專題4直線方程“對(duì)稱性”綜合應(yīng)用對(duì)稱技巧：假如對(duì)稱軸所在的直線斜率是，即直線是型，可以利用反解對(duì)稱軸法干脆求出對(duì)稱變換式子。其中點(diǎn)是所給點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)（x，y）是所求對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)【題型一】點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱【典例分析】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，﹣2），B（m，n），關(guān)于直線x+2y﹣2＝0對(duì)稱，則m+n的值是（）A．﹣2 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】先利用線段的中點(diǎn)公式求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，再把中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線x+2y﹣2＝0，結(jié)合斜率關(guān)系列方程組，求得，從而求得m+n的值．【詳解】∵A（1，﹣2）和B（m，n）關(guān)于直線x+2y﹣2＝0對(duì)稱，∴線段AB的中點(diǎn)C（，）在直線x+2y﹣2＝0上，∴2+n﹣2＝0．∴m+2n＝7，而（）＝﹣1，得2m﹣n＝4，解方程組，可得m＝3，n＝2，∴m+n＝5.故選：C【提分秘籍】基本規(guī)律點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱：（1）點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱：方程組法，設(shè)對(duì)稱后點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)及垂直斜率列方程組（2）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則有【變式訓(xùn)練】1.（2024·江蘇連云港·高二期中）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程，且，即得解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)則中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，利用對(duì)稱的性質(zhì)得：，且，解得：，，點(diǎn)的坐標(biāo)，故選：D2.（2024·江蘇·高二期中）點(diǎn)(a，b)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)是（

）A．(－a－1，－b－1) B．(－b－1，－a－1)C．(－a，－b) D．(－b，－a)【答案】B【分析】結(jié)合中點(diǎn)和斜率求得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為，則.所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B.3.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用隨意角三角函數(shù)的定義求解即可．【詳解】由題意，則故選：D【題型二】直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【典例分析】（2024·全國(guó)·高二單元測(cè)試）直線ax＋y＋3a－1＝0恒過(guò)定點(diǎn)M，則直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程為（

）A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0【答案】B【分析】先求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)，再設(shè)出與直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求出答案.【詳解】由ax＋y＋3a－1＝0得，由，得，∴M（－3，1）．設(shè)直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程為，∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），∴直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的直線方程為2x＋3y＋12＝0．故選：B．【提分秘籍】基本規(guī)律直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：（1方法一：可以取兩個(gè)點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)求出直線方程）（2）方法二：對(duì)稱直線和原直線是互為平行線，且到點(diǎn)的距離相等，所以可以待定系數(shù)法，利用點(diǎn)到直線距離公式求解（留意會(huì)有增根，增根對(duì)應(yīng)的恰好是原直線方程）【變式訓(xùn)練】1.（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)P（2，3）對(duì)稱的直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題可得和平行，設(shè)出方程，依據(jù)點(diǎn)P到兩直線距離相等即可求出.【詳解】因?yàn)楹完P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則兩直線平行，可設(shè)方程為（），點(diǎn)P到兩直線的距離相等，則，解得或3（舍去），所以直線的方程是.故選：A.2.（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由直線上隨意兩點(diǎn)，求出其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，再求出斜率，進(jìn)而得出所求方程.【詳解】點(diǎn)在直線上，則在所求直線上所求直線的斜率，則所求直線方程為故選：A3.（2024·河北·元氏縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入已知直線即可求得結(jié)果.【詳解】解析：設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，以代換原直線方程中的得，即.故選:D.【題型三】直線關(guān)于直線對(duì)稱【典例分析】（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若兩條平行直線：與：之間的距離是，則直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用兩條直線平行的性質(zhì)求出n,再利用兩條平行直線間的距離求出m，再由平行線間距離即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€：與：，所以，又兩條平行直線：與：之間的距離是，所以解得。即直線：，：，設(shè)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為，則，解得，故所求直線方程為，故選：A【提分秘籍】基本規(guī)律線關(guān)于線對(duì)稱：①求交點(diǎn)； ②已知直線上取一個(gè)特別點(diǎn)，并求其關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；③兩點(diǎn)定線即可.【變式訓(xùn)練】1.（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）直線關(guān)于對(duì)稱直線，直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依據(jù)題意可知直線與直線交于點(diǎn)，求出原點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)B，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線斜率公式和直線的點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，直線與直線交于點(diǎn)，直線過(guò)原點(diǎn)，因?yàn)橹本€與直線l關(guān)于直線對(duì)稱，所以原點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，且直線l過(guò)點(diǎn)A、B，則直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即.故選：C2.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先聯(lián)立方程得，再求得直線的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而依據(jù)題意得所求直線過(guò)點(diǎn)，，進(jìn)而得直線方程.【詳解】解：聯(lián)立方程得，即直線與直線的交點(diǎn)為設(shè)直線的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得所以直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線過(guò)點(diǎn)，所以所求直線方程的斜率為，所以所求直線的方程為，即故選：C3.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出給定直線的斜率及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用對(duì)稱的性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】直線的斜率為，與x軸交于點(diǎn)，直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的斜率為，并且過(guò)點(diǎn)A，由直線的點(diǎn)斜式方程得：，即，所以所求直線的方程為：.故選：D【題型四】圓上兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱【典例分析】（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則ab的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知直線必過(guò)圓心，從而得，再利用基本不等式可求出ab的最大值【詳解】解：由圓的對(duì)稱性可得，直線必過(guò)圓心，所以．所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，故選：B．【提分秘籍】基本規(guī)律則對(duì)稱直線必過(guò)圓心且與兩點(diǎn)所在的弦中垂【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則，的值分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】由題意分析得知直線經(jīng)過(guò)圓心求出b；由直線與直線垂直求出k即可.【詳解】因?yàn)橹本€與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線經(jīng)過(guò)圓心，且直線與直線垂直，所以解得：，故選：A.2.（2024·江西·南昌縣蓮塘第三中學(xué)高二期中）已知，，M，N是圓（是常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，假如M，N兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先依據(jù)圓的對(duì)稱性得直線過(guò)圓心，求得圓的方程，再求圓心到直線的距離，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值是，即可得面積的最大值.【詳解】因?yàn)镸，N是圓（是常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且M，N兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心在直線上，得，解得：，即圓的方程是，直線，圓心到直線的距離，所以圓上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為，所以面積的最大值為.故選：B3.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））假如直線與圓交于、兩點(diǎn)，且、關(guān)于直線對(duì)稱，則直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．【答案】C【解析】由題意推出圓心在直線上，求出，求出圓的半徑與弦心距，利用圓心距、半徑、半弦長(zhǎng)滿意勾股定理，求出弦長(zhǎng).【詳解】因、關(guān)于直線對(duì)稱，故圓心在直線上，.又因?yàn)橹本€與垂直，，，設(shè)圓心，到直線的距離為，，圓的半徑為..故選：.【題型五】圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱【典例分析】（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓（a，b為常數(shù)）與．若圓心與關(guān)于直線對(duì)稱，則圓與的位置關(guān)系為（

）A．內(nèi)含 B．相交 C．相切 D．外離【答案】B【分析】依據(jù)條件求出的圓心，再依據(jù)圓心的距離即可推斷.【詳解】依題意，所以，又，，，，，所以兩個(gè)圓相交；故選：B.【提分秘籍】基本規(guī)律圓關(guān)于線對(duì)稱：圓心對(duì)稱，半徑不變【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓關(guān)于直線l：對(duì)稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可得到方程組，求出、，即可得到圓心坐標(biāo)，從而求出對(duì)稱圓的方程；【詳解】解：圓的圓心為，半徑，設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，即圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的圓心為，半徑，所以對(duì)稱圓的方程為；故選：A2.（2024·浙江·吳興高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓上存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)N在圓上，則r的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程，轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點(diǎn)，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】解：由題意知，圓圓心，半徑，圓圓心，半徑，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為，則，解得，所以圓關(guān)于的對(duì)稱圓，由題意知，圓與圓有公共點(diǎn)，因?yàn)?，所以，解得，故選:D.3.（2024·天津市咸水沽其次中學(xué)高二期中）已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓C2與圓C1關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，則圓C2的方程為（

）A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1【答案】B【解析】本題首先可以設(shè)出圓的圓心，再依據(jù)圓的方程得出它的圓心與半徑，然后通過(guò)圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱得出圓的圓心與半徑，最終得出結(jié)果．【詳解】設(shè)，圓：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(－1，1)，半徑為1．易知點(diǎn)(－1，1)關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，所以，所以圓的圓心為，半徑為1，所以圓的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝1．故選：B．【題型六】函數(shù)和曲線關(guān)于直線對(duì)稱【典例分析】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在函數(shù)y＝f（x）的圖象上取點(diǎn)（x，y），則關(guān)于直線y＝﹣x對(duì)稱點(diǎn)為（﹣y，﹣x），代入y＝2x+a，結(jié)合題目條件可得答案．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x）的圖象與y＝2x+a的圖象關(guān)于直線y＝﹣x對(duì)稱，令f（﹣2m）＝p，f（﹣2n）＝q，則p+q＝2；故（﹣p，2m），（﹣q，2n）在y＝2x+a的圖象上，所以2m＝2﹣p+a，2n＝2﹣q+a，即，兩式相加得m+n＝﹣（p+q）+2a，所以2a＝m+n+p+q＝2024+2＝2024，解得a＝1011，故選：A．【提分秘籍】基本規(guī)律曲線關(guān)于直線對(duì)稱：（1）對(duì)稱軸直線多為特別直線（豎直，或者斜率為），可以特別化處理（2）可以利用函數(shù)點(diǎn)，利用對(duì)稱軸特別性，找尋對(duì)稱點(diǎn)，代入計(jì)算化簡(jiǎn)（3）假如對(duì)稱軸不特別，則轉(zhuǎn)化為“求軌跡題型”【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)隨意的實(shí)數(shù)都有，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得關(guān)于對(duì)稱，即為偶函數(shù)，依據(jù)已知條件賦值可求，可得，所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，計(jì)算化簡(jiǎn)可得所求和．【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由函數(shù)圖象的平移可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，對(duì)隨意的實(shí)數(shù)都有，令可得，所以，，，，即函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，，，．故選：B2.（2024·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二期末（理））設(shè)函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，其中，且.則，滿意（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知函數(shù)圖象上隨意一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，代入利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】解：設(shè)是函數(shù)圖象上隨意一點(diǎn)，則它關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，即，故選：C.3.（2024·湖南·雅禮中學(xué)模擬預(yù)料（理））若曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線是，則的值為（

）A．2 B． C．1 D．不確定【答案】C【分析】本題首先可以在曲線上任取一點(diǎn)，然后設(shè)出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再然后依據(jù)線段中點(diǎn)以及兩條直線相互垂直的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)，最終將點(diǎn)坐標(biāo)帶入中即可得出結(jié)果.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則中點(diǎn)在直線上，即，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，聯(lián)立，解得，，，因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線上，所以，對(duì)一切恒成立，故，，，故選：C.【題型七】光學(xué)性質(zhì)【典例分析】（2024·廣東·廣州市真光中學(xué)高二階段練習(xí)）已知：，，，，，一束光線從點(diǎn)動(dòng)身射到上的點(diǎn)經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到線段上（不含端點(diǎn)）.則斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先作出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，再作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，因?yàn)楣饩€從點(diǎn)動(dòng)身射到上的點(diǎn)經(jīng)反射后，入射光線和反射光線都經(jīng)過(guò)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)，又因?yàn)樵俳?jīng)反射，反射光線經(jīng)過(guò)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，所以只需連接?交與點(diǎn)，連接?分別交為點(diǎn)?，則，之間即為點(diǎn)的變動(dòng)范圍.再求出直線，的斜率即可.【詳解】∵，，，∴直線方程為，直線方程為，如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∵，∴，再作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，連接?交與點(diǎn)，則直線ME方程為，∴，連接?分別交為點(diǎn)?，則直線方程為，直線方程為，∴，.連接，，則，之間即為點(diǎn)的變動(dòng)范圍.∵直線方程為，直線FH的斜率為，∴斜率的范圍為.故選：D.【提分秘籍】基本規(guī)律涉及到最短距離，可以利用“光學(xué)性質(zhì)”：光走的路徑最短，借助對(duì)稱性來(lái)求解【變式訓(xùn)練】1.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線：，：，直線垂直于，，且垂足分別為A，B，若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．8【答案】C【分析】依據(jù)條件設(shè)出直線l3的方程，求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，用m表示出，再借助幾何意義即可計(jì)算得解.【詳解】因直線垂直于，，則設(shè)直線l3的方程為：，由得點(diǎn)，由得點(diǎn)，而，，于是得，而表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與的距離的和，明顯，動(dòng)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)與在直線兩側(cè)，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M是直線與線段EF：的交點(diǎn)，即原點(diǎn)時(shí)取“=”，此時(shí)m=0，從而得取最小值，所以，當(dāng)直線l3方程為：時(shí)，取最小值.故選：C2.（2024·重慶南開(kāi)中學(xué)高二期末）平面直角坐標(biāo)系中，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)為，，，，光線從OA邊上一點(diǎn)沿與x軸成角的方向放射到AB邊上的點(diǎn)，被AB反射到BC上的點(diǎn)，再被BC反射到OC上的點(diǎn)，最終被OC反射到x軸上的點(diǎn)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)光線反射的性質(zhì)，利用解三角形可得坐標(biāo)，再由求解即可.【詳解】由題意，，則,，，，即，，解得.故選：A3.（2024·四川·成都市溫江區(qū)其次中學(xué)校高二期末（理））已知兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A． B．9 C． D．10【答案】C【分析】依據(jù)給定條件求出B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，若關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，∴，解得，∴，連接交直線于點(diǎn)，連接，如圖，在直線上任取點(diǎn)C，連接，明顯，直線垂直平分線段，則有，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)取等號(hào)，∴，故的最小值為.故選：C【題型八】直線綜合【典例分析】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）在中，，，，D是邊上的點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得為直角三角形，則以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸建立直角坐標(biāo)系，依據(jù)直線方程以及點(diǎn)到直線的距離表示出三角形的面積，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求得最值得選項(xiàng).【詳解】解：在中，，，可得為直角三角形，且，則以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．則，，，設(shè)，則直線，即．設(shè)與AD交于點(diǎn)E，則，又因?yàn)橹本€，即．此時(shí)C到直線BE的距離為，所以，到的距高為，則所求面積，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，，故選：A．【變式訓(xùn)練】1.（2024·山東省日照試驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）將一張畫了直角坐標(biāo)系（兩坐標(biāo)軸單位長(zhǎng)度相同）的紙折疊一次，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則（

）A．1 B．2024 C．4043 D．4046【答案】C【分析】設(shè)，，進(jìn)而依據(jù)題意得過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)的直線與直線平行，再依據(jù)斜率公式計(jì)算求解即可.【詳解】解：設(shè)，，則所在直線的斜率為，由題知過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)的直線與直線平行，所以，整理得故選：C2.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知平面上隨意一點(diǎn)，直線，則點(diǎn)P到直線l的距離為；當(dāng)點(diǎn)在函數(shù)圖象上時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離為，請(qǐng)參考該公式求出的最小值為_(kāi)_________．【答案】##【分析】令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線、的距離之和的倍，即可求得最小值．【詳解】令，，∴表示函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離，表示函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離，∴目標(biāo)式幾何意義：半圓上的點(diǎn)到直線、的距離之和的倍，∴最小值為．故答案為：.3.（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)度為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】4【分析】設(shè)點(diǎn)，則，求出點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為要使最短，則需最短，再由兩點(diǎn)的距離公式和二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以要使最短，則需最短，而，又，設(shè)，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)（滿意），取得最小值，最小值為，所以的最小值為4，故答案為：4.分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)，依據(jù)對(duì)稱關(guān)系列出式子即可求解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，則有，解得，，故點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是.故選：B.2.（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入已知直線即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，以代換原直線方程中的得，即.故選：D.3.（2024·吉林·撫松縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）與直線關(guān)于y軸對(duì)稱的直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出已知直線和軸的交點(diǎn)，再求出要求直線的斜率，用斜截式求出要求直線的方程．【詳解】解：直線，即，它與軸的交點(diǎn)為，它關(guān)于軸對(duì)稱的直線的斜率為，故要求直線的方程為，即.故選：C．4.（2024·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）若圓（為圓的半徑）關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知直線過(guò)圓心，由此可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意可知直線過(guò)圓心，所以，，解得.故選：A.5.（2024·陜西渭南·高二期末）若圓與圓C關(guān)于直線對(duì)稱，則圓C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由對(duì)稱性得出的圓C圓心坐標(biāo)，進(jìn)而寫出方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以圓C的方程為即故選：C6.（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的單調(diào)減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得的解析式，代入化簡(jiǎn)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可．【詳解】的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，單調(diào)減區(qū)間為故選：C7.（2024·全國(guó)·高二）已知直線恒過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線上有一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出定點(diǎn)M，作出圖像，求出M關(guān)于直線對(duì)稱后的點(diǎn)，||為的最小值，求出直線的方程，與直線方程聯(lián)立，即可解出P的坐標(biāo)﹒【詳解】直線：，即，令，求得，，可得該直線恒過(guò)點(diǎn)直線：上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故?都在直線：的上方.點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為，則||為的最小值：直線方程為，即.把直線方程和直線：聯(lián)立方程組，求得，可得當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B8.（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線：（），：，若，則與間的距離為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由直線平行的結(jié)論列方程求，再由平行直線的距離公式求兩直線的距離.【詳解】由得，解得，所以直線：，即，所以與間的距離為，故選B．培優(yōu)其次階——實(shí)力提升練1.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)直線方程得到定點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，列出方程組，解之即可.【詳解】直線即，故，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為．則解得．點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：A．2.（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）與直線3x+5=0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為（

）A．3x+4y=0 B．3x+4y+5=0C．+4y=0 D．+4y+5=0【答案】B【分析】關(guān)于軸對(duì)稱的兩直線斜率是相反數(shù)，過(guò)軸上同一點(diǎn)，由此可得．【詳解】直線的斜率是，與軸交點(diǎn)為，因此它關(guān)于軸對(duì)稱的直線方程是，即．故選：B．3.（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對(duì)稱的直線方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【答案】B【分析】結(jié)合兩平行線間的距離公式求得正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)對(duì)稱直線方程為，，解得或（舍去）.所以所求直線方程為.故選：B4.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線y＝kx與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則k，b的值分別為（

）A．k＝2，b＝－1 B．k＝－2，b＝1C．， D．，【答案】A【分析】分析可知過(guò)圓心，且與y＝kx垂直，然后可得.【詳解】由題意可知，直線過(guò)圓心，且直線y＝kx與直線垂直，所以，，解得.故選：A5.（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）已知圓C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圓C2與圓C1關(guān)于直線3x-2y-4=0對(duì)稱，則圓C2的方程是（

）A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25【答案】B【分析】圓C2與圓C1關(guān)于直線對(duì)稱，則圓心與圓心關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，則關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，利用點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱可解出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解：圓C2與圓C1關(guān)于直線3x-2y-4=0對(duì)稱，則圓心與圓心關(guān)于直線對(duì)稱，，關(guān)于直線3x-2y-4=0對(duì)稱的點(diǎn)為，則有解得：，所以，又則圓的方程為(x-5)2＋(y+1)2＝25.故選：B.6.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，由對(duì)稱性的學(xué)問(wèn)可知，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，然后計(jì)算即可得解.【詳解】在函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以.故選：C.7.（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線的斜率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】計(jì)算關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，計(jì)算直線方程為，計(jì)算交點(diǎn)得到斜率.【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，，直線方程為：，，解得，直線的斜率故選：A.8.（2024·河南·漯河中學(xué)高二期中）若函數(shù)的圖象恒經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)在直線（，）上，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出的圖象所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程得關(guān)系，然后由基本不等式求得最小值．【詳解】由題意，所以定點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選：C．培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1.（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，則的值分別為（

）A．1，3 B．， C．-2，0 D．，【答案】B【解析】點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則利用垂直關(guān)系，以及線段的中點(diǎn)在直線上，列式求解.【詳解】，若點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線與直線垂直，直線的斜率是，所以，得.線段的中點(diǎn)在直線上，則，得故選:B2.（2024·全國(guó)·