黃石市重點中學高三第四次模擬考試新高考數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義在上的函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，且關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍（）．A． B． C． D．3．用數(shù)學歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A．k2+1C．k2+14．已知集合，集合，若，則（）A． B． C． D．5．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于，兩點，且，，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．6．若單位向量，夾角為，，且，則實數(shù)（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－17．定義域為R的偶函數(shù)滿足任意，有，且當時，.若函數(shù)至少有三個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù),則方程的實數(shù)根的個數(shù)是（）A． B． C． D．9．若，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．設(shè)函數(shù)，當時，，則（）A． B． C．1 D．11．一袋中裝有個紅球和個黑球（除顏色外無區(qū)別），任取球，記其中黑球數(shù)為，則為（）A． B． C． D．12．某校為提高新入聘教師的教學水平，實行“老帶新”的師徒結(jié)對指導(dǎo)形式，要求每位老教師都有徒弟，每位新教師都有一位老教師指導(dǎo)，現(xiàn)選出3位老教師負責指導(dǎo)5位新入聘教師，則不同的師徒結(jié)對方式共有（）種.A．360 B．240 C．150 D．120二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M入第二次燒制，再次燒制過程相互獨立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5、0.6、0.4，經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6、0.5、0.75；則第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為________；經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的件數(shù)為，則隨機變量的期望為________.14．設(shè)α、β為互不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出下列四個命題：①若m∥n，則m∥α；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；③若α∥β，m?α，n?β，則m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n?α，m⊥n，則n⊥β；其中正確命題的序號為_____．15．已知雙曲線()的左右焦點分別為，為坐標原點，點為雙曲線右支上一點，若，，則雙曲線的離心率的取值范圍為_____.16．（5分）國家禁毒辦于2019年11月5日至12月15日在全國青少年毒品預(yù)防教育數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)平臺上開展2019年全國青少年禁毒知識答題活動，活動期間進入答題專區(qū)，點擊“開始答題”按鈕后，系統(tǒng)自動生成20道題.已知某校高二年級有甲、乙、丙、丁、戊五位同學在這次活動中答對的題數(shù)分別是，則這五位同學答對題數(shù)的方差是____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）用表示中較大者，記函數(shù).若函數(shù)在上恰有2個零點，求實數(shù)a的取值范圍.18．（12分）為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設(shè)同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員，并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機抽取10天的數(shù)據(jù)，整理如下：甲公司員工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司員工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費情況如下：甲公司規(guī)定每件0.65元，乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）為了解乙公司員工每天所得勞務(wù)費的情況，從這10天中隨機抽取1天，他所得的勞務(wù)費記為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學期望；（3）根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費.19．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若函數(shù)的最小值為，求的最小值.20．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在上恒成立，求的取值范圍．21．（12分）已知動圓過定點，且與直線相切，動圓圓心的軌跡為，過作斜率為的直線與交于兩點，過分別作的切線，兩切線的交點為，直線與交于兩點．（1）證明：點始終在直線上且；（2）求四邊形的面積的最小值．22．（10分）如圖，在四邊形中，，，.（1）求的長；（2）若的面積為6，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先判斷函數(shù)在時的單調(diào)性，可以判斷出函數(shù)是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可以得到，比較三個數(shù)的大小，然后根據(jù)函數(shù)在時的單調(diào)性，比較出三個數(shù)的大小.【詳解】當時，，函數(shù)在時，是增函數(shù).因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以有，因為，函數(shù)在時，是增函數(shù)，所以，故本題選D.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小問題，判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.2、B【解析】

根據(jù)條件可知方程有且只有一個實根等價于函數(shù)的圖象與直線只有一個交點，作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可．【詳解】解：因為條件等價于函數(shù)的圖象與直線只有一個交點，作出圖象如圖，由圖可知，，故選：B．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

首先分析題目求用數(shù)學歸納法證明1+1+3+…+n1=n4【詳解】當n=k時，等式左端=1+1+…+k1，當n=k+1時，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了項（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故選：C．【點睛】本題主要考查數(shù)學歸納法，屬于中檔題./4、A【解析】

根據(jù)或，驗證交集后求得的值.【詳解】因為，所以或.當時，，不符合題意，當時，.故選A.【點睛】本小題主要考查集合的交集概念及運算，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)表示出線段長度，由勾股定理，解出每條線段的長度，再由勾股定理構(gòu)造出關(guān)系，求出離心率.【詳解】設(shè)，則由橢圓的定義，可以得到,在中，有，解得在中，有整理得，故選C項.【點睛】本題考查幾何法求橢圓離心率，是求橢圓離心率的一個常用方法，通過幾何關(guān)系，構(gòu)造出關(guān)系，得到離心率.屬于中檔題.6、D【解析】

利用向量模的運算列方程，結(jié)合向量數(shù)量積的運算，求得實數(shù)的值.【詳解】由于，所以，即，，即，解得或.故選：D【點睛】本小題主要考查向量模的運算，考查向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

由題意可得的周期為，當時，，令，則的圖像和的圖像至少有個交點，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)，求得的取值范圍.【詳解】是定義域為R的偶函數(shù)，滿足任意，，令，又，為周期為的偶函數(shù)，當時，，當，當，作出圖像，如下圖所示：函數(shù)至少有三個零點，則的圖像和的圖像至少有個交點，，若，的圖像和的圖像只有1個交點，不合題意，所以，的圖像和的圖像至少有個交點，則有，即，.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題過程中用到了數(shù)形結(jié)合方法，這也是高考?？嫉臒狳c問題，屬于中檔題.8、D【解析】

畫出函數(shù),將方程看作交點個數(shù)，運用圖象判斷根的個數(shù)．【詳解】畫出函數(shù)令有兩解，則分別有3個，2個解，故方程的實數(shù)根的個數(shù)是3+2=5個故選：D【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運用，分類思想的運用，數(shù)學結(jié)合的思想判斷方程的根，難度較大，屬于中檔題．9、A【解析】

本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過特取的值，推出矛盾，確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查.【詳解】當時，，則當時，有，解得，充分性成立；當時，滿足，但此時，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.【點睛】易出現(xiàn)的錯誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過特取的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.10、A【解析】

由降冪公式，兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值．【詳解】，時，，，∴，由題意，∴．故選：A．【點睛】本題考查二倍角公式，考查兩角和的正弦公式，考查正弦函數(shù)性質(zhì)，掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11、A【解析】

由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，進而可求得隨機變量的數(shù)學期望值.【詳解】由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，則，，，.因此，隨機變量的數(shù)學期望為.故選：A.【點睛】本題考查隨機變量數(shù)學期望的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

可分成兩類，一類是3個新教師與一個老教師結(jié)對，其他一新一老結(jié)對，第二類兩個老教師各帶兩個新教師，一個老教師帶一個新教師，分別計算后相加即可．【詳解】分成兩類，一類是3個新教師與同一個老教師結(jié)對，有種結(jié)對結(jié)對方式，第二類兩個老教師各帶兩個新教師，有．∴共有結(jié)對方式60＋90＝150種．故選：C．【點睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用．解題關(guān)鍵確定怎樣完成新老教師結(jié)對這個事情，是先分類還是先分步，確定方法后再計數(shù)．本題中有一個平均分組問題．計數(shù)時容易出錯．兩組中每組中人數(shù)都是2，因此方法數(shù)為．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.380.9【解析】

考慮恰有一件的三種情況直接計算得到概率，隨機變量的可能取值為，計算得到概率，再計算數(shù)學期望得到答案.【詳解】第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率為：.甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率分別為：，，.故隨機變量的可能取值為，故；；；.故.故答案為：0.38；0.9.【點睛】本題考查了概率的計算，數(shù)學期望，意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力.14、④【解析】

根據(jù)直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系依次判斷每個選項得到答案.【詳解】對于①，當m∥n時，由直線與平面平行的定義和判定定理，不能得出m∥α，①錯誤；對于②，當m?α，n?α，且m∥β，n∥β時，由兩平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②錯誤；對于③，當α∥β，且m?α，n?β時，由兩平面平行的性質(zhì)定理，不能得出m∥n，③錯誤；對于④，當α⊥β，且α∩β＝m，n?α，m⊥n時，由兩平面垂直的性質(zhì)定理，能夠得出n⊥β，④正確；綜上知，正確命題的序號是④．故答案為：④．【點睛】本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學生的空間想象能力和推斷能力.15、【解析】

法一:根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得，，,又由雙曲線的定義得,將離心率表示成關(guān)于的式子,再令，則，令對函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)在上單調(diào)性，可求得離心率的范圍.法二：令，，，，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得，將離心率表示成關(guān)于角的三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的恒等變化轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，可求得離心率的范圍.【詳解】法一:，，，,，,設(shè)，則，令，所以時，，在上單調(diào)遞增，，，.法二：，，令，，，，，，，，，.故答案為：.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率的范圍的問題，關(guān)鍵在于將已知條件轉(zhuǎn)化為與雙曲線的有關(guān)，從而將離心率表示關(guān)于某個量的函數(shù)，屬于中檔題.16、2【解析】

由這五位同學答對的題數(shù)分別是，得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則方差．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）由題可得,結(jié)合的范圍判斷的正負,即可求解；（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的零點的判定定理,分類討論進行求解【詳解】（1）,①當時,,∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；②當時,令,解得或,當或時,,則單調(diào)遞增,當時,,則單調(diào)遞減,∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為（2）（Ⅰ）當時,所以在上無零點；（Ⅱ）當時,,①若,即,則是的一個零點；②若,即,則不是的零點（Ⅲ）當時,,所以此時只需考慮函數(shù)在上零點的情況,因為,所以①當時,在上單調(diào)遞增。又，所以（?。┊敃r,在上無零點；（ⅱ）當時,,又,所以此時在上恰有一個零點；②當時,令,得,由,得；由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因為,,所以此時在上恰有一個零點,綜上,【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,考查利用導(dǎo)數(shù)處理零點個數(shù)問題,考查運算能力,考查分類討論思想18、（1）平均數(shù)為360，眾數(shù)為330；（2）見詳解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）【解析】

（1）將圖中甲公司員工A的所有數(shù)據(jù)相加，再除以總的天數(shù)10，即可求出甲公司員工A投遞快遞件數(shù)的平均數(shù)．從中發(fā)現(xiàn)330出現(xiàn)的次數(shù)最多，故為眾數(shù)；（2）由題意能求出的可能取值為340，360，370，420，440，分別求出相對應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學期望；（3）利用（1）（2）的結(jié)果，可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費．【詳解】解：（1）由題意知甲公司員工在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)為.眾數(shù)為330.（2）設(shè)乙公司員工1天的投遞件數(shù)為隨機變量，則當時，當時，當時，當時，當時，的分布列為204219228273291（元）；（3）由（1）估計甲公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費為(元)由（2）估計乙公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費為(元).【點睛】本題考查頻率分布表的應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）用分類討論思想去掉絕對值符號后可解不等式；（2）由（1）得的最小值為4，則由，代換后用基本不等式可得最小值．【詳解】解：（1）討論：當時，，即，此時無解；當時，；當時，.所求不等式的解集為（2）分析知，函數(shù)的最小值為4，當且僅當時等號成立.的最小值為4.【點睛】本題考查解絕對值不等式，考查用基本不等式求最小值．解絕對值不等式的方法是分類討論思想．20、（1）；（2）【解析】

（1）,對函數(shù)求導(dǎo),分別求出和,即可求出在點處的切線方程;（2）對求導(dǎo),分、和三種情況討論的單調(diào)性,再結(jié)合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】（1）因為,所以,所以,則,故曲線在點處的切線方程為.（2）因為,所以,①當時,在上恒成立,則在上單調(diào)遞增,從而成立,故符合題意;②當時,令,解得,即在