北京市豐臺區(qū)2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)（二）

高三數(shù)學(xué)

本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知集合U={1，2,3,4,5},A={1,3},5={2,3},貝4板）C（心）=（）

A.{3}B.{1,2}C.{4,5}D,{1,2,3}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點為則亍=（）

A.1+zB.-1+zC.1-zD.-1-z

3.已知數(shù)列{4}對于任意p,qeN*,都有若%=4,貝U%=（）

A.2B.272C.4D.4也

4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+")上單調(diào)遞增的是()

A.=SB.f(x)=2x+2~xC.y(x)=siiu

D./(x)=tanx

I九I

5.若a,beR,且則()

2

A<T^—B.ab>ab~

礦+1b-+l

,,a+b,

C.a'>ab>b~D.a>——>b

2

6.已知名廠是兩個不同平面，也〃是兩條不同的直線，能使根，〃成立的一組條件是（）

A.a〃B，m工a,n工BB.a〃工B

C.aI/3,mLa,n〃/3D.a10,mua,Yi〃0

7171

7.已知函數(shù)〃%)=sin(69%+0)69>0,-—<(P<—導(dǎo)函數(shù)是/'（x）,如果函數(shù)y=/（x）—/'（x）的

22

圖像如圖所示，那么G0的值分別為（）

兀兀兀

A.1,0B.1,——C.1,-D.2,——

444

8.已知曲線C:|y|=f+1與直線/：y=H+b,那么下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)左=1時，對于任意的beR,曲線C與直線/恰有兩個公共點

B.當(dāng)％=1時，存在Z?eR,曲線C與直線/恰有三個公共點

C,當(dāng)左=2時，對于任意的Z?eR,曲線。與直線/恰有兩個公共點

D.當(dāng)左=2時，存在AeR,曲線。與直線/恰有三個公共點

9.已知等差數(shù)列{4}的公差為d,首項%e0,],那么"1=兀”是“集合S={x|x=sinc^/eN*}

恰有兩個元素”的（）

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.“用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲

線”.利用這個原理，小明在家里用兩個射燈（射出的光錐視為圓錐）在墻上投影出兩個相同的橢圓（圖1）,

光錐的一條母線恰好與墻面垂直.圖2是一個射燈投影的直觀圖，圓錐PO的軸截面APB是等邊三角形,

橢圓。?所在平面為a,PBLa,則橢圓。|的離心率為（）

AV3B?nV3

A.---o.---C.---L）.------

2323

第二部分（非選擇題110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知函數(shù)/（x）=2工,g（x）=log2（x+l）,那么/（g（0））=.

12.若（應(yīng)+1）4=17+“后，則。=.

13.如圖，在正方形A3CD中，AB=2,點瓦/分別為5CCZ）的中點，點G在g尸上，則AE-AG=

14.如圖，正方體ABC?！猂的棱長為2,",N分別為5瓦的中點，c為過直線"N的平

面.從下列結(jié)論①，②中選擇一個，并判斷該結(jié)論的真假.你選的結(jié)論是（填“①”或"②”），該

結(jié)論是命題（填“真”或"假”）.

①平面e截該正方體所得截面面積的最大值為36；

②若正方體的12條棱所在直線與平面e所成的角都等于。，則sin，=走.

3

歸+7昨尤<0,

15.設(shè)函數(shù)〃x)=回n給出下列四個結(jié)論：

------yJx,x>0.

I2

①當(dāng)機=0時，函數(shù)/(%)(f,+8)上單調(diào)遞減；

②若函數(shù)/'(%)有且僅有兩個零點，則爪>0；

③當(dāng)機<0時，若存在實數(shù)。也使得〃則,—目的取值范圍為(2,+8)；

④已知點P(T%0),函數(shù)八％)的圖象上存在兩點Qi(不必),。2(9,y2)(x1<x2<0),Q],Q2關(guān)于坐標(biāo)原

點。的對稱點也在函數(shù)"％)的圖象上.若pQj+p&|=￥，則機=L

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步聚或證明過程.

16.己知.ABC滿足J§sinA+cosA=2.

(1)求A；

(2)若一ABC滿足條件①、條件②、條件③中的兩個，請選擇一組這樣的兩個條件，并求工ABC的面

積.

條件①：a—b=2；條件②：cosB—；條件③：c=8.

14

17.在正四棱柱ABC?！?4￡口中，A5=1,E為8片中點，直線BG與平面A"E交于點尸.

(1)證明：產(chǎn)為與G的中點;

TT

(2)若直線AC與平面ARE所成的角為w，求二面角4—/的余弦值.

18.激光的單光子通訊過程可用如下模型表述：發(fā)送方將信息加密后選擇某種特定偏振狀態(tài)的單光子進行發(fā)

送，在信息傳輸過程中，若存在竊聽者，由于密碼本的缺失，竊聽者不一定能正確解密并獲取準(zhǔn)確信息.

某次實驗中，假設(shè)原始信息的單光子的偏振狀態(tài)0,1,2,3等可能地出現(xiàn)，原始信息息的單光子的偏振狀

態(tài)與竊聽者的解密信息的單光子的偏振狀態(tài)有如下對應(yīng)關(guān)系.

原始信息的單光子的偏振

0123

狀態(tài)

解密信息的單光子的偏振0,1,

0,1,31,2,30,2,3

狀態(tài)2

己知原始信息的任意一種單光子的偏振狀態(tài)，對應(yīng)的竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)等可能地出現(xiàn).

(1)若發(fā)送者發(fā)送的原始信息的單光子的偏振狀態(tài)為1,求竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)與原始信

息的單光子的偏振狀態(tài)相同的概率；

(2)若發(fā)送者連續(xù)三次發(fā)送的原始信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1,設(shè)竊聽者解密信息的單光子的偏振狀

態(tài)為1的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)已知發(fā)送者連續(xù)三次發(fā)送信息，竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1.設(shè)原始信息的單光子只

有一種偏振狀態(tài)的可能性為。，有兩種偏振狀態(tài)的可能性為力，有三種偏振狀態(tài)的可能性為。，試比較

”,仇c的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

19.已知函數(shù)/(%)=。2*+244-2111^(。#0).

(1)當(dāng)a=l時，求曲線y=/(x)在點處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個零點，求。的取值范圍.

20.已知兩點耳(—1,0),月(1,0),曲線。上的動點M滿足|八您|+|叫|=2忸閭，直線g與曲線C交

于另一點N.

(1)求曲線C的方程；

(2)設(shè)曲線C與x軸的交點分別為A,B(點A在點3的左側(cè)，且M不與A,3重合)，直線40與直線

交于點尸.當(dāng)點8為線段NP的中點時，求點N的橫坐標(biāo).

21.將數(shù)列No：1,2,3,4,…中項數(shù)為平方數(shù)項依次選出構(gòu)成數(shù)列A：L4,9,16,…，此時數(shù)列中剩下

的項構(gòu)成數(shù)列Ni:2,3,5,6,…；再將數(shù)列M中項數(shù)為平方數(shù)的項依次選出構(gòu)成數(shù)列&：2,6,12,20,…，

剩下的項構(gòu)成數(shù)列N?；….如此操作下去，將數(shù)列Ni(keN*)中項數(shù)為平方數(shù)的項依次選出構(gòu)成數(shù)列

%,剩下的項構(gòu)成數(shù)列N*.

(1)分別寫出數(shù)列的前2項；

⑵記數(shù)列4n的第九項為.求證：當(dāng)“22時，f(m,n)-f(m,n-l)=2n+m-2；

(3)若/(m,n)=108,求牡〃的值.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知集合。={1，2,3,4,5},人={1,3},5={2,3},貝/板)c(m)=()

A.{3}B.{1,2}C.{4,5}D,{1,2,3}

【答案】C

【解析】

【分析】由補集和交集的定義求解.

【詳解】集合。={1,2,3,4,5},4={1,3},5={2,3},

丘{2,4,5},”={1,4,5},網(wǎng)c(網(wǎng)={4,5}.

故選：C

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點為則亍=()

A.1+zB.-1+zC.1-zD.-1-z

【答案】A

【解析】

【分析】依據(jù)題意可得復(fù)數(shù)z,然后根據(jù)共輒復(fù)數(shù)的概念，可得結(jié)果.

【詳解】由題可知：復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點為則z=l-力

所以5=1+，

故選：A

【點睛】本題考查共軌復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)與所對應(yīng)的點之間的關(guān)系，熟悉概念，屬基礎(chǔ)題.

3.已知數(shù)列｛。“｝對于任意p,qeN*,都有若勾=也，則q=（）

A.2B.242C.4D.4夜

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分別取P=4=l,p=q=2然后代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為數(shù)列｛??｝對于任意qeN*,都有ap+q=apaq,

取夕=4=1,則收x0=2,

取p=q=2,貝1]。4=%?。2=2*2=4,則%=4.

故選：C

4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間（0,+。）上單調(diào)遞增的是（）

人小）卻B.f[x)=T+TXC.y(x)=siiuD.f{x}=tanx

【答案】B

【解析】

【分析】利用函數(shù)的奇偶性定義判斷奇偶性，再利用相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)判斷ACD選項，利用/'（%）>0判斷

B選項即可.

【詳解】對于A,因為/（一力=占=工=/（力，所以是偶函數(shù)，當(dāng)為?0,+8）時，/（x）=n=">

X]Xx\X

是反比例函數(shù)，在（0,+8）上單調(diào)遞減，故A錯誤；

對于B,因為/（—%）=2一*+2*=/（%）,所以是偶函數(shù)，

當(dāng)xe（O,+”）時，/'（力=（2，—2-11112,

/>0,:.2，>1,0<2-*<1,.??/（九）在（0,+s）上單調(diào)遞增，故B正確；

對于C,因為/（一%）=5皿-%）=-5吊工=-/（"，所以是奇函數(shù)，當(dāng)xe（0,+8）時，y（x）=sinjt不單

調(diào)，故C錯誤；

對于D,因為/(-x)=tan(r)=-tanx=—/(x),所以是奇函數(shù)，當(dāng)xe(0,+e)時，/(x)=tanx不

是單調(diào)遞增函數(shù)，故D錯誤；

故選：B.

5.若a,beR,且則（）

11

A.———<——B.crb>ab2

礦+1+1

a+b,

C.a2>ab>b~D.a>------>b

2

【答案】D

【解析】

【分析】舉反例即可求解ABC,根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解D.

1_11

【詳解】由于a>b,取a=l,z?=—l,—.....無法得到再<———

a+1b2+l~2b2+l

a2b>ab1>故AB錯誤，

取。=0力=—2,則。2=0,"=0力2=4,無法得到儲〉c錯誤，

由于a>b,貝!J2“>b+a>%,所以a>>b,

2

故選：D

6.已知名廠是兩個不同的平面，也〃是兩條不同的直線，能使根，〃成立的一組條件是（）

A.a//P，mVa,nX-PB.a///3,m<^a,nV/3

C.a±[3,m±a,n///3D.a±p,m<^a,n//[3

【答案】B

【解析】

【分析】利用給定條件得到m,判斷A,利用給定條件得到根，〃判斷B,舉反例判斷C,D即可.

【詳解】對于A,若?！駝t”,加，故A錯誤，

對于B,若a〃/3,mua,n工/3,則故B正確，

對于C,若aLB，m，a,n〃B，則W可能相交，平行或異面，故C錯誤,

對于D,若a_Lua,”〃尸，則也〃可能相交，平行或異面，故D錯誤.

故選：B

7.已知函數(shù)/(x)=sin(0x+°)0>0,-5<°<5的導(dǎo)函數(shù)是/'⑺，如果函數(shù)y=—/的

圖像如圖所示，那么私。的值分別為()

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得/'(x)=℃os(0x+0),從而可得y=/(x)—/'(X)的解析式，再結(jié)合函數(shù)

圖像代入計算，即可得到結(jié)果.

(兀兀)

【詳解】因為/(%)=5皿5+0)［口>0,-5<0<51

則r(X)=0COS((UV+0),

則y=/(x)_/'(%)=sin(s+0)_69cos(<ur+^)

jtC①

其中tan8=T=0

由圖像可知，函數(shù)的最大值為、叵，即,1+02=也,且。>0,

71

所以0=1,3=-,即y=J5sin

x+9-Z

4

71

又函數(shù)過點(o,—l),將點(0,—1)代入可得一l=0sin(P

即。=5兀+2左兀,kEZJ,或。=2兀+2kit,keZ,

TTjr3

又—5<夕<5，則當(dāng)夕=/兀+2航，左￡z時，無解,

當(dāng)0=2兀+2E,左wZ時，左二一1,則°=0,

所以刃=1,0=0.

故選：A

8.已知曲線。：例=/+1與直線/：y=Ax+b,那么下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)左=1時，對于任意的beR,曲線。與直線,恰有兩個公共點

B.當(dāng)％=1時，存在曲線C與直線/恰有三個公共點

C.當(dāng)左=2時，對于任意的曲線。與直線/恰有兩個公共點

D.當(dāng)k=2時，存beR,曲線C與直線/恰有三個公共點

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)曲線。的對稱性，分別討論當(dāng)直線/與曲線C的上、下半部分相切時b的取值即可求解.

【詳解】曲線C：N=*+1的圖象如圖所示，

V=X+1c

若k=l,當(dāng)直線/與曲線上半部分相切時，由整理得％2—兄+1—人=0,

y=x+b

93

由A=(-l)_4xlx(l_b)=0得人=],

y=-x2-1

當(dāng)直線/與曲線下半部分相切時，由整理得％2+%+1+5=(),

y=x+b

由A=12—4x(l+b)=0得b=—e,

33

結(jié)合曲線。圖象的對稱性可得，當(dāng)6=—或)=—-時，曲線。與直線/有一個交點，

44

3333

當(dāng)一巳＜沙＜巳時，曲線C與直線/沒有交點，當(dāng)6〉士或6＜-巳時，，曲線。與直線/有兩個交點，AB說

4444

法錯誤;

Y=X+1

若左=2,當(dāng)直線/與曲線上半部分相切時，由'整理得爐一2%+1一/,=0，

y=2x+b

由△=（—2『一4義1義（1—人）=0得Z?=0,

y=-x2-1

當(dāng)直線/與曲線下半部分相切時，由整理得尤2+2尤+1+力=0，

y=2x+b

由A=2?—4xlx（l+b）=0得5=0,

結(jié)合曲線C圖象對稱性可得，對于任意的AeR,曲線C與直線/恰有兩個公共點，C說法正確，D說

法錯誤，

故選：C

9.己知等差數(shù)列｛4｝的公差為d,首項%那么"1=?！笔恰凹蟂=｛x|x=sin%,〃eN*｝

恰有兩個元素”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】依據(jù)題意證明充分性成立，舉反例否定必要性即可.

【詳解】對于充分性，已知等差數(shù)列｛4｝的公差為d,首項生

當(dāng)“1=?！睍r，集合S=｛x|x=sin%,“eN1恰有兩個元素S=kin/,—sincq｝,

故充分性成立，對于必要性，當(dāng)1=371時，

“集合5=卜卜=5也?！?〃6?4*｝也恰有兩個元素”，故必要性不成立，

故“1=?！笔恰凹?=卜卜=5M?！?“€m）恰有兩個元素”的充分而不必要條件.

故選：A

10.“用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截口曲

線”.利用這個原理，小明在家里用兩個射燈（射出的光錐視為圓錐）在墻上投影出兩個相同的橢圓（圖1）,

光錐的一條母線恰好與墻面垂直.圖2是一個射燈投影的直觀圖，圓錐PO的軸截面APB是等邊三角形,

橢圓J所在平面為則橢圓口的離心率為（）

p

A.-V--3-oB.-?---C.----nL).-V-3-

2323

【答案】D

【解析】

\PO\3

【分析】根據(jù)題意，由勾股定理結(jié)合余弦定理代入計算可得匕苧=:，再由相似三角形的相似比結(jié)合勾股

\PQ\4

定理可分別計算出橢圓的a,4c,結(jié)合橢圓的離心率即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)AB=2r，由于尸所以？BLAM,在等邊三角形H43中，

點”為PB的中點，于是在平面e中，由橢圓的對稱性可知，

AO[=MO[=今,連接OO],POi，延長尸。與AB交于點Q,

由于為中點，所以在ABM中，PM=r,MO,=—r，

2

由勾股定理可得|P。1|=^\PMf+\MO,f=卜+廠]=與＞

在」PQO中，PO=6r，PO.=—r，由余弦定理可得

22

|尸0|「+忸0『|00『_：/+3/_3@

cosZOPO1=

2又立一rx#>r14

2

|PO|y/3r2幣

在RtZ\PQO中，由于cosNOPO]=相，所以歸0=

3后—3「,

cosZOPO1

14

于是\P有0\得7主3

4

3

設(shè)橢圓a短軸的兩個頂點為G,H,連接PG,P"分別交圓錐于瓦尸,

由于尸GHs阻，所以|PG鬲|=\P向O\二3'

由于PE為圓錐母線，所以FE=B4=2r,

333

從而有|PG|=jPE[=]x2r=]廠，

所以在橢圓。1中，a=\MOi\=^-r，b=\GO^=^-r，

1

—r

2

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了橢圓定義的理解以及橢圓離心率的求解，難度較大，解答本題的關(guān)鍵

在于結(jié)合橢圓的定義以及余弦定理代入計算，分別求得a,。，從而得到結(jié)果.

第二部分(非選擇題110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知函數(shù)/a)=2*,g(x)=log2(x+l),那么/(g(o))=

【答案】1

【解析】

【分析】先求出g(0),再求/(g(。))即可.

【詳解】易知g(0)=log2(0+l)=。，故/(g(o))=/(o)=2°=l,

故答案為：1

12.若（夜+1J=17+4拒，則。=.

【答案】12

【解析】

【分析】根據(jù)題意，將（0+1『展開計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】（V2+1）4=（3+272）2=17+120=17+00，

所以a=12.

故答案為：12

13.如圖，在正方形A3CD中，AB=2,點瓦廠分別為3CCD的中點，點G在所上，則AE.AG=

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性運算可得AE=A3+gAD,AG=[—/lg]A3+/lA。，即可利用數(shù)量積的運算

律求解.

【詳解】設(shè)3G=2政，則

AE-AG=^AB+^AD^^AB+ABF^=^AB+^AD^-^AB+AAD-^AAB^=^AB+^AD^-^1-^AB+AAD

=|1--2AB2+-+—AB-AD+-2AD2=|1--2|X4+-2X4=4.

2J^24J22J2

故答案為：4

14.如圖，正方體ABC。-ABIGR的棱長為2,M,N分別為8男的中點，c為過直線肱V的平

面.從下列結(jié)論①，②中選擇一個，并判斷該結(jié)論的真假.你選的結(jié)論是（填“①”或"②”），該

結(jié)論是命題（填“真”或"假”）.

①平面a截該正方體所得截面面積的最大值為3K；

②若正方體的12條棱所在直線與平面a所成的角都等于0,則sin。=—

3

【答案】①.①（答案不唯一）②.假（答案不唯一）

【解析】

【分析】選①，根據(jù)四邊形的面積即可判斷，選②，根據(jù)三棱錐A四為正三棱錐，利用等體

積法求解M與平面AD}BX所成角的正弦值即可求解②.

【詳解】若選①，平面5。。片是過直線"N的平面.此時四邊形即為該平面截正方體所得截

面，由于四邊形瓦的面積為JBD?JB4=40〉3J§,故①為假命題，

若選②，由于三棱錐4一42片為正三棱錐，所以AA4民4。與平面A3與所成角均相等，故平面a

//平面AQ4,

設(shè)A到平面AD.B,的距離為h,則

—x2x2x2

2

=%-AD]AnS=SA￡)M，4片=＞，=

所以A4與平面AR與所成角的正弦值為±=走，故sin6=W,②為真命題

M33

故答案為：①（答案不唯一），假（答案不唯一）

|x+m|,x<0,

15.設(shè)函數(shù)圓給出下列四個結(jié)論：

-----<x,x20.

I2

①當(dāng)m=0時，函數(shù)/(%)在(-?,+<?)上單調(diào)遞減；

②若函數(shù)“X)有且僅有兩個零點，則田〉0；

③當(dāng)機<0時，若存在實數(shù)0也使得〃。)=〃。)，則,—目的取值范圍為(2,+8)；

④己知點P(—狐0),函數(shù)4％)的圖象上存在兩點。1(%,X),。2(*2，%)(玉<%2<。)，屐，。2關(guān)于坐標(biāo)原

點O的對稱點也在函數(shù)/(%)的圖象上.若f0+歸02|=容，則機=L

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】根據(jù)xNO時，/(力=0即可判斷①，求解方程的根，即可求解②，結(jié)合函數(shù)圖象，求解臨界狀態(tài)

時|a-4—2,即可求解③，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)可先判斷機>0,繼而根據(jù)對稱性聯(lián)立方程得

712/7Am1

2。式o

-------卜J-m+4機FA_rn+4加珀的|八八|i二八i3,2―>3

廠;2V2，陵=2---V2，根據(jù)|Pg|+|P&|=r;B一可得々一百=->

代入即可求解④.

【詳解】當(dāng)機=0時，x20時，/(x)=0,故在(—8,+8)上不是單調(diào)遞減，①錯誤；

對于②，當(dāng)根=0顯然不成立，故相。0,

當(dāng)xNO時，令/(x)=。，即—當(dāng)"、G=o，得1=0,x<0,|%+^=0^>x=-m,要使/(x)有且

僅有兩個零點，則一切<0,故相>0,②正確,

-x-m,x<Q,

對于③，當(dāng)〃2<0時，/(x)=<y]2mr，此時“力在(9,0)單調(diào)遞減，在[0,+s)單調(diào)遞增,

A/X,X>0.

2

如圖:

若"力2)，"一印S故i〉2,所以i的取值范圍為(2*)；③正

確

對于④，由①③可知：7篦K0時，顯然不成立，故機>0,

要使0(%,%)，2(%2,%)(%<x2<0),22關(guān)于坐標(biāo)原點。的對稱點也在函數(shù)外力的圖象上，

則只需要x>0,y=—|x—和|的圖象與XNO"(X)=—當(dāng)"&有兩個不同的交點，如圖:

\PQ^\PQ^42\-m-x^+^2|x2+m|=-A/2(m+xj+A/2(x2+m)==>/-M=5，

由對稱可得/(一玉)=_*加J-X[=-\-x[一根I=%]+加，

f(_%2)=-2加J-%2=-|-x2-m|=-x2-m，

y/2miI

---------±J—m2+4Am

所以I---2\I2

，一%2~2

6m[1_~A/2

-------.—W+4m=----m4+4m3

2V222

由于相＞0,/（加）=g/7/+4冽3為（0,y）單調(diào)遞增函數(shù)，且

此時元2_F+4加3=T，因此根=1，④正確,

故答案為：②③④

【點睛】方法點睛：函數(shù)零點問題常用的方法和思路

（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步聚或證明過程.

16.已知一ABC滿足QsinA+cosA=2.

（1）求A；

（2）若ABC滿足條件①、條件②、條件③中的兩個，請選擇一組這樣的兩個條件，并求“ABC的面

積.

條件①：a—b=2；條件②：cosB-；條件③：c=8.

14

TT

【答案】（1）-

3

（2）選①③，面積為106，

【解析】

【分析】(1)根據(jù)輔助角公式可得sinA+《=1,即可求解a=

,3

(2)選擇①②，根據(jù)正弦定理可得6=7亍與a—6=2矛盾，即可求解，選擇②③，根據(jù)

cosB=S<l，故巴，a<b,這與a—6=2矛盾，即可求解，選擇①③，根據(jù)余弦定理可得6=5,

1423

a=7,即可由面積公式求解.

【小問1詳解】

由石sinA+cosA=2得2sin[A+^]=2,所以4+彳=]+2En4=m+2瓦,左eZ,

由于Ae(O,7i),所以A=]

【小問2詳解】

若選①a-b=2,②cosB=立~，

14

則cosB=-0,—\sinB=sll-cos~B=,

14[2)14

由正弦定理可得‘一=—也=>。上包=人立=匕=於。>。，這與a—6=2矛盾，故不可以選擇

sinAsinjB142^/7

①②，

若選①。一/?=2,③c=8,

由余弦定理可得8$4=!二2+/一.=82+/一伍+2),解得3=5,a=7,

22bc16b

S/^BC=g6csinA=1■倉第8?#106,

選②③，

由于cosB=^~,Be[0,->1,

14I2)

又cosB=-〈工，故3>百，

1423

而A=：7T,故。<6,這與a—〃=2矛盾，因此不能選擇②③

17.在正四棱柱ABC?！狝4G。中，A5=1,E為8用中點，直線瓦G與平面A，E交于點尸.

(1)證明：尸為瓦G的中點；

TT

(2)若直線AC與平面AD】E所成的角為求二面角A—A，—E的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵逅

6

【解析】

【分析】(1)根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理判斷；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求線面角確定E點位置，再由空間向量法求二面角.

【小問1詳解】

如圖，連接BG，F(xiàn)E,FD「在正四棱柱ABC?！?4GR中，

由A5與CR平行且相等得ABG2是平行四邊形，所以BCJ/AD,,

又BQ<Z平面AD,E,ADXu平面AD.E,所以BCJ/平面AD,E,

BQu平面BCC&1,平面AD,E平面BCC^=EF，

所以BCJ/EF,E是8及中點，

所以產(chǎn)是用G的中點;

【小問2詳解】

以ZM,DC為蒼％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)(77i>0),

則A(l,0,0),C(0,l,0),D(0,0,M，E(l,吟),

——-m

AC=(—1,1,0),AR=(―1,0,m),AE=(0,1,—),

設(shè)平面AR石的一個法向量是，=(%,y,z),則

t-AD.=—x+mz=Q

1HI

m,取z=l，得％=(加,~?1),

t-AE=yd——z=02

2

TT

因為直線AC與平面A，石所成的角為§,

m

?|卜AC—m----

所以卜?！?'AC卜即&2.71

=sin—解得加=2(負(fù)值舍去),

3

所以t=(2,-1,1)，平面A&2的一個法向量是"=(0,1,0)，

平面AD,F即為平面ADXE,

t-n-1V6

貝i]cost,n=?||?=—j==——,

\t\\n\V66

二面角A-A。-尸為銳角，因此其余弦值為逅.

18.激光單光子通訊過程可用如下模型表述：發(fā)送方將信息加密后選擇某種特定偏振狀態(tài)的單光子進行發(fā)

送，在信息傳輸過程中，若存在竊聽者，由于密碼本的缺失，竊聽者不一定能正確解密并獲取準(zhǔn)確信息.

某次實驗中，假設(shè)原始信息的單光子的偏振狀態(tài)0,1,2,3等可能地出現(xiàn)，原始信息息的單光子的偏振狀

態(tài)與竊聽者的解密信息的單光子的偏振狀態(tài)有如下對應(yīng)關(guān)系.

原始信息的單光子的偏振

0123

狀態(tài)

解密信息的單光子的偏振0,1,

0,1,31,2,30,2,3

狀態(tài)2

已知原始信息的任意一種單光子的偏振狀態(tài)，對應(yīng)的竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)等可能地出現(xiàn).

(1)若發(fā)送者發(fā)送的原始信息的單光子的偏振狀態(tài)為1,求竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)與原始信

息的單光子的偏振狀態(tài)相同的概率;

(2)若發(fā)送者連續(xù)三次發(fā)送的原始信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1,設(shè)竊聽者解密信息的單光子的偏振狀

態(tài)為1的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)已知發(fā)送者連續(xù)三次發(fā)送信息，竊聽者解密信息的單光子的偏振狀態(tài)均為1.設(shè)原始信息的單光子只

有一種偏振狀態(tài)的可能性為。，有兩種偏振狀態(tài)的可能性為b,有三種偏振狀態(tài)的可能性為。，試比較

"c的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

【答案】(1)-

3

(2)分布列見解析，E(X)=1

(3)a<c<b

【解析】

【分析】(1)列出基本事件，再求解概率即可.

(2)利用分布列的定義求解分布列，再求解數(shù)學(xué)期望即可.

(3)依據(jù)題意猜測結(jié)論即可.

【小問1詳解】

設(shè)“解密信息的單光子的偏振狀態(tài)與原始信息的單光子的偏振相同”獨立作為事件A,易知共有3個基本

事件，則/>(&=；.

【小問2詳解】

X的可能取值為0』,2,3.

尸(X=0)=($3=《，p(x=l)=C；倉專(1)2,

1??11

P(X=2)=C；倉叼)2-=P(X=3)=Ct?(-)3—,

所以，X的分布列如下：

X0123

8421

P

279927

842]

￡(X)=0x---Fix—+2x—+3x——=1.

279927

【小問3詳解】

結(jié)論：a<c<b

證明：易知a=3x(g)3=,C=6X(；)3=|,6=3X6X(；)3=[,

故得證.

19.已知函數(shù)/(%)=/%+2〃?-21nx(aw0).

(1)當(dāng)a=l時，求曲線y=/(x)在點(1,/。))處的切線方程;

(2)若函數(shù)/(%)有兩個零點，求。的取值范圍.

【答案】(1)y=3

3

(2)\oJ、v1〃4、vte/4或—2<a<。

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，代值可得/'。)=0,/(1)=3,即可求解切線,

求導(dǎo)得fl⑴=+1)

(2),對。分類討論，求解函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)最小值為負(fù)求解.

【小問1詳解】

[2

當(dāng)a=l時，/(%)=%+2s[x—21nx,貝！1/'(x)=1+—,

所以/'(1)=0,/(1)=3,

故y=/("在點(L/⑴)處的切線方程為>=3

【小問2詳解】

X2a2a2x+a4x-2+2)(a6-1),.

f[x)=a'+—j=——=------------=----------------(aw0)(x〉0)，

7xxxx

當(dāng)a>0時，則。石+2〉0，令/'(尤)>0,則x>±,令/'(x)<0,則0<x(二,

故"%)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=5,"%)取極小值也是最小值，

則f\-——+2d.---21n——=3+41na,

\aJa~Vaa

又當(dāng)xf+ooJ(x)—”,且xf0J(x)fKo,

故要使函數(shù)/(九)有兩個零點，只需要解得0<“</：；

當(dāng)a<0時，貝！1。?-1<0，令/'(尤)>0,則,令/'(x)<0,則0<x<：,

故〃工)在[2,單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=，，/(%)取極小值也是最小值，則

,4'4[dT44

f-y="——+2aJ---21n————21n————4In2+21n<22,

\a