8)時(shí)，f(工)〉0,

，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).

(2)xi^[1,3],xiW劉,

4荀)一穴屹)

都有?<2恒成立,

X1—X2

即為荀）一?范）_2<o恒成立，

X1—X2

即EXL2XJ—［4對(duì)一2就〈0恒成立

X1—X2

令g(x)=/(x)—2x,則3二區(qū)應(yīng)〈0在xd［1,3］上恒成立,

Xl-X2

即函數(shù)g(x)=#x)—2x在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞減，

又???/(x)=f'(X—=*T)_2,

回口一2WO在［1,3］上恒成立,

當(dāng)x=l時(shí)，不等式可化為一2W0顯然成立;

當(dāng)xd(1,3］時(shí),不等式opV一Y^］―、2W0可化為aW"9Y*,

人/、2/

令/(X)=----7—1,

(x-l)e

則〃

(x—1)e

_-2x+4^—4x

(x—1)%

一2*9—2x+2)

(x—l)2e

一千年【"〈0在區(qū)間xe（l，3］上恒成立,

；?函數(shù)卜⑷=4而在區(qū)間共（1，即上單調(diào)遞減，

2X329

???力（X）min=7（3）=(3-l)e3=7,

e

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（一8,號(hào)

四、【強(qiáng)化測試】

【單選題】

1.函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)尸/（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)尸f（x）的圖象可能是（)

【解析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行驗(yàn)證.f(x)〉0的解集對(duì)應(yīng)y=F(x)的增區(qū)間,

f'(x)<0的解集對(duì)應(yīng)尸『(x)的減區(qū)間，驗(yàn)證只有D選項(xiàng)符合.故選D.

2.下列函數(shù)中，在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.1"(x)=sin2xB.g{x}=x~x

C.h{x)=xexD.0(x)=—x+lnx

【解析】ax)=xe一定義域?yàn)镽,

'.h'(x)=(x+l)e”，

當(dāng)x>0時(shí)，h'(x)>0,

.?/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

故選C.

3.已知函數(shù)/■(x)=V+3若函數(shù)f(x)在[2,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

X

()

A.(—8,8)B.(—8,16]

C.(-8,-8)U(8,+8)D.(-8,-16]U[16,+8)

【解析】/(x)=2x/,

.,.當(dāng)xG[2,+8)時(shí),f(x)=2X—*4》0恒成立，

x

即aW2f恒成立，

O,(2/)nin=16,

故aW16.

故選B.

4.已知函數(shù)f^x)=sinx+cosx~2x,a=f(—,Z?=/(2e),c=_f(ln2),則a,b,c

的大小關(guān)系是()

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>b>a

【解析】”x)的定義域?yàn)镽,

f'(x)=cossin2=^2008^+-^—2<0,

.?.f(x)在R上單調(diào)遞減，

又2°>l,0<ln2<1,

Jt<ln2<2e,

故/■(—n?f(ln2)〉f(2°),

即a>c>b.故選A.

1nv

5.已知f(x)=——，則()

X

A.f(2)>f(e)>『(3)B.f(3)>f(e)>f(2)

C.A3)>/(2)>Ae)D./(e)>r(3)>A2)

【解析】『(x)的定義域是(0,+8),

I-]nV

f'(x)=-2—,令f(x)=0,得了=0.

X

所以當(dāng)xd(o,e)時(shí)，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xd(e,+8)時(shí)，f(^)<0,f(x)單調(diào)

遞減，故當(dāng)x=e時(shí)，f(x)*=f(e)='而?(2)=手=等，/"(3)=小=h，所以

ez636

f(e)>f(3)〉f(2),故選D.

6.若函數(shù)/■(x)=2f—3卬眉+6了在區(qū)間(1,+8)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是()

A.(一8,1]B.(―°°,1)

C.(—8,2]D.(—8,2)

【解析】因?yàn)镕'5)=6(/-&+1),且函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+8)上是增函數(shù)，所以/(力

=6(/—必x+1)20在(1,+8)上恒成立，即f一以x+lNO在(1,+8)上恒成立，所以

辰上掃'=x+,在(1,+8)上恒成立，即辰(x+3.(xG(l,+8)),因?yàn)楫?dāng)xG(1,

xx\-vmin

+8)時(shí)，了+->2,所以必W2.故選C.

x

7.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.『(-1)=2,對(duì)任意xGR,f'(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為

()

A.(-1,1)B.(-1,+8)

C.(—8,—1)D.(—8,+8)

【解析】由f(x)>2x+4,得f(x)—2x—4〉0.設(shè)b(x)=f{x)—2x—4,則F'(x)=f'(x)—

2.

因?yàn)?x)>2,所以尸(x)>0在R上恒成立，所以尸(x)在R上單調(diào)遞增，而6―1)=/"(—

1)-2X(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)—2x—4>0等價(jià)于/(工)>戶(-1),所以￡》一1,

選B.

8.設(shè)廣(x),g(x)是定義在R上的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且/(x)g(x)—F(x)H(x)<0,則

當(dāng)水時(shí)，有()

A.F(x)g(x)>f(6)g(6)B.F(x)g(a)>f(a)g(x)

C.f(x)g(?)>/1(6)g(x)D.F(x)g(x)>f(a)g(d)

■左力_LL?A\F(x)E?\f'(x)g(x)—f(^r)g'(x),cLLI、I、?

【解析】令尸(七=g(X),貝！J/(x)=-----------------/(X)了-----------<0,所以分(x)在

R上單調(diào)遞減.又a<x<b,所以二H〉—又f(x)>0,g(x)>0,所以

g(a)g(x)gQb)

F(x)g(6)>F(6)g(x).故選C.

【多選題】

9.若函數(shù)Mx)=ax3+3*—x+1恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值可以是()

A.-3B.-1C.0D.

faWO,

【解析】依題意知，f'(x)=3aV+6x—1有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，故

L/=36十12劉》0

解得於一3且H#0.故選BD.

10.若函數(shù)3(X)=/丹才)(。=2.7183,6為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在/1(才)的定義域上單調(diào)遞增，

則稱函數(shù)F(x)具有"性質(zhì).下列函數(shù)不具有〃性質(zhì)的為()

A.f{x)=-B.f{x}=x+1

x

C.f{x}=sinxD.f(^x)=x

1pXpX(v—1、

【解析】對(duì)于A,f{x)=-,則g(x)=—,g'(x)=-----2—,當(dāng)xG且xWO時(shí)，g'(x)<0,

XXX

當(dāng)x>l時(shí)，g/(x)>0,

???g(x)在(一8,0),(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增；

對(duì)于B,f(^x)=x+l,則g(x)=e*f(x)=e*(/+l),

g'(x)=e"(/+l)+2xex=ex(x+1)2>0在實(shí)數(shù)集R上恒成立，

???g(x)=e7(x)在定義域R上是增函數(shù)；

對(duì)于C,f{x)=sinx,則gC6=e'sinx,g'(分=e"(sinx+cos分=/e"sin(x+^^,顯然

g(x)不單調(diào)；

對(duì)于D,f(x)=x,則g(x)=xe",則g，(x)=(x+l)e：當(dāng)1時(shí)，g'(x)<0,所以g(x)

在R上先減后增；

???具有〃性質(zhì)的函數(shù)的選項(xiàng)為B,不具有〃性質(zhì)的函數(shù)的選項(xiàng)為A,C,D.故選ACD.

11.定義在區(qū)間一；，4上的函數(shù)『(x)的導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是

A.函數(shù)『（x）在區(qū)間（0,4）上單調(diào)遞增

B.函數(shù)/"（X）在區(qū)間卜；，0）上單調(diào)遞減

C.函數(shù)F（x）在x=l處取得極大值

D.函數(shù)『（x）在x=0處取得極小值

【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，在區(qū)間一上，（工）＜0,此時(shí)函數(shù)Hx）單調(diào)遞減;

在區(qū)間（0,4］上，f（x）＞0,此時(shí)函數(shù)/1（x）單調(diào)遞增，所以/"（X）在x=0處取得極小值，沒

有極大值.所以A,B,D項(xiàng)均正確，C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選ABD.

12.已知函數(shù)/＜x）的定義域?yàn)镽,其導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象如圖所示，則對(duì)于任意不，

X2^R（矛1力至），下列結(jié)論正確的是（）

A.r（x）＜0恒成立

B.（xi—加"（xi）一丹為）］＜0

,1+京f（X1）+/（X2）

f（Xl）+/（X2）

【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，導(dǎo)函數(shù)/（X）的圖象在X軸下方，即尸（x"0,故原函數(shù)

為減函數(shù)，并且遞減的速度是先快后慢.所以F（x）的圖象如圖所示.

\0冠

恒成立，沒有依據(jù)，故A不正確；

B表示（為一功與"（荀）一〃加］異號(hào)，即Ax）為減函數(shù)，故B正確；

C,D左邊的式子意義為荀，熱中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，即圖中點(diǎn)方的縱坐標(biāo)值，

右邊式子代表的是函數(shù)值的平均值，即圖中點(diǎn)/的縱坐標(biāo)值，顯然有左邊小于右邊,

故C不正確，D正確.

故選BD.

【填空題】

13.已知函數(shù)f(x)=x2—5x+21nx,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

【解析】由題可得，f'(x)=2x—5+巳=4~令f(x)金

XX

?〉0(x>0),解得x〉2或0<求(?綜上所述，函數(shù)『(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是

(0，3和(2,+8).

答案：(0,"和(2,+8)

X

14.函數(shù)F(x)=lnx—什^為_______函數(shù).(填“增”或“減”)

【解析】由已知得F(x)的定義域?yàn)?0,+8).

因?yàn)镕(x)=lnx—]+2x，

匚二I(、1l+2x—2x4x?+3x+l

所以‘W=---(i+2x)"=x(l+2x)"

因?yàn)閤>0,

所以4f+3x+l>0,X(1+2X)2>0.

所以當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)>0.

所以_f(x)在(0,+8)上是增函數(shù).

答案：增

11「2、

15.若函數(shù)F(x)=—乃*在十8)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，貝Ia的取值范圍是

【解析】對(duì)F(x)求導(dǎo)，得/(x)=—f+x+2a=—(x—/+；+2a

由題意知，f(x)>0在|,+8)上有解，

當(dāng)XG|,+8)時(shí)，f'(X)的最大值為/(D=|+2a.

21

令^+2a>0,解得臥一w，

yy

所以a的取值范圍是+，

答案:

16.已知函數(shù)/W=-j/-3^+41nx在（Mt+1）上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/'（X）=一（丁一3x+41nx（x>0）,

4

所以/(x)=-x—3+-,

x

因?yàn)楹瘮?shù)F（x）=-1才2—3x+41nx在（b方+1）上不單調(diào),

4

所以一（x）=—x—3+-在（力，力+1）上有變號(hào)零點(diǎn),

x

v1—I—3Y-4

所以—=0在（t,t+1）上有解，

X

所以x?+3x—4=0在（方，力+1）上有解，

由V+3x—4=0得x=l或x=—4（舍去）,

所以1￡（t,方+1）,所以2仁（0,1）,

故實(shí)數(shù)方的取值范圍是（0,1）.

答案：（0,1）

【解答題】

17.已知函數(shù)廣（x）且a=/仔）

（1）求a的值；

⑵求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.

【解析】⑴由「（￡）=x+ax—x+c,

得f'（x）—3x+2ax—1.

當(dāng)x=?時(shí)，得片/仔）=3義電+2ax|—1,

解得a=~l.

(2)由(1)可知f(x)=x~x—x+c,

則f'(x)=3x2—2x—l=3(x+，(x—1),

令/(才)>0,解得x>l或水號(hào)；

令/(x)〈0,解得一

一0和（1,+8）;

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是一8,

/'(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是T，1

b

18.已知函數(shù)f(x)=F—l(bGR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在點(diǎn)(0,1■(()))處的切線經(jīng)過點(diǎn)(2,

e

—2),討論函數(shù)分(x)=_f(x)+ay(a￡R)的單調(diào)性.

【解析】因?yàn)?*(0)=6—1,

A—1—(―?)

所以過點(diǎn)(0,8—1),(2,—2)的直線的斜率為A=——n；

而/(x)=/由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,

b~\~1

f(0)=—b—

2

所以6=1,所以f(x)=1—1.

e

則/(x)=ax+\—1,F'(x)=a-

ee

當(dāng)石WO時(shí)，F(xiàn)'(x)<0恒成立；

當(dāng)石>0時(shí)，由尸'(x)<0,得水一Ina,

由9(x)>0,得x>—Ina.

故當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)月(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)分(X)在(-8,—Ina)上單調(diào)遞減，在(一Ina,+8)上單調(diào)遞增.

19.函數(shù)_f(x)=(y+ax+6)ef,若_f(x)在點(diǎn)(0,F(0))處的切線方程為6x—y—5=0.

(1)求46的值；

⑵求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

【解析】⑴f(A)=(2x+a)e~x—(x+ax+Z?)?e~x=[—x+(2—a)x+a—b]e~x,

:?f(0)=a—b,又/(0)=b,

???F(x)在(0,r(0))處的切線方程為y-b=(a—6)x,

即ti)x—b=0,

[a-b=&,[a=l,

l6=-5,[b——b,

(2)Vf{x)