名師課件24.1.4圓周角

第一課時(shí)

知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)（1）在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的

相等，所對(duì)的

也相等．（2）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的

角相等，所對(duì)的

相等；（3）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的

角相等，所對(duì)的

相等．弧弦

圓心弦

圓心

優(yōu)（劣）弧

活動(dòng)1重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲探究一：圓周角定義，圓周角和圓心角關(guān)系以舊引新在這個(gè)海洋館里，人們可以通過(guò)其中的圓弧形玻璃窗

觀看窗內(nèi)的海洋動(dòng)物．知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)活動(dòng)1重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲探究一：圓周角定義，圓周角和圓心角關(guān)系問(wèn)題1：如圖：同學(xué)甲站在圓心O的位置，同學(xué)乙站在正對(duì)著玻璃窗的靠墻的位置C，他們的視角(∠AOB和∠ACB)有什么關(guān)系？以舊引新定義：頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓相交的角，是圓周角。問(wèn)題2：如果同學(xué)丙、丁分別站在其他靠墻的位置D和E，他們的視角(∠ADB和∠AEB)和同學(xué)乙的視角相同嗎？與甲同學(xué)的視角(∠AOB)相同嗎？知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)活動(dòng)2重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲探究一：圓周角定義，圓周角和圓心角關(guān)系大膽猜想，探究新知問(wèn)題1：同弧（弧AB）所對(duì)的圓心角∠AOB與圓周角∠ACB的大小關(guān)系是怎樣的？問(wèn)題2：同?。ɑB）所對(duì)的圓周角∠ACB與圓周角∠ADB的大小關(guān)系是怎樣的？方法一：度量法分別量一下圖中

所對(duì)的圓周角，圓心角度數(shù)，即∠ADB,∠ACB,∠AOB.比較一下你有什么發(fā)現(xiàn)？同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)差不多一樣，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半.知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)活動(dòng)2重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲探究一：圓周角定義，圓周角和圓心角關(guān)系大膽猜想，探究新知方法二：

幾何證明法在⊙O任取一個(gè)圓周角∠BAC,將圓對(duì)折，使折痕經(jīng)過(guò)圓心O和∠BAC的頂點(diǎn)A，由于點(diǎn)A的位置的取法可能不同，這時(shí)折痕可能會(huì)：在圓周角的一條邊上；在圓周角的內(nèi)部；在圓周角的外部。知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)活動(dòng)2重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲探究一：圓周角定義，圓周角和圓心角關(guān)系大膽猜想，探究新知（1）種情況證明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO.又∠BOC=∠A+∠ACO，∴∠BOC=2∠A，即∠A=∠BOC.（2）種情況證明：∵OA=OC=OB，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA.又∠BOC=2(∠OAB+∠OAC)，∴∠BOC=2∠BAC.知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)活動(dòng)2重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲探究一：圓周角定義，圓周角和圓心角關(guān)系大膽猜想，探究新知（3）種情況證明：∵OA=OC=OB，∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠OCA.∴∠BOD=2∠BAD，∠COD=2∠CAD.∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC.定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該弧或等弧所對(duì)圓心角度數(shù)的一半.還可以得到：同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，則它們的弧也相等.知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)活動(dòng)難點(diǎn)知識(shí)▲探究二:直徑所對(duì)的圓周角大膽猜想，探究新知半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是多少度呢？90°如圖，已知BC為⊙O直徑，∠BAC為圓周角，求證：∠BAC=90°.結(jié)論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。證明：∵∠BOC=2∠BAC=180°,∴∠BAC=90°知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)活動(dòng)1探究三:圓周角的性質(zhì)定理的應(yīng)用基礎(chǔ)性例題例1.如圖，⊙O的半徑為6，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，且∠ACB=45°，則弦AB的長(zhǎng)是

．解：連接OA，OB，∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，則AB=【思路點(diǎn)撥】連接OA，OB，可以證得△AOB是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解．知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)【解題過(guò)程】知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)探究三:圓周角的性質(zhì)定理的應(yīng)用練習(xí)1：如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，則∠BCD的大小是（）A．18° B．36° C．54° D．72°解：∵AB是直徑，AB⊥CD，∴.∴∠CAB=∠BAD=36°，∵∠BCD=∠BAD，∴∠BCD=36°.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂徑定理推出

，推出∠CAB=∠BAD=36°，再由∠BCD=∠BAD即可解決問(wèn)題．【解題過(guò)程】B知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)探究三:圓周角的性質(zhì)定理的應(yīng)用解：∵∠BOD與∠BCD為

所對(duì)的圓心角和圓周角，∴∠BOD=2∠BCD=64°，∵AB為直徑，∴AC⊥BC，又∵OD⊥BC，∴AC∥OD，∴∠BAC=∠BOD=64°.例2.如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC為弦，過(guò)圓心O作OD⊥BC交弧BC于點(diǎn)D，連接DC，若∠DCB=32°，則∠BAC=

．【思路點(diǎn)撥】由圓周角定理可知，∠BOD=2∠BCD=64°，由AB為直徑可知，AC⊥BC，又OD⊥BC，可知AC∥OD，利用平行線的性質(zhì)可求∠BAC．64°【解題過(guò)程】知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)探究三:圓周角的性質(zhì)定理的應(yīng)用練習(xí)2：如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD=30°，則∠A的度數(shù)為

.60°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得∠BCD=90°，然后由直角三角形的兩個(gè)銳角互余、同弧所對(duì)的圓周角相等求得∠A=∠D=60°．解：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），∵∠CBD=30°，∴∠D=60°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余），∴∠A=∠D=60°（同弧所對(duì)的圓周角相等）.【解題過(guò)程】【思路點(diǎn)撥】由于三角形的外心的位置可能在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的外部．知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)活動(dòng)2探究三:圓周角的性質(zhì)定理的應(yīng)用提升型例題例3.已知點(diǎn)O為△ABC的外心，且∠BOC=80°，則∠BAC=

．解：①當(dāng)點(diǎn)O在三角形的內(nèi)部時(shí)，則∠BAC=∠BOC=40°；40°或140°②當(dāng)點(diǎn)O在三角形的外部時(shí)，則∠BAC=（360°﹣80°）=140°.【解題過(guò)程】知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)探究三:圓周角的性質(zhì)定理的應(yīng)用解：連結(jié)AD，如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=55°，∴∠A=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠A=35°．練習(xí)3：如圖,若AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的弦,∠ABD=55°，則∠BCD的度數(shù)為

．【思路點(diǎn)撥】連結(jié)AD,由AB是⊙O的直徑得到∠ADB=90°,再根據(jù)互余計(jì)算出∠A的度數(shù),然后根據(jù)圓周角定理即可得到∠C的度數(shù).35°【解題過(guò)程】探究三:圓周角的性質(zhì)定理的應(yīng)用解：∵∠ABC=45°，∴∠AOC=90°，∵OA=OC=R，∴R2+R2=，解得R=.例4.如圖,在⊙O中，弦AC=,點(diǎn)B是圓上一點(diǎn),且∠ABC=45°,則⊙O的半徑R=

．【思路點(diǎn)撥】通過(guò)∠ABC=45°，可得出∠AOC=90°，根據(jù)OA=OC就可以結(jié)合勾股定理求出AC的長(zhǎng)了．知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)【解題過(guò)程】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到∠ADB=90°，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得∠B=65°，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等進(jìn)行求解．探究三:圓周角的性質(zhì)定理的應(yīng)用練習(xí)4：已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D，C在⊙O上，連接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD=25°，那么∠C的度數(shù)是（）A．75°B．65° C．60°D．50°B解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．又∠BAD=25°，∴∠B=65°．∴∠C=65°．知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)【解題過(guò)程】解：∵四邊形ABMO是圓內(nèi)接四邊形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°，∵AB是⊙C的直徑，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°﹣∠BAO=90°﹣60°=30°，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），∴OA=3，∴

AB=2OA=6，∴⊙C的半徑長(zhǎng)==3．活動(dòng)3探究三:圓周角的性質(zhì)定理的應(yīng)用探究型例題例5.如圖,⊙C過(guò)原點(diǎn),且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,3）,M是第三象限內(nèi)⊙C上一點(diǎn),∠BMO=120°,則⊙C的半徑長(zhǎng)為

．知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)3【解題過(guò)程】活動(dòng)3探究三:圓周角的性質(zhì)定理的應(yīng)用探究型例題【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠OAB的度數(shù)，由圓周角定理可知∠AOB=90°，故可得出∠ABO的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論．知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)例5.如圖,⊙C過(guò)原點(diǎn),且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,3）,M是第三象限內(nèi)⊙C上一點(diǎn),∠BMO=120°,則⊙C的半徑長(zhǎng)為

．3練習(xí)5：如圖，正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，點(diǎn)P是在弧AB上的一點(diǎn)，則∠CPD的度數(shù)是（）A．35°B．40° C．45°D．60°探究三:圓周角的性質(zhì)定理的應(yīng)用C【思路點(diǎn)撥】連AC,由四邊形ABCD為正方形,得到∠CAD=45°,由∠CPD=∠CAD=45°．解：連接AC，如圖，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠CAD=45°，又∵∠CPD=∠CAD=45°．知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)【解題過(guò)程】例6.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥BC于D，若AC∶BC=4∶3，AB=10cm，則OD的長(zhǎng)為

cm．解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°.又∵AC∶BC=4∶3，∴設(shè)AC=4x，則BC=3x，（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，則AC=8cm，BC=6cm．∵OD⊥BC于D，∴BD=CD.又∵OA=OB∴OD=AC=×8=4cm．探究三:圓周角的性質(zhì)定理的應(yīng)用知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)4【解題過(guò)程】探究三:圓周角的性質(zhì)定理的應(yīng)用【思路點(diǎn)撥】根據(jù)AB是直徑可以得到△ABC是直角三角形，依據(jù)勾股定理即可求得AC的長(zhǎng)，然后根據(jù)垂徑定理證得D是BC的中點(diǎn)，則OD是△ABC的中位線，依據(jù)三角形的中位線定理即可求解．知識(shí)回顧問(wèn)題探究課堂小結(jié)隨堂檢測(cè)例6.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥BC于D，若AC∶BC=4