第09講函數(shù)模型及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 3高頻考點(diǎn)一：幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型 3高頻考點(diǎn)二：利用常見(jiàn)函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題（二次模型；分段模型） 10高頻考點(diǎn)三：利用常見(jiàn)函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題（指、對(duì)、冪函數(shù)模型） 14高頻考點(diǎn)四：利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題 20第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、常見(jiàn)函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型(為常數(shù)，)反比例函數(shù)模型(為常數(shù)且)二次函數(shù)模型（均為常數(shù)，）指數(shù)函數(shù)模型（均為常數(shù)，，，）對(duì)數(shù)函數(shù)模型（為常數(shù)，）冪函數(shù)模型（為常數(shù)，）分段函數(shù)2、指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度先慢后快，指數(shù)爆炸先快后慢，增長(zhǎng)平緩介于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間,相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大，圖象與軸接近平行隨x的增大，圖象與軸接近平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，有第二部分：高考真題回顧1．（多選）（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離聲壓級(jí)燃油汽車10混合動(dòng)力汽車10電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型典型例題例題1．（2023上·廣東廣州·高三鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（

）-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1A．B．C．D．例題2．（2023上·河北石家莊·高一石家莊二中?？茧A段練習(xí)）有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表：234561.402.565.311121.30則體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是A． B．C． D．例題3．（2023上·山西臨汾·高一統(tǒng)考期中）在一次物理實(shí)驗(yàn)中某同學(xué)測(cè)量獲得如下數(shù)據(jù)：123455.38011.23220.18434.35653.482下列所給函數(shù)模型較適合的是（

）A． B．C． D．例題4．（2023上·四川南充·高一四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）假設(shè)某學(xué)習(xí)小組對(duì)家庭每月用水的收費(fèi)提供了如下兩種模型：模型一：若用水量不超過(guò)基本月用水量，則只付基本費(fèi)8元和損耗費(fèi)c元（）；若用水量超過(guò)基本月用水量，則除了需付基本費(fèi)和損耗費(fèi)外，超過(guò)部分還需按元進(jìn)行付費(fèi)；模型二：用函數(shù)模型（其中k，m，n為常數(shù)，且）來(lái)模擬說(shuō)明每月支付費(fèi)用y（元）關(guān)于月用水量的函數(shù)關(guān)系.已知該市某家庭1—3月的用水量x分別為，和，支付的費(fèi)用y分別為9元，19元和31元.(1)寫出模型一中每月支付費(fèi)用y（元）關(guān)于月用水量的函數(shù)解析式；(2)寫出模型二中每月支付費(fèi)用y（元）關(guān)于月用水量的函數(shù)解析式，并分析說(shuō)明學(xué)習(xí)小組提供的模型哪個(gè)更合理？練透核心考點(diǎn)1．（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（）A． B． C． D．2．（2023上·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及對(duì)應(yīng)散點(diǎn)圖如下所示，則體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的最佳函數(shù)模型是（

）10202941505870123.87.4111521.8A． B．C． D．3．（2023上·上?！じ咭簧虾Ｊ薪ㄆ街袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）近來(lái)，國(guó)內(nèi)多個(gè)城市紛紛加碼布局“夜經(jīng)濟(jì)”，以滿足不同層次的多元消費(fèi)，并拉動(dòng)就業(yè)、帶動(dòng)創(chuàng)業(yè)，進(jìn)而提升區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展活力，某夜市的一位工藝品售賣者，通過(guò)對(duì)每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)），每件的銷售價(jià)格（單位：元）與時(shí)間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足.且銷售量（單位：件）與時(shí)間（單位：天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示10152025305055605550(1)給出以下四個(gè)函數(shù)模型：①；②；③；④.請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來(lái)描述日銷售量與時(shí)間的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式及定義域(2)設(shè)該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值.4．（2023上·四川宜賓·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）2023年宜賓市新添城市名片“中國(guó)動(dòng)力電池之都”，初步建成較為完整的配套協(xié)同動(dòng)力電池產(chǎn)業(yè)布局，并搭建起從原材料到整車制造的新能源汽車產(chǎn)業(yè)鏈.新能源電動(dòng)車主要采用電能作為動(dòng)力來(lái)源，目前比較常見(jiàn)的主要有兩種：混合動(dòng)力汽車?純電動(dòng)汽車.有關(guān)部門在國(guó)道上對(duì)某型號(hào)純電動(dòng)汽車進(jìn)行測(cè)試，國(guó)道限速.經(jīng)數(shù)次測(cè)試，得到該純電動(dòng)汽車每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的數(shù)據(jù)如下表所示：01040600142044806720為了描述該純電動(dòng)汽車國(guó)道上行駛時(shí)每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①；②；③.(1)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（需說(shuō)明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)現(xiàn)有一輛同型號(hào)純電動(dòng)汽車從宜賓行駛到重慶某地，其中，國(guó)道上行駛，高速上行駛.假設(shè)該電動(dòng)汽車在國(guó)道和高速上均做勻速運(yùn)動(dòng)，國(guó)道上每小時(shí)的耗電量與速度的關(guān)系滿足（1）中的函數(shù)表達(dá)式；高速路上車速（單位：）滿足，且每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的關(guān)系滿足.則當(dāng)國(guó)道和高速上的車速分別為多少時(shí)，該車輛的總耗電量最少，最少總耗電量為多少？高頻考點(diǎn)二：利用常見(jiàn)函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題（二次模型；分段模型）典型例題例題1．（2023上·湖南岳陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）2022年某開(kāi)發(fā)區(qū)一家汽車生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)一批新能源汽車制造設(shè)備，通過(guò)市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本1000萬(wàn)元，生產(chǎn)（百輛）新能源汽車，還需另投入成本萬(wàn)元，且.由市場(chǎng)調(diào)研，每輛車售價(jià)5萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出2022年該企業(yè)生產(chǎn)新能源汽車的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤(rùn)銷售量-成本）(2)2022年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)新能源汽車所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).例題2．（2023上·貴州六盤水·高一統(tǒng)考期末）心理學(xué)家根據(jù)高中生心理發(fā)展規(guī)律，對(duì)高中生的學(xué)習(xí)行為進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的接受能力依賴于老師引入概念和描述問(wèn)題所用的時(shí)間.上課開(kāi)始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間有一段時(shí)間學(xué)生的興趣保持理想狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散.分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用表示學(xué)生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示接受能力越強(qiáng)），x表示提出和講授概念的時(shí)間（單位：），滿足以下關(guān)系：(1)上課多少分鐘后，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多少分鐘？(2)有一道數(shù)學(xué)難題，需要54的接受能力及的講授時(shí)間，老師能否及時(shí)在學(xué)生處于所需接受能力的狀態(tài)下講授完成這道難題？練透核心考點(diǎn)1．（2023下·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）中國(guó)建設(shè)新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導(dǎo)體自給率目標(biāo)邁出的重要一步.根據(jù)國(guó)際半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)協(xié)會(huì)(SEMI)的數(shù)據(jù)，在截至2024年的4年里，中國(guó)計(jì)劃建設(shè)31家大型半導(dǎo)體工廠.某公司打算在2023年度建設(shè)某型芯片的生產(chǎn)線，建設(shè)該生產(chǎn)線的成本為300萬(wàn)元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年產(chǎn)出萬(wàn)枚芯片，還需要投入物料及人工等成本（單位：萬(wàn)元），已知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，已知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價(jià)格售出.(1)已知2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元），試求出的函數(shù)解析式.(2)請(qǐng)你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個(gè)計(jì)劃，使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤(rùn)最大，并預(yù)測(cè)最大利潤(rùn).2．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學(xué)校考期中）“智能”是本屆杭州亞運(yùn)會(huì)的辦賽理念之一.在亞運(yùn)村里，時(shí)常能看到一輛極具科技感的小巴車出現(xiàn)在主干道上，車內(nèi)沒(méi)有司機(jī)，也沒(méi)有方向盤，這就是無(wú)人駕駛AR智能巴士.某地在亞運(yùn)會(huì)后也采購(gòu)了一批無(wú)人駕駛巴士作為公交車，公交車發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足，，經(jīng)測(cè)算，該路無(wú)人駕駛公交車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔滿足：，其中.(1)求，并說(shuō)明的實(shí)際意義；(2)若該路公交車每分鐘的凈收益（元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該路公交車每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘的最大凈收益.高頻考點(diǎn)三：利用常見(jiàn)函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題（指、對(duì)、冪函數(shù)模型）典型例題例題1．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙市第十五中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）中國(guó)茶文化源遠(yuǎn)流傳，博大精深，茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關(guān)，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．為了控制水溫，某研究小組聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫下的溫度變化冷卻規(guī)律：設(shè)物體的初始溫度是，經(jīng)過(guò)后的溫度是，則，其中表示環(huán)境溫度，表示半衰期．該研究小組經(jīng)過(guò)測(cè)量得到，剛泡好的綠茶水溫度是，放在的室溫中，以后茶水的溫度是，在上述條件下，大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間能達(dá)到最佳飲用口感？（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)，）（

）A． B．C． D．例題2．（2023上·湖北咸寧·高一校考階段練習(xí)）中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：．它表示在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫作信噪比．當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計(jì)．按照香農(nóng)公式，若帶寬W不變，信噪比從1000提升到12000，則C比原來(lái)大約增加了（

）．(附：)A．32% B．43% C．36% D．68%例題3．（2023上·安徽六安·高一校考階段練習(xí)）一種放射性元素，最初質(zhì)量為，按每年衰減．(1)寫出年后這種放射性元素質(zhì)量與之間的函數(shù)關(guān)系式(2)求這種放射性元素的半衰期（放射性物質(zhì)的質(zhì)量衰減為原來(lái)的一半所需要的時(shí)間）精確到0.1年，已知（，）.例題4．（2023上·全國(guó)·高一期末）“實(shí)施科教興國(guó)戰(zhàn)略,強(qiáng)化現(xiàn)代化建設(shè)人才支撐”是2022年10月16日習(xí)近平同志在中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)上報(bào)告的一部分.必須堅(jiān)持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資源、創(chuàng)新是第一動(dòng)力,深入實(shí)施科教興國(guó)戰(zhàn)略、人才強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略、創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略,開(kāi)辟發(fā)展新領(lǐng)域新賽道,不斷塑造發(fā)展新動(dòng)能新優(yōu)勢(shì).某科技企業(yè)通過(guò)加大科技研發(fā)投資,提高了企業(yè)的技術(shù)競(jìng)爭(zhēng)力,也提高了收入.下列一組數(shù)據(jù)是該公司從2017年以來(lái)每年的收入(單位:億元),2017年記為1,后面的年份依次類推.x/年123456y/億元0.91.402.565.311121.30(1)給出以下兩個(gè)函數(shù)模型:①y=;②y=.試問(wèn):用哪個(gè)模型更適合模擬該企業(yè)的收入?(2)該企業(yè)大約在哪一年收入超過(guò)100億元?(參考數(shù)據(jù):）練透核心考點(diǎn)1．（2023上·江蘇·高一期末）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個(gè)新的環(huán)境，從而對(duì)入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象，若某入侵物種的個(gè)體平均繁殖數(shù)量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需的平均時(shí)間．在物種入侵初期，可用對(duì)數(shù)模型（為常數(shù)）來(lái)描述該物種累計(jì)繁殖數(shù)量與入侵時(shí)間（單位：天）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，且，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出．據(jù)此估計(jì)該物種累計(jì)繁殖數(shù)量是初始累計(jì)繁殖數(shù)量的倍所需要的時(shí)間為（

）天．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）A．19.5 B．20.5 C．18.5 D．192．（2023上·江蘇南通·高一海安高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）牛頓冷卻定律描述一個(gè)物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體初始溫度為，則經(jīng)過(guò)一定時(shí)間（單位：分鐘）后的溫度滿足，其中是環(huán)境溫度，為常數(shù)，現(xiàn)有一杯的熱水用來(lái)泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會(huì)出現(xiàn)在.經(jīng)測(cè)量室溫為，茶水降至大約用時(shí)一分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開(kāi)始大約需要等待分鐘.（參考數(shù)據(jù)：.）3．（2023上·上海·高一上海南匯中學(xué)?？茧A段練習(xí)）用打點(diǎn)滴的方式治療“支原體感染”病患時(shí)，血藥濃度（血藥濃度是指藥物吸收后，在血漿內(nèi)的總濃度）隨時(shí)間變化的函數(shù)符合，其函數(shù)圖象如圖所示，其中為與環(huán)境相關(guān)的常數(shù)，此種藥物在人體內(nèi)有效治療效果的濃度在4到15之間，當(dāng)達(dá)到上限濃度時(shí)，必須馬上停止注射，之后血藥濃度隨時(shí)間變化的函數(shù)符合，其中c為停藥時(shí)的人體血藥濃度．(1)求出函數(shù)的解析式；(2)一病患開(kāi)始注射后，最遲隔多長(zhǎng)時(shí)間停止注射？為保證治療效果，最多再隔多長(zhǎng)時(shí)間開(kāi)始進(jìn)行第二次注射？（如果計(jì)算結(jié)果不是整數(shù)，保留小數(shù)點(diǎn)后一位）4．（2023上·廣東汕頭·高一統(tǒng)考期末）潮汕人喜歡喝功夫茶，茶水的口感和水的溫度有關(guān)，如果剛泡好的茶水溫度是℃，環(huán)境溫度是℃，那么t分鐘后茶水的溫度（單位：℃）可由公式求得．現(xiàn)有剛泡好茶水溫度是100℃，放在室溫25℃的環(huán)境中自然冷卻，5分鐘以后茶水的溫度是50℃．(1)求k的值；(2)經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)室溫為15℃時(shí)，該種茶剛泡好的茶水溫度95℃，自然冷卻至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感，那么，剛泡好的茶水大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感？（結(jié)果精確到0.1；參考值：，）高頻考點(diǎn)四：利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題典型例題例題1．（2023上·福建莆田·高一統(tǒng)考期末）已知某種放射性元素在一升液體中的放射量（單位：）與時(shí)間（單位：年）近似滿足關(guān)系式且.已知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則據(jù)此估計(jì)，這種放射性元素在一升液體中的放射量為10時(shí)，大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．50 B．52 C．54 D．56例題2．（2023上·江蘇鹽城·高一校考期中）天氣轉(zhuǎn)冷，某暖手寶廠商為擴(kuò)大銷量，擬進(jìn)行促銷活動(dòng).根據(jù)前期調(diào)研，獲得該產(chǎn)品的銷售量萬(wàn)件與投入的促銷費(fèi)用萬(wàn)元滿足關(guān)系式（為常數(shù)），而如果不搞促銷活動(dòng)，該產(chǎn)品的銷售量為4萬(wàn)件.已知該產(chǎn)品每一萬(wàn)件需要投入成本18萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為元，設(shè)該產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元.（注：利潤(rùn)=銷售收入-投入成本-促銷費(fèi)用）(1)求出的值，并將表示為的函數(shù)；(2)促銷費(fèi)用為多少萬(wàn)元時(shí)，該產(chǎn)品的利潤(rùn)最大？此時(shí)最大利潤(rùn)為多少？例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生課余時(shí)間積極參加體育鍛煉，現(xiàn)需要制定一個(gè)課余鍛煉考核評(píng)分制度，建立一個(gè)每天得分y與當(dāng)天鍛煉時(shí)間x（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系，要求如下：（i）函數(shù)的圖象接近圖示；（ii）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為0分；（iii）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為30分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為3分；（iiii）每天最多得分不超過(guò)6分.現(xiàn)有以下三個(gè)函數(shù)模型供選擇：①；②；③.(1)請(qǐng)根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)你從中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型不需要說(shuō)明理由；(2)根據(jù)你對(duì)（1）的判斷以及所給信息完善你的模型并給出函數(shù)的解析式；(3)已知學(xué)校要求每天的分?jǐn)?shù)不少于4.5分，求每天至少運(yùn)動(dòng)多少分鐘（結(jié)果保留整數(shù)）.練透核心考點(diǎn)1．（2023·