28.2.1解直角三角形（劉佳）一、教學(xué)目標(biāo)1．核心素養(yǎng):通過(guò)解直角三角形的學(xué)習(xí)，初步形成基本的運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用意識(shí).2．學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）1.1.1在實(shí)際問(wèn)題中體會(huì)解直角三角形的方法；（2）1.1.2掌握直角三角形各元素間的關(guān)系，理解解直角三角形的含義；（3）1.1.3會(huì)解直角三角形，并能運(yùn)用其解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.3．學(xué)習(xí)重點(diǎn)解直角三角形．4．學(xué)習(xí)難點(diǎn)三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運(yùn)用．二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1．預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1閱讀教材P72-P73，思考：什么是解直角三角形？如何解直角三角形？任務(wù)2閱讀教材P72-P73，思考：如何解直角三角形？2．預(yù)習(xí)自測(cè)一、選擇題1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最適宜的做法是（）A．計(jì)算tanA的值求出B．計(jì)算sinA的值求出C．計(jì)算cosA的值求出D．先根據(jù)sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出答案：C解析：因?yàn)锳C＝3是∠A的鄰邊，AB＝4是∠A的斜邊，所以計(jì)算cosA的值求出∠A.故選C.2．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則cosA的值是（）A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案：D解析：在Rt△ABC中，cosA=.故選D.二、解答題3.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，c＝10，解這個(gè)直角三角形．答案：見(jiàn)解析解析：設(shè)b=,在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,所以∠A＝45°，所以a=b=，據(jù)勾股定理，所以a=b=.（二）課堂設(shè)計(jì)1．知識(shí)回顧（1）銳角三角函數(shù)：在Rt△ABC中，∠C=90°，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別記為a、b、c，若∠C=90°，則，cosA＝＝，tanA＝＝.（2）勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（3）直角三角形兩銳角互余.（4）含30°角的直角三角形的三邊比為；含45°角的直角三角形的三邊比為.（5）30°、45°、60°角的三角函數(shù)值：，，，，，，，，.2．問(wèn)題探究問(wèn)題探究一已知直角三角形中的兩個(gè)元素能求出其他元素嗎？重點(diǎn)知識(shí)★ ●活動(dòng)一創(chuàng)設(shè)情境，引入新知問(wèn)題：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角一般要滿足，如圖現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)6m的梯子，問(wèn)：(1)使用這個(gè)梯子最高可以安全攀上多高的墻(精確到0.1m)

(2)當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，梯子與地面所成的角等于多少(精確到1o)？

這時(shí)人是否能夠安全使用這個(gè)梯子

？分析：對(duì)于問(wèn)題（1），當(dāng)梯子與地面所成的角為時(shí)，梯子頂端與地面的距離是使用這個(gè)梯子所能攀到的最大高度.問(wèn)題（1）可以歸結(jié)為：在Rt△ABC中，已知∠A=，斜邊AB=6，求∠A的對(duì)邊BC的長(zhǎng).對(duì)于問(wèn)題（2），當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，求梯子與地面所成的角的問(wèn)題，可以歸結(jié)為：在Rt△ABC中，已知AC=2.4，斜邊AB=6，求銳角的度數(shù).詳解：（1）由得，.由計(jì)算器求得，所以.因此使用這個(gè)梯子能夠安全攀到墻面的最大高度約是5.8m.（2）由于，利用計(jì)算器求得.因此當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，梯子與地面所成的角大約是.由可知，這時(shí)使用這個(gè)梯子是安全的.●活動(dòng)二探究思考，理論提升思考：在上面問(wèn)題的Rt△ABC中，（1）根據(jù)∠A=，斜邊AB=6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？（2）根據(jù)AC=2.4，斜邊AB=6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？結(jié)論：可以，過(guò)程略.問(wèn)題探究二什么是解直角三角形？依據(jù)是什么？重點(diǎn)知識(shí)★ ●活動(dòng)一解直角三角形1．一般地，我們把三角形的三個(gè)角∠A，∠B，∠C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素，即三角形共有六個(gè)元素.2.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程，就是解直角三角形.3.在直角三角形中，除直角外共有5個(gè)元素，即3條邊和2個(gè)銳角，如果已知兩個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊），就可以求出其余的三個(gè)元素.即解直角三角形滿足“知二推三”. ●活動(dòng)二直角三角形各元素間的關(guān)系直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B這五個(gè)元素間有哪些等量關(guān)系呢？（1）三邊之間的關(guān)系

a2+b2=c2(勾股定理)（2）兩銳角之間的關(guān)系∠A+∠B=90°．（3）邊角之間的關(guān)系，；，；，.以上三點(diǎn)就是解直角三角形的依據(jù)．問(wèn)題探究三怎樣解直角三角形？重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲ ●活動(dòng)一應(yīng)用新知，鞏固練習(xí)例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=，，，解這個(gè)直角三角形.【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形】詳解：，...點(diǎn)撥：已知兩邊，用三角函數(shù)求出一角是突破口.例2：如圖，在Rt△ABC中，，，解這個(gè)直角三角形（精確到0.1）【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形】詳解：.，.，.點(diǎn)撥：已知一邊一角，用三角函數(shù)求出第二條邊是突破口.另外，解直角三角形的方法很多，在做題中要善于比較歸納、靈活處理.●活動(dòng)二應(yīng)用新知，回顧引言

我們一起來(lái)解決關(guān)于比薩斜塔傾斜的問(wèn)題.例3：如圖，始建于1350年的意大利比薩斜塔落成時(shí)就已經(jīng)傾斜.1972年比薩發(fā)生地震，這座高54.5m的斜塔大幅度搖擺22分之后，仍巍然屹立.可是，塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離已由落成時(shí)的2.1m增加至5.2m，而且還以每年傾斜1cm的速度繼續(xù)增加，隨時(shí)都有倒塌的危險(xiǎn).為此，意大利當(dāng)局從1990年起對(duì)斜塔進(jìn)行維修糾偏，2001年竣工，使塔頂中心點(diǎn)偏離垂直中心線的距離比糾偏前減少了43.8cm.根據(jù)上面的信息，你能用“塔身中心線偏離垂直中心線的角度”來(lái)描述比薩斜塔的傾斜程度嗎？【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】詳解：先看1972年的情形：設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為A，過(guò)B點(diǎn)向垂直中心線引垂線，垂足為C.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．sinA=≈0.0954．所以∠A≈5°28′．類似地，可以求出2001年糾偏后塔身中心線與垂直中心線的夾角.●活動(dòng)三常見(jiàn)類型，歸納提升當(dāng)圖形中沒(méi)有需要的直角三角形時(shí)，常常通過(guò)添加輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形.例1：如圖，在△ABC中，已知BC＝1＋eq\r(3)，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的長(zhǎng)．【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】詳解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D.設(shè)BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝x·tan60°＝eq\r(3)x.在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°－∠C＝45°.∴∠C＝∠CAD.∴CD＝AD＝eq\r(3)x.∵BC＝1＋eq\r(3)，∴eq\r(3)x＋x＝1＋eq\r(3).解得x＝1，即BD＝1.在Rt△ABD中，∵cosB＝eq\f(BD,AB)，∴AB＝eq\f(BD,cosB)＝eq\f(1,cos60°)＝2.點(diǎn)撥：無(wú)直角的三角形常常作高，作高一般不破壞特殊角.例2．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四邊形ABCD的面積．【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】詳解：如圖，延長(zhǎng)BC，AD交于點(diǎn)E.∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°.在Rt△ABE中，BE＝eq\f(AB,tanE)＝eq\f(2,tan30°)＝2eq\r(3)，在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2.∴DE＝EC·cos30°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).∴S四邊形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD＝eq\f(1,2)AB·BE－eq\f(1,2)CD·ED＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)－eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(3\r(3),2).點(diǎn)撥：有直角、無(wú)三角形的圖形常常延長(zhǎng)某些邊.本題看似是四邊形問(wèn)題，但注意到∠B＝90°，∠A＝60°，不難想到延長(zhǎng)BC，AD，構(gòu)造出直角三角形，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決．例3：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DC⊥AC，sin∠BCD＝eq\f(1,3)，求tanA的值．【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】詳解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝DB.又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，∴△ACD≌△BED，∴CD＝DE，AC＝BE.在Rt△CBE中，sin∠BCE＝eq\f(BE,BC)＝eq\f(1,3)，∴BC＝3BE.∴CE＝eq\r(BC2－BE2)＝2eq\r(2)BE.∴CD＝eq\f(1,2)CE＝eq\r(2)BE＝eq\r(2)AC.∴tanA＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(\r(2)AC,AC)＝eq\r(2).點(diǎn)撥：有三角函數(shù)值不能直接利用時(shí)常常作垂線構(gòu)造直角三角形，把所要求的量與已知量建立關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例4．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝eq\f(1,2)∠BAC，求tan∠BPC的值．【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】詳解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵AB＝AC＝5，∴BE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×8＝4，∠BAE＝eq\f(1,2)∠BAC.∵∠BPC＝eq\f(1,2)∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE.在Rt△BAE中，由勾股定理得 AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(52－42)＝3， ∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝eq\f(BE,AE)＝eq\f(4,3).點(diǎn)撥：求角的三角函數(shù)值，若角不在直角三角形中、也不好構(gòu)造直角三角形時(shí)，可以嘗試將角轉(zhuǎn)化到容易構(gòu)造直角三角形的位置求解.3．課堂總結(jié)【知識(shí)梳理】（1）直角三角形各元素間的關(guān)系：三邊關(guān)系------勾股定理；角的關(guān)系-----兩銳角互余；邊角關(guān)系----銳角三角函數(shù).（2）解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程，就是解直角三角形.（3）解直角三角形的一般方法 【重難點(diǎn)突破】（1）熟練掌握直角三角形邊的關(guān)系、角的關(guān)系、邊角關(guān)系是解直角三角形的關(guān)鍵.（2）在做題過(guò)程中，抓住三角函數(shù)這一工具來(lái)求解，往往是簡(jiǎn)單可行的辦法.4．隨堂檢測(cè)一、選擇題1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(4,5)，AC＝6cm，則BC的長(zhǎng)為（）A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm答案：C解析：因?yàn)閟inA＝eq\f(4,5)，AC＝6cm，所以AB=10，所以BC的長(zhǎng)為8cm.故選C.【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】2.如果等腰三角形的底角為30°，腰長(zhǎng)為6cm，那么這個(gè)三角形的面積為（）A．4.5cm2B．9eq\r(3)cm2C．18eq\r(3)cm2D．36cm2答案：B解析：設(shè)頂點(diǎn)為A，過(guò)A作BC的垂線，垂足是D，在Rt△ABD中，AD為30度所對(duì)邊，所以AD長(zhǎng)為3cm，即高為3cm.由三角函數(shù)或勾股定理得BD為3eq\r(3)，所以底邊為6eq\r(3)，根據(jù)S＝0.5底高＝9eq\r(3)，故選B.【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形，三角形的面積公式，等腰三角形的性質(zhì)；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】二、填空題3.如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，AB=10，∠A=30°，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_____.答案：5解析：直徑所對(duì)的圓周角是直角，直角三角形中30o所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，因此∠C=90o，而∠A=30o,AB=10，所以BC=AB/2=5.【知識(shí)點(diǎn)：解直角三角形，直徑所對(duì)的圓周角是直角；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20eq\r(2)，則∠A＝_________，∠B＝_________，b＝_________.答案：45°、45°、20解析：cos∠B=，所以∠B＝4