四點共圓及應(yīng)用一．基本原理1.方法一：斜率方法若兩條直線與二次曲線有四個交點，則這四個交點共圓的充要條件是.結(jié)論1拋物線的內(nèi)接四邊形同時內(nèi)接于圓的充要條件是該四邊形的兩組對邊、兩條對角線所在的三對直線中有一對直線的傾斜角互補(bǔ).結(jié)論2圓錐曲線的內(nèi)接四邊形同時內(nèi)接于圓的充要條件是該四邊形的兩組對邊、兩條對角線所在的三對直線中有一對直線的傾斜角互補(bǔ).方法2：曲線系方法定理2若兩條直線與二次曲線有四個交點，則這四個交點共圓的充要條件是.證明：由組成的曲線即所以經(jīng)過它與的四個交點的二次曲線確定能表示成以下形式不同時為0)：①必要性.若四個交點共圓，則存在使方程①表示圓，所以式①左邊的綻開式中含項的系數(shù).而(否則③表示曲線，不表示圓)，所以.充分性.當(dāng)時，式①左邊的綻開式中不含的項，選時，再令式①左邊的綻開式中含項的系數(shù)相等，即，得.此時曲線①即②的形式，這種形式表示的曲線有且僅有三種情形：一個圓、一個點、無軌跡.而題中的四個交點都在曲線②上，所以曲線②表示圓.這就證得了四個交點共圓.方法3.相交弦定理（2）相交弦定理：二．典例分析例1.（2024新高考1卷）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，且動點滿意：，點的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點在直線上，過的兩條直線分別交于兩點和兩點，且滿意，求直線與直線的斜率之和.解析：（1）因為，所以，軌跡是以點，為左右焦點的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為.（2）方法1.相交弦定理干脆翻譯設(shè)，設(shè)直線的方程為．聯(lián)立，化簡得，則．故．則．設(shè)的方程為，同理．因為，所以，化簡得，所以，即．因為，所以．方法2.（參數(shù)方程法）設(shè)．設(shè)直線的傾斜角為，則其參數(shù)方程為，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，可得，整理得．設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系得．設(shè)直線的傾斜角為，，同理可得，由，得．因為，所以．由題意分析知．所以，故直線的斜率與直線的斜率之和為0．（方法3：曲線系）（2）設(shè)，直線的方程為，直線的方程為，則過四點的二次曲線為：，代入雙曲線方程可得：，整理可得：其中．由于四點共圓，則項的系數(shù)為，即.例2.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的離心率為，實軸長為4.（1）求C的方程；（2）如圖，點A為雙曲線的下頂點，直線l過點且垂直于y軸（P位于原點與上頂點之間），過P的直線交C于G，H兩點，直線AG，AH分別與l交于M，N兩點，若O，A，N，M四點共圓，求點P的坐標(biāo).解析：（1）因為實軸長為4，即，，又，所以，，故C的方程為.（2）由O，A，N，M四點共圓可知，，又，即，故，即，所以,設(shè)，，，由題意可知，則直線，直線，因為M在直線l上，所以，代入直線AG方程，可知，故M坐標(biāo)為，所以，又，由，則，整理可得，