高等數(shù)學(xué)公式

導(dǎo)數(shù)公式:

(tgx)'=sec2x(arcsinx)=,

Vl-x2

f2

(ctgx)=-escX1

(secx)r=secx-tgx(arcCOST)'=——/,

A/1—x,2

(cscx)f=-cscx-ctgx1

(arctgx)-,

(axy=ax\nal+x~

/、，1

(log/)'-,(arcctgx)=2

ax'

基本積分表：

j-ln|cosx|+C-"—=fsec2xdx=tgx+C

cosx」

=sinx+Cdx

2

JsecMx=ln|secx+吆X+Csinx

xdx=secx-^-C

cscxdx=ln|cscx-c/gx|+C

dxdx=-cscx-^-C

-arctg-+C

a2+x2aa,ax

cixdx-----FC

dx1a0+CIn。

22-

X-a2ashxdx=chx+C

dx1a+x「

In—+c

22~chxdx=shx+C

a-x2aa-x

dxA:ln(x+Vx2±a2)+C

=arcsin—+C

7a2-X2a

7171

55

I-\sin/xdx=jcos,xdx-F

n1n-2

o0n

____________2______

JJ%)+十2dx——d%2+十2H——ln(x+J%)+十2)+C

,____________、，(____________2,_________

j_〃2dx=(一。2---InX+J/_〃2_|_c

2

2a1.x-

jJ/dx=^&2—xH---arcsin—I-C

2a

三角函數(shù)的有理式積分：

,2it1—“2X72du

sinx=----不,cos%=----yM=”,dx=----7

1+〃1+〃l+〃2

一些初等函數(shù):兩個(gè)重要極限:

「sinx、

雙曲正弦:shx=---------lim-----二1

2

雙曲余弦:而J+e'lim(1+_)==2.718281828459045...

X—>00%

雙曲正切:"穴=也=交

chxex+e~x

arshx=ln(x+Vx2+1)

archx=±]s\{x+\x1-1)

1+x

arthx=-ln

21-x

三角函數(shù)公式:

■誘導(dǎo)公式：

sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

■和差角公式：■和差化積公式：

..n、.a+/3a-B

sin(cr±=sinacos/?±cosasinPsincr+sinp=2sin-------cos-------

22

cos@±jB)~cosacosA干sinasin0

.'o今a+0.a-P

sina-sinp=2cos-----sin......-

tg(a±B);詈里叫22

l+tga-tg/3ca+/3a-0

cosa+coso/=2cos-----cos......-

、ctact

/(/a±,0c'86,8p+122

ctgp±ctgacosa-cos尸=2sina+^-sin—~~—

22

?倍角公式:

sin2。=2sincrcoscr

cos2a=2cos2cif-l=l-2sin26r=cos2a-sin%sin3a=3sina—4sin3a

ctg2a-lcos3a=4cos%—3cosa

ctgla=

2ctga/3a=3/gaTg%

2tgag1-3/g2a

tgla=

1—tg2a

?半角公式:

cos—=±

2

smaa1+cosa_1+cosasma

ctg—

1+cosa1-costzsincr1-coscr

正弦定理：

?-^—=-^=^—=2R■余弦定理：c2=tz2+b2-2abcosC

sinAsinBsinC

71

?反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=----arccosxarctgx=--arcctgx

高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式:

（UV嚴(yán)=N（2：尸）儼）

k=Q

(n)

〃(〃T)M(L2)M，+…()

uv+nu^v'++?(?-1)-"(?-^+1)un-kvw+…+UVM

2!k\

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：

拉格朗日中值定理:/（勿-八a）=/8出-a）

柯西中值定理瑞募

當(dāng)F（x）=x時(shí)，柯西中值定理就是立格朗日中值定理c

曲率:

弧微分公式：ds=個(gè)1+y?辦;，其中了=次。

平均曲率灰=四入&:從M點(diǎn)到點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；As：MM弧長。

As

da

M點(diǎn)的曲率：Klim---

Asf。Asds

直線：K=0;

半徑為a的圓：K=—.

a

定積分的近似計(jì)算:

2A-a

矩形法：J/(%)?—^―(y0+%+…+)

a

梯形法:J/(x)+y“)+%+…+

a

bh—n

拋物線法：Jy(x)y^^[(%+%)+2(為+%+…+%一2)+4(%+%+…+)1

定積分應(yīng)用相關(guān)公式:

功：W=Fs

水壓力：F=p-A

引力：F=k少牛,k為弓、力系數(shù)

r

_1b

函數(shù)的平均值：y=----ff(x)dx

baJ

-a

均方根:,/⑺力

b—a°j

空間解析幾何和向量代數(shù):

空間2點(diǎn)的距離：d=\M,M2\=J(%—女為+遇―為了+4―zj2

向量在軸上的投影Pr/“I3=|叫＜050，9是工謾1/軸的夾角。

Pr(吊+%)=Pr為+Prja2

a-b=同田.BcosS=〃也+%%+%么,是一個(gè)數(shù)量

ah+。也

兩向量之間的夾角cos。=AAYyyzz

+。；+〃「2?5+%2+62

,zYxyz

j

，同=同?麻抽。.例:v=ivxr.

c=axb=aaya線速度：

bbb.

y

aaya

向量的混合積伍位]=0xB)]二bbyb二,x斗同COS%。為銳角時(shí),

cy

代表平行六面體的體積

平面的方程：

1、點(diǎn)法式：A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中力={A,3,C},叫/與，%/。)

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0

3、截距世方程)+上+三=1

abc

平面外任意一點(diǎn)到該邛面的距離：d」AXo+5%+Czo+q

^A2+B2+C2

x=+mt

空間直線的方程二^=匕九==￡，其中8={私〃,閉;參數(shù)方程Jy=%+nt

mnp

[z=Zo+p%

二次曲面：

222

1、橢球面:+與+-=1

a1b2c2

22

2、拋物面二+二=z,(p,q同號)

2p2q

3、雙曲面：

222

單葉雙曲面二+4-彳=1

abc

222

雙葉雙曲面二-2+彳=1(馬鞍面)

abc

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

人，3八7SZ7&777

3￡例(勿：dz——dx-\--dydu——dxH--3U-d]yH-O-U-d.z

dxdydxdydz

全微分的近似計(jì)算：=九(兀y)Ax+fy(x,y)^y

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

dz_dzSM+dzdv

dtdudtdvdt

dzdu+dzdv

z=f[u(x,y),v(x,y)]—

oxdudxdvdx

當(dāng)〃=〃(九,v=v(x,y)時(shí)，

7dudu.dv.dv.

du——d7xH---dy7dv——dxH---dy

dxdydxdy

隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:

隱函數(shù)F(x,y)=0,@=-蟲,整±_Zk±_ZL),女

1=()+(

dxFydxdxFydyFydx

隱函BF(x,y,z)=0,-分7=-^F,dz_F),

dxFz石=一反

dFdF

F(x,y,u,v)=0j_0(￡G)_QQFF

隱函數(shù)方程組uvuv

=0

G(x,y,u,v)dM一迎迎GuGv

dudv

1

-d(F,G)d(F,G)

-J-a-v

5(x,v)5(M,X)

1

ax加

---d(F,G)e(F,G)

J一

d(y,v)辦S(U,y)

微分法在幾何上的應(yīng)用:

x=(p(fy

x—/_y—%_z—z。

空間曲y=步⑺在點(diǎn)M（Xo，yo，Zo）處的切線方程:

9,(to)U?o)

z=0。）

在點(diǎn)M處的法平面方程：狀依）（%-/）+什'優(yōu)）（y-%）+0'仇）（z-Z。）=o

%F:FzFxFx4

若空間曲線方程為則切向量了={)

G

G(x,y,z)=0yG「G|GX'GxG,

曲面R（x,y,z）=0上一點(diǎn)般（西）,%/。），則:

1、過此點(diǎn)的法向量：h={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}

2、過此點(diǎn)的切平面方程Fx(xo,yo,zoXx-xo)+Fy(xo,yo,zoXy-yo)+Fz(xo,yo,zoXz-zo)=O

3、過此點(diǎn)的法線方程：°—=——=—二一

Fx(x0,y0,z0)Fv(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

方向?qū)?shù)與梯度:

函數(shù)z=f（x,y）在一點(diǎn)p（x,y）沿任一方向/的方向?qū)?shù)為3=gcos9+gsin°

cloxoy

其中°為x軸到方向/的轉(zhuǎn)角。

函數(shù)z=f（x,y）在一點(diǎn)Mx,y）的梯度：gradf（x,y）=^T+^-J

oxdy

它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是更=grad/（x,y>。，其中0=cos9?：+sin9。，為/方向上的

cl

單位向量。

g是gra"（x,y）在/上的投影。

dl

多元函數(shù)的極值及其求法：

期（%，%）=%（/，%）=0,令：九（九0，%）=4啟（尤0，%）=8,fyy（x0,y0）=C

AC-B2〉o時(shí)尸<°G。，為）?，及

[A〉0,（與,%）為極小值

貝|J：{AC—§2<0時(shí)，無極值

AC—32=0時(shí)，不確定

重積分及其應(yīng)用:

JJ/(%，y)dxdy=jj于(rcos?,rsinB)rdrdB

DD'

&Y

曲面z=/(x,y)的面積A=Jjdxdy

DSy,

JJxp{x,y)d(j

M、JJWXQ)加

平面薄片的重心：元=也D

'Mjjp(x,y)dcr

MJJ河x,y)db'

DD

平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于x軸/、.=jjy2p（x,y）d<j,對于y軸/y=JJx2P（x,y）db

DD

平面薄片（位于0y平面）對z軸上質(zhì)點(diǎn)般（0,0,a）,（a〉0）的引力：F={Fx,Fy,Fz},其中:

F川夕(x,y)xdcr4=川「(星》\

F:=-何［夕3)"\

D222D22222222

(x+y+ay(x+y+47)D(x+y+a)

柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo):

rcos0

柱面坐標(biāo)廣y=rsin3,BIy,z)dxdydz=jjjF(r,9,z)vdrdOdz,

z=zQQ

其中:尸(r,6,z)=/(rcos6/sine,z)

x=rsin^cos^

球面坐標(biāo)不y=rsm(psm3,dv=rd(p-rsm(p-dd'dr=r2sin(pdrd(pdO

z=rcGS(p

2乃7ir(@f)

JJJ/(x,y,z)dxdydz=JJjR(”,e)/sin眼汨幽6=^d6^d(pjF{r,(p,0}r'sm(pdr

C。000

重心:元J]卜源”廣：吸4””和族“其中河--jjjpd?

Q

22=)]}(/+>2)*

轉(zhuǎn)動慣量：/*=JJJ(y2+z2)〃y,Iy=jjj(x+z)>ot/v,丫

QQQ

曲線積分:

第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：

設(shè)/（x,y）在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為=°⑺，（￡</<〃），則:

3=〃?）

P_____________________x-t

J/(x,y)ds=jf[(p(t),y/(t)]yl(p'\t)+w'2(t)dt(a<0)特殊情況

Lay=。⑺

第二類曲線積分(對坐示的曲線積分)：

設(shè)L的參數(shù)方程為[“=9"),則：

、y=w(t)

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=j{P[°⑺，什⑺助⑺+。即⑺⑺}力

La

兩類曲線積分之間的^^/Pdx+Qdy=J(Pcosa+Qcos夕)ds,其中a和夕分別為

LL

L上積分起止點(diǎn)處切向量向方向角。

號)2:陰+。時(shí)各林公式,黑—爭/…陰+四

格林公式：|

當(dāng)尸=一丁,。=羽即:一變=2時(shí)，得至亞)的面積：A=ffdxdy=—^xdy-ydx

-dxdy2JL

?平面上曲線積分與路彳疣關(guān)的條件：

1、G是一個(gè)單連通區(qū)域；

2、P(x,y),。(羽y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且孚=當(dāng)。注意奇點(diǎn)，如：0,0),應(yīng)

oxdy

減去對此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！

?二元函數(shù)的全微分求積

在孚=半時(shí)，Pdx+Qdy才是二元函數(shù)w(x,y)的全微分，其中：

oxdy

(%,y)

w(x,y)=jP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常設(shè)Y。=%=。。

(%o，%)

曲面積分：

對面積的曲面積分Jj/(%,y,z)ds=JJ力x,y,z(羽y)]Jl+z；(羽y)+zj(%,y)dxdy

IDXy

對坐標(biāo)的曲面積分JjP(x,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+7?(x,z)dxdy,其中：

JJR(x,y,z)dxdy=±jjR[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上側(cè)時(shí)取正號；

2Dxy

JJP(x,y,z)dydz=±JJ尸[九(y,z),y,z]dydz,取曲面的前側(cè)時(shí)取正號；

sDyz

JJ2(.^,z)dzdx=±jjQ[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右側(cè)時(shí)取正號。

i%

兩類曲面積分之間的：JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=^(Pcosa+Qcos，+Rcosy)ds

ZX

高斯公式:

IK("+Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=用(Pcosa+Qcos0+7?cos7)4/5

嵋dxdydz

高斯公式的物理意義——通量與散度：

散度：divy=—+^+—,BP：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若divDvO,則為消失…

dxdydz

通量:jjH?而ds=Ands=jj(Pcosa+Qcos尸+Rcosy)ds,

因此，高斯公式又可寫成:m'divAdv=^Ands

斯托克斯公式一——曲線積分與曲面積分的關(guān)系：

rc.dRdQ.,,.8PdR、】〔.dQ

11(----------)dydz+(----------)dzdx+(------^-)dxdy=JPdx+Qdy+Rdz

?dydzdzdxdx

dydi:dzdxdxdycosacos夕cos/

ddd_rr5dd

上式左端又可寫成g

ydxdydz7dxdydz

PQRPQR

空間曲線積分與路徑標(biāo)的條件您=(3。dP_dRdQ_8P

，一，一

dydzdzdxdxdy

ijk

ddd

旋度：rotA=

dxdydz

PQR

向量場區(qū)沿有向閉曲線T的環(huán)流量，Pdx+Qdy+Hdz=1ds

rr

常數(shù)項(xiàng)級數(shù)：

等比數(shù)歹U1+4+/+…+4"T="

"q

等差數(shù)列1+2+3+…+〃=如叨

2

調(diào)和級數(shù)1+工+工+…+!是發(fā)散的

23n

級數(shù)審斂法:

1、正項(xiàng)級數(shù)的審斂法——根植審斂法(柯西組別法)：

"夕＜1時(shí)，級數(shù)收斂

設(shè)：夕=limW7，則“〉1時(shí)，級數(shù)發(fā)散

00

夕=1時(shí)，不確定

2、比值審斂法:

「＜1時(shí)，級數(shù)收斂

設(shè)：±L

p=^m^,則＜P〉1時(shí)，級數(shù)發(fā)散

n—>ooTJ

n夕=1時(shí)，不確定

3、定義法：

s“=%+〃2+…+〃“；山ns”存在，則收斂；否則制攵。

n—＞℃

父錯(cuò)級數(shù)-"2+”3-“4(或-%"3＞0)的審斂法來布尼茲定理:

%2%

如果交錯(cuò)級數(shù)滿足,那么級數(shù)收斂且其和〈仆其余項(xiàng)今的絕對值

lim=0：

、〃一>00

絕對收斂與條件收斂：

⑴M]+M2HH,其中為任意實(shí)數(shù)；

(2)|Wj|+|w2|+|w31+?.?+|w?|+???

如果(2)收斂，則⑴肯定收斂，且稱為絕對攵斂級數(shù);

如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱⑴為條件收斂級數(shù)。

調(diào)和級數(shù)》,發(fā)散，而Z平收斂；

級數(shù)》3收斂；

n

1/PG時(shí)發(fā)散

"級數(shù)"J1時(shí)收斂

幕級數(shù):

1+…2+..7+…卜E時(shí)’收斂于士

\|x|>1時(shí)，發(fā)散

對于級數(shù)(3)即+4%+生必+…+/x"+…，如果它不是僅在原點(diǎn)I攵斂，也不是在全

/|x|<R時(shí)收斂

數(shù)軸上都收斂，則必存生凡使j|x|〉R時(shí)發(fā)散其中R稱為收斂半徑。

\|x|=R時(shí)不定

/夕w0時(shí)，R=—

求收斂半徑的方法：設(shè)而口=夕，其中%,是⑶的系數(shù)，貝j夕=0時(shí)，7?=+oo

〃一>8(1\

"\p=+00時(shí)，R=0

函數(shù)展開成幕級數(shù):

2

函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：/(%)=/(x0)(x-x0)+^-^^-(x-x0)+??.+——也」(九一九0)"+…

2!〃！

余項(xiàng)：Rn=￡23a-Xo)"+i"(x)可以展開成泰勒級數(shù)微要條件是而11M=0

(n+1)!00

為=0時(shí)即為麥克勞林公式：/(x)=/(0)+/(O)x+E3/+…+亡?x"+…

2!nl

一些函數(shù)展開成幕級數(shù)：

(1+X)J1+〃7X+殛曰/+...+幽上包32〃+…(-1<^<1)

2!n!

35X2n-i

sinx=x-—+-----+(-1尸--------1-…(-00<x<+oo)

3!5!(2n-l)!

歐拉公式:

e+e

cosx=-------

/V??2

e=cosx+zsinx或

.eix-e-ix

sinx=-------

2

三角級數(shù):

00a白

/⑺=4+24sin(〃碗+%)=」+Z(〃〃cos%x+asinnx)

n=l2n=l

其中，/二叫，an=Ansm(pn,2=4cos外,o)t=x。

正交性：l,sin%,cosx,sin2x,cos2九?,?sin〃x,cos〃元…任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積4[-肛4]

上的積分=0。

傅立葉級數(shù):

co

/(%)=寸+2(6周期=2萬

cosnx+bnsinnx),

,n=l

[71

〃八二一J/(x)cosnxJx(〃=0,1,2…)

其中-7t

]兀

么=一Jf{x}smnxdx(〃=1,2,3…)

—n

才

+…='2（相力口）

6

兀2

H--=---（相減）

n=1,2,3---/(x)=Zdsin〃A是奇函數(shù)

正弦級數(shù)：an=0,=—jf(x)smwcdx

7to

“=0,1,2…/(x)=T+WXcos〃x是偶函數(shù)

余弦級數(shù)：bn=0,an=—jf(x)cosnxdx