2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期八年級(jí)數(shù)學(xué)

階段訓(xùn)練（一）

（試卷共25題范圍：第16到17章時(shí)間：120分鐘滿分：120分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)符合題目要求.）

1.下列幾組數(shù)不能構(gòu)成直角三角形的是（）.

A.4、也.、8B.2,3,4,C.3,4,5D.6,8,10

2.下列二次根式中，最簡二次根式是（）

A."B.8C.JID.歷

3.如圖，在AABC中，ZC=90°,若4C=1,48=2,則8c的長是（）

A.1B.0C.2D.75

4.下列各式中，與G是同類二次根式的是（）

A.712B?gC.同D.<18

5.下列運(yùn)算正確的是（）

A.J（13*=—3B.4-（/3—3-73=1C.-12-i-y/2=6D.x^'24=6

6.如圖，在“8C中，過點(diǎn)A作的垂線交的延長線于點(diǎn)。，已知

AC=13,BC=liAD=12,則的長度為（）

A.15B.16C.18D.20

7.估計(jì)反、4+、底的值在（）

A.7到8之間B.8至I9之間C.9到10之間D.10到11之間

8.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一書中，給出了下面的公式：如果

一個(gè)三角形的三邊長分別為服Ac,則該三角形的面積為

5=耳a如已知。8C的三邊長或b、c分別為1、/2,則“8C的面

積是（）

A.1B.亙C.9D.石

242

9.如圖，在四邊形/BCD中，對(duì)角線分別為AC,BD,且交于點(diǎn)O,若ND=2,

BC=6,貝ij/比+CO2的值為（）

10.如圖，在RtZkZBC中，ZC=90°,48=10,ZC=8,以/為圓心，適當(dāng)長為半徑畫

弧，交AC,N2于點(diǎn)。，E兩點(diǎn)，再分別以。，E為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩

弧交于點(diǎn)〃，作射線交8。于點(diǎn)尸，則線段B尸的長為（）

C

、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.使代數(shù)式1二i有意義的x的取值范圍是

12.如圖，一棵大樹折斷后倒在地上，請(qǐng)按圖中所標(biāo)的數(shù)據(jù)，計(jì)算大樹沒折斷前的高度的結(jié)

果是

13.若最簡二次根式J1一2a與2J7可以加減合并,則。的值是.

14.直角AABC的一條邊長為3,另一條邊長為4,則第三條邊的長為,

15.已知卜+2|+、彷2-66+9=0,貝|(6-a>=

2

16.已知。=,則ai-2a+7

V3-1

三、解答題（本大題共9小題，共72分）

17.計(jì)算：屈+癢夜+J無.

18.計(jì)算：+點(diǎn)）G-、，笈）+（/5+點(diǎn)）.

19.如圖，在四邊形中，ZC=90°,BD平分/ABC,4D=3,E為AB上一點(diǎn)、,

AE=4,ED=5,求證：AD=CD.

20.若實(shí)數(shù)。、b滿足6=j2-a+Ja-2+5,求2a+b的平方根.

21.為推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，把家鄉(xiāng)建設(shè)成為生態(tài)宜居、交通便利的美麗家園，某地大力修建嶄新

的公路,如圖，現(xiàn)從A地分別向C、D、B三地修了三條筆直的公路/C,40和42,C地、

。地、8地在同一筆直公路上，公路NC和公路C2互相垂直，又從。地修了一條筆直的公

路。”與公路48在“處連接，且公路和公路48互相垂直，已知NC=9千米，AB=15

千米，8。=5千米.

（1）求公路CD、4D的長度;

（2）若修公路每千米的費(fèi)用是2萬元，請(qǐng)求出修建公路?！ǖ馁M(fèi)用.

22.已知：X=2+Gy=2-G求:

⑴X2y+盯2,

（2）X2-xy+y2的值.

23.已知：如圖，在中，ZACB=90°9AB=5,AC=3,動(dòng)點(diǎn)0從點(diǎn)8出發(fā)沿射

線3C以每秒1個(gè)單位長度的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，秒.

BPC

（1）SC=48邊上的高〃=_；

（2）當(dāng)為直角三角形時(shí)，求/的值.

24.像（6+2）-2）=1,6?、石=a（a>0）,（揚(yáng)+1）（力-1）=b~l（尼0）,

兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因

式.例如：、后與占，應(yīng)+1與"-1,2行+3/與25-3,5等都是互為有理化因式.進(jìn)

行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號(hào)，請(qǐng)回答下列問題：

2

（1）化簡：①運(yùn)=」

②

（2）計(jì)算：（丙?+再/"7⑻?,+麗+屈（師=」

（3）已知a=J2020-J2019,6=J2021-42020,c=J2022-,2021,試比較a,b,c

的大小，并說明理由.

25.學(xué)完勾股定理后，小宇碰到了一道題：如圖1,在四邊形/BCD中，ACLBD,垂足為

O,若48=5,CD=4,BC=6,則4D的長為一.

他不會(huì)做，去問同桌小軒，小軒通過思考后，耐心地對(duì)小宇講道：“因?yàn)镹C，3。，垂足為

O,那么在四邊形/BCD中有四個(gè)直角三角形，利用勾股定理可得

AD2=OA2+OD2,BCi=OBi+OCi,AB2=OA2+OB2,CD2=OC2+ODiL”小軒話沒講

完，小宇就講道：“我知道了，原來ND2+3C2與/比+。2之間有某種數(shù)量關(guān)系.”并對(duì)小

軒表示感謝.

P

圖1圖2圖3

⑴請(qǐng)你直接寫出4。的長.

（2）如圖2,分別在。8C的邊8C和邊48上向外作等腰和等腰RM/8尸，連接

PC,PQ.

①若/C=4,5C=8,連接/。，交尸。于點(diǎn)。，當(dāng)乙4c3=90。時(shí)，求P0的長;

②如圖3,若Z8=10,BC=8,PC=8出,當(dāng)乙4C3/90。時(shí)，求AABC的面積.

參考答案與解析

1.B

【分析】根據(jù)勾股定理逆定理的內(nèi)容，看是否滿足定理即可得到結(jié)論.

【詳解】A選項(xiàng)：（4）2+（忘）2=（百）2,能構(gòu)成直角三角形，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：22+32^42,不能構(gòu)成直角三角形，故B正確；

C選項(xiàng)：32+42=52,能構(gòu)成直角三角形，故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：62+82=102,能構(gòu)成直角三角形，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，熟記勾股定理逆定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

2.B

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義進(jìn)行判斷即可

【詳解】解：A、74=2,不是最簡二次根式，不符合題意；

B、百是最簡二次根式，符合題意；

c、E=叵,不是最簡二次根式，不符合題意；

\22

D、叵=?￡，不是最簡二次根式，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了最簡二次根式，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵，在判斷最簡二次根

式的過程中要注意：（1）在二次根式的被開方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)，就不是最簡二

次根式；（2）在二次根式的被開方數(shù)中的每一個(gè)因式（或因數(shù)），如果累的指數(shù)大于或等于

2,也不是最簡二次根式.

3.B

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得：BCK七元=百.

故選；B.

4.B

【分析】本題考查了同類二次根式，一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，如果它

們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式.

根據(jù)同類二次根式的定義即可解答.

【詳解】解：A.712=25/3,與新不是同類二次根式，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.、仁=當(dāng)與、石是同類二次根式，故本選項(xiàng)正確，符合題意；

C.而,與新不是同類二次根式，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.麻=30與不是同類二次根式，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：B.

5.D

【分析】本題考查的是二次根式的性質(zhì)，合并同類二次根式，二次根式的乘法與除法，掌握

以上運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.由二次根式的性質(zhì)判斷A,由合并同類二次根式判斷B,由二次根

式的除法判斷C,由二次根式的乘法判斷D即可.

【詳解】解：A.jQE=3,原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B.4^/3-373=73，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C.疵+應(yīng)=的，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意;

D.祗義用=晝24=病=6,原計(jì)算正確，符合題意，

故選：D.

6.D

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.先在RtA/CD中，利用勾

股定理可得的長，從而可得2。的長，再在中，利用勾股定理求解即可得.

【詳解】解：4。_L5Z),AC=13,AD=12,

:.CD=dA。-AD。=7132-122=5,

■：BC=U,

:.BD=BC+CD=16,

則在RtZUB。中，AB=yjAD2+BD2=<122+162=20,

故選：D.

7.A

【分析】本題主要考查二次根式的運(yùn)算、無理數(shù)的估算等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次根式的混合運(yùn)算

法則是解題的關(guān)鍵.

先將原式進(jìn)行計(jì)算，然后估算其結(jié)果在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間即可.

79<>/12<V16,

???3<<12<4,

??-7<4+<12<8.

故選：A.

8.C

【分析】本題考查了二次根式的應(yīng)用，根據(jù)三角形的面積公式可求得結(jié)果，準(zhǔn)確化簡二次根

式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???力比的三邊長久b、c分別為1、/2,

L

H7(Q2+62—02

aw2----------1x3-2

卜2m信半

故選：C.

9.A

【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵，4B、CD分別是兩個(gè)直角

三角形的斜邊，在RtZi/OB中，/比=0/2+082,在RtAC。。中，CDI=OCI+OD2,

AB2+CD2=OAi+OB2+OC2+OD2=AD2+BC2,進(jìn)而求解.

【詳解】解：在RtZUOB和RtACOD中，ABI=OAI+OB2,CDi=OC2+OD2,

AB2+CD2=OA2+OB?+OC2+OD2

=(OA)+(OB

2+OD22+OC2

=AD2+BC2

=22+62

=40；

故選：A.

10.A

【分析】本題考查了作圖-基本作圖，勾股定理和角平分線的性質(zhì)，熟練掌握5種基本作圖

是解決問題的關(guān)鍵.過尸點(diǎn)作F8于〃點(diǎn)，如圖，利用基本作圖得到平分

/BAC,則根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到=再利用勾股定理計(jì)算出3c=6,接著證明

RtA4raWRtA/"（HL）,得到/H=ZC=8,所以8H=2,設(shè)BF=x,則

FC=FH=6-x,利用勾股定理得2Z+（6-X>=X2,然后解方程即可.

【詳解】解：過尸點(diǎn)作于〃點(diǎn)，如圖，

由作圖痕跡得AM平分ZBAC,

-.■FCA.AC,FH1AB,

：.FH=FC,

???ZC=90°,/3=15,AC=12,

?-5C=X/'102-82=6,

在RtLAFH和RtA^FC中,

AF=AF

[FH=FC'

Rt△/切ZRt△/尸C（HL）,

...AH=AC=^,

1.BH=AB—AH=10—8=2,

設(shè)BF=x,則尸C=m=6—x,

在RtAS/TF中，22+（6-=%2,

解得x=不，

即AF的長為?，

故選：A.

11.x>8

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，得到x-820,進(jìn)行求解即可.掌握二次根式有意義

的條件，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意，得：x—820,

x>8；

故答案為：x>8.

12.18米

【分析】先利用勾股定理可得3C=13,再根據(jù)大樹沒折斷前的高度等于“B+8C即可

得.

【詳解】解：在RtZ\/8C中，48=5米，/C=12米，

則BC=qABz+AC?=13米，

所以大樹沒折斷前的高度為/3+BC=5+13=18（米），

故答案為：18米.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.

13.-3

【分析】本題主要考查了最簡二次根式和同類二次根式的知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)

鍵.根據(jù)最簡二次根式和同類二次根式的定義可得1-2〃=7,求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得，1-2°=7,

解得。=-3,

故答案為：-3.

14.5或次

【分析】本題考查了勾股定理，已知直角三角形的兩邊長分別為3和4,則有兩種情況，一

種是這兩邊都是直角邊，則第三邊是斜邊；另一種是已知的兩邊一條是直角邊，另一條是斜

邊，則第三邊是直角邊，然后利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：當(dāng)3和4都是直角邊時(shí)，第三條邊的長為百77^7=5;

當(dāng)4為斜邊，3為直角邊時(shí)，第三條邊的長為J42-32=后,

??.第三條邊的長為5或J7.

故選：5或J7.

15.25

【分析】本題考查非負(fù)式和為零的條件，涉及絕對(duì)值非負(fù)性、二次根式性質(zhì)等知識(shí)及代數(shù)式

求值，根據(jù)卜+2|+、％2-66+9=0得到|。+2|+|6-3|=0求出以6的值，代入代數(shù)式求解即

可得到答案，熟記非負(fù)式和為零的條件是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：；必-66+9=、-3卜

由|a+2|+y]b2—6b+9-0可知卜+2|+|b-3|=0,

tz+2=0,6—3=0,解得〃=—2、b=3,

(b-=[3-(-2,2=25,

故答案為：25.

16.9

【分析】本題考查二次根式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是先對(duì)。進(jìn)行分母有理化，然后再根據(jù)完全

平方公式求解即可.

???。2—2。+7

—672—2Q+1+6

=(。-1>+6

=(y3+i-i)+6

=3+6

=9；

故答案為：9.

17.4+^6

【分析】先算二次根式的乘除法，再算加減法，即可解答.

【詳解】國+Jx病+、用

=拆-?+2"

=4+76.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

18.6+2?

【分析】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵，先計(jì)算二次根

式的乘法運(yùn)算，再合并即可.

【詳解】解：原式=3-2+3+2"+2=6+2通.

19.見解析

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理及角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，掌握角平分線的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

根據(jù)勾股定理的逆定理證明乙4=90。.再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】證明：：AD=3,/￡=4,ED=5,

AD2+AE2=ED2,

??.V4DE是直角三角形,ZA=90°,

又???/C=90。，BD平分/ABC,

AD=CD

20.±3

【分析】考查了二次根式有意義的條件，平方根.二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否

則二次根式無意義.

根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)得出a、b的數(shù)值，進(jìn)一步代人求得答案即可.

f2-a>0

【詳解】解：由題意知：。、八，

[fl-2>0

則。=2,

.,.6=5.

2a+6=2x2+5=9,

/.±>/9=±3,

即2a+6的平方根是±3.

21.(1)CD=7千米，/。=加3千米；

(2)6萬元.

【分析】(1)利用勾股定理即可求解；

(2)利用三角形的等面積方法即可求解；

本題考查了勾股定理，三角形的面積，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：；NC=90。，/C=9千米，/8=15千米，

BC=^ABI-AC2=]2千米，

=5千米，

.?.CD=7千米，

AD=J/C2+S=7130千米；

(2)解：「3,

；.S^-BDAC^-ABDH,

△4BD22

解得。〃=3千米，

，修建公路。8的費(fèi)用為3x2=6(萬元).

22.(1)4

⑵13

【分析】本題考查二次根式相關(guān)的化簡求值，解題的關(guān)鍵是觀察所求式子的特點(diǎn)，用整體代

入法求值.

(1)將X2y+xy2變形為xy(x+y),整體代入即可求值；

(2)將X2-中+產(chǎn)變形為(x+y)2-3xy,整體代入即可求值.

【詳解】(1)?.?x=2+/j=2-V3

x+y=4,xy=l

X2y+xyi=xy(x+y)=4x1=4

(2)x=2+y/3,y-2—-J3

x+y=4,xy=1

X2-xy+y2=(x+y?-3xy=42-3x1=13

,12

23.(1)4,-

(2)f的值為4或亍25

【分析】本題是三角形綜合題，考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解

決問題是解題的關(guān)鍵.

(1)由勾股定理可得8C=4,再利用面積法即可求得邊上的高〃；

(2)由于為銳角，分兩種情況討論，由勾股定理可求解.

【詳解】(1)解：在RtAlBC中，ZACB=90°,AB=5,/C=3,

BC=yjABi-ACi=,52—32=4,

■.■S=-AB-h=-AC-BC,

\ABC22

7ACBC3x412

/.n=-------=----=——,

AB55

-,12

故答案為：4,—；

(2)解：由題意得：BP=t,

在RM45尸中，為銳角，

當(dāng)44必=90。時(shí)，BP=BC,

/.Z=4;

當(dāng)NA4尸=90。時(shí),如圖，

A

則CP="4,

在RtA^PC中，AP2=/a+cn=32+?—4)2,

在RtA^PC中，APi+AB2=BP2,

：.32+(Z-4)2+52=/2,

解得：t=—;

4

25

綜上所述，，的值為4或一.

4

24.(1)①丑；②也土叵；(2)2020；(3)a>b>c,見解析

32

【分析】(1)①將二次根式分母有理化進(jìn)行計(jì)算；

②先確定分母有理化因式，然后進(jìn)行計(jì)算；

(2)利用二次根式分母有理化的計(jì)算法則并通過探索數(shù)字規(guī)律進(jìn)行計(jì)算求解;

(3)通過比較。，b,。的倒數(shù)，然后進(jìn)行b,。的大小比較.

2e_5/2

【詳解】解:⑴①總

3應(yīng)x一亍

故答案為：生

c___________77+石_近+石

?了-行=(行一后)(6+而)=F

<7+V5

故答案為:

-2~

V2-1V3—v'2_________12021-12020________

(2)原式=[+...+■].(V2021+l)

(>/2+1)(>/2-1)+(6+、②(6-&)(,2021+、,2020)(，2021-J2020)

=(五-1+J§-、5+V?-4+...+J2021-J2O2O>(J2O21+1)

=(72021-l)(V2021+1)

=2021-1

=2020,

故答案為：2020；

1J2020+J2019

(3)-=---'一^^=<2020+<2019,

aV2020-V2019(V2020+V2019)(72020-V2019)

1

同理:.一，-----,-----=J2021+J2020,

bV2021-V2020

1

=72022+72021,

c-72022-72021

..111

abc

:.a>b>c.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，理解二次根式分母有

理化的計(jì)算方法是解題關(guān)鍵.

25.(1)75;

⑵①4g;②7.

【分析】（1）由/C與AD垂直，得到四個(gè)直角三角形，利用勾股定理可得

AB2+CD2=AD2+BC1,代入已知即可求解；

（2）①根據(jù)SAS可證明APBC會(huì)AABQ,得ZBPC=ZR4Q,進(jìn)而得到=90°,即可

求出尸。的長；

②連接交尸C于點(diǎn)D,延長。8,作他上啰的延長線于點(diǎn)E,同①可證