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一、第一類換元積分法三、第二類換元積分法四、小結(jié)3.2不定積分的換元積分法二、有理函數(shù)的不定積分經(jīng)濟數(shù)學(xué)——微積分？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程令一、第一類換元積分法問題在一般情況下：設(shè)則如果（連續(xù)可導(dǎo)）由此可得第一換元積分法定理第一類換元積分法又稱為湊微分法.說明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為定理若∫f(x)dx=F(x)+C,則有其中φ(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).例1求解：原式例2求解：原式解法1解法2解法3例3
求例4求解:一般地例5求又解:湊微分例6求解:常見的湊微分形式有：例7求例8求解：例9求解：例10求解：例11求解:(1)解（2）類似地可推出例12求解:例13求解：和形如∫sinmxcosnxdx的解題思路：m,n中有一個為奇數(shù)時，將奇數(shù)次中的一個與dx進行湊微分.降冪拆項二、有理函數(shù)的積分按照分母中因式的情況，將真分式拆成以Q(x)的所有因式為分母的簡單真分式之和，這種方法就稱為部分分式法.部分分式的兩種主要形式：(1)當(dāng)分母中含有因式(x+a)k時，部分分式所含的對應(yīng)項為(2)當(dāng)分母中含有因式(x2+px+q)k,其中p2-4q<0時，部分分式所含的對應(yīng)項為
部分分式中分母為一次因式的分子為常數(shù)，而分母為二次因式的分子為一次因式，其中分子中的待定系數(shù)可以通過分式相等求出.例14求解：設(shè)解得例15求解：例16求解：設(shè)解得解決方法換元過程令三、第二類換元積分法問題設(shè)x=ψ(t)單調(diào)可導(dǎo)，且ψ'(t)≠0，f[ψ(t)]ψ'(t)具有原函數(shù)F(t)，則有定理——第二類換元積分公式第二類換元積分法就是將不易積分的∫f(x)dx轉(zhuǎn)化為易積的∫f[ψ(t)]ψ'(t)dt.1、根式代換例17求解：設(shè)，則原式例18求解：令例19求解：令例20
求解法一第一類換元積分法解法二第二類換元積分法2、三角代換例21
求解：令解：令例22
求原式所以【說明】以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令3、倒代換例23
求令解：例24求解：所以例25求4、其他代換解：設(shè)有些函數(shù)的積分方法可以有多種：例基本積分公式：四、小結(jié)兩
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