第11講幾何綜合（學(xué)生版）目標層級圖課前檢測1．在四邊形中，對角線平分．（1）如圖①，當(dāng)，時，求證：．（2）如圖②，當(dāng)，與互補時，線段、、有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給予證明．（3）如圖③，當(dāng)，與互補時，線段、、有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給予證明．課中講解一.中點問題例1．已知：如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點，是邊的中點，連接與相交于點．（1）求證：；（2）求證：；（3）與的大小關(guān)系如何？試證明你的結(jié)論．過關(guān)檢測1．如圖所示，在中，，．（1）點在邊上，，垂足為，，垂足為，求證：．（2）如圖2，點在邊上，點關(guān)于直線的對稱點恰落在邊上，，垂足為，求的值．例2．已知中，（1）如圖1，點為的中點，連并延長到點，使得，直接寫出和的關(guān)系；（2）如圖2，若，點為邊上一點，過點作的垂線交的延長線于點，連，若，求證：；（3）如圖3，點在內(nèi)部，且滿足，，點在的延長線上，連交的延長線于點，若點為的中點，求證：．過關(guān)檢測1．如圖3，已知和都為等腰直角三角形，，。是的中點，連接并延長至點，．求證：．二.對角互補模型例3．如圖，，平分．將一塊足夠大的三角尺的直角頂點落在射線的任意一點上，并使三角尺的一條直角邊與（或的延長線）交于點，另一條直角邊與交于點．（1）如圖1，當(dāng)與邊垂直時，證明：；（2）如圖2，把三角尺繞點旋轉(zhuǎn)，三角尺的兩條直角邊分別交，于點，，在旋轉(zhuǎn)過程中，與相等嗎？請直接寫出結(jié)論：（填，，，（3）如圖3，三角尺繞點繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，三角尺的一條直角邊與的延長線交于點，另一條直角邊與交于點．在旋轉(zhuǎn)過程中，與相等嗎？若相等，請給出證明；若不相等，請說明理由．例4．四邊形被對角線分為等腰直角和直角，其中和都是直角，另一條對角線的長度為2，求四邊形的面積．過關(guān)檢測1．【感知】如圖①，，平分．于點，于點，可知．（不要求證明）【拓展】在圖①中，作，，分別交射線，于，兩點，求證：．【應(yīng)用】如圖②，與均為直角三角形，平分，，兩點在的異側(cè)．已知，，，求線段的長．2．如圖，正方形的頂點與正方形的對角線交點重合，正方形和正方形的邊長都是，則圖中重疊部分的面積是．例5．如圖，，平分，，與射線相交于點，與直線相交于點．把繞著點旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點在射線上時，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點在射線的反向延長線上時，與，之間的數(shù)量關(guān)系是（直接寫出結(jié)論，不必證明）過關(guān)檢測1．如圖，一傘狀圖形，已知，點是角平分線上一點，且，，與交與點，與交于點．（1）如圖一，當(dāng)與重合時，探索，的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖二，將在（1）的情形下繞點逆時針旋轉(zhuǎn)度，繼續(xù)探索，的數(shù)量關(guān)系，并求四邊形的面積．例6．如圖，在中，，點是的中點，、分別是、上的點，且和互補．（1）當(dāng)，如圖1，線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）當(dāng)，如圖2，求證：；（3）在（2）的條件下，若，，設(shè)線段交直線于點，求的長．過關(guān)檢測1．在中，，，，，分別交直線、于點、．（1）如圖1，當(dāng)時，求證：；（2）如圖2，當(dāng)時，問線段、、之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)，問線段之間、、有何數(shù)量關(guān)系？并證明．例7．如圖所示，，平分，點是射線上的一個定點，點在直線上運動，連接，將的兩邊射線和分別繞點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線交于點和點．（1）如圖1所示，當(dāng)點在射線上時，①請判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論；②請?zhí)骄烤€段、和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并證明；（2）如圖2所示，當(dāng)點在射線的反向延長線上時，交射線于點，若，，請直接寫出線段的長．

三.手拉手模型例8．（青羊區(qū)校級期末）在等腰與等腰中，，，，且點、、三點在同一條直線上，連接．（1）如圖1，求證：（2）如圖2，當(dāng)時，試猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；（3）如圖3，當(dāng)時，請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系式為：（不寫證明過程）

例9．【問題背景】如圖1，是正三角形外一點，，則．小明為了證明這個結(jié)論，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，請幫助小明完成他的作圖；【遷移應(yīng)用】如圖2，在等腰中，，，點在外部，使得，若，求；【拓展創(chuàng)新】如圖3，在四邊形中，，點在四邊形內(nèi)部，且，，，，，直接寫出的長．

過關(guān)檢測1．如圖，和均為等腰三角形，點，，在同一直線上，連接．（1）如圖1，若①求證：；②求的度數(shù)．（2）如圖2，若，為中邊上的高，為中邊上的高，試證明：．

2．（1）方法探索如圖1，在等邊中，點在內(nèi)，且，，，求的長．小敏在解決這個問題時，想到了以下思路：如圖1，把繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，分別證明△和△是特殊三角形，從而得解．請在此思路提示下，求出的長．解：把繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接．接著寫下去：（2）方法應(yīng)用請借鑒上述利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖的方法，解決下面問題：①如圖2，點在等邊外，且，，，若，求度數(shù)．②如圖3，在中，，，是外一點，連接、、．已如，．請直接寫出的長．

四.半角模型例10．如圖1，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．（1）在圖1中，連接，為了證明結(jié)論““，小亮將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后解答了這個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；（2）如圖2，當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（3）如圖3，如果四邊形中，，，，且，，，求的長．

過關(guān)檢測1．探究：如圖①，點、分別在正方形的邊、上，，連結(jié)，求證：．應(yīng)用：如圖②，在四邊形中，點、分別在、上，，，，若，，則．學(xué)習(xí)任務(wù)1．如圖，點為定角的平分線上的一個定點，且與互補，若在繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與、相交于、兩點，則以下結(jié)論：（1）恒成立；（2）的值不變；（3）四邊形的面積不變；（4）的長不變，其中正確的結(jié)論有．2．（成都期末）定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．如圖1，等腰中，，，作于點，則為的中點，，，在直角三角形中，，且；遷移應(yīng)用：如圖2，和都是等腰三角形，，、、三點在同一條直線上，連接．（1）求證：；（2）請直接寫出線段，，之間的等量關(guān)系式；（3）如圖2，若，，求線段的長．3．如圖與為正三角形，點為射線上的動點，作射線與直線相交于點，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到射線，射線與直線相交于點．（1）如圖①，點與點重合時，點，分別在線段，上，求證：；（2）如圖②，當(dāng)點在的延長線上時，，分別在線段的延長線和線段的延長線上，請寫出，，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）點在線段上，若，，當(dāng)時，請直接寫出的長．第11講幾何綜合（解析版）目標層級圖本節(jié)內(nèi)容主要講解幾何綜合部分，課程目標為帶領(lǐng)學(xué)生回顧常見幾何模型和輔助線做法，加深對模型和對幾何知識點（比如三線合一）的理解，提升學(xué)生的幾何思維和解決綜合類幾何問題的能力。本節(jié)內(nèi)容一共分為4個板塊，分別為中點問題的處理策略（本節(jié)主例題主要中點所引發(fā)的三線合一與倍長中線），對角互補模型，手拉手模型和半角模型，其中對角互補模型定位為新課，其余3個板塊在前面學(xué)員都有學(xué)習(xí)，定位為復(fù)習(xí)內(nèi)容。幾何綜合部分一直屬于學(xué)生得分率較低的部分，建議授課中多加強模型關(guān)鍵點的梳理，增加對學(xué)生思路的引導(dǎo)，確保學(xué)生切實掌握每種模型。本講義容量偏大，教師可根據(jù)實際情況刪減例題，半角模型和手拉手模型學(xué)生相對熟悉，如果學(xué)生掌握的不錯，這兩個板塊可以所見例題和練習(xí)量。注：具體的例題設(shè)計邏輯在每個例題處會有標注說明。課前檢測1．在四邊形中，對角線平分．（1）如圖①，當(dāng)，時，求證：．（2）如圖②，當(dāng)，與互補時，線段、、有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給予證明．（3）如圖③，當(dāng)，與互補時，線段、、有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給予證明．【分析】（1）由平分，，可得，又由，即可得，根據(jù)直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可得；（2）首先過點分別作和延長線的垂線段，垂足分別為、，由平分，可得，又由與互補，可證得，則可得，又由，則可得線段、、有怎樣的數(shù)量關(guān)系為；（3）首先過點分別作和延長線的垂線段，垂足分別是、，與（2）同理可得，則可得，即可求得線段、、有怎樣的數(shù)量關(guān)系為．【解答】證明：（1）在四邊形中，平分，，．又，．，即．（2）．證明如下：如圖②，過點分別作和延長線的垂線段，垂足分別為、．平分，．，，．又，．．．為角平分線，，，，，．．（3）．證明如下：如圖③，過點分別作和延長線的垂線段，垂足分別是、．平分，，，．，，．又．．．延長至，使，連接．，，．．．．．．課中講解一.中點問題（例1考查三線合一，第（3）問的輔助線也是常見的中垂線輔助線作法，最后一問的結(jié)論也可寫成是）例1．已知：如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點，是邊的中點，連接與相交于點．（1）求證：；（2）求證：；（3）與的大小關(guān)系如何？試證明你的結(jié)論．【分析】（1）利用判定，從而得出．（2）利用判定，得出，又因為，所以．（3）利用等腰三角形“三線合一”和勾股定理即可求解．【解答】（1）證明：，，是等腰直角三角形．．，，且，．在和中，．；（2）證明：平分，．在和中，．．又由（1），知，；（3）證明：，垂直于，則．為中點，則（等腰三角形“三線合一”連接，則，，．又垂直，，．是直角三角形，，垂直平分，，；即，，．方法2，證明：，垂直于，則．為中點，則（等腰三角形“三線合一”連接，則，，．又垂直，．．過關(guān)檢測（第（2）問核心突破點為B關(guān)于AQ的對稱點恰落在AC上，說明AQ平分∠BAC，又CN⊥AQ，因此想到三線合一，才有了答案中的輔助線作法）1．如圖所示，在中，，．（1）點在邊上，，垂足為，，垂足為，求證：．（2）如圖2，點在邊上，點關(guān)于直線的對稱點恰落在邊上，，垂足為，求的值．【分析】（1）利用證明，可得；（2）如圖2，延長、，交于，先證明，可得，再證明，則，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）如圖1，，，，，，，在和中，，，；（2）如圖2，延長、，交于，點關(guān)于直線的對稱點恰落在邊上，平分，，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，．

（例2第（3）考查倍長中線，輔助線還涉及截取法，難度較大，答案給出的輔助線是過點作交的延長線于，建議改成延長BN至點T，使得NT=BN,連接MT，有意識地讓學(xué)生知道是在利用倍長中線）例2．已知中，（1）如圖1，點為的中點，連并延長到點，使得，直接寫出和的關(guān)系；（2）如圖2，若，點為邊上一點，過點作的垂線交的延長線于點，連，若，求證：；（3）如圖3，點在內(nèi)部，且滿足，，點在的延長線上，連交的延長線于點，若點為的中點，求證：．【分析】（1）結(jié)論：，．證明，可得結(jié)論；（2）如圖2中，過點作于，過點作交的延長線于．利用全等三角形的性質(zhì)證明，即可解決問題；（3）過點作交的延長線于，交于，在上取一點，使得，連接．利用全等三角形的性質(zhì)證明，，即可解決問題．【解答】（1）解：結(jié)論：，．理由：如圖1中，，，，，，，．（2）證明：如圖2中，過點作于，過點作交的延長線于．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．（3）證明：過點作交的延長線于，交于，在上取一點，使得，連接．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．過關(guān)檢測（要注意隱藏的手拉手模型）1．如圖3，已知和都為等腰直角三角形，，。是的中點，連接并延長至點，．求證：．【分析】延長至，使，連接，由“”可證，可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，即可得結(jié)論．【解答】如圖3，延長至，使，連接，是的中點，，在和中，，，，，又易證（手拉手模型），又，，，．

二.對角互補模型對角互補模型知識點由于學(xué)生版篇幅限制所以沒有放置，教師需要把該內(nèi)容給學(xué)生進行補充講解，對角互補模型的常見處理策略包括2個，一是引垂線構(gòu)造全等，二是利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等類型一：含90°的對角互補模型（1）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，則有以下結(jié)論：；；作法1作法2（2）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，當(dāng)∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D時，則有以下結(jié)論：；； 作法1作法2類型二：含120°的對角互補模型（1）如圖，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，則有以下結(jié)論：；；作法1作法2

（2）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，當(dāng)∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D時，則有以下結(jié)論：；； 作法1作法2（含90°的對角互補模型）例3．如圖，，平分．將一塊足夠大的三角尺的直角頂點落在射線的任意一點上，并使三角尺的一條直角邊與（或的延長線）交于點，另一條直角邊與交于點．（1）如圖1，當(dāng)與邊垂直時，證明：；（2）如圖2，把三角尺繞點旋轉(zhuǎn)，三角尺的兩條直角邊分別交，于點，，在旋轉(zhuǎn)過程中，與相等嗎？請直接寫出結(jié)論：（填，，，（3）如圖3，三角尺繞點繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，三角尺的一條直角邊與的延長線交于點，另一條直角邊與交于點．在旋轉(zhuǎn)過程中，與相等嗎？若相等，請給出證明；若不相等，請說明理由．【分析】（1）先判斷出，再判斷出，進而判斷出，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出四邊形是矩形，得出，進而得出，判斷出，即可得出結(jié)論；（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：，，，是的平分線，，，，；（2）解：，理由：如圖2，過點作于，于，，，，四邊形是矩形，，，是的平分線，，，，，在和中，，，，故答案為：；（3）解：如圖3，過點作于，于，，，，四邊形是矩形，，，是的平分線，，，，，在和中，，，；

（含90°的對角互補模型面積的計算）例4．四邊形被對角線分為等腰直角和直角，其中和都是直角，另一條對角線的長度為2，求四邊形的面積．【分析】將繞點旋轉(zhuǎn)，使與重合，到點，由條件可得出是等腰直角三角形，且可證明，可得出四邊形的面積等于的面積，利用條件可求得四邊形的面積．【解答】解：將繞點旋轉(zhuǎn)，使與重合，到點，則有，所以、、在同一直線上，則是三角形，又因為，所以是等腰直角三角形，在和中，四邊形的面積等于等腰直角三角形的面積，所以．

過關(guān)檢測1．【感知】如圖①，，平分．于點，于點，可知．（不要求證明）【拓展】在圖①中，作，，分別交射線，于，兩點，求證：．【應(yīng)用】如圖②，與均為直角三角形，平分，，兩點在的異側(cè)．已知，，，求線段的長．【分析】拓展如圖①，證明；證明；證明，得到．應(yīng)用如圖②，作輔助線；類比（1）中的結(jié)論得到：；結(jié)合，，得到，；運用勾股定理即可解決問題．【解答】解：【拓展】平分，，，，；，四邊形為正方形，，；，；在與中，，，．【應(yīng)用】如圖②，過點作；，交的延長線于點；由（1）知：（設(shè)為，四邊形為正方形，；而，，，，；由勾股定理得：，．2．如圖，正方形的頂點與正方形的對角線交點重合，正方形和正方形的邊長都是，則圖中重疊部分的面積是1．【分析】根據(jù)題意可得：，所以，從而可求得其面積．【解答】解：如圖，正方形和正方形的邊長都是，，，，在和中，，，；則圖中重疊部分的面積是，故答案為：1．（含120°的對角互補模型）例5．如圖，，平分，，與射線相交于點，與直線相交于點．把繞著點旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點在射線上時，求證：；（2）如圖2，當(dāng)點在射線的反向延長線上時，與，之間的數(shù)量關(guān)系是（直接寫出結(jié)論，不必證明）【分析】（1）作，交于，證明是等邊三角形，得出，，證出，證明，得出，即可得出結(jié)論；（2）作，交于，證明是等邊三角形，得出，，證出，證明，得出，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：作，交于，如圖1所示：，平分，，，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，；（2）解：，理由如下：作，交于，如圖2所示：，平分，，，，，是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，；故答案為：

過關(guān)檢測1．如圖，一傘狀圖形，已知，點是角平分線上一點，且，，與交與點，與交于點．（1）如圖一，當(dāng)與重合時，探索，的數(shù)量關(guān)系．（2）如圖二，將在（1）的情形下繞點逆時針旋轉(zhuǎn)度，繼續(xù)探索，的數(shù)量關(guān)系，并求四邊形的面積．【分析】（1）根據(jù)角平分線定義得到，推出是等邊三角形，得到；（2）過點作，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，求得，，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1），平分，，，，是等邊三角形，；（2）過點作，，平分，，，，，，，在與中，，，，，，平分，，，，，四邊形的面積．（沒有鄰邊等的對角互補模型，通常采用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等）例6．如圖，在中，，點是的中點，、分別是、上的點，且和互補．（1）當(dāng)，如圖1，線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）當(dāng)，如圖2，求證：；（3）在（2）的條件下，若，，設(shè)線段交直線于點，求的長．【分析】（1）過作交于，由點是的中點，得到，，證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論；（2）連接，由，得到，推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；（3）連接，，通過，由全等三角形的性質(zhì)得到，于是得到是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得到，可得，設(shè)，，由勾股定理列方程，即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）；如圖1，過作交于，點是的中點，，，，，，，在與中，，，，；故答案為：；（2）如圖2，連接，，，，，，，即，在與中，，，，；

（3）如圖3，連接，，，，，，在與中，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，設(shè)，，，即，解得：（舍去），，．

過關(guān)檢測1．在中，，，，，分別交直線、于點、．（1）如圖1，當(dāng)時，求證：；（2）如圖2，當(dāng)時，問線段、、之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)，問線段之間、、有何數(shù)量關(guān)系？并證明．【分析】（1）如圖1，連接，由等腰直角三角形可得，，，由“”可證，可得；（2）如圖2，在上截取，連接，，由“”可證，可得，，由“”可證，可得，則；（3）如圖3，過點作，連接，由“”可證，可得，，由“”可證，可得，則．【解答】證明：（1）如圖1，連接，，，，，，，，，且，，；（2），理由如下：如圖2，在上截取，連接，，，，，，，，，，，，，，，且，，且，，，；（3），理由如下：如圖3，過點作，連接，，，，，，，，，，，且，，，，，，，，，．（含60°的對角互補模型）例7．如圖所示，，平分，點是射線上的一個定點，點在直線上運動，連接，將的兩邊射線和分別繞點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線交于點和點．（1）如圖1所示，當(dāng)點在射線上時，①請判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論；②請?zhí)骄烤€段、和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并證明；（2）如圖2所示，當(dāng)點在射線的反向延長線上時，交射線于點，若，，請直接寫出線段的長．【分析】（1）①結(jié)論：．只要證明即可．②結(jié)論：．只要證明，再證明即可解決問題；（2）如圖2中，作于，于，于．由（1）可知，，，易知，，，，推出．【解答】解：（1）①結(jié)論：．理由：如圖1中，作于，于．，平分，于，于，，，，，．②結(jié)論：．，，，，，，，，，，，，，，．（2）如圖2中，作于，于，由（1）可知，，，易知，，，，．三.手拉手模型手拉手模型為七下講解內(nèi)容，在難版講義中放置的手拉手例題綜合性較強，帶領(lǐng)學(xué)生回顧模型時一定讓學(xué)生抓住關(guān)鍵點：共頂點；兩個頂角相等的等腰三角形；左手拉左手，右手拉右手（注意判斷左右的相對位置）（例8涉及手拉手模型和特殊角的直角三角形三邊比，120度角的三角形腰比底=）例8．（青羊區(qū)校級期末）在等腰與等腰中，，，，且點、、三點在同一條直線上，連接．（1）如圖1，求證：（2）如圖2，當(dāng)時，試猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；（3）如圖3，當(dāng)時，請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系式為：（不寫證明過程）【分析】（1）由“”可證；（2）由“”可證，可得，由直角三角形的性質(zhì)可得，可得結(jié)論；（3）由，可知，由勾股定理可求，由，，推出，由，即可解決問題；【解答】證明：（1），，又，，；（2），理由如下：，，又，，；，，，，，；（3）作于．，，又，，；，，，，，，，，，，故答案為：．

（例9屬于手拉手模型的構(gòu)造，難度較大）例9．【問題背景】如圖1，是正三角形外一點，，則．小明為了證明這個結(jié)論，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，請幫助小明完成他的作圖；【遷移應(yīng)用】如圖2，在等腰中，，，點在外部，使得，若，求；【拓展創(chuàng)新】如圖3，在四邊形中，，點在四邊形內(nèi)部，且，，，，，直接寫出的長．【分析】【問題背景】按題意畫出圖形即可；【遷移應(yīng)用】作線段垂直于交的延長線于點，連接，證得，證明，得出，由三角形的面積可求出答案；【拓展創(chuàng)新】將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，證得，由勾股定理求出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出．【解答】解：【問題背景】如圖1．【遷移應(yīng)用】如圖2，作線段垂直于交的延長線于點，連接，，，為等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，，．【拓展創(chuàng)新】如圖3，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，則，，，，，，，，，，，即，，，，，，在和中，，，．過關(guān)檢測1．如圖，和均為等腰三角形，點，，在同一直線上，連接．（1）如圖1，若①求證：；②求的度數(shù)．（2）如圖2，若，為中邊上的高，為中邊上的高，試證明：．【分析】（1）①通過角的計算找出，再結(jié)合和均為等腰三角形可得出“，”，利用全等三角形的判定即可證出，由此即可得出結(jié)論；②結(jié)合①中的可得出，再通過角的計算即可算出的度數(shù)；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合頂角的度數(shù)，即可得出底角的度數(shù)，利用（1）的結(jié)論，通過解直角三角形即可求出線段、的長度，二者相加即可證出結(jié)論．【解答】（1）①證明：，．，，．和均為等腰三角形，，．在和中，有，，．②解：，．點，，在同一直線上，且，，．，且，．（2）證明：和均為等腰三角形，且，．，，．在中，，，．，，，．在中，，，．，，．2．（1）方法探索如圖1，在等邊中，點在內(nèi)，且，，，求的長．小敏在解決這個問題時，想到了以下思路：如圖1，把繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，分別證明△和△是特殊三角形，從而得解．請在此思路提示下，求出的長．解：把繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接．接著寫下去：（2）方法應(yīng)用請借鑒上述利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖的方法，解決下面問題：①如圖2，點在等邊外，且，，，若，求度數(shù)．②如圖3，在中，，，是外一點，連接、、．已如，．請直接寫出的長．【分析】（1）如圖1中，把繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，證明△是直角三角形即可解解決問題．（2）①如圖2中，把繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，證明．，共線，利用勾股定理的逆定理證明即可解決問題．②如圖3中，過點作，使得，連接，．證明，推出，求出即可解決問題．【解答】解：（1）如圖1中，把繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，由旋轉(zhuǎn)不變性可知，，，，，，△為等邊三角形，，，在△中，，，．（2）①如圖2中，把繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，是等邊三角形，，，由旋轉(zhuǎn)不變性可知，，，，，，為等邊三角形，，，，，共線，，，，，．②如圖3中，過點作，使得，連接，．，都是等腰直角三角形，，，，，，，，過點作于，，，，在中，，，，，，，在中，，．解法二：把繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，先證明、、共線，再利用勾股定理求解即可．四.半角模型半角模型為七下講解內(nèi)容，在該部分主要以復(fù)習(xí)為主，半角模型的復(fù)習(xí)也要帶領(lǐng)學(xué)生回顧半角模型的關(guān)鍵點：存在半角，產(chǎn)生半角的兩邊相等，有一組補角。半角模型的核心點就是通過上述條件進行能將三角形進行旋轉(zhuǎn)，然后在通過半角條件在證明一組全等三角形。（例10常見的半角模型）例10．如圖1，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．（1）在圖1中，連接，為了證明結(jié)論““，小亮將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后解答了這個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；（2）如圖2，當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，試探究與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（3）如圖3，如果四邊形中，，，，且，，，求的長．【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明即可；（2）把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，交于點，證明即可求得．（3）如圖3中，在上取一點，使得，證明，推出，，證明，推出，設(shè)，則，，在中，根據(jù)，構(gòu)建方程求出即可解決問題．【解答】（1）證明：如圖1中，由旋轉(zhuǎn)可得，，，四邊形為正方形，，，，，在和中，，，，，．（2）解：結(jié)論：，理由：如圖2中，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，交于點，同（1）可證得，，且，．（3）解：如圖3中，在上取一點，使得，，，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，在中，，，，．過關(guān)檢測1．探究：如圖①，點、分別在正方形的邊、上，，連結(jié)，求證：．應(yīng)用：如圖②，在四邊形中，點、分別在、上，，，，若，，則．【分析】（1）如圖①中，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，只要證明即可解決問題．（2）如圖②中，將繞點旋轉(zhuǎn)到位置連接．，只要證明得，在△中利用勾股定理即可解決問題．【解答】（1）證明：如圖①中，在正方形中，，，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，點、、共線，，在和中，，，．（2）解：如圖②中，因為，所以可以將繞點旋轉(zhuǎn)到位置，連接．，，，，，，在和中，，，，在△中，，，，．故答案為．學(xué)習(xí)任務(wù)1