2023高考數(shù)學模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.如圖，矩形A3CD中，AB=\f8C=&，E是A。的中點，將沿5￡折起至一4'8七，記二面角4一比一。

的平面角為二，直線AZ與平面8CDE所成的角為AE與8C所成的角為有如下兩個命題：①對滿足題意的

任意的4的位置，冗、②對滿足題意的任意的4的位置，a+y<7rt貝ij（）

B

A.命題①和命題②都成立B.命題①和命題②都不成立

C.命題①成立，命題②不成立D.命題①不成立，命題②成立

2.下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個視圖相同的幾何體是（）

A.正方體B.球體

C.圓錐D.長寬高互不相等的長方體

x\nx-2x,x>0

3.已知函數(shù)/（力={23八的圖像二有且僅有四個不同的關于直線y=-1對稱的點在二米-1的圖像

XT—X,XW0

2

上，則4的取值范圍是（）

A.（；,；）B.（K）D.W』）

4.在A4BC中，角A,B,。的對邊分別為。，b,c,2（Z?cosA+acosB）=c2,8=3,3cosA=l,則。=

（）

A.小B.3C.回D.4

5.正四棱錐ABC。的五個頂點在同一個球面上，它的底面邊長為指，側棱長為26，則它的外接球的表面積

為（）

A.4乃B.8萬C.164D.20萬

6.高三珠海一模中，經(jīng)抽樣分析，全市理科數(shù)學成績X近似服從正態(tài)分布N（85,）2）,且P（60VXW85）=0.3.從

中隨機抽取參加此次考試的學生5。0名，估計理科數(shù)學成績不低于110分的學生人數(shù)約為（）

A.40B.60C.80D.100

x

7.已知/（』）是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，當xw（O,2］時，f（x）=2-\f貝1」/（一2）+/（0）=（）

A.-3B.2C.3D.-2

8.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱，登泰山的路線有四條：紅門盤道徒步線路，桃花峪登山線路，天外村汽車登

山線路，天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時，發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同，且均沒有走天外村

汽車登山線路，三人向其他旅友進行如下陳述：

甲：我走紅門盤道徒步線路，乙走桃花峪登山線路；

乙：甲走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路；

丙：甲走天燭峰登山線路，乙走紅門盤道徒步線路；

事實上，甲、乙、丙三人的陳述都只對一半，根據(jù)以上信息，可判斷下面說法正確的是（）

A.甲走桃花峪登山線路B.乙走紅門盤道徒步線路

C.丙走桃花峪登山線路D.甲走天燭峰登山線路

9.若sin（a+則c°s2a=（）

1111

A.B.C.一D.一

2332

10.下圖中的圖案是我國古代建筑中的一種裝飾圖案，形若銅錢，寓意富貴吉祥.在圓內(nèi)隨機取一點，則該點取自陰

影區(qū)域內(nèi)（陰影部分由四條四分之一圓弧圍成）的概率是（）

x

11.設尸={yx￡R},Q={yly=2tx￡R},則

A.PJQB.QGP

C.CRP^QD.QCQP

12.下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運算”正整數(shù)N除以正整數(shù)加所得的余數(shù)是〃”記為

“N三”（modm）”，例如7三1（mod2）.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的〃等于（）

A.16B.17C.18D.19

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知四棱錐的底面A3C。是邊長為2的正方形，且NB45=90。,若四棱錐尸的五個頂點在以4

為半徑的同一球面上，當必最長時，則/尸。4=;四棱錐PM8CD的體積為.

14.若（2-X），=%+4（1+力+生（1+力2+,+%（1+X），，則4+弓+/+?+4+%=，〃6=?

15.某班有學生52人，現(xiàn)將所有學生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣方法，抽取一個容量為4的樣本，已知5號、31號、44號學生

在樣本中，則樣本中還有一個學生的編號是.

16.高三（1）班共有56人，學號依次為1,2,3,…，56,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本，已知學

號為6,34,48的同學在樣本中，那么還有一個同學的學號應為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

cinx

17.（12分）已知函數(shù)/0）=-0<x<n.

x

（1）求函數(shù)人]）在工=1處的切線方程；

TT

（2）當Ov/nv4時，證明：，"）<“1。彳+—對任意工￡（0,萬）恒成立.

x

「12]

18.（12分）已知矩陣加二c的一個特征值為3,求另一個特征值及其對應的一個特征向量.

2a

19.（12分）電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查，其中女性

有55名，下面是根據(jù)調(diào)查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：

將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.

⑴根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關?

非體育迷體育迷合計

男

女1055

合計

(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3

次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列，期望E(X)和方差

附K2=Mad-bcY

—m+〃)(c+c/)(a+c)3+d)

P(K?)0.050.01

k3.8416.635

20.(12分)已知函數(shù)fa)=(x+a)ln(x+a)+e*+x.

(1)當。=1時，求函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線方程；

(2)討論函數(shù)〃。)=一/一工的單調(diào)性；

(3)當。=0時，若方程力(幻=/(同一/一/=機有兩個不相等的實數(shù)根.士，求證：In(玉+工2)＞巾2-1.

21.(12分)設橢圓「十卷=1,(々＞6〉0)的左右焦點分別為耳，工，離心率《=乎，右準線為/,M,N是/上的

兩個動點，

F,MF2N=O.

⑴若|麗卜麗=2。求a/的值;

(H)證明：當取最小值時，用0+6"與耳鳥共線.

22.(10分)設函數(shù)/(x)=ax-(a+l)ln(x+l).

(1)。=1時,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當〃>0時，設/(x)的最小值為g(a),若g(a)〈/恒成立，求實數(shù)/的取宜范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

作出二面角。的補角、線面角夕、線線角7的補角，由此判斷出兩個命題的正確性.

【詳解】

①如圖所示，過A作4'O_L平面3CDE,垂足為。，連接OE,作。連接

由圖可知NAMO=4—a，^AEO=p<ZAMO=7c-a,所以a+4工)，所以①正確.

②由于BCHDE,所以與3C所成角/=九—NAZOW/AMO=;r—a,所以a+萬，所以②正確.

綜上所述，①②都正確.

故選：A

【點睛】

本題考查了折疊問題、空間角、數(shù)形結合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

2.C

【解析】

根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.

【詳解】

正方體的三個三視圖都是相等的正方形，球的三個三視圖都是相等的圓，圓錐的三個三視圖有一個是圓，另外兩個是

全等的等腰三角形，長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個兩兩不全等的矩形.

故選：C.

【點睛】

本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵.

3.D

【解析】

根據(jù)對稱關系可將問題轉化為了"）與丁=-丘-1有且僅有四個不同的交點；利序導數(shù)研究/（X）的單調(diào)性從而得到

/（力的圖象；由直線），=—履—1恒過定點通過數(shù)形結合的方式可確定一左￡化心心）；利用過某一點曲

線切線斜率的求解方法可求得女“和心8,進而得到結果.

【詳解】

g（x）=h-l關于直線y=-l對稱的直線方程為：y=-kx-\

原題等價于〃力與y=1有且僅有四個不同的交點

由），=一"-1可知，直線恒過點A（O,—1）

當x>0時，/r（x）=lnx+l-2=lnx-l

.?./（X）在（O,e）上單調(diào)遞減；在（&+?））上單調(diào)遞增

由此可得圖象如下圖所示：

其中A3、AC為過A點的曲線的兩條切線，切點分別為民C

由圖象可知，當一ZW(AAC45)時，/(力與.，=-米-1有且僅有四個不同的交點

設(肛〃則,解得：加=

CHnm-2a)，m>Ot=InmT=冽二加2—+11

w-0

??&AC=-1

23?

設占(小/+]〃，n<0,則§n+—〃+1

解得：n=-l

k、R=2n+—=-------------

AB2n-0

本題正確選項：D

【點睛】

本題考查根據(jù)直線與曲線交點個數(shù)確定參數(shù)范圍的問題；涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題；解題關鍵是能

夠通過對稱性將問題轉化為直線與曲線交點個數(shù)的問題，通過確定直線恒過的定點，采用數(shù)形結合的方式來進行求解.

4.B

【解析】

由正弦定理及條件可得2(sinBcosA+sinAcosB)=csinC,

即2sin（4+B）=2sinC=csinC.

QsinC>0,

；?c=2,

由余弦定理得/=^2+c2-2Z?ccosA=22+32-2x2x3xi=9o

3

:.。=3.選兒

5.C

【解析】

如圖所示，在平面ABCD的投影為正方形的中心E,故球心。在尸石上，計算長度，設球半徑為R,則

(PE-W+BE2=R2,解得R=2,得到答案.

【詳解】

如圖所示：P在平面ABCD的投影為正方形的中心E,故球心。在莊上，

BD=42AB=2\/3，故BE=QBD=6PE=JPB2-BE2=3?

設球半徑為R,M(PE-/?)2+BE2=/?2,解得R=2,故S=4冗R?=16幾?

故選：C.

【點睛】

本題考查了四棱錐的外接球問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.

6.D

【解析】

由正態(tài)分布的性質(zhì)，根據(jù)題意，得到P(XN110)=P(XW60),求出概率，再由題中數(shù)據(jù)，即可求出結果.

【詳解】

由題意，成績X近似服從正態(tài)分布N(85,(T2),

則正態(tài)分布曲線的對稱軸為x=85,

根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，求得P(X>110)=P(X<60)=0.5-0.3=0.2,

所以該市某校有500人中，估計該校數(shù)學成績不低于H0分的人數(shù)為500x0.2=100人，

故選：O.

【點睛】

本題考查正態(tài)分布的圖象和性質(zhì)，考查學生分析問題的能力，難度容易.

7.A

【解析】

由奇函數(shù)定義求出/(0)和/(-2).

【詳解】

因為fW是定義在［-2,2］上的奇函數(shù)，「./(0)=0.又當x￡(0,2］時，

f(x)=2X-1,/./(-2)=-/(2)=-(22-1)=-3,.-./(-2)+/(O)=-3.

故選：A.

【點睛】

本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關鍵.

8.D

【解析】

甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線，由題意知這三句中一定有一個是正確另外兩個錯誤的，再分情況討論即可.

【詳解】

若甲走的紅門盤道徒步線路，則乙，丙描述中的甲的去向均錯誤，又三人的陳述都只對一半，則乙丙的另外兩句話“丙走紅

門盤道徒步線路”,“乙走紅門盤道徒步線路”正確，與“三人走的線路均不同”矛盾.

故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確，故丙的“乙走紅門盤道徒步線路”錯誤，“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中

“甲走桃花峪登山線路”錯誤，“丙走紅門盤道徒步線路”正確.

綜上所述,甲走天燭峰登山線路，乙走桃花峪登山線路，丙走紅門盤道徒步線路

故選：D

【點睛】

本題主要考查了判斷與推理的問題，重點是找到三人中都提到的內(nèi)容進行分類討論屬于基礎題型.

9.B

【解析】

由三角函數(shù)的誘導公式和倍角公式化簡即可.

【詳解】

因為sin(a+由誘導公式得cosa=-—?所以cos2a=2cos"a-1=-~?

\2)333

故選B

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的誘導公式和倍角公式，靈活掌握公式是關鍵，屬于基礎題.

10.C

【解析】

令圓的半徑為1,則尸二￡二乃一2(』2)二」_],故選C.

S71X

11.C

【解析】

解：因為P={y|y=-x2+Lx€R}={y|y<l},Q={y|y=2x,R}={y|y>0},因此選C

12.B

【解析】

由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是利月循環(huán)結構計算并輸出變量〃的值，模擬程序的運行過程，代入四個選

項進行驗證即可.

【詳解】

解：由程序框圖可知，輸出的數(shù)應為被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整數(shù).

若輸出〃=16,則16三1(mod3)不符合題意，排除；

若輸出〃=17,則17三2(mod3),17三2(mod5),符合題意.

故選:B.

【點睛】

本題考查了程序框圖.當循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時，常采用循環(huán)模擬或代入選項驗證的方法進行解答.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.90°

3

【解析】

易得A3_L平面叢O,尸點在與BA垂直的圓面01內(nèi)運動，顯然，PA是圓。I的直徑時，PA最長；將四棱錐P-ABCD

補形為長方體易得心為球的直徑即可得到PD,從而求得四棱錐的體積.

【詳解】

如圖，由NPAB=90"及AB_LA￡>,得A8_L平面而。，

即尸點在與BA垂直的圓面。?內(nèi)運動,

易知，當P、。1、A三點共線時，D1達到最長，

此時，是圓01的直徑，則NP￡)A=90;

又所以平面A5CD,

此時可將四棱錐P—A3C。補形為長方體ABgP-ABCD,

其體對角線為m=2R=8,底面邊長為2的正方形，

易求出，高PD=2幅,

故四棱錐體積V='x4x2jl1=?巳.

故答案為：(1)90°；(2)?

3

【點睛】

本題四棱錐外接球有關的問題，考查學生空間想象與邏輯推理能力，是一道有難度的壓軸填空題.

14.12821

【解析】

令冗=0,求得/+4+%++4+%的值?利用[3-(1+%)]展開式的通項公式，求得4的值.

【詳解】

令％=0,得/+4++%=27=128.[3-(1+X)]7展開式的通項公式為G371—(1+力1，當/*=6時，為

。卜了(1+工)6=21(1+力6,即生=21.

【點睛】

本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查賦值法求解二項式系數(shù)有關問題，屬于基礎題.

15.18

【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法，所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列，故可根據(jù)其中三個個體的編號求出另一個個體的編

號.

【詳解】

解：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法，所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列，

已知其中三個個體的編號為5,31,44,

故還有一個抽取的個體的編號為18,

故答案為：18

【點睛】

本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡單題.

16.20

【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義將56人按順序分成4組，每組14人，貝IJ1至14號為第一組，15至2R號為第一組，29號至42

號為第三組，43號至56號為第四組.而學號6,34,48分別是第一、三、四組的學號，所以還有一個同學應該是15+6?1=20

號，故答案為20.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

,、44.、一…

17.(1)y=-一Tx+-(2)見解析

7171

【解析】

、xcosx-sinx,(冗、4

(1)因為/(%)=2，可得一一3「，即可求得答案；

yr

(2)要證/")＜加1。X+一對任意不￡(0,乃)恒成立，即證x>sinx—乃對任意x￡(0,冗)恒成立.設

X

^(x)=sinx-^e(-^,l-^],即可求得答案.

g(x)=i7vc\nxfh(x)=sinx-7r,當xw(0,萬)時,)

【詳解】

“、xcosx-sinx

(1)f^)=2，

佃j

44

函數(shù)/⑺在X=3處的切線方程為)，=-=1￥+——?

7T兀

(2)要證/(%)<加111冗+工對任意］￡(0,1)恒成立.

X

即證〃irInx>sin工一"對任意ve(0,4)恒成立.

設g(x)=〃aInx,Zz(x)=sinx-〃，

當xw(0,乃)時，h(x)=sinx—乃￡(一),1一萬］,

g,(x)=/n(lnx+l),

.?令g'(x)=0,解得x=,，

e

?.當0vx〈：時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)在卜上單調(diào)遞減；

當，<xv不時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增.

eVeJ

/、nim

「?g(X)min=g—=——，

3e

G(0,7T),-—>\-7V,

e

當0vm<乃時，/nrInx>sinx-4對任意te(0,4)恒成立，

即當OVWIV4時，/(外〈"21!1_￥+工對任意%已(0,7)恒成立.

X

【點睛】

本題主要考查了求曲線的切線方程和求證不等式恒成立問題，解題關鍵是掌握由導數(shù)求切線方程的解法和根據(jù)導數(shù)求

證不等式恒成立的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于難題.

18.另一個特征值為1,對應的一個特征向量。=,

-1

【解析】

根據(jù)特征多項式的一個零點為3,可得4=1,再回代到方程/(2)=0即可解出另一個特征值為4=-1,最后利用求

特征向量的一般步驟，可求出其對應的一個特征向量.

【詳解】

矩陣”的特征多項式為：

2_1—7

/W=；-=(^-1)(2-?)-4,

一乙A—CI

???4=3是方程/(2)=0的一個根,

..(3-1)(3-?)-4=0,解得〃=1,即知=2]

??方程/(2)=0即(幾一1)(/1-1)-4=0,22-22-3=0,

可得另一個特征值為：4=-1,

x

設人=-1對應的一個特征向量為：a-

y_

-2x-2y=0

則由=得'八得1=一丁，

-2x-2y=0

令戈=1,則，=-1,

所以矩陣M另一個特征值為-1,

「11

對應的一個特征向量a=

-1

【點睛】

本題考查了矩陣的特征值以及特征向量，需掌握特征多項式的計算形式，屬于基礎題.

19.(1)無關；(2)—.

4f16

【解析】

(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而可得列聯(lián)表如下:

非體育迷體育迷合計

男301545

女451055

合計7525100

將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得

?12?21)2100x(30x10-4ox!5)2100

K*=------------=-----------------------=——2:3.03?

陽75x25x45x5533

因為3.03(X3.841,所以我們沒有充分理由認為"體育迷”與性別有關.

(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0?25,將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率!.由題意

4

知X?B(3,!),從而X的分布列為

4

X0123

p

39

E(X)=np=—=.D(X)=np(l—p)=一

416

?fJA］(［\

20.(1)3工一丁+1=0；(2)當一4<%<一一4時，/z(x)在［一外一一4)上是減函數(shù)；當X>一一4時，力(X)在一一〃,+<?

上是增函數(shù)；(3)證明見解析.

【解析】

(1)當。=1時，/(x)=(x+l)ln(x+l)+^+x,求得其導函數(shù)/(x),/(0),/(0),可求得函數(shù)"X)的圖象在

x=0處的切線方程；

(2)由已知得〃(x)=/(x)-e'-x=(x+4)ln(x+〃)(x>-a),得出導函數(shù)〃(x)=ln(x+o)+l,并得出導函數(shù)取

得正負的區(qū)間，可得出函數(shù)的單調(diào)性；

(3)當。=0時，h(x)=x\nxt”(x)=lnx+l,由(2)得/?(x)的單調(diào)區(qū)間，以當方程以幻=〃，有兩個不相等的

實數(shù)根中毛，不妨設X<工2,且有。<玉<?。?lt;WV1，-一<根<0,構造函數(shù)〃(x)=〃(x)一人工一0<x<-J,

分析其導函數(shù)的正負得出函數(shù)的單調(diào)性，得出其最值，所證的不等式可得證.

【詳解】

(1)當a=l時，/(x)=(x+1)ln(x+1)+er+x,

所以/(x)=ln(x+l)+l+ex+l=ln(x+l)+er+2,/(0)=3,/(0)=1,

所以函數(shù)。x)的圖象在工=0處的切線方程為曠一1=3(1一0),即3x-y+l=0；

(2)由已知得力(冗)=f(x)-ex-x=(x+a)ln(x+a)(x>-a),hl(x)=ln(x+a)+1,令/f(x)=O,得工=—a,

e

所以當-a<x<——。時，h(x)<0,當x>-一。時，hr(x)>0,

ee

所以〃(X)在一〃上是減函數(shù)，在［：-〃,+8上是增函數(shù)；

(3)當。=0時，h(x)=x\nxf^(x)=lnx+l,由(2)得力(x)在(0,11上單調(diào)遞減，在(L+s］單調(diào)遞增，

keJJ

所以〃(x)之力>且x―>0時,力(x)f0,當x—>+oo時，h(x)+oo%(1)=0,

所以當方程4")=〃7有兩個不相等的實數(shù)根再也，不妨設王<“，，且有0<%<!」<占<1，--<^<0,

eee

構造函數(shù)〃(x)=Mx)-〃E-x

則”'(x)=2+lnx

.?.H(x)在[0《)上單調(diào)遞減，且“(￡|=0,/.H(x)>ofo<x<!

1(2)(2]121/

由0<%〈一，H(%])=/?(%))-/?—x,>0,A(X1)=/Z(X2)>/Z——x],vx2>-,——在

+8)上單調(diào)遞增，

22

二.甚>——xpX1+%2ln(x,+x2)>ln2-l.

所以ln(x4-x2)>ln2-l.

【點睛】

本題考查運用導函數(shù)求函數(shù)在某點的切線方程，討論函數(shù)的單調(diào)性，以及證明不等式，關鍵在于構造適當?shù)暮瘮?shù)，得

出其導函數(shù)的正負，得出所構造的函數(shù)的單調(diào)性，屬于難度題.

21.(I)〃=2*=應

(II)證明見解析.

【解析】

由/—〃與6=@，得/=%2，

C2

耳一,6(等>"Q?1的方程為x=6a?

設M(衣z,yj,N(&a,%)，

‘3&

則-----a,八，&N

2

由4M?6"=0得

3