2024年山東省名校高三數(shù)學(xué)5月考前模擬大聯(lián)考試卷

（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）2024.05

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和認(rèn)卷指定位置?

2.選擇題的作答：選出林小網(wǎng)答案后，川211錯(cuò)第把答冊(cè)卡上對(duì)應(yīng)牌目的答案標(biāo)號(hào)涂黑?如需改

動(dòng)，用植皮擦干凈后，再選涂共他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.

3.考試結(jié)束后.將本試卷和答胭卡一并交回.

一、選擇題?本題共8小題，每小題5分，共40分?在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知全集U=H，集合4={X||H<3}，8={X|X'-4X40}，則圖中陰影部分表示的集

合為

A{4}B.{3,4}C.[3,4]MM

2.“l(fā)n(a-b)20”是“a>b+l”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件

3.已知直線系Z,:(x-4)cosa+ysina=4(04aW2兀),則

A.L中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)B.L中所有直線均與定圓C:（x-4/+y2=16相切

C.L中所有直線的斜率均存在D.L中不存在斜率為0的直線

1

4.已知a=3lg2,b=y,c=2'，則

A.a<c<bB.b<a<c

C.a<b<cD.c<a<b

A.￡B.—C.-D3

3333

數(shù)學(xué)試胭第1頁(yè)（共4頁(yè)）

6.己知Z1,Z2是復(fù)數(shù)，則下列命題正確的為

A.若Z]=Z2，則Z]=Z2B.?rztz2€/?.則Z1是實(shí)數(shù)

C.若Z]Z2=0,則Z[=0D.若|Z||=|Z2則Z|=Zz

2

7.已知函數(shù)/(X)=3-,則下列函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是

A.y=/(x-l)-2B.y=f(x+1)-2

C.y=f(x-l)+2D.y=f(x+l)+2

8.某地為進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)校體育工作，了解高中學(xué)生體質(zhì)健康真實(shí)情況，現(xiàn)從甲高中高一高二各隨

型叫0名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)試，成績(jī)?nèi)缦拢篲_______________________________

高一71?869479849379917895

高二81847985789386928785

則

A.高一學(xué)生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)的80%分位數(shù)是93

B.高二學(xué)生體質(zhì)測(cè)試平均成績(jī)更高

C.高一學(xué)生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)更穩(wěn)定

D.記體質(zhì)測(cè)試成績(jī)位于[90,100]的為優(yōu)秀，現(xiàn)從高一高二成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機(jī)抽2名同學(xué),

7

則這兩名同學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于1的概率為微

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分?在每小昌給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分?

9.已知數(shù)列｛勺｝的前〃項(xiàng)和為S“，則下列結(jié)論正確的是

A.若&a>1,則數(shù)列｛勺｝為遞增數(shù)列

B?若見(jiàn)則%的最大值為方

*Tr??

C.若S?=-n2+9n,貝|J4=0

D.若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且%,/,生成等比數(shù)列，則其公比q=l加=4

數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共4頁(yè))

2

10.已知橢圓￡■《+_/=1的左、右焦點(diǎn)為石，曰且經(jīng)過(guò)腐的直線/交橢1511K于4，B兩點(diǎn)，

記線段/凡4月的中點(diǎn)分別為M,N,則

AJ/M的最大值為3I).若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(一孝，乎),511]kAB=1

C.動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是橢圓D.以線段AFX為立徑的陰與圓/+y=3相內(nèi)切

11.定義:一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫做“倍長(zhǎng)三%形”.在△/8C中，

內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a"c,AD是HC的角平分線，交BC于點(diǎn)0,|而|=耳而且滿足

Sy=*'-b')sin4則下列結(jié)論正確的是

A.AABC為“倍長(zhǎng)三角形”

B.若BC=4,則△Z8C面積的最大值為2百

C.若心=8C,則ZA4c為銳角

若當(dāng)可圈時(shí)，則的最小值為苧

D.S3c=1,M

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量a=(a,1),ft=(cosx,sinx),若向量a4。，貝!|tanx=.

13.已知圓臺(tái)Q。的一個(gè)底面面積為16%，母線長(zhǎng)為5,其內(nèi)切球半徑為廠，則r=?

14.已知對(duì)于VXG[1,+OO),不等式上皿-由恒成立，其中m>0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

xe"1

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步臊?

15.(13分)如圖，已知四棱錐尸-48FD中，E是線段Q4的中點(diǎn).現(xiàn)將△PDF繞。尸旋轉(zhuǎn)到

平面ABFD內(nèi)，得到邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，旦CF=FB,P

(1)當(dāng)P尸_L8C時(shí)，證明：尸尸，平面尸。E,并求三楨錐

P-DEF的體積；?

(2)當(dāng)平面PDFI平面DEF時(shí)，求直線PE和平面DEF所

成角的正弦值.“f

數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)(共4頁(yè))

3

16.(15分)歐拉函數(shù)0(〃)(〃WN?)的函數(shù)值等于不超過(guò)正整數(shù)〃，且與〃互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，

例如M)=1,歡2)=1,例4)=2.數(shù)列｛aj滿足a“=0(3"),其前n項(xiàng)和為S?,

(1)計(jì)算q,%,%，猜想｛%｝的通項(xiàng)公式并加以證明；

(2)若數(shù)列他,｝的通項(xiàng)滿足"+1=1。80(5"+1),設(shè)%=髭瞥,記數(shù)列k“｝的前〃項(xiàng)和為

2。0+i

。，求心

17.(15分)已知函數(shù)/(x)=—+asinx+6cosx,若曲線y=/(x)在(0,/(0))處的切線方程

為y=-x—1.

(1)求的值；(2)①證明：函數(shù)y=/(x)只有一個(gè)極值點(diǎn)：

②設(shè)函數(shù)y=/(x)的極值點(diǎn)為x0,證明：/(xo)>一咨巨

O

18.(17分)在平面直角坐標(biāo)系》分已兩條動(dòng)直線體分別過(guò)定點(diǎn)乂(-2,1),乂(2,1).點(diǎn)“是/"的

交點(diǎn)，記的斜率分別為片內(nèi)，且&-4=1.

(1)求點(diǎn)”的軌跡r的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)尸(0即)5>0)的直線與軌跡「交于48兩點(diǎn)，自43向直線/：y=-m作垂線，垂足分

別為4再.記的面積分別為試探究鳥(niǎo)的值是否為定值，若是，

請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(17分)某患者出現(xiàn)了罕見(jiàn)癥狀，其中有p(0<p<l)的概率感染甲病毒，有的概

率未感染甲病毒,現(xiàn)在醫(yī)院需要對(duì)該患者進(jìn)行診斷是否感染了甲病毒，在感染甲病毒的情況下，

一定能檢測(cè)出甲病毒呈陽(yáng)性：在未感染甲病毒的情況下，檢測(cè)出甲病毒為陽(yáng)性的概率為q

(0<9<1),檢測(cè)出甲病毒為陰性的概率為1-g.

醫(yī)院采用“先診斷〃次"("CND的診斷方案：讓患者重復(fù)檢測(cè)至多〃次.若檢測(cè)4次

后，前％-1次檢測(cè)出甲病毒均為陽(yáng)性，第后次檢測(cè)出甲病毒為陰性，此時(shí)讓患者回家

休養(yǎng)，不進(jìn)行治療；若檢測(cè)"次后，每次都檢測(cè)出甲病毒為陽(yáng)性，此時(shí)患者接受治療.

已知醫(yī)院給患者治療甲病海偏要花費(fèi)1000元，每次檢測(cè)甲病毒是否為陽(yáng)性需要花費(fèi)100

元?記隨機(jī)變量X.表示按照上述診斷方案所需要的總開(kāi)銷(xiāo).

(1)求X的數(shù)學(xué)期望￡(%)；

⑵當(dāng)"CN?時(shí)，求)-￡(%,)；

(3)為了降低診斷所需的平均開(kāi)銷(xiāo)，選取使得對(duì)任意都有

E(X.)N￡(X?).已知p=l()T,g=10-2,求應(yīng)選取小的值.

數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))

4

山東中學(xué)聯(lián)盟2024屆高三考前模擬沖刺大聯(lián)考

數(shù)學(xué)答案解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

題號(hào)12345678

答案CBBACAAD

I.答案：C解析：全集U=R,A=(-3,3)18=(0,4]，則陰影部分表示的集合為

Cjlc8=[3,4p^4C.

命題意圖：本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用圖象先確定集合關(guān)系，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)

題的能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

2.答案：B解析：若ln(a-b)20,可得a2b+l：易得aNb+1是a>b+1的必要不充分條件,

故選B

命題意圖：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、不等式解法.結(jié)合充分、必要條件分析判斷.考查的數(shù)學(xué)核

心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

3.答案：B解析：因?yàn)椤?(x-4)cosa+ysina=4,所以點(diǎn)P(4,0)到《中每條直線的距離

4

d=4,所以Z,為圓C：*-4)2+/=16的全體切線組成的直線系，存在兩切

Vcos'e+sin*

線平行的情況，心中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)不可能，故4錯(cuò)誤，B正確；

當(dāng)a=0時(shí)，直線方程變?yōu)閤=8.此時(shí)直線的斜率不存在，故C錯(cuò)誤：

當(dāng)&='時(shí)，直線方程變?yōu)閥=4,此時(shí)直線的斜率為0,故D錯(cuò)誤.故選B

￡￡

4.答案：A解析：a=3Ig2=lg8<IglO=l,b=V>3°=\,c=2i>2°=l

因?yàn)?=9,c6=8,所以從>,6,所以6>c>l>a,故選A.

5

命題意圖：本題主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查的數(shù)學(xué)核心

素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

5.答案：C

解析：因?yàn)镻，。兩點(diǎn)在第2秒時(shí)第一次相遇于點(diǎn)12,2)

所以2a=生,2/=如，所以&=色，夕=生.

3333

設(shè)它們從出發(fā)后第2次相遇時(shí)間為/,!?ij(y+y)t=2x2/r,所以

/=4.點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路程為必=^、4=手.故選：C

命題意圖：本題主要考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用以及任意角的三角函數(shù)值，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是

數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象.

6.答案：A解析：設(shè)二?=q+b}i,z2=a2+b2i,

對(duì)于答案A,由二］=二2得，6=。2，4=一％所以二］=二2，故A正確:

對(duì)于答案B,令之="=2=2/,z?二2=-2,不滿足題意，故B錯(cuò)誤:

容易知道C,D顯然錯(cuò)誤.故選A.

命題意圖：本題主要考察復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共挽復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)模的定義，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是

邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算.

7.答案：A解析：由題可知，函數(shù)的定義域?yàn)橛藐P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

222X-1

對(duì)于答案A,因?yàn)?。-1)-2=3-------2=1------=——是奇函數(shù)，正確:

2'+12、+12X+1

22J+I-1

對(duì)于答案B,因?yàn)?(X+1)-2=1-F—=F—不是奇函數(shù)，錯(cuò)誤：

2+12+1

對(duì)于答案C,因?yàn)?(x-l)+2=5-----=-——不是奇函數(shù)，錯(cuò)誤；

2+12+1

2§1彳

對(duì)于答案D,因?yàn)?(X+1)+2=5-F—=J不是奇函數(shù)，錯(cuò)誤.故選A.

2川+12"1+1

命題意圖：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

6

8.答案：D解析：高一學(xué)生成績(jī)：71,78,79,79.84,86,91,93,94,95，則高一學(xué)生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)的

80%分位數(shù)是空上=935,故A選項(xiàng)錯(cuò)

2

高一學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?71+78+79+79+84+86+91+93+94+95=,

10

S：=7；X(X,-X2)2=60

1U7

高二學(xué)生成績(jī)：78,79,81,84,85,85,86,87,92,93.

則高二學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)椋?8+79+81+84+85+85+8^^^土組=85，

10

5；=，1￡10區(qū)-3『=22,故B,C選項(xiàng)錯(cuò)

101=1

高一成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生4名，高二成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生2名，從6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，他們的成績(jī)組成

的所有基本事件(用數(shù)對(duì)表示)為｛(91,92),(91,93),(91,93),(91,94),(91,95),(92,93),(92,93),

(92,94),(92,95),(93,93),(93,94),(93,95),(93,94),(93,95).(94,95)｝共15個(gè).記“抽取的

2名學(xué)生的成績(jī)差的絕對(duì)值不大于1”為事件A,則事件A包含的基本事件為(91,92),(92,93),

(92,93),(93,93),(93、94),(93.94),(94,95)｝,共7個(gè)由古典概型計(jì)算公式可知。(力)=(.故

D選項(xiàng)正確.

命題意圖：本題主要考查樣本數(shù)字特征，百分位數(shù)，平均數(shù)，方差，以及古典概型考查的數(shù)學(xué)核

心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

題號(hào)91011

答案BDBCDACD

9.答案：BD解析：A選項(xiàng)：若％<0,則數(shù)列｛q｝為遞減數(shù)列，故A錯(cuò)：

B選項(xiàng)：a=-1=當(dāng)且僅當(dāng)〃=工葉等號(hào)成立，由于〃eN+，故最小值應(yīng)

4/+254〃+在202時(shí)，

n

在〃=2或〃=3處取，兄=一2,%=二3，故4的最大值為.三3?故B正確：

-41361n61

C選項(xiàng)：由S”=一/+9〃得%=10-2〃,則q=2,故C錯(cuò)：

7

D選項(xiàng)：由題可知qw0,且a；=所以（4+"尸=+5"），整理得：d；=3/d.所以d=0

或d=3q,當(dāng)d=0時(shí)，a?=an此時(shí)夕=1:當(dāng)d=%時(shí),a?=（3n-2）a?此時(shí)

%=4?！?。6==4故D正確

命題意圖：本題考查等差等比數(shù)列及其前〃項(xiàng)和的性質(zhì)，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算.

10答案：BCD

解析：婢析：橢同￡:；+.F=I可得a=6，ft=I?c=41,所以左焦點(diǎn)￡（->/Z,0）,

,4選項(xiàng)：|力8|最大值為2a=2。所以4不正確：

B選項(xiàng)：設(shè).*須，yJ，伙七，%）.設(shè)中點(diǎn)A/（x。,九）.

所以今+V=1.4爐=|,所以GdJ半」｝+（乂+月）（%-%）=0,

所以八二富科雪」，

伍+工2）（片-覆）3

所以幻.=一一L=-lxL.所以8正確.

.3koM3立3

2

C選項(xiàng):設(shè)點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)N。分別為,4".”月的中點(diǎn)，

所以|N￡|+"O|=庫(kù)卜;卜入卜a=/>萬(wàn).所以點(diǎn)N的軌跡是橢園：所以C正確：

0選項(xiàng)：囪x'+Y=3的圓心為（0,0）,半徑為

設(shè)/￡的中點(diǎn)為M,所以|。4"+陷4|=:|/眉+]//=6,所以兩個(gè)圓內(nèi)切，所以。選項(xiàng)

22

確：故選：BCD.

命題意圖：本題考查橢圓的定義和性質(zhì)的應(yīng)用，長(zhǎng)度的求解，考查學(xué)生的運(yùn)算求解、邏輯推理能

力，考直的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

II答案：ACD

8

解析：A選項(xiàng)，由題意，1^csinA=（i（?2-b2）sinA,又sin/wO,

所以；bc=；c—一尸，整理得c?-6c-2b?=0解得c=2b,

所以△4BC為“倍長(zhǎng)三角形”，故力正確，

B選項(xiàng)，設(shè)/C=x,AB=2x,

所以又做，=；BCACsin。=2xsinC=2xyl\-cos2C,

BC+ACAB

又由余弦定理得cosC=~~'=16二匯

2BCAC8x

ccA----77；rL,16-3-」569,，80、,

所以SA.=2x'l-cosC=2XJ1-(------)=J--——(x--)

V8xV9169

x+7Y>44

由三角形的三邊關(guān)系可得I,解得±vxv4，

x+4>2x3

所以當(dāng)X二M三時(shí)，面積有最大值為3.故B錯(cuò):

33

c選項(xiàng)，因?yàn)?。是/34C的角平分線，交3C于點(diǎn)。.所以點(diǎn)。到/B，4C的距離相等,

又AB=2AC,所以S%BQ=2SMe，BD=2CD,由題意AD=a,BD=g,

22-h2c+(~a)-a

ZUBC中，cosB=^a-+^c―\①A,中，cos8=②，

2acc2

2c--a

3

聯(lián)立①(D得11/=6b?+3/,又c=2b,所以/=與，

9

12,22b'+(2/?)"-----b~37

所以cosABAC=―二^=------------U—=CL>0,所以23/C為銳角.故

2bc2x6x2644

C正確:

D選項(xiàng)，設(shè)4C=6=r,ABAC=26,

34

由*4即+Sgc。=Sgsc，所以Q“sin6=2sin6cos/故4=

因?yàn)?€(0,9,且北；,|，所以cosOe所以tane"Ji,而］又因?yàn)?/p>

5.=1/2。=1,得心，_

MBCsin20

令〃=a2=b2+c2-25ccosA=(2t)2+r-4t2cos20=5/2-4/2cos2^,

,.2“54cos2^5-4cos2^

w=5r2-4rcos26>=------------------=-------------,

sin2^sin2^sin28

5sin2^+5cos20-4(cos2^-sin20)9sin2O+cos109tan20+\

所以〃=----------------------------------=---------------=----------

2sin8cose2sin8cos。2tan。

9tan。1

即〃=------+---所--以-u關(guān)于tan。在［6,而］內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)tan6=時(shí),

22tan。

14月

〃取得最小值為故。正確.

命題意圖：本題考查解三角形，三角恒等變換，正弦定理及余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，還考

查了三角函數(shù)最值求解以及三角形的面積公式，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

VI.r-

12.答案：—解析：fl=(V2,l),b=(cosx,sinx),

2

因?yàn)閍〃方，所以&'sinx=cosx,tanx=立

2'

命題意圖：本題考查共線向量的坐標(biāo)表示和弦切轉(zhuǎn)化問(wèn)題，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推

理.

10

13.答案：2.

解析：設(shè)圓臺(tái)的上，下底面半徑分別為4,右，母線長(zhǎng)為/,

由題意得(=4,該圓臺(tái)與其內(nèi)切球的軸截面如圖：/Q\

記圓臺(tái)的高為〃，內(nèi)切球的半徑為r,則力=2r,/VLI/\

易知，該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為/=，；+〃=5,解得｛=1,4M02

h==4=2r,所以，=2?

命題意圖：本題考查圓臺(tái)和球的組合體問(wèn)題，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理.

14.答案：/田).

e

解析：將不等式_L211■也一加變形得：mxe"0+3^>x(\+\nx),

xem

即eR/nx+lRMl+lnx),所以eyine2+DNxQ+Inx),

設(shè)函數(shù)f(x)=x(l+Inx),則f(em)>f(x)恒成立.

又/'(x)=2+Inx>0恒成立，所以函數(shù)/(x)=*1+Inx)在[1,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?(0皿)2〃》)恒成立，所以e加2x,即〃匣.

X

設(shè)g(x)=@±，g'(x)=l，當(dāng)4€[1,0),3(*)>0耳。)單調(diào)遞增:

XJC

當(dāng)xe(e,+oo),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減：所以g(x)max=g(e)=L所以〃吐」.

ee

命題意圖：本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)中同構(gòu)問(wèn)題及恒成立問(wèn)題，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(1)解：因?yàn)锽C//DE,PFtBC,

P

所以尸F(xiàn)IDE,又因?yàn)镻FlPD,PDcDE=E,力^\

所以尸尸1平面PDE..............................3分步.....

所以PFtPE,在APEF中，4B=EF=2,PF=1,'8所以

PE=6

11

又PD=2、DE=1,PD?=PE?+DE2,所以"DE為直角三角形.

所以VP-DEF=VF-DEP=gxS^DEPXPF=￡xlxl=-^..........6分

3326

(2)解：在平面POF內(nèi)，過(guò)點(diǎn)尸作尸T_LOF于點(diǎn)T,那么尸兀L平面四09

在H/AD尸尸中，尸7=竽,07=竽，/7=孝..............8分

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4,DC所在的直線分別x軸、y軸，過(guò)點(diǎn)。且垂直于平面48。的直線為二

軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

所以鳳1,0,0)"(3*0),尸(土?咨)

9分

因?yàn)镻兀L平面48⑦.

所以可以取平面DEF的一個(gè)法向量為7=(0,0,1).

設(shè)直線PE和平面尸所成的角為。，

所以s/力6=|cos(尸E,公|==冬叵.......11分

'/|P￡H〃I17

所以直線PE和平面QEF所成角的正弦值22叵..............................13分

17

命題意圖：本題以四棱錐為載體，考查點(diǎn)到平面的距離、直線和平面所成角的求解.主要考查學(xué)生

的運(yùn)算求解能力，直觀想象的能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

16.（15分）解：（l）q=2,%=6,%=18;...............................3分

猜想：a〃=2x3"-1.................................4分

證明：因?yàn)椤！?63”)不超過(guò)3"的數(shù)共有3"個(gè)，其中與3"不互素的數(shù)是3的倍數(shù)，即

3xl,3x2,3x3,…,3x3"T共3""個(gè)數(shù)，

所以。“=3"-3"7=2'3"二.........................................6分

(2)易知｛/｝是以q=2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，

12

所以s“=2x（T）=3"-1..............................7分

1-3

因?yàn)椋?1=logjB=+1）,即+1=log^3"=2〃，

所以”,=2〃-1,........................................9分

=b：+喘_(2〃-1)2+(2〃+1)2=41+1=]+2=[+_J_____1_

故％-2b工_2(2”—1X2〃+D+(2n-lK2n+l)-2n-\~2n+\"分

所以乙=。1+C,+q+…+C”=1+1+1+----F1+----F,,,+1+----------

1*3335572w-l2/J+I

,1八

=〃+1..........................................15分

2〃+1

命題意圖：本題以新定義為載體，主要考查等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式和裂項(xiàng)求和法，考查學(xué)生創(chuàng)

新性的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

17.(15分)

解：⑴因?yàn)?(幻=犬+asinx+bcosx,

所以/'(》)=2》+。(：05'-從111》,............2分

所以切線的斜率左=/'(0)=-1,即。=一1：又/(0)=-1,即6=7.

所以a=Z>=—1...........4分

(2)證明：①函數(shù)-sinx-cosx,其定義域?yàn)镽,

f'(x)=2x-cosx+sinx^

下面證明^=/'(x)=2x-cosx+sinx有且只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn).

設(shè)g(x)=/'(x)=2x-cosx+sinx,

則g'(x)=2+sinx+cosx=2+y/lsin(x+—)>0,

4

所以函數(shù)^=8。)在(-8,+8)單調(diào)遞增，............6分

13

又g(0)=-l<0,顯然g(5)=;r+l>0,

由零點(diǎn)存在定理，存在唯一的工€(0，W)滿足g(Xo)=0,.........8分

所以之間的關(guān)系如下表：

XX。(%,+8)

y=f\x)—0+

y=f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以函數(shù)y=/(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)............10分

②證明:由g(x())=O得:2xo-cosx0+sinxo=O,即％=-(cosXo-sinxo),

1,.

所以/(Xo)=-(cosx0-sinxo)--(COSA+sinx),

400

由①知g(0)<0,又g(￡)=g_*+!>0,所以XefO.-/..........12分

632201飛

/(x0)=!(l-sin2xo)-7Isin(Xo+g),

44

因?yàn)?gt;/2+/<0、

f'(x0)=-^cos2x0-cos(xu

則y=/(x0)在(o.￡)上單調(diào)遞減,

6

所以吟7嗎一吒=￥，

14分

Hn々\24-5-73

即/(%)>---------15分

O

命題意圖：本題依托函數(shù)的極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及零點(diǎn)存在定理、二分法等，考查的數(shù)

學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

18.解：(1)設(shè)M(x,y)(xw±2),則&-用=曰-曰=1,................3分

14

解得：x2=4y（xw±2）....................6分

（2）是定值.依題意，可設(shè)直線.48的方程為卜=仙+小，4（%,必卜3（、2，%），則有

4（%,一機(jī)），4（、2，一機(jī)）

由卜=h+m消去可得/一4履一4團(tuán)=0

（；r=4y，

從而有

卜+、2=4A,.......................&分

[xlx2=-4/w

于是另+%=A（X[+七）+2//7=4〃2+2/w,

乂由X；=4弘芯=4為，

可得乂%=皿工=".........10分

16

記直線/與y軸的交點(diǎn)為￡,則|網(wǎng)=|。用=而于是有$=』四儼閡=；（乂+/?）用,

52=；|4耳|附上碎ifI，

S,=g|四儼禺|=3%+團(tuán)團(tuán)，........................13分

所以、S；二4（m|x「x21f=4m[（.+xj_4x^]

s&a+MkQ+Mkl[.%+刑（乂+%）+也12|