第二十四章第2節(jié)《點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系》解答題（21）

41.如圖，點(diǎn)P是半圓。中上一動點(diǎn)，連接AP，作NAPC=45。，交弦AB于點(diǎn)C.B

知AB=6cm,設(shè)A,P兩點(diǎn)間的距離為女機(jī)，P,C兩點(diǎn)間的距離為,A,C兩點(diǎn)

間的距離為）（當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，%，%的值為。）.

小元根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對函數(shù)》隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.

下面是小元的探究過程，請補(bǔ)充完整：

（1）按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測量，分別得到了》與x的幾組對應(yīng)值；

x/cm0123456

yjcm01.212.09m2.992.820

y2!cm00.871.572.202.833.616

經(jīng)測量機(jī)的值是（保留一位小數(shù)）.

（2）在同一平面直角坐標(biāo)系中，描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)（羽%）,

（羽％），并畫出函數(shù)X，%的圖象；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)AAC尸為等腰三角形時，AP的長度約為—（保留

OCB

【答案】(I)2.7；(2)答案見解析；(3)4.2或2.3.

【解析】

(1)測量即可；

(2)通過描點(diǎn)，畫出如下圖象；

(3)分AC=PC、/―尸，兩種情況，分別求解即可.

解：(1)經(jīng)測量：加=2.7；

(2)通過描點(diǎn)，畫出如下圖象；

(3)①當(dāng)AC=PC時，

即：%=%，

從圖象可以看出：工=4.2；

②當(dāng)AP=PC時，

畫出函數(shù)：丁=%的圖象，

圖象與％的交點(diǎn)處x的為2.3；

故：答案為4.2或2.3.

本題為圓的綜合題，主要是研究函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律，此類題目，主要通

過畫出函數(shù)圖象，根據(jù)題設(shè)條件，找出圖象對應(yīng)的點(diǎn)的值即可.

42.如圖1,E為半圓。直徑上一動點(diǎn)，C為半圓上一定點(diǎn)，連接AC和BC,AD平分

NCAB交BC于煎D,連接CE和OE.如果AB=6cm,AC=2.5cm,設(shè)A,E兩點(diǎn)間的距

離為xcm,C,E兩點(diǎn)間的距離為D,E兩點(diǎn)間的距離為y2cM?

圖1

小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)經(jīng)驗(yàn)，分別對函數(shù)％和%隨自變量X變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.

下面是小明的探究過程，請將它補(bǔ)充完整:

(1)按表中自變量x值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測量，得到了%和%與％幾組對應(yīng)值:

xlcm0123456

%/cm2.502.272.47m3.734.565.46

y2!cm2.972.201.681.692.192.973.85

問題：上表中的表=cm：

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系xQy中(見圖2),描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)

(%%)和(x，X),并畫出函數(shù)為和乂的圖象；

圖2

(3)結(jié)合函數(shù)的圖象，解決問題：當(dāng)AACE為等腰三角形時，AE的長度約為—cm(結(jié)

果精確到0.01).

【答案】(1)3；(2)答案見解析；(3)2.50或3.00或2.08.

【解析】

(1)當(dāng)x=3時，點(diǎn)￡與點(diǎn)。重合，故應(yīng)即為CO,即可求解;

(2)根據(jù)表格數(shù)據(jù)，描點(diǎn)后圖象如下圖2；

(3)分AE=AC、AC=CE、三種情況，求解即可.

解：(1)當(dāng)x=3時，點(diǎn)E與點(diǎn)。重合，故CE即為CO=3,

故答案為：3；

①當(dāng)AE=AC時，

AE=AC=2.5；

②AC=CE時，

即％=CE=2.5,從圖象可以看出，尤=0；

即：AE=2.08,或AE=0(舍去)

③當(dāng)AE=CE時，

即：x=M，從圖中可以看出：x=3,

即：AE=3；

故：答案為2.50或。00或2.08.

本題考查了圓知識的綜合運(yùn)用，涉及到函數(shù)圖象作圖，此類題目通常在作圖的基礎(chǔ)上，依據(jù)

圖象確定特殊點(diǎn)坐標(biāo)情況求解.

43.對于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)股(七，%),N(%,%),給出如下定義：點(diǎn)

般與點(diǎn)N的“折線距離”為：或機(jī)￡)=|王-%|+|必-為|.

例如：若點(diǎn)用(-1』)，點(diǎn)N(2,-2),則點(diǎn)M與點(diǎn)N的"折線距離''為：d(M,

TV)=|-1-2|+|1-(-2)|=3+3=6.

根據(jù)以上定義，解決下列問題：

(1)已知點(diǎn)P(3,-2).

①若點(diǎn)A(-2,-l),則d(P,A)=；

②若點(diǎn)6(42),且若尸,8)=5,則指；

③已知點(diǎn)C(zn,")是直線y=-x上的一個動點(diǎn)，且磯P,C)<3,求機(jī)的取值范圍.

(2)0F的半徑為1,圓心尸的坐標(biāo)為(01),若。F上存在點(diǎn)E,使d(E,O)=2,直接寫出

f的取值范圍.

y

44

33

22

11

-5

【答案】(1)①6；②2或4；③1<4；(2)2-伍+3或-3別及-2.

【解析】

(1)①由折線距離的定義，代入點(diǎn)P和點(diǎn)A坐標(biāo)，即可算出；②由折線距離的定義，將點(diǎn)

B(b,2)代入d(P,B)=5,即可解出6值；③先將C點(diǎn)坐標(biāo)代入,=一》,得出，“和九的關(guān)系，

再由d(P,C)<3,得到關(guān)于加的絕對值不等式，結(jié)合其幾何意義，可得加的取值范圍；

(2)作正方形A6CD,頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：4—2,0),8(0,—2),C(2,0),0(0,2),由

在》軸上運(yùn)動所處的臨界位置，結(jié)合圖形，可得結(jié)論.

⑴①?.?點(diǎn)尸(3,-2),A(-2,-l),

:.d(P,A)=|3-(-2)|+|-2-(-l)|=6.

故答案為：6；

②..?尸(3,-2),6(^,2),

：.d(P,B)=|3-6|+|(-2)-2|=|3-&|44=5,

;.|3-6|=1,

，Z?=2或4.

故答案為：2或4；

③???點(diǎn)CO,")是直線y=—X上的一個動點(diǎn)，

n=—m,

d(P,C)=|3—m|+1(—2)—n|=|3—m|+1—2+m|=|m—3\+\m-2\<3,

.??數(shù)軸上表示數(shù)冽的點(diǎn)到表示數(shù)3的點(diǎn)的距離與到表示數(shù)2的點(diǎn)的距離之和小于3,

/.1<777<4.

答：〃2的取值范圍為1<根<4;

(2)戶的半徑為1,圓心產(chǎn)的坐標(biāo)為(01),

.??作正方形ABCD,頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：4-2,0),8(0,-2),C(2,0),0(0,2),則正方形

ABCD邊上的任意一點(diǎn)與點(diǎn)0的“折線距離”都等于2,

；.只要。歹與正方形ABCD的邊有公共點(diǎn)，則。尸上存在點(diǎn)E,使d(瓦0)=2,

當(dāng)點(diǎn)廠位于(。,3)或(0,-3)時，剛好存在唯一一個點(diǎn)E,使得d(E,O)=2；

當(dāng)。歹在》軸正半軸與AD,CD相切時，連接圓心R和切點(diǎn)則FH1AD，

FH=DH=1,

DF=鼻,

F(0,2-A/2),

???當(dāng)。尸在y軸正半軸時，2-岳小3,符合要求；

同理可得，當(dāng)O歹在y軸負(fù)半軸時，-3強(qiáng)小夜-2,符合要求.

??"的取值范圍為：2-J5別3或-3和亞-2.

本題主要考查新定義下的問題，涉及絕對值的幾何意義，圓的切線的性質(zhì)，構(gòu)造正方形

ABCD,頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：4—2,0),6(0,-2),C(2,0),0(0,2),是解題的關(guān)鍵.

44.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是。。外一點(diǎn)，連接CF交于點(diǎn)。，點(diǎn)尸

關(guān)于點(diǎn)。的對稱點(diǎn)為P,當(dāng)點(diǎn)戶在線段CQ上時，稱點(diǎn)P為“友好點(diǎn)”.已知ALO),

3(0,2),C(3,3),

(1)當(dāng)O。的半徑為1時，

①點(diǎn)A,B,C中是。?！坝押命c(diǎn)”的是;

②已知點(diǎn)M在直線y=-且x+2上，且點(diǎn)V是。?！坝押命c(diǎn)”，求點(diǎn)般的橫坐標(biāo)加的

3

取值范圍；

(2)已知點(diǎn)。(2g,0),連接BC,BD,CD,eT的圓心為T。,-1),半徑為1,若在

ABCD上存在一點(diǎn)N,使點(diǎn)N是eT“友好點(diǎn)”，求圓心T的橫坐標(biāo)力的取值范圍.

【答案】(1)①3;②噫帆A/3;(2)-4+3At<2s/3.

【解析】

(1)①根據(jù)“友好點(diǎn)”的定義，結(jié)合OB=2=2r,可得點(diǎn)3是。?！坝押命c(diǎn)”；②設(shè)”(加,

-ym+2),根據(jù)“友好點(diǎn)”的定義，可得：1<0*卜+(-9+2)\,2,進(jìn)而即可求

解；

(2)3(0,2),C(3,3),Z)(2A0),67的圓心為79—1),點(diǎn)N是eT“友好點(diǎn)”，過點(diǎn)

T作TNLBD干N,作m//y軸，與BD交于點(diǎn)H.只要NTW2且HT>1,即可.易得：直

^BD:y=--x+2,貝！JHQ,一烏+2),HT=-—t+2-(-I)=-—t+3

3333

NT=—HT=—(-—t+3)=--t+-y/3,解出1的范圍，即可.

22322

(1)①；r=1,

又?；3(0,2)

OS=2=2”即點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)Q的對稱點(diǎn)為點(diǎn)0,

二點(diǎn)3是O。“友好點(diǎn)”，

OC=3yf2>2r，

.??點(diǎn)C不是。?！坝押命c(diǎn)”，

；4(1,0)在O。上，

.??不是。?！坝押命c(diǎn)”，

故答案為：B;

②?.?點(diǎn)M在直線>=-+2上，

-3

.?.設(shè)一且%+2),

3

???點(diǎn)/是。?！坝押命c(diǎn)”，

1<OM-+(-m+2)2,,2，

整理，得2m2-2也〃4,0且4m2-4y(3m>-9，

解得：噫物73;

二點(diǎn)V的橫坐標(biāo)加的取值范圍：嗯M6

(2)???B(0,2),C(3,3),D(2底0),eT的圓心為T(f,T),在ABCD上存在點(diǎn)N是eT

“友好點(diǎn)”，

過點(diǎn)T作力于N,作7H〃y軸，與5。交于點(diǎn)只要NTW2且HT>1,即可.

???3(0,2),DQ6,0),

：.ZBDO=3。。,

:.ZOBD=60°,

???歷〃y軸，

?.ZTHN=ZOBD=60°,ZHTN=180°-90°-60°=30°,

■,NT=~HT,

2

由待定系數(shù)法，可得，直線3。：＞=-3尤+2,

3

.??設(shè)—走/+2),

3

t...-4+3*\/3，

當(dāng)〃與點(diǎn)。重合時，點(diǎn)T的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)。的橫坐標(biāo)，即f=2百,

此時,在AfiCD上不存在eT“友好點(diǎn)”,

t<2#>>

.?.圓心T的橫坐標(biāo)f的取值范圍：Y+3代,f<2省.

本題主要考查新定義下的問題，涉及一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，含30°角

的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意，畫出圖形，掌握函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及兩點(diǎn)間的

距離公式是解題的關(guān)鍵.

45.對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的兩個圖形/和N,給出如下定義：若在圖形V上存在一

點(diǎn)A,圖形N上存在兩點(diǎn)B,C,使得AABC是以為斜邊且6。=2的等腰直角三角

形，則稱圖形般與圖形N具有關(guān)系。(M,N).

(I)若圖形x為一個點(diǎn)，圖形y為直線y=x,圖形x與圖形y具有關(guān)系。(x,y),則點(diǎn)

4(0,血)，2(1,1),月(2,-2)中可以是圖形X的是;

(2)已知點(diǎn)P(2,o),點(diǎn)。(0,2),記線段PQ為圖形X.

①當(dāng)圖形y為直線y=X時，判斷圖形x與圖形y是否既具有關(guān)系o(x,。又具有關(guān)系

。(匕X),如果是，請分別求出圖形x與圖形y中所有點(diǎn)A的坐標(biāo)；如果不是，請說明理

由；

②當(dāng)圖形y為以T?,0)為圓心，石為半徑的eT時，若圖形x與圖形y具有關(guān)系。(X,y),

求1的取值范圍.

【答案】(1)片(0,a)；(2)①是，Ad-4，1+孝)；4(1+5，i一號;4(1一日，

1

1-?A4(l+,1+；②一^/^十一1或A/5^15.

【解析】

(1)根據(jù)“AABC是以為斜邊且6C=2的等腰直角三角形”，逐個點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證判斷是

否符合新定義的要求，即可；

(2)①按照新定義和條件正確畫出圖形，結(jié)合圖形和等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解，即

可；②在e7；上取兩點(diǎn)穌C,,當(dāng)△。片G為等腰直角三角形，且斜邊51G=2時，連接

交4G于S,根據(jù)勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，求出(的坐標(biāo)，同理：求出L,

T3,T4的坐標(biāo)，即可得到答案.

(1)如圖1,過片作4GLy軸交直線V=x于點(diǎn)G，作＜4軸于點(diǎn)4(4與。重合)，

???4(0,?

PXO=A/2,

將y=0代入y=兀中，得％=后，

:.C\（6,回，即：GA=4A=>/I,

B￡=JBE+CE=7（^）2+（72）2=2，

.*（o,點(diǎn)）與圖形y（直線y=x）具有關(guān)系。（X,y）；

在直線y=x上，

.?上（覃）與圖形F（直線>=x）不具有關(guān)系”Y）.

.?.6（2,-2）

.-.B3（-2,-2）,C3（2,2）,

22

B3C3=V4+4=4x/2+2,

??6（2,-2）與圖形y（直線y=X）不具有關(guān)系（P（X,Y）；

故答案為：片（0,、叵）；

（2）①是，理由如下：

如圖2,在直線丁=%上取點(diǎn)3,C,且BC=2,則滿足AABC是以為斜邊的等腰直角

三角形的點(diǎn)A，在到直線丁=%距離為1的兩條平行直線上.這兩條平行直線與PQ分別交于

A，4兩點(diǎn).故圖形x與圖形y滿足。（XI）.

直線y=x與線段PQ交于點(diǎn)過點(diǎn)V作血軸于"，與A15交于點(diǎn)N,則

M\=\,&N=MN=^,可得4（1一日，1+^）.同理可求得人（1+孝，1一￥）?

如圖3,在線段PQ上取點(diǎn)5,C,且BC=2,則滿足AABC是以為斜邊的等腰直角三

角形的點(diǎn)A,在到直線PQ距離為1的兩條平行直線上.這兩條平行直線與直線y=x分別交于

4，4兩點(diǎn).故圖形x與圖形y滿足。（y,x）.

同上可求得4（1-孝，1一號,4（1+乎，1+日）；

②如圖4,在e7；上取兩點(diǎn)耳，G，當(dāng)△。瓦G為等腰直角三角形，且斜邊51cl=2時，連接

Q7；交片&于S,

則4C1J.Q7；,QS=BlS=ClS=l,B、T\*,

.?.0=2,7；Q=2+1=3

TQ=V32-22=A/5

:1(-也,0),

同理可求得：7^(-1,0),7；(行，0),7；(5,0),

二-序巾-1或后巾5.

本題主要考查新定義問題，涉及等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)

以及圓的基本性質(zhì)，理解新定義，畫出圖形，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)

鍵.

46.在平面直角坐標(biāo)系xOv中，對于P、。兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)P到X、y軸的距離中

的最大值等于點(diǎn)。到x、》軸的距離中的最大值，則稱「、。兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，如圖中的

p、。兩點(diǎn)即為“等距點(diǎn)”.

(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一3,1)

①在點(diǎn)E(0,3)、尸(3,-3)、G(2,—5)中，點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”是；

②若點(diǎn)3在直線y=x+6上，且A、3兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，則點(diǎn)3的坐標(biāo)為；

(2)直線/：>=丘-3%>0)與x軸交于點(diǎn)。，與》軸交于點(diǎn)。.

①若［(-!<)、孤(4/)是直線/上的兩點(diǎn)，且(、T?為''等距點(diǎn)”，求上的值；

②當(dāng)左=1時，半徑為廠的。。上存在一點(diǎn)V,線段CD上存在一點(diǎn)N,使得V、N兩點(diǎn)

為“等距點(diǎn)”，直接寫出廠的取值范圍.

【答案】(1)①E、F-,②(一3,3)；(2)①上的值為1或2；②^372.

【解析】

(1)①找到與X、》軸距離最大為3的點(diǎn)即可；②先分析出直線上的點(diǎn)到X、》軸距離中有

3的點(diǎn)，再根據(jù)“等距點(diǎn)”的定義，進(jìn)行選擇即可；

(2)①先表示出a=-笈-3,t『4k-3,依據(jù)“等距點(diǎn)”定義，分兩種情況討論：當(dāng)

-3<403<4時，當(dāng)4"3..4時，分別求出k的值，即可；②先求出C、。點(diǎn)坐標(biāo)以及CD

3

長度，分析出N點(diǎn)到坐標(biāo)軸距離的最大值中，最小數(shù)為不，最大數(shù)為3,從而確定廠的最小

2

值和最大值.

(I)①???點(diǎn)A(-3,1)到X、y軸的距離中最大值為3,點(diǎn)E(o,3)到X、y軸的距離中最大值

為3,尸(3,-3)到x、y軸的距離中最大值為3,

二點(diǎn)A的“等距點(diǎn)”是：E、F.

故答案是：E、F；

②點(diǎn)3在直線y=1+6上，當(dāng)點(diǎn)3到X、y軸距離，其中至少有一個為3的點(diǎn)有(3,9)、

(-3,3)、(-9,-3),

這些點(diǎn)中,A的“等距點(diǎn)”是(一3,3).

故答案為：(-3,3)；

(2)①?.?京-乜)、5(4,4)是直線/上的兩點(diǎn)，

—k—3,%2=4k—3.

?左>0,

-.I~k—3|=左+3>3,4k—3>—3.

依據(jù)“等距點(diǎn)”定義可得：

當(dāng)一3v4左一3v4時，上+3=4,角牟得：左二1；

當(dāng)4左一3..4時，左+3=4左一3,角牟得：k=2.

綜上所述，上的值為：1或2；

②?：k=l,

???，=%-3與坐標(biāo)軸交點(diǎn)C(3,0)、￡)(0,-3),CD=372.

3

TN點(diǎn)在線段CD上，則N點(diǎn)到工、y軸的距離最大值中，最小數(shù)為一，最大數(shù)為3,

2

3

，若半徑為廣的。。上存在一點(diǎn)舷與N是“等距點(diǎn)”，貝什最小值為5，廠的最大值3行.

???廠的取值范圍為：3A/2.

本題主要考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)，此題屬于閱讀理解類型題目，讀懂“等

距點(diǎn)”的定義，而后根據(jù)定義解決問題，需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)，較強(qiáng)的閱讀理解、遷移運(yùn)用的

能力.

47.對于平面直角坐標(biāo)系xQy中的點(diǎn)P和。M，給出如下定義：若上存在兩個點(diǎn)A,

B,使AB=2PM,則稱點(diǎn)P為。M的“美好點(diǎn)”.

(1)①當(dāng)半徑為2,點(diǎn)V和點(diǎn)。重合時，1點(diǎn)《(—2,0),2(1/)，8(2,2)中，。。的

“美好點(diǎn)”是;

②點(diǎn)P為直線y=x+b上一動點(diǎn)，點(diǎn)P為。。的“美好點(diǎn)”，求〃的取值范圍；

(2)點(diǎn)M為直線V=x上一動點(diǎn)，以2為半徑作。/,點(diǎn)尸為直線y=4上一動點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)

為。M的“美好點(diǎn)”，求點(diǎn)般的橫坐標(biāo)加的取值范圍.

VA

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-1。123451

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

【答案】(1)①尸一鳥；②-20釉2攻；(2)2歌m6.

【解析】

(1)①根據(jù)。。的“美好點(diǎn)”的定義，即可判斷，②求出直線y=x+b與。。相切時，〃的

值，即可解決問題；

(2)當(dāng)直線y=4與。M相切時，求出點(diǎn)般的橫坐標(biāo)，有兩個值，由此即可解決問題.

(1)①如圖1中，

OP{=2=r,OP2=s/2<r,OP3=2yf2>r,

.??O。上存在兩個點(diǎn)A，B,使43=2?！痘?5=2。2，。。上不存在兩個點(diǎn)A,B,使

AB=20P3,

鳥是。。的“美好點(diǎn)”.

故答案為：耳和舄；

②：點(diǎn)尸為直線y=x+b上一動點(diǎn)，點(diǎn)尸為O。的''美好點(diǎn)”，

...直線y=x+b與O。相切或相交.

當(dāng)直線y=x+匕與O。相切時，設(shè)切點(diǎn)分別為點(diǎn)T、N,該直線y=x+入交x軸于點(diǎn)K,交》

軸于點(diǎn)E,如圖1.

/.K(-b,0),E(0,b),

.\0K=0E,ZKEO=ZEKO=45°,

VZ0TK=90°,OT=2,

,OE=yfiOT=2發(fā)，

."=2萬

根據(jù)對稱性可知：OF=OE=2A/2，

b=-2A/2,

的取值范圍為：-2后必20;

(2)?.?點(diǎn)P為直線y=4上一動點(diǎn)，點(diǎn)P為。M的“美好點(diǎn)

二直線直線y=4與相切或相交,

當(dāng)直線y=4與0M相切時，切點(diǎn)分別為E或￡,連接ME,M'E,如圖2,

:.MEIEE,M'ELEE',

...￡M=EM，=2,點(diǎn)M為直線,=兀上一動點(diǎn)，

:.M：般的縱坐標(biāo)為2,6,即：M'(2,2),M(6,6),

二滿足條件的加的取值范圍為：2周弧6.

本題主要考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握直線與圓相切的性質(zhì)

定理，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，學(xué)會取特殊位置解決問題，是解題的關(guān)鍵.

48.如圖，已知A3為。。的直徑，AB=8,點(diǎn)。和點(diǎn)。是O。上關(guān)于直線AB對稱的兩個

點(diǎn)，連接OC、AC,KZBOC<90°,直線和直線A。相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作直線CG

與線段AB的延長線相交于點(diǎn)P，與直線A。相交于點(diǎn)G,且NG4/=NGCE.

(1)求證：直線CG為O。的切線；

(2)若點(diǎn)H為線段08上一點(diǎn)，連接CH,滿足CB=CH,

①求證：ACBHskOBC；

②求OH+HC的最大值.

【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②5.

【解析】

(1)由題意可知：ZCAB=ZGAF,由圓的性質(zhì)可知：ZCAB=ZOCA,所以NOCA=NGCE,從

而可證明直線CG是。0的切線；

(2)①由于CB=CH,所以NCBH=NCHB,易證NCBH=NOCB,從而可證明ACBHs

HRDZ^2

②由△CBHS2\0BC可知：—=——,所以HB=-----，由于BC=HC,所以

OCBC4

0H+HC=4———+BC,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出OH+HC的最大值.

4

(1)由題意可知：ZCAB=ZGAF,

,/AB是O。的直徑，

ZACB=9Q°

?：OA=OC

：.ZCAB=ZOCA,

：.ZOCA+ZOCB=90°,

???ZGAF=ZGCE

/?ZGCE+ZOCB=ZOCA+ZOCB=90°，

,/OC是。。的半徑，

，直線CG是O。的切線；

(2)@-：CB=CH,

NCBH=/CHB,

?：OB=OC,

NCBH=NOCB,

：.ACBHskOBC

②由△CBHSAOBC可知：g=黑

OCBC

'：AB=8,

，BC2=HBOC^4HB,

.BC-

??rLb=-----

4

7?02

，OH=OB—HB=4—-—

4

?；CB=CH

R「2

，OH+HC=4—-—+BC,

4

當(dāng)NBOC=90°,此時8C=4&

?；ZBOC<90°,

???0<BC<40，

令BC=x,

1,

OH+HC=--(x-2f+5

當(dāng)x=2時，

，OH+8C可取得最大值，最大值為5.

本題考查圓的綜合問題，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，切線的判定等知

識，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所知識.

49.如圖，△板中，AB=AC,以”為直徑的。。交8C于點(diǎn)〃點(diǎn)￡為AC延長線上一點(diǎn)，

旦人BAA24CDE.

o

B3y

￡

(1)求證：龐是。。的切線；

(2)若cosB=—，CE=2,求血

3

【答案】(1)詳見解析；(2)DE=4y/2

【解析】

(1)根據(jù)圓周角定理得出NADC=90°,按照等腰三角形的性質(zhì)和已知的2倍角關(guān)系，證明

ZODE為直角即可；

(2)通過證得△CDEs^DAE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得.

(1)如圖，連接OD,AD,

??1。是直徑，

AZADC=90°,

：.ADLBC,

9：AB=AC,

：.ABAC=2ACAD=2ABAD,

?：4BAC=2/CDE.

:?/CDE=/CAD,

9：OA=OD,

：.ZCAD=AADO,

■:/AD0v/0DC=9C,

：.Z,0DM/CDE=9Q°

：.N0DE=9Q°

又是。。的半徑.?.%是。。的切線；

（2）'：AB=AC,ADLBC,

，4ACB=/B,

1

/.cosZ_ACB=cosB=—

3

：.AC=3DC,設(shè)加=x,KJAC=3x,

AD=J3—DC?=2岳，

?:/CDE=Z.CAD,NDEC=NAED,

：,MCDEsMDAE,

,CEDC2x

..-----=------，即an-----------尸L

DEADDE2V2x

:.DE=4pi

本題考查了圓的切線的判定定理、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形相似的判定和性

質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形或等腰三角形.

50.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)0為圓心，2為半徑畫圓，P是。0上一點(diǎn)，且

P點(diǎn)坐標(biāo)是（立,立）,過點(diǎn)P作。。的切線，與X、y軸分別交于點(diǎn)A、B.

（1）求點(diǎn)AB的坐標(biāo);

（2）在坐標(biāo)平面內(nèi)求點(diǎn)。，使得以Q、0、A、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試直接寫出

點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】（1）A（272,0）、B（0,2A/2）;（2）Q卜瓦吟、Q2（6-行）、Q3M，吟.

【解析】

（1）先證明0PXAB,再證明點(diǎn)P在NA0B的平分線上，進(jìn)而可證得AAPO與ABPO為等腰直

角三角形，最后利用勾股定理計算即可；

（2）首先分三種情況，然后對每種情況畫出相應(yīng)的圖形分別討論即可.

解：（1）?直線AB為圓的切線，

，OPLAB,

,.tp點(diǎn)坐標(biāo)是（6,6）,

.?.點(diǎn)P在NAOB的平分線上，

又?；NA0B=90°,

，NP0A=NP0B=45°,

VOP±AB,

AZ0PA=Z0PB=90°,

/.△OPA與AOPB為等腰直角三角形，

VOP=2,

，在Rt△OPA中，OA=/OP?+P笛=A/22+22=20，

同理可得，OB=2y/2

：.A（2A/2,0）、3（0,20）.

（2）①如圖，當(dāng)四邊形OAPQ為平行四邊形時，

則PQ〃OA,PQ=OA,

,**OA=2A/2.P點(diǎn)坐標(biāo)是（狡，五）,

?'?Q點(diǎn)坐標(biāo)是（-V2，^2）；

②如圖，當(dāng)四邊形OPAQ為平行四邊形時，易得此時四邊形OPAQ為正方形,

???p點(diǎn)坐標(biāo)是（血，血）,

/.由對稱性可知，點(diǎn)Q點(diǎn)坐標(biāo)是（0,-V2）.

③如圖，當(dāng)四邊形OPQA為平行四邊形時，

則PQ〃OA,PQ=0A=2收，

?.?尸點(diǎn)坐標(biāo)是（、/5,J5）,

，Q點(diǎn)坐標(biāo)是（30,、反）.

此題主要考查的是切線的性質(zhì)以及平行四邊形的判定，還涉及到等腰直角三角形的性質(zhì)、角

平分線的定義等知識，難度較大.

51.已知：如圖所示，在RtZVLBC中，ZACB=90°,BC=6,AC=8,過點(diǎn)A作直線MN,AC,

點(diǎn)E是直線MN上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)B作BDLMN,垂足為。，以點(diǎn)C為圓心，若以AC為半徑

的。C與以ED為半徑的。E相切，求。E的半徑.

9

【答案】OE的半徑為9或

【解析】

分情況討論：當(dāng)點(diǎn)E在射線AD上，0C與。E外切時；當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上，(DC與。E外切

時；當(dāng)點(diǎn)E在射線DA上，OC與。E內(nèi)切時；根據(jù)勾股定理分別求解，不符合題意的解舍

去.

解：...。(:與。E相切，設(shè)AE=x,

①當(dāng)點(diǎn)E在射線AD上，0C與。E外切時，ED=x—6,EC=x—6+8=x+2,

在直角三角形AEC中，AC2+AE2^EC2,

/.X2+82=(X+2)2,

解得:x=15,

.--OE的半徑為9；

②當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上，(DC與。E外切時，ED=6-x,EC=6-x+8=14-x,

在直角三角形AEC中，AC2+AE2^EC2,

：.x2+82=(14-x)2,

33

解得：x=y,

9

.??OE的半徑為亍；

③當(dāng)點(diǎn)E在射線DA上，OC與。E內(nèi)切時，ED=x+6,EC=x+6-8=x-2,

在直角三角形AEC中，AC-+AE-=EC2,

：.x2+82=(x-2)2,

解得：x=—15(舍去)，

，內(nèi)切不成立，

9

當(dāng)。C與。E相切時，OE的半徑為9或一.

7

本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況討論，難度較大.

52.對于平面內(nèi)的點(diǎn)P和圖形M,給出如下定義：以點(diǎn)P為圓心，以r為半徑作。P,使

得圖形M上的所有點(diǎn)都在。P的內(nèi)部(或邊上)，當(dāng)r最小時，稱OP為圖形M的P點(diǎn)

控制圓，此時，0P的半徑稱為圖形M的P點(diǎn)控制半徑.已知，在平面直角坐標(biāo)系中，正

方形0ABC的位置如圖所示，其中點(diǎn)B(2,2)

(1)已知點(diǎn)D(1,0),正方形0ABC的D點(diǎn)控制半徑為n,正方形0ABC的A點(diǎn)控制

半徑為r2,請比較大?。簄r2；

(2)連接0B,點(diǎn)F是線段0B上的點(diǎn)，直線1：y=若x+b；若存在正方形OABC的F

點(diǎn)控制圓與直線1有兩個交點(diǎn)，求b的取值范圍.

V

7

6

5

【答案】（1）<;（2）2-273-472</J<4A/2.

【解析】

(1)根據(jù)控制半徑的定義求出n和n即可解決問題；

(2)如圖所示，圓。和圓B分別是以0,B為圓心，以0B長為半徑的圓，分別求出直線1與

圓0相切，直線1與圓B相切時的b值，得到兩種極限情況下的b值，即可得到b的取值范

圍.

解：(1)由題意得：n=BD=CD=+22=6,r?=AC=立+2?=20，

/.ri<r2；

(2)如圖所示，圓。和圓B分別是以0,B為圓心，以0B長為半徑的圓，

當(dāng)直線1：>=瓜+方與圓。相切于點(diǎn)M時，連接0M,可得0M與直線1垂直，

則直線0M的解析式為：y=—昱x,

-3

設(shè)M(x,-^-x),

3

V0M=0B,

.*.0M=L2+S—%=A/22+22

V攝3

:*X=_娓或X=布（舍去），

/.M（-76,0）,

將（一瓶，）代入y=+得：=^/^義（一，

解得：b=4紅,

當(dāng)直線1：>=氐+6與圓B相切于點(diǎn)N時，連接BN,

同理可求出此時〃=2-2若-40，

，b的取值范圍為：2-26-4&<6<40.

本題主要考查了新定義，直線與圓的位置關(guān)系，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理等知識，

正確理解控制圓和控制半徑的定義是解題的關(guān)鍵.

53.如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)C是。0上的一點(diǎn)，點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，連接AC,

BD,過點(diǎn)D作AC的垂線EF,交AC的延長線于點(diǎn)E,交AB的延長線于點(diǎn)F..

（1）依題意補(bǔ)全圖形;

(2)判斷直線EF與。0的位置關(guān)系，并說明理由

(3)若AB=5,BD=3,求線段BF的長

【答案】(1)見解析；(2)直線EF是。。的切線，理由見解析；(3)BF=—

【解析】

(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；

(2)連接BC,0D交于點(diǎn)H,證明BC〃EF,根據(jù)ODLBC可得OD_1EF,即可證得直線EF是

00的切線；

(3)設(shè)OH=x,在RtaOHB和RtaBHD中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出0H,進(jìn)而可得AC,

AE的長，然后由BC〃EF,利用平行線分線段成比例定理列式求出BF即可.

解：(1)如圖所示；

(2)直線EF是。0的切線；

理由：如圖，連接BC,0D交于點(diǎn)H,

VAB是直徑，

二NACB=90°,

VZE=90°,

.\BC/7EF,

?.?點(diǎn)D是弧BC的中點(diǎn)，

.\OD±BC,

.\OD±EF,

二直線EF是。0的切線；

(3)如圖，VAB=5,BD=3,

5

OB=OD=—,

2

設(shè)0H=x,則DH=』-x,

2

2

2

在Rt^OHB中，由勾股定理得:BH~=-X

2

在RtABHD中，由勾股定理得:-x

A12-X2=32-B-X\解得:x=",

BBio

79

：.OH=—,DH=~,

105

?.?0是AB中點(diǎn)，H是BC中點(diǎn)，

7

???AC=20H=『

9

易證四邊形HCED是矩形，則CE=DH=M

16

?.AE——,

5

VBC/7EF,

7

ACAB55

---=----,即nnvz=---------

AEAF165+BF

~5

本題主要考查了圓周角定理的推論，切線的判定，垂徑定理，勾股定理，矩形的判定以及平

行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，

屬于中考?？碱}型.

54.如圖，在△板中，NU90。，NW的平分線交ZC于點(diǎn)色過點(diǎn)E作班1的垂線交四

于點(diǎn)尸，。。是△頌的外接圓.

(1)求證：ZC是。。的切線；

(2)過點(diǎn)￡作碘48,垂足為H,若折1,EH=3,求應(yīng)'長.

D,

□HjFA

【答案】(1)詳見解析；(2)3V10

【解析】

(1)連結(jié)0E,根據(jù)BE平分NABC,可得NCBE=NABE,證明OE〃BC,進(jìn)而可以證明AC是

。。的切線；

(2)連結(jié)DE,根據(jù)BE平分/ABC,AC±BC,EH±AB,可得CE=EH,再證明

RtACDE^ARtAHFE,得CD=HF,利用勾股定理求出0E,再利用勾股定理即可求得BE的

長.

解：(1)連結(jié)0E,

VBE平分NABC,

AZCBE=ZABE,

XV0B=0E,

/.ZABE=ZBE0,

AZCBE=ZBE0,

，OE〃BC,

VZC=90°,即ACLBC,

.\OE±AC,

.二AC是。。的切線；

(2)連結(jié)DE,

「BE平分/ABC,ACXBC,EHXAB,

/.CE=EH,DE=EF,

ARtACDE^ARtAHFE(HL),

ACD=HF,

VCD=1,

???HF=1,

V0E2=0H2+HE2,

AOE2=(OE-1)2+32,

OE=5,

???BH=9,

?*-BE=V92+32=3710-

本題主要考查了切線的判定、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知

識，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識.

55.如圖，AB是。。的直徑，AP是。。的切線，A是切點(diǎn)，BP與交于點(diǎn)C.

(1)如圖①，若AB=36,NP=30。，求AP的長；

(2)如圖②，若。為AP的中點(diǎn)，求證：直線CD是。。的切線.

【答案】(1)3新；(2)見解析；

【解析】

(1)首先根據(jù)切線的性質(zhì)判定NBAP=90°；然后在直角三角形ABP中利用三角函數(shù)的定義求

得AP的長度；

(2)連接0C,0D、AC構(gòu)建全等三角形△OAD0ZV)CD,然后利用全等三角形的對應(yīng)角相等推

知N0AD=N0CD=90°,即OC_LCD.

(1)解：:AB是。。的直徑，AP是。。的切線，

/.AB±AP,

AZBAP=90°；

又：AB=2,ZP=30°,

AB3^2.以

，AP=；^逅…6;

T

（2）證明：如圖，連接OC,OD、AC.

?；AB是。0的直徑，

AZACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），

/.ZACP=90°；

又「D為AP的中點(diǎn)，

/.AD=CD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）；

在AOAD和△OCD中，

OA=OC

<OD=OD,

AD=CD

/.△OAD^AOCD（SSS）,

ZOAD=ZOCD（全等三角形的對應(yīng)角相等）；

又?.?AP是。。的切線，A是切點(diǎn)，

Z.ABXAP,

.,.Z0AD=90°,

.\Z0CD=90°,即直線CD是。。的切線.

此題參考切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握經(jīng)

過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

56.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧A3.

（1）用直尺和圓規(guī)作出A8所在圓的圓心。（要求保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）若A3的中點(diǎn)C到弦的距離為20機(jī)，AB=60m,求A8所在圓的半徑.

【答案】（1）見解析；（2）32.5.

【解析】

（1）連接AC、BC,再作出線段AC、BC的垂直平分線的性質(zhì)作圖；

(2)根據(jù)垂徑定理求出AE的長，根據(jù)勾股定理計算即可.

(2)設(shè)圓半徑為r,連接0C交AB于點(diǎn)E,連接A0,

由垂徑定理得AE=BE=30.

得(r-20)2+302=r2,

解得:r=32.5.

此題考查垂徑定理的應(yīng)用，作圖-應(yīng)用與設(shè)計，勾股定理的應(yīng)用，掌握尺規(guī)作圖的一般步驟和

垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

57.在平面直角坐標(biāo)系xa中，對于任意兩點(diǎn)01(*1,Ji)>Pz(xz,J2),如果

|七一%|=d，則稱尸?與R互為距點(diǎn)”.例如：點(diǎn)K(3,6),點(diǎn)2(1,7),由

3-11+|6-71=3,可得點(diǎn)E與K互為“3-距點(diǎn)”.

(1)在點(diǎn)。(-2,-2),M5,-1),M0,4)中,原點(diǎn)。的“4-距點(diǎn)”是—(填字母)；

(2)已知點(diǎn)4(2,1),點(diǎn)3(0,6),過點(diǎn)8作平行于x軸的直線，

①當(dāng)為3時，直線［上點(diǎn)4的“2-距點(diǎn)”的坐標(biāo)為；

②若直線/上存在點(diǎn)2的2-距點(diǎn)”，求b的取值范圍：

(3)已知點(diǎn)”(1,2),M3,2),C(〃，0),。。的半徑為巫，若在線段枷上存在點(diǎn)尸，在

2

。。上存在點(diǎn)0,使得點(diǎn)尸與點(diǎn)。互為“5-距點(diǎn)〃，直接寫出力的取值范圍.

【答案】(1)D、F；(2)①(2,3)；(2)-1</?<3;(3)41二￡〈根<叫《1

22

【解析】

(1)根據(jù)公式分別計算得到d=4即為原點(diǎn)。的“4-距點(diǎn)”；

(2)①由b=3得到直線1上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是3,設(shè)點(diǎn)C(X,3)是點(diǎn)力的“2-距點(diǎn)〃，列式

表示d求出x即可；

②以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，過點(diǎn)A作x軸的垂線交圓A于點(diǎn)C、D,再過點(diǎn)C、D分別作

y軸的垂線4、4交y軸于⑸、B2,此時點(diǎn)C、D是直線/上點(diǎn)/的2-距點(diǎn)”，求出點(diǎn)與

(0,3),B,(0,-1),即可得到b的取值范圍；

(3)分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時，根據(jù)互為“分距點(diǎn)”的公式

列出等式求出m即可得到答案.

(1)D(-2,-2),0(0,0),<7=|—2—0|+1—2—0|=4,

E(5,T),0(0,0),=|5—O|+1—1—O|=6,

F(0,4),0(0,0),AJ=|0-0|+|4-0|=4,

原點(diǎn)。的“4-距點(diǎn)”是D、F,

故答案為：D、F；

(2)①當(dāng)為3時，點(diǎn)B(0,3),過點(diǎn)B的直線l〃x軸，

設(shè)點(diǎn)C(x,3)是點(diǎn)/的“2-距點(diǎn)”，

.?.t/=|x-2|+|3-l|=2,

解得x=2,

二點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2,3),

故答案為：(2,3)；

②如圖：以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，過點(diǎn)A作x軸的垂線交圓A于點(diǎn)C、D,再過點(diǎn)C、D

分別作y軸的垂線4、6交y軸于四、當(dāng)，此時點(diǎn)C、D是直線/上點(diǎn)力的2-距點(diǎn)”，

由題意得：AC=AD=2,

VA(2,1),

B[(0,3),B2(0,-1),

J?

(3)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時，設(shè)。C左側(cè)與x軸交于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(m-，，0),

2

?.?點(diǎn)尸與點(diǎn)。互為"5-距點(diǎn)”，P(1,2),

解得：叫=與且，？=當(dāng)心；

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時，設(shè)。C右側(cè)與x軸交于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(m+—,0),

2

??,點(diǎn)月與點(diǎn)?；椤?-距點(diǎn)〃，P(3,2),

d=m+—3+|O—2|=5,

612-72

解得：m=———,m

342

22

此題是新定義題型，正確理解題意中的定義公式并運(yùn)用解題，還需結(jié)合分類討論的思想，正

確根據(jù)公式列式計算是解題的關(guān)鍵.

58.某數(shù)學(xué)活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學(xué)問題作如下探究:

(問題發(fā)現(xiàn))如圖LAD,成為。。的兩條弦(AIXBD),點(diǎn)。為的中點(diǎn)，過。作

CEVBD,垂足為反求證：BE=DE+AD.

（問題探究）小明同學(xué)的思路是：如圖2,在座上截取用'=47,連接。，CB,CD,

CF.……請你按照小明的思路完成上述問題的證明過程.

（結(jié)論運(yùn)用）如圖3,△胸■是的內(nèi)接等邊三角形，點(diǎn)。是A8上一點(diǎn)，/40=45°,

連接被CD,過點(diǎn)/作4ELS垂足為反若AB=4①,則△aZ?的周長為.

（變式探究）如圖4,若將（問題發(fā)現(xiàn)）中“點(diǎn)。為A3的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)。為優(yōu)弧ACB的

中點(diǎn)”，其他條件不變，上述結(jié)論“BE=DEW還成立嗎？若成立，請說明理由；若不成

立，請寫出破AD