PAGE1PAGE壓軸題05新定義類壓軸題01函數(shù)中的新定義壓軸題新定義問題解題思路：所有新定義的問題，首先都是要理解新定義所具有的性質(zhì)；因?yàn)轭}目中第1問都會(huì)直接考察學(xué)生對定義的理解，直白的理解，直白的應(yīng)用新定義的性質(zhì)就好；其次要看新定義所結(jié)合的考點(diǎn)，找出新定義的性質(zhì)同結(jié)合考點(diǎn)的性質(zhì)間的異同點(diǎn)，遷移應(yīng)用；最后再將新定義與所結(jié)合的考點(diǎn)聯(lián)合，合并應(yīng)用。1．（2023?諸暨市模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：點(diǎn)A到x軸、y軸距離的較大值，稱為點(diǎn)A的“長距”，當(dāng)點(diǎn)P的“長距”等于點(diǎn)Q的“長距”時(shí)，稱P，Q兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，若P（﹣1，4），Q（k+3，4k﹣3）兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，則k的值為．2．（2023?紹興）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實(shí)線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形OABC，則b＝．3．（2023?婺城區(qū)一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，直線x＝m與某函數(shù)圖象交點(diǎn)記為點(diǎn)P，作該函數(shù)圖象中，點(diǎn)P及點(diǎn)P右側(cè)部分關(guān)于直線x＝m的軸對稱圖形，與原函數(shù)圖象上的點(diǎn)P及點(diǎn)P右側(cè)部分共同構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)的圖象，稱這個(gè)新函數(shù)為原函數(shù)關(guān)于直線x＝m的“迭代函數(shù)“．例如：圖1是函數(shù)y＝x+1的圖象，則它關(guān)于直線x＝0的“迭代函數(shù)“的圖象如圖2所示，可以得出它的“迭代函數(shù)“的解析式為y＝．（1）寫出函數(shù)y＝x+1關(guān)于直線x＝1的“迭代函數(shù)“的解析式為．（2）若函數(shù)y＝﹣x2+4x+3關(guān)于直線x＝m的“迭代函數(shù)“圖象經(jīng)過（﹣1，0），則m＝．（3）已知正方形ABCD的頂點(diǎn)分別為：A（a，a），B（a，﹣a），C（﹣a，﹣a），D（﹣a，a），其中a＞0．①若函數(shù)y＝關(guān)于直線x＝﹣2的“迭代函數(shù)“的圖象與正方形ABCD有3個(gè)公共點(diǎn)，則a＝；②若a＝6，函數(shù)y＝關(guān)于直線x＝n的“迭代函數(shù)“的圖象與正方形ABCD有4個(gè)公共點(diǎn)，則n的取值范圍為．02四邊形中的新定義壓軸題1．（2023?寧波）定義：有兩個(gè)相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，對角線BD平分∠ADC．求證：四邊形ABCD為鄰等四邊形．（2）如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請畫出所有符合條件的格點(diǎn)D．（3）如圖3，四邊形ABCD是鄰等四邊形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD為鄰等角，連結(jié)AC，過B作BE∥AC交DA的延長線于點(diǎn)E．若AC＝8，DE＝10，求四邊形EBCD的周長．2．（2024?浙江模擬）定義：我們把對角線相等的四邊形叫作偽矩形，對角線的交點(diǎn)稱作偽矩形的中心．（1）①寫出一種你學(xué)過的偽矩形：．②順次連接偽矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是．A．正方形B．矩形C．菱形D．無法確定（2）如圖1，在偽矩形ABCD中，∠BCD＝90°，AC＝3，CD＝2，求BC的長．（3）如圖2，在偽矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝CD，求這個(gè)偽矩形的面積．3．（2024?昆山市一模）我們定義：有一組鄰邊相等且有一組對角互補(bǔ)的凸四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，在BC上任取一點(diǎn)D（B、C除外），連接AD，我們把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則AB與AC重合，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)E．請根據(jù)給出的定義判斷，四邊形ADCE（選擇是或不是）等補(bǔ)四邊形．（2）如圖2，等補(bǔ)四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，若S四邊形ABCD＝8，求BD的長．（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD＝4，求四邊形ABCD面積的最大值．03圓中的新定義壓軸題1．（2023?秀洲區(qū)校級二模）婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他在三角形、四邊形、零和負(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”；（1）若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，則四邊形ABCD是．（填序號(hào)）①矩形②菱形③正方形（2）如圖1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB為弦的⊙O交AC于D，交BC于E，連接DE、AE、BD，AB＝6，，若四邊形ABED是“婆氏四邊形”，求DE的長；（3）如圖2，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD＝180°，①求證：四邊形ABCD是“婆氏四邊形”；②當(dāng)AD+BC＝4時(shí)，求⊙O半徑的最小值．2．（2024?寧波一模）定義，若四邊形的一條對角線平分這個(gè)四邊形的面積，則稱這個(gè)四邊形為倍分四邊形，這條對角線稱為這個(gè)四邊形的倍分線．如圖①，在四邊形ABCD中，若S△ABC＝S△ADC，則四邊形ABCD為倍分四邊形，AC為四邊形ABCD的倍分線．（1）判斷：若是真命題請?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)打√，若是假命題請?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)打×．①平行四邊形是倍分四邊形．②梯形是倍分四邊形．（2）如圖①，倍分四邊形ABCD中，AC是倍分線，若AC⊥AB，AB＝3，AD＝DC＝5，求BC；（3）如圖②，△ABC中BA＝BC，以BC為直徑的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)N、M，已知四邊形BCMN是倍分四邊形．①求sinC；②連結(jié)BM，CN交于點(diǎn)D，取OC中點(diǎn)F，連結(jié)MF交NC于E（如圖③），若OF＝3，求DE．3．（2024?臺(tái)州一模）【概念呈現(xiàn)】在鈍角三角形中，鈍角的度數(shù)恰好是其中一個(gè)銳角的度數(shù)與90度的和，則稱這個(gè)鈍角三角形為和美三角形，這個(gè)銳角叫做和美角．【概念理解】（1）當(dāng)和美三角形是等腰三角形時(shí)，求和美角的度數(shù)．【性質(zhì)探究】（2）如圖1，△ABC是和美三角形，∠B是鈍角，∠A是和美角，求證：【拓展應(yīng)用】（3）如圖2，AB是⊙O的直徑，且AB＝13，點(diǎn)C，D是圓上的兩點(diǎn)，弦CD與AB交于點(diǎn)E，連接AD，BD，△ACE是和美三角形．①當(dāng)BC＝5時(shí)，求AD的長．②當(dāng)△BCD是和美三角形時(shí)，直接寫出的值．1．若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形．有下列結(jié)論：①已知△ABC是比例三角形，AB＝4，BC＝5，那么；②在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，且AD＝BC，∠ABD＝∠C，那么△ABC是比例三角形；③如圖，在四邊形ABCD中，已知AD∥BC，BD平分∠ABC，AB⊥AC，AD⊥CD，那么△ABC是比例三角形；④已知直線與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C（3，0），那么△ABC是比例三角形．其中，正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知n行n列（n≥2）的數(shù)表中，對任意的i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，n，都有aij＝0或1．若當(dāng)ast＝0時(shí)，總有（a1t+a2t+…+ant）+（as1+as2+…+asn）≥n，則稱數(shù)表A為典型表，此時(shí)記表A中所有aij的和記為Sn．（1）若數(shù)表，，其中典型表是；（2）典型表中S5的最小值為．3．對于平面內(nèi)的兩點(diǎn)K、L，作出如下定義：若點(diǎn)Q是點(diǎn)L繞點(diǎn)K旋轉(zhuǎn)所得到的點(diǎn)，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)；若旋轉(zhuǎn)角小于90°，則稱點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)Q是點(diǎn)L關(guān)于點(diǎn)K的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)．（1）已知點(diǎn)A（4，0），在點(diǎn)Q1（0，4），Q2（2，），Q3（﹣2，），Q4（，﹣2）中，是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的是．（2）已知點(diǎn)B（5，0），點(diǎn)C在直線y＝2x+b上，若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．（3）點(diǎn)D是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，D（t，0），E（t﹣3，0），點(diǎn)F（m，n）是以D為圓心，3為半徑的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足n≥0．若直線y＝2x+6上存在點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)E的銳角旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，請直接寫出t的取值范圍．4．對某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果函數(shù)的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)（x﹣m）（x﹣n）≤0時(shí)，（y﹣m）（y﹣n）≤0（m，n為實(shí)數(shù)，且m＜n），我們稱這個(gè)函數(shù)在m→n上是“民主函數(shù)”．比如：函數(shù)y＝﹣x+1在﹣1→2上是“民主函數(shù)”．理由：∵由[x﹣（﹣1）]（x﹣2）≤0，得﹣1≤x≤2．∵x＝1﹣y，∴﹣1≤1﹣y≤2，解得﹣1≤y≤2，∴[y﹣（﹣1）]（y﹣2）≤0，∴是“民主函數(shù)”．（1）反比例函數(shù)是2→3上的“民主函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由；（2）若一次函數(shù)y＝kx+b在m→n上是“民主函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式（可用含m，n的代數(shù)式表示）；（3）若拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0，a+b＞0）在1→3上是“民主函數(shù)”，且在1≤x≤3上的最小值為4a，設(shè)拋物線與直線y＝3交于A，B點(diǎn)，與y軸相交于C點(diǎn)．若△ABC的內(nèi)心為G，外心為M，試求MG的長．5．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，矩形ABCD的頂點(diǎn)A（2，1），B（﹣2，1），D（2，﹣1），等邊△EPQ的頂點(diǎn)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．（Ⅰ）填空：如圖①，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；（Ⅱ）將等邊△EPQ沿水平方向向右平移，得到等邊△E′P′Q′，點(diǎn)E，P，Q的對應(yīng)點(diǎn)分別為E′，P′，Q′，設(shè)EE′＝t，等邊△E′P′Q′與矩形ABCD重疊部分面積記為S．①如圖②，當(dāng)邊E′P′與AB相交于點(diǎn)M，邊E′Q′與CD相交于點(diǎn)N，點(diǎn)E′在點(diǎn)（1，0）的左側(cè)且矩形ABCD與△E′P′Q′重疊部分為五邊形時(shí)，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．6．在平面直角坐標(biāo)系中，對于兩點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2），它們橫坐標(biāo)之差的絕對值與縱坐標(biāo)之差的絕對值之和稱為這兩個(gè)點(diǎn)之間的曼哈頓距離，表示為：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）如果點(diǎn)A（﹣3，2），則原點(diǎn)O與點(diǎn)A的曼哈頓距離d（O，A）＝；（2）函數(shù)y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的圖象如圖1所示，B是圖象上一點(diǎn)，原點(diǎn)O與點(diǎn)B的曼哈頓距離d（O，B）＝3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)C，D分別在x軸和y軸的正半軸上，對于線段CD上任意一點(diǎn)P，都滿足d（O，P）＝3，則直線CD的函數(shù)表達(dá)式為；（4）如圖2，點(diǎn)E（5，3），⊙E的半徑為2，點(diǎn)M在⊙E上，則d（O，M）的最小值為．7．定義：如圖1，AB是⊙O的直徑，若弦CD∥AB，則稱弦CD為⊙O的緯線．（1）如圖1，弦CD是⊙O的緯線，求證：＝；（2）弦CD和弦EF都是半徑為5的⊙O的緯線，CD∥EF，CD＝6，EF＝8，求這兩條緯線之間的距離；（3）如圖2，弦MN和弦PQ是直徑AB兩側(cè)的緯線，連接OM、ON、OP、OQ、PM、QN，⊙O的半徑為r，記四邊形MPQN，△OMN，△OPQ的面積依次為S，S1，S2，若同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件時(shí)，求S的最大值（用含r的式子表示）．①S1+S2＝S；②其中的一條緯線長不超過半徑r．8．定義：若四邊形有一組對角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，