3.1隨機事件的概率

3.1.1—3.1.2隨機事件的概率及概率的意義（第一、二課時）

一、教學目標：

1、知識與技能：（1）了解隨機事件、必然事件、不可能事件的概念;

（2）正確理解事件A出現(xiàn)的頻率的意義；（3）正確理解概率的概念

和意義，明確事件A發(fā)生的頻率f0（A）與事件A發(fā)生的概率P（A）

的區(qū)別與聯(lián)系；（3）利用概率知識正確理解現(xiàn)實生活中的實際問題.

2、過程與方法：（1）發(fā)現(xiàn)法教學，通過在拋硬幣、拋骰子的試驗中

獲取數據，歸納總結試驗結果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，真正做到在探索中學習，

在探索中提高；（2）通過對現(xiàn)實生活中的“擲幣”，“游戲的公平性”,、

“彩票中獎”等問題的探究，感知應用數學知識解決數學問題的方法,

理解邏輯推理的數學方法.

3、情感態(tài)度與價值觀：（1）通過學生自己動手、動腦和親身試驗來

理解知識，體會數學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系；（2）培養(yǎng)學生的辯證唯

物主義觀點，增強學生的科學意識.

二、重點與難點：（1）教學重點：事件的分類；概率的定義以及和頻

率的區(qū)別與聯(lián)系；（2）教學難點：用概率的知識解釋現(xiàn)實生活中的具

體問題.

三、學法與教學用具：1、引導學生對身邊的事件加以注意、分析，

結果可定性地分為三類事件：必然事件，不可能事件，隨機事件；指

導學生做簡單易行的實驗，讓學生無意識地發(fā)現(xiàn)隨機事件的某一結果

發(fā)生的規(guī)律性；2、教學用具：硬幣數枚，投燈片，計算機及多媒體

教學.

四、教學設想：

1、創(chuàng)設情境：日常生活中，有些問題是很難給予準確無誤的回答的。

例如，你明天什么時間起床？7：20在某公共汽車站候車的人有多少？

你購買本期福利彩票是否能中獎？等等。

2、基本概念：

(1)必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S

的必然事件；

(2)不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條

件S的不可能事件；

(3)確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定

事件；

(4)隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對

于條件S的隨機事件；

(5)頻數與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件

A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數％為事件A出現(xiàn)的頻數;

稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=9為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨

n

機事件A,如果隨著試驗次數的增加，事件A發(fā)生的頻率f0(A)穩(wěn)定

在某個常數上，把這個常數記作P(A),稱為事件A的概率。

(6)頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的

次數n,“與試驗總次數n的比值區(qū)，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個

n

常數附近擺動，且隨著試驗次數的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。

我們把這個常數叫做隨機事件的概率，概率從數量上反映了隨機事件

發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為

這個事件的概率

(7)似然法與極大似然法：見課本PH1

3、例題分析：

例1判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨

機事件？

(1)“拋一石塊，下落”.

(2)“在標準大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化”；

(3)“某人射擊一次，中靶”;

(4)”如果a>A那么;

(5)“擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面”；

(6)“導體通電后，發(fā)熱”；

(7)“從分別標有號數1,2,3,4,5的5張標簽中任取一張，

得到4號簽”;

(8)“某電話機在1分鐘內收到2次呼叫”；

(9)“沒有水份，種子能發(fā)芽”；

(10)“在常溫下，焊錫熔化”.

答：根據定義，事件(1)、(4)、(6)是必然事件；事件(2)、

(9)、(10)是不可能事件；事件(3)、(5)、(7)、(8)是隨機事件.

例2某射手在同一條件下進行射擊，結果如下表所示:

射擊次數n102050100200500

擊中靶心次數m8194492178455

擊中靶心的頻率強

n

(1)填寫表中擊中靶心的頻率；

(2)這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是什么？

分析:事件A出現(xiàn)的頻數nA與試驗次數n的比值即為事件A的頻率,

當事件A發(fā)生的頻率力(A)穩(wěn)定在某個常數上時，這個常數即為事

件A的概率。

解：(1)表中依次填入的數據為:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.

(2)由于頻率穩(wěn)定在常數0.89,所以這個射手擊一次，擊中靶心的

概率約是0.89。

小結：概率實際上是頻率的科學抽象，求某事件的概率可以通過求該

事件的頻率而得之。

練習：一個地區(qū)從某年起幾年之內的新生兒數及其中男嬰數如下：

時間范圍1年內2年內3年內4年內

新生嬰兒數554496071352017190

男嬰數2883497069948892

男嬰出生的頻率

(1)填寫表中男嬰出生的頻率(結果保留到小數點后第3位)；

(2)這一地區(qū)男嬰出生的概率約是多少？

答案：(1)表中依次填入的數據為:0.520,0.517,0.517,0.517.

（2）由表中的已知數據及公式f0（A）=也即可求出相應的頻率，而

n

各個頻率均穩(wěn)定在常數0.518上，所以這一地區(qū)男嬰出生的概率約是

0.518.

例3某人進行打靶練習，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，有3

次環(huán)中9環(huán)，有4次中8環(huán)，有1次未中靶，試計算此人中靶的概率,

假設此人射擊I次，試問中靶的概率約為多大？中10環(huán)的概率約為

多大？

分析：中靶的頻數為9,試驗次數為10,所以靶的頻率為奈=0.9,所

以中靶的概率約為0.9.

解：此人中靶的概率約為0.9；此人射擊1次，中靶的概率為0.9；中

10環(huán)的概率約為0.2.

例4如果某種彩票中獎的概率為高，那么買1000張彩票一定能中

獎嗎？請用概率的意義解釋。

分析：買1000張彩票，相當于1000次試驗，因為每次試驗的結果都

是隨機的，所以做1000次試驗的結果也是隨機的，也就是說，買1000

張彩票有可能沒有一張中獎。

解：不一定能中獎，因為，買1000張彩票相當于做1000次試驗，因

為每次試驗的結果都是隨機的，即每張彩票可能中獎也可能不中獎，

因此，1000張彩票中可能沒有一張中獎，也可能有一張、兩張乃至

多張中獎。

例5在一場乒乓球比賽前，裁判員利用抽簽器來決定由誰先發(fā)球，

請用概率的知識解釋其公平性。

分析：這個規(guī)則是公平的，因為每個運動員先發(fā)球的概率為05即

每個運動員取得先發(fā)球權的概率是0.5o

解：這個規(guī)則是公平的，因為抽簽上拋后，紅圈朝上與綠圈朝上的概

率均是0.5,因此任何一名運動員猜中的概率都是0.5,也就是每個運

動員取得先發(fā)球權的概率都是0.5o

小結：事實上，只能使兩個運動員取得先發(fā)球權的概率都是0.5的規(guī)

則都是公平的。

4、課堂小結：概率是一門研究現(xiàn)實世界中廣泛存在的隨機現(xiàn)象的科

學，正確理解概率的意義是認識、理解現(xiàn)實生活中有關概率的實例的

關鍵，學習過程中應有意識形成概率意識，并用這種意識來理解現(xiàn)實

世界，主動參與對事件發(fā)生的概率的感受和探索。

5、自我評價與課堂練習：

1.將一枚硬幣向上拋擲10次，其中正面向上恰有5次是（）

A.必然事件B.隨機事件

C.不可能事件D.無法確定

2.下列說法正確的是（）

A.任一事件的概率總在（0.1）內

B.不可能事件的概率不一定為0

C.必然事件的概率一定為1D.以上均不對

3.下表是某種油菜子在相同條件下的發(fā)芽試驗結果表，請完成表格

并回答題。

每批粒數251070130700150200300

000

發(fā)芽的粒數24960116282639133271

95

發(fā)芽的頻率

(1)完成上面表格：

(2)該油菜子發(fā)芽的概率約是多少?

4.某籃球運動員，在同一條件下進行投籃練習，結果如下表如示。

投籃次數

進球次數

m

進球頻率

m

n

(1)計算表中進球的頻率;

(2)這位運動員投籃一次，進球的概率約為多少？

5.生活中，我們經常聽到這樣的議論：“天氣預報說昨天降水概率為

90%,結果根本一點雨都沒下，天氣預報也太不準確了?！睂W了概率

后，你能給出解釋嗎？

6、評價標準：

1.B［提示：正面向上恰有5次的事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，即

該事件為隨機事件。］

2.C［提示：任一事件的概率總在內，不可能事件的概率為0,

必然事件的概率為1.］

3.解：(1)填入表中的數據依次為

1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.(2)該油菜子

發(fā)芽的概率約為0.897。

4.解：(1)填入表中的數據依次為0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.

(2)由于上述頻率接近0.80,因此，進球的概率約為0.80。

5.解：天氣預報的“降水”是一個隨機事件，概率為90%指明了“降

水”這個隨機事件發(fā)生的概率，我們知道：在一次試驗中，概率為

90%的事件也可能不出現(xiàn)，因此，“昨天沒有下雨”并不說明“昨天

的降水概率為90%”的天氣預報是錯誤的。

7、作業(yè)：根據情況安排

3.1.3概率的基本性質(第三課時)

一、教學目標：

1、知識與技能：(1)正確理解事件的包含、并事件、交事件、相等

事件，以及互斥事件、對立事件的概念；

(2)概率的兒個基本性質：1)必然事件概率為1,不可能事件概率

為0,因此OWP(A)W1；2)當事件A與B互斥時一，滿足加法公式：

P(AUB)=P(A)+P(B)；3)若事件A與B為對立事件，則AUB為必

然事件，所以P(AUB)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)

(3)正確理解和事件與積事件，以及互斥事件與對立事件的區(qū)別與

聯(lián)系.

2、過程與方法：通過事件的關系、運算與集合的關系、運算進行類

比學習，培養(yǎng)學生的類化與歸納的數學思想。

3、情感態(tài)度與價值觀：通過數學活動，了解教學與實際生活的密切

聯(lián)系，感受數學知識應用于現(xiàn)實世界的具體情境，從而激發(fā)學習數

學的情趣。

二、重點與難點：概率的加法公式及其應用，事件的關系與運算。

三、學法與教學用具：1、討論法，師生共同討論，從而使加深學生

對概率基本性質的理解和認識；2、教學用具：投燈片

四、教學設想：

1、創(chuàng)設情境：(1)集合有相等、包含關系，如｛1,3｝=｛3,1｝,

｛2,4｝C｛2,3,4,5｝等；

(2)在擲骰子試驗中，可以定義許多事件如：C尸｛出現(xiàn)1點｝,Cz=｛出

現(xiàn)2點｝,C3=｛出現(xiàn)1點或2點｝,Cd=｛出現(xiàn)的點數為偶數｝...

師生共同討論：觀察上例，類比集合與集合的關系、運算，你能發(fā)現(xiàn)

事件的關系與運算嗎？

2、基本概念：(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件見課

本P115；

(2)若AGB為不可能事件，即AGB=d),那么稱事件A與事件B互

斥；

(3)若AGB為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱事件A與事

件B互為對立事件；

(4)當事件A與B互斥時,滿足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)；

若事件A與B為對立事件，則AUB為必然事件，所以P(AUB)=P(A)+

P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B).

3、例題分析：

例1一個射手進行一次射擊,試判斷下列事件哪些是互斥事件?哪些

是對立事件？

事件A：命中環(huán)數大于7環(huán)；事件B：命中環(huán)數為

10環(huán);

事件C：命中環(huán)數小于6環(huán)；事件D：命中環(huán)數為6、

7、8、9、10環(huán).

分析：要判斷所給事件是對立還是互斥，首先將兩個概念的聯(lián)系與區(qū)

別弄清楚，互斥事件是指不可能同時發(fā)生的兩事件，而對立事件是建

立在互斥事件的基礎上，兩個事件中一個不發(fā)生，另一個必發(fā)生。

解：A與C互斥(不可能同時發(fā)生)，B與C互斥，C與D互斥，C

與D是對立事件(至少一個發(fā)生).

例2拋擲一骰子，觀察擲出的點數,設事件A為“出現(xiàn)奇數點”，B為

“出現(xiàn)偶數點”，已知P(A)=LP(B)=1,求出”出現(xiàn)奇數點或偶數

22

點”.

分析：拋擲骰子，事件“出現(xiàn)奇數點”和“出現(xiàn)偶數點”是彼此互斥

的，可用運用概率的加法公式求解.

解：記“出現(xiàn)奇數點或偶數點”為事件C,則C=AUB,因為A、B是

互斥事件，所以P(C)=P(A)+P(B)='+L=1

22

答：出現(xiàn)奇數點或偶數點的概率為1

例3如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張，那么取到

紅心(事件A)的概率是工，取到方塊(事件B)的概率是,，問：

44

(1)取到紅色牌(事件C)的概率是多少？

(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？

分析：事件C是事件A與事件B的并，且A與B互斥，因此可用互

斥事件的概率和公式求解，事件C與事件D是對立事件,因此P(D)=1

—P(C).

解：(1)P(C)=P(A)+P(B)=1(2)P(D)=1—P(C)=-

22

例4袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取

一球，得到紅球的概率為L得到黑球或黃球的概率是上，得到黃球

312

或綠球的概率也是工，試求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率各

12

是多少？

分析：利用方程的思想及互斥事件、對立事件的概率公式求解.

解：從袋中任取一球，記事件“摸到紅球”、“摸到黑球”、“摸到黃球”、

“摸到綠球”為A、B、C、D,則有P(BUC)=P(B)+P(C)=—；P(CU

12

D)=P(C)+P(D)=—；P(BUCUD)=l-P(A)=l--=-,解的

1233

P(B)=i,P(C)=i,P(D)=i

464

答：得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率分別是‘、

464

4、課堂小結：概率的基本性質：1)必然事件概率為1,不可能事件

概率為0,因此OWP(A)W1；2)當事件A與B互斥時，滿足加法公

式：P(AUB)=P(A)+P(B)；3)若事件A與B為對立事件，則AUB

為必然事件,所以P(AUB)=P(A)+P(B)=L于是有P(A)=1—P(B)；

3)互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件

B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：(1)事

件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；(2)事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；(3)事

件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅

有一個發(fā)生，其包括兩種情形；(1)事件A發(fā)生B不發(fā)生；(2)事件

B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。

5、自我評價與課堂練習：

1.從一堆產品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，觀察正

品件數與次品件數，判斷下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再

判斷它們是不是對立事件。

(1)恰好有1件次品恰好有2件次品；

(2)至少有1件次品和全是次品；

(3)至少有1件正品和至少有1件次品；

(4)至少有1件次品和全是正品；

2.拋擲一粒骰子，觀察擲出的點數，設事件A為出現(xiàn)奇數，事件B

為出現(xiàn)2點，已知P(A)=-,P(B)求出現(xiàn)奇數點或2點的

26

概率之和。

3.某射手在一次射擊訓練中，射中10環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為

0.21,0.23,0.25,0.28,計算該射手在一次射擊中：

(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；

(2)少于7環(huán)的概率。

4.已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，

已知從中取出2粒都是黑子的概率是:，從中取出2粒都是白子的概

率是空，現(xiàn)從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？

35

6、評價標準：

1.解：依據互斥事件的定義，即事件A與事件B在一定試驗中不會

同時發(fā)生知：(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同時發(fā)生,

因此它們是互斥事件，又因為它們的并不是必然事件，所以它們不是

對立事件，同理可以判斷：(2)中的2個事件不是互斥事件，也不是

對立事件。(3)中的2個事件既是互斥事件也是對立事件。

2.解：“出現(xiàn)奇數點”的概率是事件A,“出現(xiàn)2點”的概率是事件

B,“出現(xiàn)奇數點或2點”的概率之和為P(C)=P(A)+P(B)=LL2

263

3.解：(1)該射手射中10環(huán)與射中9環(huán)的概率是射中10環(huán)的概率

與射中9環(huán)的概率的和，即為0.21+0.23=0.44。(2)射中不少于7環(huán)

的概率恰為射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率的和，即為

0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于7環(huán)的事件與射中不少于7環(huán)

的事件為對立事件，所以射中少于7環(huán)的概率為1-0.97=0.03。

4.解：從盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰為取2粒白子

的概率與2粒黑子的概率的和，即為L+絲=口

73535

7、作業(yè)：根據情況安排

3.2古典概型(第四、五課時)

3.2.1—3.2.2古典概型及隨機數的產生

一、教學目標：

1、知識與技能：（1）正確理解古典概型的兩大特點：1）試驗中所有

可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相

等；

（2）掌握古典概型的概率計算公式：P（A）=空然獸￡?自數

總的基本事件個數

（3）了解隨機數的概念；

（4）利用計算機產生隨機數，并能直接統(tǒng)計出頻數與頻率。

2、過程與方法：（1）通過對現(xiàn)實生活中具體的概率問題的探究，感

知應用數學解決問題的方法，體會數學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，培養(yǎng)

邏輯推理能力；（2）通過模擬試驗，感知應用數字解決問題的方法，

自覺養(yǎng)成動手、動腦的良好習慣。

3、情感態(tài)度與價值觀：通過數學與探究活動，體會理論來源于實踐

并應用于實踐的辯證唯物主義觀點.

二、重點與難點：1、正確理解掌握古典概型及其概率公式；2、正確

理解隨機數的概念，并能應用計算機產生隨機數.

三、學法與教學用具：1、與學生共同探討，應用數學解決現(xiàn)實問題；

2、通過模擬試驗，感知應用數字解決問題的方法，自覺養(yǎng)成動手、

動腦的良好習慣.

四、教學設想：

1、創(chuàng)設情境：（1）擲一枚質地均勻的硬幣，結果只有2個，即“正

面朝上”或“反面朝上”，它們都是隨機事件。

（2）一個盒子中有10個完全相同的球，分別標以號碼1,2,3,

10,從中任取一球，只有10種不同的結果，即標號為1,2,3…，10。

師生共同探討：根據上述情況，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特點？

2、基本概念：

（1）基本事件、古典概率模型、隨機數、偽隨機數的概念見課本

P121-126；

（2）古典概型的概率計算公式：P（A）=怨鬻箕黑歲.

總的基本事件個數

3、例題分析：

課本例題略

例1擲一顆骰子，觀察擲出的點數，求擲得奇數點的概率。

分析：擲骰子有6個基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典

概型。

解：這個試驗的基本事件共有6個，即（出現(xiàn)1點）、（出現(xiàn)2點）……、

（出現(xiàn)6點）

所以基本事件數n=6,

事件A=（擲得奇數點）=（出現(xiàn)1點，出現(xiàn)3點，出現(xiàn)5點），

其包含的基本事件數m=3

所以，P（A）=-=^=1=0.5

n62

小結：利用古典概型的計算公式時應注意兩點：

（1）所有的基本事件必須是互斥的；

（2）m為事件A所包含的基本事件數，求m值時，要做到不重不漏。

例2從含有兩件正品山，a2和一件次品也的三件產品中，每次任取

一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產品中恰有一

件次品的概率。

解：每次取出一個，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結果組

成的基本事件有6個，即(a1,a2)和，(a「b2),(a2,ai),(a2,bj

(b,,a,),(b2,a2)o其中小括號內左邊的字母表示第1次取出的產

品，右邊的字母表示第2次取出的產用A表示“取出的兩種中，恰

好有一件次品”這一事件，則

A=[(a]，b,),(a2,b,),(b,,a])，(b”a2)]

事件A由4個基本事件組成，因而，P(A)=-=-

63

例3現(xiàn)有一批產品共有10件，其中8件為正品，2件為次品：

(1)如果從中取出一件，然后放PI,再取一件，求連續(xù)3次取出的

都是正品的概率；

(2)如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率.

分析：(1)為返回抽樣；(2)為不返回抽樣.

解：(1)有放回地抽取3次，按抽取順序(x,y,z)記錄結果，則x,y,z

都有10種可能,所以試驗結果有10X10X10=103種；設事件A為“連

續(xù)3次都取正品”,則包含的基本事件共有8X8X8=83種，因止匕,P(A)=

父3

J=0.512.

103

(2)解法1：可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基本事件不同,

按抽取順序記錄(x,y,z),則x有10種可能，y有9種可能，z有8

種可能，所以試驗的所有結果為10X9X8=720種.設事件B為“3

件都是正品”，則事件B包含的基本事件總數為8X7X6=336,所以

P(B)=—^0.467.

720

解法2：可以看作不放回3次無順序抽樣，先按抽取順序(x,y,z)

記錄結果,則x有10種可能,y有9種可能,z有8種可能，但(x,y,z),

(x,z,y),(y,x,z),(y,z,x),(z,x,y),(z,y,x),是相同的,所以

試驗的所有結果有10X9X8+6=120,按同樣的方法，事件B包含的

基本事件個數為8X7X6+6=56,因此P(B)=—^0.467.

120

小結：關于不放回抽樣，計算基本事件個數時，既可以看作是有順序

的，也可以看作是無順序的，其結果是一樣的，但不論選擇哪一種方

式，觀察的角度必須一致，否則會導致錯誤.

例4利用計算器產生10個1-100之間的取整數值的隨機數。

解：具體操作如下：

鍵入

(PRR)RANDRANDI

STATDEC

____________________/

RANDI(1,100)

ENTERSTATDEG

\)

RAND(1,100)

ENTER

3.

STATDEC

k___________/

反復操作10次即可得之

小結：利用計算器產生隨機數，可以做隨機模擬試驗，在日常生活中，

有著廣泛的應用。

例5某籃球愛好者，做投籃練習，假設其每次投籃命中的概率是40%,

那么在連續(xù)三次投籃中，恰有兩次投中的概率是多少？

分析：其投籃的可能結果有有限個，但是每個結果的出現(xiàn)不是等可能

的，所以不能用古典概型的概率公式計算，我們用計算機或計算器做

模擬試驗可以模擬投籃命中的概率為40%o

解：我們通過設計模擬試驗的方法來解決問題，利用計算機或計算器

可以生產0到9之間的取整數值的隨機數。

我們用1,2,3,4表示投中，用5,6,7,8,9,0表示未投中，

這樣可以體現(xiàn)投中的概率是40%。因為是投籃三次，所以每三個隨機

數作為一組。

例如：產生20組隨機數：

812,932,569,683,271,989,730,537,925,

907,113,966,191,431,257,393,027,556.

這就相當于做了20次試驗，在這組數中，如果恰有兩個數在1,

2,3,4中，則表示恰有兩次投中，它們分別是812,932,271,191,

393,即共有5個數，我們得到了三次投籃中恰有兩次投中的概率近

似為工=25%。

20

小結：(1)利用計算機或計算器做隨機模擬試驗，可以解決非古典概

型的概率的求解問題。

(2)對于上述試驗，如果親手做大量重復試驗的話，花費的時

間太多，因此利用計算機或計算器做隨機模擬試驗可以大大節(jié)省時

間。

(3)隨機函數RANDBETWEEN(a,b)產生從整數a到整數b

的取整數值的隨機數。

例6你還知道哪些產生隨機數的函數？請列舉出來。

解：(1)每次按|SHIFl]|RNA#|鍵都會產生一個。?1之間的隨機數,

而且出現(xiàn)0?1內任何一個數的可能性是相同的。

(2)還可以使用計算機軟件來產生隨機數，如Scilab中產生隨機

數的方法。Scilab中用rand()函數來產生0?1之間的隨機數，每周

用一次rand()函數，就產生一個隨機數，如果要產生a?b之間的隨

機數，可以使用變換rand()*(b—a)+a得到.

4、課堂小結：本節(jié)主要研究了古典概型的概率求法，解題時要注意兩

八占、、??

(1)古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能

性。

(2)古典概型的解題步驟；

①求出總的基本事件數；

②求出事件A所包含的基本事件數，然后利用公式P(A)

二A包含的基本事件數

一總的基本事件個數

(3)隨機數量具有廣泛的應用，可以幫助我們安排和模擬一些試

驗，這樣可以代替我們自己做大量重復試驗，比如現(xiàn)在很多城市的重

要考試采用產生隨機數的方法把考生分配到各個考場中。

5、自我評價與課堂練習：

1.在40根纖維中，有12根的長度超過30mm,從中任取一根，取

到長度超過30mm的纖維的概率是()

A.—B.—C.—D.以上都不對

404030

2.盒中有10個鐵釘，其中8個是合格的，2個是不合格的，從中任

取一個恰為合格鐵釘的概率是

A.-B.-C.-D.—

54510

3.在大小相同的5個球中，2個是紅球，3個是白球，若從中任取2

個，則所取的2個球中至少有一個紅球的概率是o

4.拋擲2顆質地均勻的骰子，求點數和為8的概率。

5.利用計算器生產10個1到20之間的取整數值的隨機數。

6.用0表示反面朝上，1表正面朝上，請用計算器做模擬擲硬幣試

驗。

6、評價標準：

1.B［提示：在40根纖維中，有12根的長度超過30mm,即基本事

件總數為40,且它們是等可能發(fā)生的，所求事件包含12個基本事件,

故所求事件的概率為*因此選B.］

2.C［提示：（方法1）從盒中任取一個鐵釘包含基本事件總數為10,

其中抽到合格鐵訂（記為事件A）包含8個基本事件，所以，所求概

率為P（A）=§=±（方法2）本題還可以用對立事件的概率公式求

105

解，因為從盒中任取一個鐵釘，取到合格品（記為事件A）與取到不

合格品（記為事件B）恰為對立事件，因此，P（A）=1-P（B）=1

105

3.（［提示；記大小相同的5個球分別為紅］,紅2,白”白2,白3,

則基本事件為：（紅1，紅2），（紅1，白1），（紅1，白2）（紅1，白3），

（紅2,白3），共1。個，其中至少有一個紅球的事件包括7個基本事

件，所以，所求事件的概率為（.本題還可以利用“對立事件的概率

和為1”來求解，對于求“至多”“至少”等事件的概率頭問題，常

采用間接法，即求其對立事件的概率P（A）,然后利用P（A）1-P

（A）求解］。

4.解：在拋擲2顆骰子的試驗中，每顆骰子均可出現(xiàn)1點，2點，…,

6點6種不同的結果，我們把兩顆骰子標上記號1,2以便區(qū)分，由

于1號骰子的一個結果，因此同時擲兩顆骰子的結果共有6X6=36

種，在上面的所有結果中，向上的點數之和為8的結果有（2,6）,

（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）5種，所以，所求事件的概率為

5

36

5.解：具體操作如下

鍵入

ENTER7

反復按鍵10次即可得到。

6.解：具體操作如下:

鍵入PANDRANDI

STATDEG

7、作業(yè)：根據情況安排

3.3幾何概型

3.3.1-3.3.2幾何概型及均勻隨機數的產生

一、教學目標：

1、知識與技能：（1）正確理解兒何概型的概念;

（2）掌握兒何概型的概率公式：

DzAx構成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）

1-試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度（面積或體積）

（3）會根據古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系來判別某種概型是古

典概型還是幾何概型；

（4）了解均勻隨機數的概念；

（5）掌握利用計算器（計算機）產生均勻隨機數的方法；

（6）會利用均勻隨機數解決具體的有關概率的問題.

2、過程與方法：（1）發(fā)現(xiàn)法教學，通過師生共同探究，體會數學

知識的形成，學會應用數學知識來解決問題，體會數學知識與現(xiàn)

實世界的聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力；（2）通過模擬試驗，感知應

用數字解決問題的方法，自覺養(yǎng)成動手、動腦的良好習慣。

3、情感態(tài)度與價值觀：本節(jié)課的主要特點是隨機試驗多，學習時

養(yǎng)成勤學嚴謹的學習習慣。

二、重點與難點：

1、兒何概型的概念、公式及應用；

2、利用計算器或計算機產生均勻隨機數并運用到概率的實際應用中.

三、學法與教學用具：1、通過對本節(jié)知識的探究與學習，感知用圖

形解決概率問題的方法，掌握數學思想與邏輯推理的數學方法；2、

教學用具：投燈片，計算機及多媒體教學.

四、教學設想：

1、創(chuàng)設情境：在概率論發(fā)展的早期，人們就已經注意到只考慮那種

僅有有限個等可能結果的隨機試驗是不夠的，還必須考慮有無限多個

試驗結果的情況。例如一個人到單位的時間可能是8：0059：00之

間的任何一個時刻；往一個方格中投一個石子，石子可能落在方格中

的任何一點……這些試驗可能出現(xiàn)的結果都是無限多個。

2、基本概念：（1）兒何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構

成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為

兒何概率模型；

（2）兒何概型的概率公式：

p（A）二構成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）

一試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度（面積或體積）;

（3）幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結果（基本事件）

有無限多個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

3、例題分析：

課本例題略

例1判下列試驗中事件A發(fā)生的概度是古典概型，

還是幾何概型。

（1）拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個“4點”的概率；

（2）如課本P132圖3.3-1中的（2）所示，圖中有一個轉盤，甲乙兩

人玩轉盤游戲，規(guī)定當指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝，

求甲獲勝的概率。

分析：本題考查的幾何概型與古典概型的特點，古典概型具有有限性

和等可能性。而幾何概型則是在試驗中出現(xiàn)無限多個結果，且與事件

的區(qū)域長度有關。

解：（1）拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結果有6X6=36種，且它們都是

等可能的，因此屬于古典概型；

（2）游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指

針落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量,

即與區(qū)域長度有關，因此屬于幾何概型.

例2某人欲從某車站乘車出差，已知該站發(fā)往各站的客車均每小時

一班，求此人等車時間不多于10分鐘的概率.

分析：假設他在0?60分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的,

但在0到60分鐘之間有無窮多個時刻,不能用古典概型公式計算隨機

事件發(fā)生的概率.可以通過兒何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概

率.因為客車每小時一班，他在0到60分鐘之間任何一個時刻到站等

車是等可能的，所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的

長度有關,而與該時間段的位置無關,這符合兒何概型的條件.

解:設A=｛等待的時間不多于10分鐘｝，我們所關心的事件A恰好是到

站等車的時刻位于［50,60］這一時間段內，因此由兒何概型的概率公

式，得P(A)=竺二竺=_1,即此人等車時間不多于10分鐘的概率為

6066

小結：在本例中，到站等車的時刻X是隨機的，可以是。到60之間

的任何一刻，并且是等可能的，我們稱X服從［0,60］上的均勻分布，

X為［0,60］上的均勻隨機數.

練習：1.已知地鐵列車每lOmin一班，在車站停Imin,求乘客到達

站臺立即乘上車的概率。

2.兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，求燈與

兩端距離都大于2m的概率.

解：1.由幾何概型知，所求事件A的概率為P(A)=1；

2.記“燈與兩端距離都大于2m”為事件A,則P(A)=2=J..

63

例3在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲藏著石油，

假設在海域中任意一點鉆探，鉆到油層面的概率是多少？

分析：石油在1萬平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機的而

40平方千米可看作構成事件的區(qū)域面積，有兒何概型公式可以求得

概率。

解：記“鉆到油層面”為事件A,則P（A）=

儲藏石油的大陸架面積二40二。004

所有海域的大陸架面積一10000-''

答：鉆到油層面的概率是0.004.

例4在1升高產小麥種子中混入了一種帶麥誘病的種子，從中隨機

取出10毫升，則取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是多少？

分析：病種子在這1升中的分布可以看作是隨機的，取得的10毫克

種子可視作構成事件的區(qū)域，1升種子可視作試驗的所有結果構成的

區(qū)域，可用“體積比”公式計算其概率。

解：取出10毫升種子，其中“含有病種子”這一事件記為A,則

p（A）=取出的種子體積一10hog

所有種子的體積一1000一,,

答：取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是0.0L

例5取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩

段的長都不小于1m的概率有多大？

分析：在任意位置剪斷繩子，則剪斷位置到一端點的距離取遍［0,3］

內的任意數，并且每一個實數被取到都是等可能的。因此在任意位置

剪斷繩子的所有結果（基本事件）對應［0,3］上的均勻隨機數，其中

取得的［1,2］內的隨機數就表示剪斷位置與端點距離在［1,2］內，也

就是剪得兩段長都不小于1%這樣取得的［1,2］內的隨機數個數與

［0,3］內個數之比就是事件A發(fā)生的概率。

解法1：(1)利用計算器或計算機產生一組0到1區(qū)間的均勻隨機數

ai=RAND.

(2)經過伸縮變換，a=a#3.

(3)統(tǒng)計出［1,2］內隨機數的個數N和［0,3］內隨機數的個數N.

(4)計算頻率f￡A)=叢即為概率P(A)的近似值.

N

解法2：做一個帶有指針的圓盤，把圓周三等分，標上刻度［0,3］(這

里3和。重合).轉動圓盤記下指針在［1,2］(表示剪斷繩子位置在

［1,2］范圍內)的次數M及試驗總次數N,則fn(A)=+即為概率P(A)

的近似值.

小結：用隨機數模擬的關鍵是把實際問題中事件A及基本事件總體

對應的區(qū)域轉化為隨機數的范圍。解法2用轉盤產生隨機數，這種方

法可以親自動手操作，但費時費力，試驗次數不可能很大；解法1用

計算機產生隨機數，可以產生大量的隨機數，又可以自動統(tǒng)計試驗的

結果，同時可以在短時間內多次重復試驗，可以對試驗結果的隨機性

和規(guī)律性有更深刻的認識.

例6在長為12cm的線段AB上任取一點M,并以線段AM為邊作正

方形，求這個正方形的面積介于36cm2與81cm2之間的概率.

分析：正方形的面積只與邊長有關，此題可以轉化為在12cm長的線

段AB上任取一點M,求使得AM的長度介于6cm與9cm之間的概

率.

解：(1)用計算機產生一組［o,1］內均勻隨機數為=RAND.

(2)經過伸縮變換，a=a1*12得到［0,12］內的均勻隨機數.

(3)統(tǒng)計試驗總次數N和［6,9］內隨機數個數N1

(4)計算頻率”.

N

記事件A=｛面積介于36cm2與81cm2之間｝=｛長度介于6cm與9cm之

間｝,則P(A)的近似值為fn(A)=*L.

4、課堂小結：1、幾何概型是區(qū)別于古典概型的又一概率模型，使用兒

何概型的概率計算公式時，一定要注意其適用條件：每個事件發(fā)生的概

率只與構成該事件區(qū)域的長度成比例；

2、均勻隨機數在日常生活中，有著廣泛的應用，我們可以利用計算

器或計算機來產生均勻隨機數，從而來模擬隨機試驗，其具體方法是:

建立一個概率模型，它與某些我們感興趣的量(如概率值、常數)

有關，然后設計適當的試驗，并通過這個試驗的結果來確定這些量.

5、自我評價與課堂練習：

1.在500ml的水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出2ml水樣放到顯

微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率是()

A.0.5B.0.4C.0.004D.不能確定

2.平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r<a的硬幣任

意擲在這個平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率.

3.某班有45個，現(xiàn)要選出1人去檢查其他班的衛(wèi)生，若每個人被選

到的機會均等，則恰好選中學生甲主機會有多大？

4.如圖3-18所示，曲線y=-x?+l與x軸、y軸圍成一個區(qū)域A,直

線x=l、直線y=l、x軸圍成一個正方形，向正方形中隨機地撒一把

芝麻，利用計算機來模擬這個試驗，并統(tǒng)計出落在區(qū)域A內的芝麻

數與落在正方形中的芝麻數。

6、評價標準:

1.C(提示：由于取水樣的隨機性，所

求事件A：“在取出2ml的水樣中有草履M

A

蟲”的概率等于水樣的體積與總體積之

比2=0.004)

5002ao

2.解：把“硬幣不與任一條平行線相碰”

的事件記為事件A,為了確定硬幣的位

置，由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM,垂足為M,如

圖所示，這樣線段OM長度(記作OM)的取值范圍就是[。,a],只有

當rVOMWa時硬幣不與平行線相碰，所以所求事件A的概率就是P

(r,a]的長度a—r

(A)=

[0,幻的長度a

3.提示：本題應用計算器產生隨機數進行模擬試驗，請按照下面的

步驟獨立完成。

(1)用1?45的45個數來替代45個人;

(2)用計算器產生1?45之間的隨機數，并記錄;

(3)整理數據并填入下表

試驗50100152025303540455060657075808590100105

次數00000000000000000

1出

現(xiàn)

怫

數

1出

現(xiàn)

率

（4）利用穩(wěn)定后1出現(xiàn)的頻率估計恰好選中學生甲的機會。

4.解：如下表，由計算機產生兩例。?1之間的隨機數，它們分別表

示隨機點（x,y）的坐標。如果一個點（x,y）滿足y^-x2+l,就表示

這個點落在區(qū)域A內，在下表中最后一列相應地就填上1,否則填0。

Xy計數

0.5988950.9407940

0.5122840.1189611

0.4968410.7844170

0.1127960.6906341

0.3596000.3714411

0.1012600.6505121

?????????

0.9473860.9021270

0.1176180.3056731

0.5164650.2229071

0.5963930.9696950

7、作業(yè)：根據情況安排

3.1隨機事件的概率

3.1.1—3.1.2隨機事件的概率及概率的意義（第一、二課時）

一、教學目標：

1、知識與技能：（1）了解隨機事件、必然事件、不可能事件的概念;

（2）正確理解事件A出現(xiàn)的頻率的意義；（3）正確理解概率的概念

和意義，明確事件A發(fā)生的頻率K（A）與事件A發(fā)生的概率P（A）

的區(qū)別與聯(lián)系；（3）利用概率知識正確理解現(xiàn)實生活中的實際問題.

2、過程與方法：（1）發(fā)現(xiàn)法教學，通過在拋硬幣、拋骰子的試驗中

獲取數據，歸納總結試驗結果，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，真正做到在探索中學習，

在探索中提高；（2）通過對現(xiàn)實生活中的“擲幣”，“游戲的公平性”,、

，，彩票中獎，，等問題的探究，感知應用數學知識解決數學問題的方法,

理解邏輯推理的數學方法.

3、情感態(tài)度與價值觀：（1）通過學生自己動手、動腦和親身試驗來

理解知識，體會數學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系；(2)培養(yǎng)學生的辯證唯

物主義觀點，增強學生的科學意識.

二、重點與難點：(1)教學重點：事件的分類；概率的定義以及和頻

率的區(qū)別與聯(lián)系；(2)教學難點：用概率的知識解釋現(xiàn)實生活中的具

體問題.

三、學法與教學用具：1、引導學生對身邊的事件加以注意、分析，

結果可定性地分為三類事件：必然事件，不可能事件，隨機事件；指

導學生做簡單易行的實驗，讓學生無意識地發(fā)現(xiàn)隨機事件的某一結果

發(fā)生的規(guī)律性；2、教學用具：硬幣數枚，投燈片，計算機及多媒體

教學.

四、教學設想：

1、創(chuàng)設情境：日常生活中，有些問題是很難給予準確無誤的回答的。

例如，你明天什么時間起床？7：20在某公共汽車站候車的人有多少？

你購買本期福利彩票是否能中獎？等等。

2、基本概念：

(1)必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S

的必然事件；

(2)不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條

件S的不可能事件；

(3)確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定

事件；

(4)隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對

于條件s的隨機事件；

(5)頻數與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件

A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數m為事件A出現(xiàn)的頻數;

稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=.為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨

n

機事件A,如果隨著試驗次數的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定

在某個常數上，把這個常數記作P(A),稱為事件A的概率。

(6)頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的

次數必與試驗總次數n的比值區(qū)，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個

n

常數附近擺動，且隨著試驗次數的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。

我們把這個常數叫做隨機事件的概率，概率從數量上反映了隨機事件

發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為

這個事件的概率

(7)似然法與極大似然法：見課本P111

3、例題分析：

例1判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨

機事件？

(1)“拋一石塊，下落”.

(2)“在標準大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化”；

(3)“某人射擊一次，中靶”；

(4)“如果那么a—b>0”；

(5)“擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面”；

(6)“導體通電后，發(fā)熱”；

(7)“從分別標有號數1,2,3,4,5的5張標簽中任取一張,

得至I」4號簽”；

(8)”某電話機在1分鐘內收到2次呼叫”；

(9)“沒有水份，種子能發(fā)芽”；

(10)“在常溫下，焊錫熔化”.

答：根據定義，事件(1)、(4)、(6)是必然事件；事件(2)、

(9)、(10)是不可能事件；事件(3)、(5)、⑺、(8)是隨機事件.

例2某射手在同一條件下進行射擊，結果如下表所示：

射擊次數n102050100200500

擊中靶心次數m8194492178455

擊中靶心的頻率依

n

(1