PAGE1PAGE專題15分類討論思想在五種題型中的應(yīng)用通用的解題思路：題型一、等腰三角形的存在問題分類討論1.假設(shè)結(jié)論成立；2.找點：當(dāng)所給定長未說明是等腰三角形的底還是腰時，需分情況討論，具體方法如下：①當(dāng)定長為腰時，找已知條件上滿足直線的點時，以定長的某一端點為圓心，以定長為半徑畫弧，若所畫弧與坐標軸或拋物有交點且交點不是定長的另一端點時，交點即為所求的點；若所畫弧與坐標軸或拋物線無交點或交點是定長的另一端點時，滿足條件的點不存在；②當(dāng)定長為底邊時，根據(jù)尺規(guī)作圖作出定長的垂直平分線，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線有交點時，那交點即為所求的點，若作出的垂直平分線與坐標軸或拋物線無交點時，滿足條件的點不存在；以上方法即可找出所有符合條件的點.3.計算：在求點坐標時，大多時候利用相似三角形求解，如果圖形中沒有相似三角形，可以通過添加輔線構(gòu)造相似三角形，有時也可利用直角三角形的性質(zhì)進行求解題型二、直角三角形的存在問題分類討論1.設(shè)出所求點的坐標，用變量表示出所求三角形三邊的長的平方的代數(shù)式，如本題，設(shè)點F（1，f），△BCF三邊長為：BF2＝4＋f2，CF2=f2+6f+10，BC=18；2.找點：根據(jù)直角頂點的不確定性，分情況討論：①當(dāng)定長（已知的兩個點連線所成的線段）為直角三角形的直邊時（如本題（4）中的邊BC），分別過定長的某一端點（B和C）做其垂線，與所求點滿足的直線或拋物線（本題是拋物線對稱軸）有交點時，此交點即為符合條件的點；②當(dāng)定長為直角角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與所有點滿足條件的直線或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點.3.計算：把圖形中的點的坐標用含有自變量的代數(shù)式表示出來，從而表示出三角形各邊（表示線段時，注意代數(shù)式的符號），再利用相似三角形得比例線段關(guān)系或利用勾股定理進行計算.題型三、不等式（組）中的分類討論思想分類討論思想在不等式（組）中主要體現(xiàn)在含有字母系數(shù)的一元一次不等式（組）的解法問題，在求其解集時要對字母進行分類討論。對含字母系數(shù)的不等式或不等式組，在求解時一定要注意字母系數(shù)的取值范圍，要進行分類討論。題型四、方程（組）和函數(shù)中的分類討論思想在函數(shù)問題中，分類有兩種情況：一種是對概念進行分類，一種是分情況討論問題，對概念進行分類，是明確概念的一種邏輯方法，有助于對概念的理解與掌握；分情況討論問題，可以幫助我們?nèi)婵疾煲粋€對象，得出可能的結(jié)論，也可以使問題更容易人手，分類思想方法對于中學(xué)生來是比較難掌握的一種數(shù)學(xué)思想方法，在對概念進行分類時，往往把握不住標準，不能堅持用同一個標準進行分類，出現(xiàn)“重"或“漏"的現(xiàn)象，從而容易導(dǎo)致錯誤的發(fā)生題型五、圓中的分類討論思想由于圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，并且具有旋轉(zhuǎn)不變性，因此有不少題目會出現(xiàn)多解問題。這類題目重在考查同學(xué)們對基礎(chǔ)知識的掌握與運用情況，它有利于培養(yǎng)同學(xué)們嚴謹周密的邏輯思維能力。如果解題時考慮不嚴密，理解不透切，形成思維定勢，就會漏解，從而造成錯誤。在圓中解這類問題時，需要利用分類討論思想，在解題時可以多考慮將圓進行折疊或旋轉(zhuǎn)。題型一、等腰三角形的存在問題分類討論1．（2023?廣安）如圖，一次函數(shù)為常數(shù)，的圖象與反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象在第一象限交于點，與軸交于點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．（2）點在軸上，是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標．2．（2023?澄城縣一模）如圖，拋物線與軸交于點、，與軸交于點，直線是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）在對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．3．（2023?婺城區(qū)模擬）在矩形中，，，是上的一點，且，是直線上一點，射線交直線于點，交直線于點，連結(jié)、，直線交直線于點．（1）①當(dāng)點為中點時，求與的長；②求的值．（2）若為等腰三角形時，求滿足條件的的長．4．（2023?濮陽縣模擬）在等腰直角三角形中，，，點為直線上一個動點，繞點將射線逆時針旋轉(zhuǎn)，交直線于點．在圖1中，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，，又，，．請閱讀上述過程，并完成以下問題：（1）得出的依據(jù)是（填序號）．①②③④（2）在以上條件下，如圖2，當(dāng)點在線段的延長線上時，求證：．（3）在等邊三角形中，，點為射線上一個動點，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)交直線于點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)為直角三角形時，請直接寫出的長．5．（2023?武侯區(qū)校級模擬）如圖，在矩形中，，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)度得到線段，過點作的垂線交射線于點，交射線于點．嘗試初探（1）當(dāng)點在延長線上運動時，與始終相等，且與始終相似，請說明理由；深入探究（2）若，隨著線段的旋轉(zhuǎn)，點的位置也隨之發(fā)生變化，當(dāng)時，求的值；拓展延伸（3）連接，當(dāng)為等腰三角形時，求的值（用含的代數(shù)式表示）．6．（2023?虹口區(qū)一模）如圖，在中，，，點、分別在邊、上，滿足．點是延長線上一點，且．（1）當(dāng)點是的中點時，求的值；（2）如果，求的值；（3）如果是等腰三角形，求的長．7．（2023?文成縣一模）如圖，點，分別為矩形邊，上的點，以為直徑作交于點，且與相切，連結(jié)．（1）若，求證：．（2）若，．①求的長．②連結(jié)，若是以為腰的等腰三角形，求所有滿足條件的的長．（3）連結(jié)，若的延長線經(jīng)過點，且，求的值．8．（2023?涪城區(qū)模擬）如圖，已知：在中，，點是邊上的動點，交于，以為直徑的分別交，于點，．（1）求證：．（2）若，．①當(dāng)，求的長．②當(dāng)為等腰三角形時，請求出所有滿足條件的的腰長．（3）若，且，，在一條直線上，則與的比值為．9．（2023?河南模擬）如圖所示，在中，，點為射線上一動點，作，過點作，交于點，連接．（點、在的兩側(cè)）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1所示，若時，、的數(shù)量關(guān)系為，直線、的夾角為；【類比探究】（2）如圖2所示，若時，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由；【拓展延伸】（3）若，，且是以為腰的等腰三角形時，請直接寫出線段的長．

題型二、直角三角形的存在問題分類討論1．（2022?大連模擬）如圖，中，，，，點在邊上，過點作的垂線與邊或相交于點，將點繞點順時針旋轉(zhuǎn)得點，過點作的垂線與邊或相交于點．設(shè)的長為，四邊形的面積為．（1）求的長；（2）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍．2．（2022?蓮池區(qū)校級二模）如圖，中，，，．動點從點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿方向繞行一周，與垂直的動直線從開始．以每秒1個單位長度的速度向右平移，分別交，于，兩點．當(dāng)點運動到點時，直線也停止運動，設(shè)點的運動時間為秒．（1）當(dāng)點在上運動時，過點作于，①當(dāng)時，求證：；②設(shè)的面積為，用含的代數(shù)式表示，并求當(dāng)為何值時，有最大值；（2）當(dāng)直線等分的面積時求的值，并判斷此時點落在的哪條邊上；（3）直接寫出時的值．3．（2022?濟南二模）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，點坐標為，四邊形為平行四邊形，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與邊交于點，若，．（1）求反比例函數(shù)解析式；（2）點是軸上一動點，求最大時的值；（3）連接，在反比例函數(shù)圖象上是否存在點，平面內(nèi)是否存在點，使得四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．4．（2022??？谀M）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，與軸交于、兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點從點出發(fā)，在線段上以每秒3個單位長度的速度向點運動，同時點從點出發(fā)，在線段上以每秒2個單位長度的速度向點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設(shè)的面積為，點運動時間為秒，試求與的函數(shù)關(guān)系，并求的最大值；（3）在點運動過程中，是否存在某一時刻，使為直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．5．（2023?乳山市二模）過四邊形的頂點作射線，為射線上一點，連接．將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角，連接．（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，數(shù)學(xué)興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形是正方形，且．無論點在何處，總有，請證明這個結(jié)論．（2）【類比遷移】如圖2，如果四邊形是菱形，，，連接．當(dāng)，時，求的長；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，如果四邊形是矩形，，，平分，．在射線上截取，使得．當(dāng)是直角三角形時，請直接寫出的長．

題型三、不等式（組）中的分類討論思想1．（2023?淄博）某古鎮(zhèn)為發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉(xiāng)村振興，決定在“五一”期間對團隊旅游實行門票特價優(yōu)惠活動，價格如下表：購票人數(shù)（人每人門票價（元605040題中的團隊人數(shù)均不少于10人．現(xiàn)有甲、乙兩個團隊共102人，計劃利用“五一”假期到該古鎮(zhèn)旅游，其中甲團隊不足50人，乙團隊多于50人．（1）如果兩個團隊分別購票，一共應(yīng)付5580元，問甲、乙團隊各有多少人？（2）如果兩個團隊聯(lián)合起來作為一個“大團隊”購票，比兩個團隊各自購票節(jié)省的費用不少于1200元，問甲團隊最少多少人？2．（2021?商河縣校級模擬）閱讀下面材料，根據(jù)要求解答問題：求不等式的解集．解：根據(jù)“同號兩數(shù)相乘，積為正”可得：①或②解不等式組①得：．解不等式組②得．不等式的解集為或．請你仿照上述方法解決下列問題：（1）求不等式的解集．（2）求不等式的解集．3．（2024?江門校級一模）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：解一元二次不等式．解：，可化為，．由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，得①，②，解不等式組①，得，解不等式組②，得，的解集為或，即一元二次不等式的解集為或．（1）一元二次不等式的解集為；（2）分式不等式的解集為；（3）解一元二次不等式．4．（2022?泰安三模）某公司推出一款桔子味飲料和一款荔枝味飲料，桔子味飲料每瓶售價是荔枝味飲料每瓶售價的倍．4月份桔子味飲料和荔枝味飲料總銷售60000瓶，桔子味飲料銷售額為250000元，荔枝味飲料銷售額為280000元．（1）求每瓶桔子味飲料和每瓶荔枝味飲料的售價；（2）五一期間，該公司提供這兩款飲料12000瓶促銷活動，考慮荔枝味飲料比較受歡迎，因此要求荔枝味飲料的銷量不少于桔子味飲料銷量的；不多于桔子味飲料的2倍．桔子味飲料每瓶7折銷售，荔枝味飲料每瓶降價2元銷售，問：該公司銷售多少瓶荔枝味飲料使得總銷售額最大？最大銷售額是多少元？

題型四、方程（組）和函數(shù)中的分類討論思想1．（2024?鐘樓區(qū)校級模擬）共享電動車是一種新理念下的交通工具；主要面向的出行市場，現(xiàn)有，兩種品牌的共享電動車，給出的圖象反映了收費（元與騎行時間之間的對應(yīng)關(guān)系，其中品牌收費方式對應(yīng)，品牌的收費方式對應(yīng)，請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：（1）說出圖中函數(shù)、的圖象交點表示的實際意義；（2）求、關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）①如果小明每天早上需要騎行品牌或品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的平均行駛速度均為，小明家到工廠的距離為那么小明選擇品牌共享電動車更省錢？（填“”或“”②當(dāng)為何值時，兩種品牌共享電動車收費相差3元？2．（2023?西華縣三模）如圖1，拋物線與軸交于、兩點（點在點左邊），與軸交于點．直線經(jīng)過、兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）點是拋物線上的一動點，過點且垂直于軸的直線與直線及軸分別交于點、．設(shè)．①點在拋物線上運動，若點恰為線段的中點，求此時的值；②當(dāng)點在拋物線上運動時，是否存在一點，使．若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．3．（2023?池州三模）在平面直角坐標系中，點和點在拋物線上．（1）若，，求拋物線的解析式；（2）已知點，在該拋物線上，且．①比較，，0的大小，并說明理由；②將線段沿水平方向平移得到線段，若線段與拋物線有交點，直接寫出點的橫坐標的取值范圍．4．（2023?河北模擬）在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為，與軸相交于、兩點點在點的右側(cè)）．（1）判斷點是否在拋物線上，并說明理由；（2）若點到軸的距離為5，求的值；（3）若線段的長小于等于4，求的取值范圍．5．（2023?鹽城二模）已知點，，，在二次函數(shù)的圖象上，且滿足．（1）如圖，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．①求這個二次函數(shù)的表達式；②若，此時二次函數(shù)圖象的頂點為點，求的正切值；③在、之間的二次函數(shù)圖象上的最低點的縱坐標為，請直接寫出此時點、的坐標；（2）當(dāng)時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為3，點，在對稱軸的異側(cè)，則的取值范圍為．6．（2023?錦州）如圖，拋物線交軸于點和，交軸于點，，頂點為．（1）求拋物線的表達式；（2）若點在第一象限內(nèi)對稱軸右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點的坐標；（3）在（2）的條件下，若點是對稱軸上一點，點是坐標平面內(nèi)一點，在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形是菱形，且，如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．7．（2024?肇東市模擬）綜合與實踐如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和，點的坐標是，與軸交于點．．點在拋物線上運動．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖2．當(dāng)點在第四象限的拋物線上運動時，連接，，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求點的坐標及的最大面積；（3）當(dāng)點在軸上運動時，借助圖1探究以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，并直接寫出點的坐標．8．（2023?扶余市二模）如圖，拋物線與軸交于點，，頂點為．（1）求該拋物線的解析式，并直接寫出點的坐標；（2）如圖，把原拋物線軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，將翻折得到的部分與原拋物線軸上方的部分記作圖形，在圖形中，回答：①點，之間的函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式為；②當(dāng)時，求的取值范圍；③當(dāng)，且時，若最高點與最低點的縱坐標的差為，直接寫出的值．9．（2024?南丹縣一模）如圖，拋物線與軸交于點，點，點是拋物線的頂點，過點作軸的垂線，垂足為點．（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）如圖1，點是拋物線上一點，且位于軸上方，橫坐標為，連接，若，求的值；（3）如圖2，將拋物線平移后得到頂點為的拋物線．點為拋物線上的一個動點，過點作軸的平行線，交拋物線于點，過點作軸的平行線，交拋物線于點．當(dāng)以點，，為頂點的三角形與全等時，請直接寫出點的坐標．10．（2022?長春二模）在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點為，過點作直線垂直于軸．（1）求拋物線的對稱軸（用含的式子表示）；（2）將拋物線在軸右側(cè)的部分沿直線翻折，其余部分保持不變，組成圖形，點，，，為圖形上任意兩點．①當(dāng)時，若，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；②若對于，，都有，求的取值范圍；（3）當(dāng)圖象與直線恰好有3個公共點時，直接寫出的取值范圍．題型五、圓中的分類討論思想1．（2023?花都區(qū)一模）如圖1，已知，在射線、上分別截取點、，使．（1）求證：；（2）如圖2，以為直徑在的上方作一個半圓，點為半圓上的一個動點，連接交于點．①當(dāng)時，求的長．②在線段上取一點，連接交于點，若，當(dāng)點在半圓上從點運動到點時，求點經(jīng)過的路徑長．2．（2023?裕華區(qū)二模）如圖1，平行四邊形中，，，，點在延長線上且，為半圓的直徑且，，如圖2，點從點處沿方向運動，帶動半圓向左平移，每秒個單位長度，當(dāng)點與點重合時停止平移，如圖3，停止平移后半圓立即繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒轉(zhuǎn)動，點落在直