江蘇省南京市南京師大附中2025屆高一下數學期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數，（），若對任意的（），恒有，那么的取值集合是（）A． B． C． D．2．已知，，，若不等式恒成立，則t的最大值為（）A．4 B．6 C．8 D．93．將函數的圖象向右平移個單位長度得到圖像，則下列判斷錯誤的是（）A．函數的最小正周期是 B．圖像關于直線對稱C．函數在區(qū)間上單調遞減 D．圖像關于點對稱4．已知，集合，則A． B． C． D．5．設是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．6．已知數列滿足，，則的值為（）A． B． C． D．7．若直線mx+2y+m=0與直線3mx+(m-1)y+7=0平行，則m的值為（）A．7 B．0或7 C．0 D．48．已知是第三象限的角，若，則A． B． C． D．9．已知實數滿足，則的最大值為（）A．8 B．2 C．4 D．610．設，，在，，…，中，正數的個數是（）A．15 B．16 C．18 D．20二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．（如下圖）在正方形中，為邊中點，若，則__________．12．已知兩個正實數x，y滿足＝2，且恒有x+2y﹣m＞0，則實數m的取值范圍是______________13．圓與圓的公共弦長為________.14．不等式有解，則實數的取值范圍是______.15．已知等腰三角形底角的余弦值等于，則這個三角形頂角的正弦值為________．16．已知函數y=sin（x+）（>0,-<）的圖象如圖所示，則=________________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某學校高一、高二、高三的三個年級學生人數如下表

高三

高二

高一

女生

133

153

z

男生

333

453

633

按年級分層抽樣的方法評選優(yōu)秀學生53人，其中高三有13人．（1）求z的值；（2）用分層抽樣的方法在高一中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1名女生的概率；（3）用隨機抽樣的方法從高二女生中抽取2人,經檢測她們的得分如下：1．4，2．6，1．2，1．6，2．7，1．3，1．3，2．2，把這2人的得分看作一個總體，從中任取一個數，求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過3．5的概率．18．某電子科技公司由于產品采用最新技術，銷售額不斷增長，最近個季度的銷售額數據統(tǒng)計如下表（其中表示年第一季度，以此類推）：季度季度編號x銷售額y（百萬元）（1）公司市場部從中任選個季度的數據進行對比分析，求這個季度的銷售額都超過千萬元的概率；（2）求關于的線性回歸方程，并預測該公司的銷售額.附：線性回歸方程：其中，參考數據：.19．設等差數列滿足.（1）求數列的通項公式；（2）若成等比數列，求數列的前項和.20．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面.（1）證明：；（2）設，求點到面的距離.21．某地統(tǒng)計局調查了10000名居民的月收入，并根據所得數據繪制了樣本的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求居民月收入在[3000,3500）內的頻率；（2）根據頻率分布直方圖求出樣本數據的中位數；（3）為了分析居民的月收入與年齡、職業(yè)等方面的關系，必須按月收入再從這10000中用分層抽樣的方法抽出100人做進一步分析，則應從月收入在[2500,3000)內的居民中抽取多少人？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】當時，，畫出圖象如下圖所示，由圖可知，時不符合題意，故選.【點睛】本題主要考查含有絕對值的不等式的解法，考查選擇題的解題策略中的特殊值法.主要的需要滿足的是，根據不等式的解法，大于在中間，小于在兩邊，可化簡為，左右兩邊為二次函數，中間可以由對數函數圖象平移得到，由此畫出圖象驗證是否符合題意.2、C【解析】

因為不等式恒成立，所以只求得的最小值即可，結合，用“1”的代換求其最小值.【詳解】因為，，，若不等式恒成立，令y=，當且僅當且即時，取等號所以所以故t的最大值為1．故選：C【點睛】本題主要考查不等式恒成立和基本不等式求最值，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.3、C【解析】

根據三角函數的圖象平移關系求出的解析式，結合函數的單調性，對稱性分別進行判斷即可．【詳解】由題意，將函數的圖象向右平移個單位長度，可得，對于,函數的最小正周期為，所以該選項是正確的；對于，令，則為最大值，函數圖象關于直線，對稱是正確的；對于中，，則，，則函數在區(qū)間上先減后增，不正確；對于中，令，則，圖象關于點對稱是正確的，故選．【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數的單調性，對稱性，求出解析式是解決本題的關鍵．4、D【解析】

先求出集合A，由此能求出?UA．【詳解】∵U＝R，集合A＝{x|1﹣2x＞0}＝{x|x}，∴?UA＝{x|x}．故選：D．【點睛】本題考查補集的求法，考查補集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．5、B【解析】

分析：作圖，D為MO與球的交點，點M為三角形ABC的中心，判斷出當平面時，三棱錐體積最大，然后進行計算可得．詳解：如圖所示，點M為三角形ABC的中心，E為AC中點，當平面時，三棱錐體積最大此時，,點M為三角形ABC的中心中，有故選B.點睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當平面時，三棱錐體積最大很關鍵，由M為三角形ABC的重心，計算得到，再由勾股定理得到OM，進而得到結果，屬于較難題型．6、B【解析】

由，得，然后根據遞推公式逐項計算出、的值，即可得出的值.【詳解】，，則，，，因此，，故選B.【點睛】本題考查數列中相關項的計算，解題的關鍵就是遞推公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題.7、B【解析】

根據直線和直線平行則斜率相等，故m(m-1)=3m×2，求解即可?！驹斀狻俊咧本€mx+2y+m=0與直線3mx+(m-1)y+7=0平行，∴m(m-1)=3m×2，∴m=0或7，經檢驗，都符合題意，故選B.【點睛】本題屬于基礎題，利用直線的平行關系，斜率相等求解參數。8、D【解析】

根據是第三象限的角得，利用同角三角函數的基本關系，求得的值.【詳解】因為是第三象限的角，所以，因為，所以解得：，故選D.【點睛】本題考查余弦函數在第三象限的符號及同角三角函數的基本關系，即已知值，求的值.9、D【解析】

設點，根據條件知點均在單位圓上，由向量數量積或斜率知識，可發(fā)現，對目標式子進行變形，發(fā)現其幾何意義為兩點到直線的距離之和有關.【詳解】設，，均在圓上，且，設的中點為，則點到原點的距離為，點在圓上，設到直線的距離分別為，，，.【點睛】利用數形結合思想，發(fā)現代數式的幾何意義，即構造系數，才能看出目標式子的幾何意義為兩點到直線距離之和的倍.10、D【解析】

根據數列的通項公式可判斷出數列的正負，然后分析的正負，再由的正負即可確定出，，…，中正數的個數.【詳解】當時，，當時，，因為，所以，因為，，所以取等號時，所以均為正，又因為，所以均為正，所以正數的個數是：.故選：D.【點睛】本題考查數列與函數綜合應用，著重考查了推理判斷能力，難度較難.對于數列各項和的正負，可通過數列本身的單調性周期性進行判斷，從而為判斷各項和的正負做鋪墊.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】∵，根據向量加法的三角形法則，得到∴λ=1，．則λ+μ=．故答案為．點睛：此題考查的是向量的基本定理及其分解，由條件知道，題目中要用和，來表示未知向量，故題目中要通過正方形的邊長和它特殊的直角，來做基底，表示出要求的向量，根據平面向量基本定理，系數具有惟一性，得到結果．12、(-∞,1)【解析】

由x+2y（x+2y）（）（1），運用基本不等式可得x+2y的最小值，由題意可得m＜x+2y的最小值．【詳解】兩個正實數x，y滿足2，則x+2y（x+2y）（）（1）（1+2）＝1，當且僅當x＝2y＝2時，上式取得等號，x+2y﹣m＞0，即為m＜x+2y，由題意可得m＜1．故答案為：（﹣∞，1）．【點睛】本題考查基本不等式的運用：“乘1法”求最值，考查不等式恒成立問題解法，注意運用轉化思想，屬于中檔題．13、【解析】

先求出公共弦方程為，再求出弦心距后即可求解.【詳解】兩圓方程相減可得公共弦直線方程為，圓的圓心為，半徑為，圓心到的距離為，公共弦長為.故答案為：.【點睛】本題考查了圓的一般方程以及直線與圓位置關系的應用，屬于基礎題.14、【解析】

由參變量分離法可得知，由二倍角的余弦公式以及二次函數的基本性質求出函數的最小值，即可得出實數的取值范圍.【詳解】不等式有解，等價于存在實數，使得關于的不等式成立，故只需.令，，由二次函數的基本性質可知，當時，該函數取得最小值，即，.因此，實數的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查不等式有解的問題，涉及二倍角余弦公式以及二次函數基本性質的應用，一般轉化為函數的最值來求解，考查計算能力，屬于中等題.15、【解析】

已知等腰三角形可知為銳角，利用三角形內角和為，建立底角和頂角之間的關系，再求解三角函數值．【詳解】設此三角形的底角為，頂角為，易知為銳角，則，，所以．【點睛】給值求值的關鍵是找準角與角之間的關系，再利用已知的函數求解未知的函數值．16、【解析】

由圖可知，三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）433（2）（3）【解析】

（1）設該校總人數為n人,由題意得,，所以n=2333．z=2333-133-333-153-453-633=433；（2）設所抽樣本中有m個女生,因為用分層抽樣的方法在高一女生中抽取一個容量為5的樣本，所以，解得m=2也就是抽取了2名女生，3名男生，分別記作S1，S2；B1，B2，B3，則從中任取2人的所有基本事件為（S1,B1），（S1,B2），（S1,B3），（S2,B1），（S2,B2）,（S2,B3），（S1,S2），（B1,B2），（B2,B3），（B1,B3）共13個，其中至少有1名女生的基本事件有7個：（S1,B1），（S1,B2），（S1,B3），（S2,B1），（S2,B2），（S2,B3），（S1,S2），所以從中任取2人，至少有1名女生的概率為．（3）樣本的平均數為，那么與樣本平均數之差的絕對值不超過3．5的數為1．4,2．6,1．2,2．7,1．3,1．3這6個數,總的個數為2,所以該數與樣本平均數之差的絕對值不超過3．5的概率為．18、（1）；（2）關于的線性回歸方程為，預測該公司的銷售額為百萬元.【解析】

（1）列舉出所有的基本事件，并確定事件“這個季度的銷售額都超過千萬元”然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率；（2）計算出和的值，然后將表格中的數據代入最小二乘法公式，計算出和的值，可得出關于的線性回歸方程，然后將代入回歸直線方程即可得出該公司的銷售額的估計值.【詳解】（1）從個季度的數據中任選個季度，這個季度的銷售額有種情況：、、、、、、、、、設“這個季度的銷售額都超過千萬元”為事件，事件包含、、，種情況，所以；（2），，，.所以關于的線性回歸方程為，令，得（百萬元）所以預測該公司的銷售額為百萬元．【點睛】本題考查利用古典概型的概率公式計算事件的概率，同時也考查了利用最小二乘法求回歸直線方程，同時也考查了回歸直線方程的應用，考查計算能力，屬于中等題.19、（1）或；（2）.【解析】

（1）利用等差數列性質先求出的值，進而得到公差，最后寫出數列的通項公式；（2）依照題意找出（1）中符合條件的數列，再用等差數列前項和公式求出數列的前項和．【詳解】（1）因為等差數列，且，所以所以，又，所以，于是或設等差數列的公差為，則或，的通項公式為：或；（2）因為成等比數列，所以所以數列的前項和.【點睛】本題主要考查等差數列的性質、通項公式的求法以及等差數列前項和公式，注意分類討論思想的應用．20、（1）見解析（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）要證明線線垂直，一般用到線面垂直的性質定理，即先要證線面垂直，首先由已知底面.知，因此要證平面，從而只要證，這在中可證；（Ⅱ）要求點到平面的距離，可過點作平面的垂線，由（Ⅰ）的證明，可得平面，從而有平面，因此平面平面，因此只要過作于，則就是的要作的垂線，線段的長就是所要求的距離．試題解析：（Ⅰ）證明：因為，，由余弦定理得.從而，∴，又由底面，面，可得.所以平面.故.（Ⅱ）解：作，垂足為.已知底面，則，由（Ⅰ）知，又，所以.故平面，.則平面.由題設知，，則，，根據，得，即點到面的距離為.考點：線面垂直的判定與性質．點到平面的距離．21、（1）0.15（2）2400（3）25人【解析】

(1)由頻率分布直方圖計算可得月收入在[3000,3500）內的頻率；(2)分別計算小長方形的面積值，利用中位數的特點即可確定中位數的值；(3)首先確定10000人中月收入在[2500,3000]內的人數，然后結合分層抽樣的特點可