試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)模擬試卷一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B．2 C． D．3．探究冪函數(shù)當(dāng)時的性質(zhì)，若該函數(shù)在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（

）A．2 B．3 C． D．-14．一個圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個半徑為1的半圓，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．5．一艘輪船從地出發(fā)，先沿東北方向航行15海里后到達(dá)地，然后從地出發(fā)，沿北偏西方向航行10海里后到達(dá)地，則地與地之間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．15海里6．若將牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鮮花放入3個不同的房間中，每個房間放2盆花，其中牡丹、郁金香必須放入同一房間，則不同的放法共有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．54種7．已知向量，，則“”是“和的夾角是銳角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件8．已知正四棱錐各頂點都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為4，體積為，則該球表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．某高中為增強(qiáng)學(xué)生的海洋國防意識，組織本校1000名學(xué)生參加了“逐夢深藍(lán)，山河榮耀”的國防知識競賽，從中隨機(jī)抽取200名學(xué)生的競賽成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．頻率分布直方圖中的值為0.005B．估計這200名學(xué)生競賽成績的第60百分位數(shù)為80C．估計這200名學(xué)生競賽成績的眾數(shù)為78D．估計總體中成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為15010．關(guān)于的展開式，下列結(jié)論正確的是（

）A．所有項的二項式系數(shù)和為64 B．所有項的系數(shù)和為0C．常數(shù)項為 D．系數(shù)最大的項為第3項11．泰戈爾說過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓．已知點，直線，動點到點的距離是點到直線的距離的．若某直線上存在這樣的點，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”．則下列結(jié)論中正確的是（

）A．點的軌跡方程是B．直線是“最遠(yuǎn)距離直線”C．點的軌跡與圓沒有交點D．平面上有一點，則的最小值為三、填空題12．雙曲線的一條漸近線上的點關(guān)于另一條漸近線的對稱點恰為右焦點F，則雙曲線C的離心率為.13．激活函數(shù)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的重要組成部分，是一種添加到人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的函數(shù)．函數(shù)是常用的激活函數(shù)之一，其解析式為，則曲線的切線的斜率的取值范圍為．14．如圖是飛行棋部分棋盤，飛機(jī)的初始位置為0號格，拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若拋出的點數(shù)為1，2，飛機(jī)向前移一格；若拋出的點數(shù)為3，4，5，6，飛機(jī)向前移兩格．直到飛機(jī)移到第（且）格（失敗集中營）或第格（勝利大本營）時，游戲結(jié)束．則飛機(jī)移到第3格的概率為，游戲勝利的概率為．四、解答題15．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)證明：為等腰三角形．(2)若D是邊BC的中點，，求的面積．16．已知曲線上的點到的距離比它到直線的距離少.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點，直線與交于兩點，若的面積為，求的值.17．如圖所示，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，是等邊三角形，為線段的中點，．(1)求證：平面平面；(2)若為線段上的一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．18．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性(2)當(dāng)時，證明：；(3)若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.19．給定正整數(shù)，設(shè)數(shù)列是的一個排列，對，表示以為首項的遞增子列的最大長度，表示以為首項的遞減子列的最大長度.(1)若，，，，，求和；(2)求證：，；(3)求的最小值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)模擬試卷四參考答案1．A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，再根據(jù)并集的定義計算可得.【詳解】因為，又，所以.故選：A2．C【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算即可得解.【詳解】，則，所以.故選：C.3．B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】由題意可得且為奇數(shù)，所以.故選：B.4．A【分析】根據(jù)圓錐底面圓周長等于側(cè)面展開圖的弧長，求得底面圓半徑，根據(jù)勾股定理求出圓錐的高，結(jié)合圓錐體積公式計算即可求解.【詳解】母線長為1，設(shè)底面圓半徑為，則，∴，∴，故圓錐的體積為，故選：A.5．A【分析】由題意可求得，利用余弦定理可得，可求得.【詳解】在中，由題意可知海里，海里，.

由余弦定理可得，則海里.故選：A.6．A【分析】先求將玫瑰、月季、山茶、芙蓉盆鮮花均分為2組的方法數(shù)，再求將3組鮮花分配到個房間的方法數(shù)，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)論.【詳解】先分組，已知牡丹、郁金香必須放入同一房間為一組則剩下四盆花有組，再將3組鮮花分配到3個不同的房間中，共有種排法，由分步乘法計數(shù)原理可得不同的放法數(shù)為．故選：A.7．B【分析】根據(jù)兩向量夾角為銳角得到不等式，求出且，結(jié)合包含關(guān)系得到答案.【詳解】和的夾角是銳角，則且和不同向共線，故且，解得且，由推不出且，故充分性不成立，由且推得出，故必要性成立，所以是和的夾角是銳角的必要不充分條件.故選：B8．B【分析】根據(jù)體積可求正四棱錐的高，再結(jié)合外接球球心的性質(zhì)可求其半徑，故可求外接球的表面積.【詳解】如圖，設(shè)在底面的射影為，則平面，且為的交點.因為正四棱錐底面邊長為4，故底面正方形的面積可為，且，故，故.由正四棱錐的對稱性可知在直線上，設(shè)外接球的半徑為，則，故，故，故正四棱錐的外接球的表面積為，故選：B.9．ABD【分析】先根據(jù)頻率之和為1可得，進(jìn)而可得每組的頻率，再結(jié)合統(tǒng)計相關(guān)知識逐項分析判斷.【詳解】對于A，由，得，A正確；對于B，由頻率分布直方圖知，每組的頻率依次為.前三組的頻率和為，因此這200名學(xué)生競賽成績的第60百分位數(shù)為80，B正確；對于C，成績在的頻率最大，因此這200名學(xué)生競賽成績的眾數(shù)為75，C錯誤；對于D，總體中成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，D正確.故選：ABD10．ABC【分析】原二項式可以化為，再根據(jù)二項式展開式的性質(zhì)求解即可.【詳解】，可得二項式的系數(shù)和為，故A正確；令得所有項的系數(shù)和為0，故B正確；常數(shù)項，故C正確；由，系數(shù)為，最大為或，為第3項或第5項，故D錯誤.故選：.11．AC【分析】對A：設(shè)出，結(jié)合題意計算即可得；對B、C：聯(lián)立兩方程，借助判斷有無交點即可得；對D：借助題目定義，將轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，從而得到，計算出的最小值即可得.【詳解】對于A，設(shè)，則有，整理可得，故點的軌跡方程是，故A正確；對于B，聯(lián)立直線與點的軌跡方程，有，可得，，故直線與點的軌跡方程沒有交點，則直線不是“最遠(yuǎn)距離直線”，故B錯誤；對于C，聯(lián)立圓與點的軌跡方程，有，可得，，故點的軌跡與圓沒有交點，故C正確；對于D，過點作直線于點，由題意可得，故，則當(dāng)、、三點共線，即直線時，有，故的最小值為，故D錯誤.故選：AC..【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題中D選項的判斷需要注意結(jié)合題目所給定義，將轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，從而得到.12．2【分析】由點在漸近線上可求得，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)計算離心率即可.【詳解】由點在雙曲線的一條漸近線上，可得，記坐標(biāo)原點為，則，即．因為，所以，故雙曲線的離心率為．故答案為：213．【分析】求導(dǎo)可得，利用基本不等式計算即可求解.【詳解】，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，所以．故答案為：．14．，，且.【分析】記飛機(jī)移動到第格的概率為，由題意可得，再根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的通項，即可得解.【詳解】記飛機(jī)移動到第格的概率為，則，，即，所以數(shù)列是常數(shù)列，所以，即，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，所以，所以，因為第格只能由第格跳到，，所以游戲勝利的概率.故答案為：；，，且【點睛】關(guān)鍵點點睛：記飛機(jī)移動到第格的概率為，由題意可得，是解決本題的關(guān)鍵.15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理的推論進(jìn)行計算可得，證明等腰三角形；（2）利用余弦定理推論求得，再計算三角形的面積；【詳解】（1）證明：因為由正弦定理得因為，由余弦定理得，代入化簡可得所以為等腰三角形。（2）由題可知因為D是邊BC的中點，，在和中，利用余弦定理的推論得代入，可得由得則的面積16．(1)(2)或【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義直接求解；(2)利用韋達(dá)定理和弦長公式求出，再利用點到直線的距離公式求出三角形的高，進(jìn)而表示三角形面積，即可求解.【詳解】（1）由條件可知：曲線上的點到點的距離與到的距離相等，所以曲線的軌跡為拋物線，設(shè)方程為，由拋物線的定義可得，所以拋物線C的方程為；（2）把代入方程，可得，設(shè)，，聯(lián)立方程組消去y可得，由，解得，又知，，所以，由到直線l的距離為，所以，即，，解得或，經(jīng)檢驗均滿足，所以m的值為或17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線線垂直可得平面，進(jìn)而可證平面平面；（2）過作，垂足為，【詳解】（1）因為為等邊三角形，為線段的中點，所以，又，因為四邊形為直角梯形，，所以是平面上的兩條相交直線，所以平面，平面，所以平面平面；（2）因為四邊形為直角梯形，，，所以，過作，垂足為，由，得，所以，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，解得，即.18．(1)答案見解析(2)證明見解析(3)3【分析】（1）求導(dǎo)后，分和兩類進(jìn)行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間的方法即可求解（2）由題意，將代入函數(shù)解析式中，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而即可求解；（3）構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于的不等式恒成立，分別討論當(dāng)和這兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）（i）當(dāng)時，在上為單調(diào)遞增（ii）當(dāng)時，，解得：在為單調(diào)遞增，解得：在為單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時，在上為單調(diào)遞增；當(dāng)時，在為單調(diào)遞增，在為單調(diào)遞減.（2）證明：當(dāng)時，，函數(shù)定義域為，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值也是最大值，最大值，則，又，所以；（3）若關(guān)于的不等式恒成立，不妨設(shè)，函數(shù)定義域為，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，此時關(guān)于的不等式不成立；當(dāng)時，因為，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，不妨設(shè)，函數(shù)定義域為，可得，所以函數(shù)單調(diào)遞減，又，，所以當(dāng)時，，故整數(shù)的最小值為3．19．(1)，(2)證明見解析(3)當(dāng)為偶數(shù)時，的最小值是；當(dāng)為奇數(shù)時，的最小值是.【分析】（1）直接根據(jù)定義求解；（2）分情況討論證明，故可推知和不能同時為零，進(jìn)而得到結(jié)論；（3）對的奇偶性分情況討論，并利用小問2得到的結(jié)果即可.【詳解】（1）以為首項的最長遞增子列是，以為首項的最長遞減子列是和.所以，.（2）對，由于是的一個排列，故.若，則每個以為首項的遞增子列都可以在前面加一個，得到一個以為首項的更長的遞增子列，所以；而每個以為首項的遞減子列都不包含，且，故可將替換為，得到一個長度相同的遞減子列，所以.這意味著；若，同理有，，故.總之有，從而和不能同時為零，故.（3）根據(jù)小問2的證明過程知和不能同時為零，故.情況一：當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，則一方面有；另一方面，考慮這樣一個數(shù)列：，.則對，有，.故此時.結(jié)合以上兩方面，知的最小值是.情況二：當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，則一方面有；另一方面，考慮這樣一個數(shù)列：，.則對，有，.故此時.結(jié)合以上兩方面，知的最小值是.綜上，當(dāng)為偶數(shù)時，的最小值是；當(dāng)為奇數(shù)時，的最小值是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求最小（或最大）值的本質(zhì)在于，先證明所求的表達(dá)式一定不小于（或不大于）某個數(shù)，再說明該表達(dá)式在某種情況下能取到，就得到了