專題強(qiáng)化練3利用均值不等式求最值1.(2023豫南名校期中)已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=1,則xyxA.162.(2024浙江溫州期末)已知m,n均為正實(shí)數(shù),且滿足m2n+2mn2-4m-n=0,則m+2n的最小值為()A.22+1B.15C.3.(2023浙江寧波九校期末)已知x>y>0,且x2-y2=1,則2x2+3y2-4xy的最小值為()A.34.(多選題)(2024湖北孝感部分學(xué)校月考)已知a,b為正實(shí)數(shù),且ab+2a+b=16,則()A.2a+b的最小值為8B.1C.ab的最大值為8D.b+15.(2024廣東梅州期末)若a>0,b>0,則mina,ba6.(2023山東青島月考)若正實(shí)數(shù)x,y滿足x2y+7.(2023河北石家莊正定中學(xué)月考)設(shè)a>2b>0,那么a4+4b8.(2022廣東深圳南山外國語學(xué)校月考)已知x>0,y>0.(1)若不等式1x+(2)若x+y=1,1x+9.(2022江蘇常州北郊高級中學(xué)月考)如圖,我國古代的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的.設(shè)直角三角形ABC的直角邊長分別為a,b,且直角三角形ABC的周長為1.(1)求直角三角形ABC面積的最大值;(2)求正方形ABDE面積的最小值.

答案與分層梯度式解析專題強(qiáng)化練3利用均值不等式求最值1.B2.A3.B4.ACD1.B易得xyx+4y=11y+4x.因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x,y滿足x+y=1,所以4x2.A由題意得m2n+2mn2=mn(m+2n)=4m+n,所以m+2n=4m+nmn=1m+4n,所以(m+2n)2=1m+4n(m+2n)=9+3.B由已知得x2-y2=(x+y)(x-y)=1.設(shè)x+y=a,x-y=b,則x=a+所以2x2+3y2-4xy=2a+b22當(dāng)且僅當(dāng)a=3b,即a=3,b=故2x2+3y2-4xy的最小值為1.4.ACD由16=ab+2a+b得b=16-2a+b=2a+18a+1?2=2(a+1)+18a+1-4≥221a+1+1b+216=ab+2a+b≥ab+22ab,當(dāng)且僅當(dāng)2a=b時(shí)取等號,解不等式得0<ab≤22,即ab≤8,因此ab的最大值為8,C正確b+19=18(9-a當(dāng)且僅當(dāng)18(9-a)10(a故選ACD.5.答案1解析令h=mina,ba2+4b則h2≤aba2+4而aba2+4因此當(dāng)a=ba2+4b2,且a=2b,即a=12,b=6.答案22解析∵x2y+2yx=3xy?1,∴x2+4y22xy=3-xyxy,∴x2+4y2=2(3-xy),即(x+2y)2=6+2xy,∵7.答案32解析因?yàn)閍>2b>0,所以a-2b>0,所以b(a-2b)=12(2b)(a-2b)≤12×2b+a-2b228.解析(1)∵x>0,y>0,1x+∴(x+y)1x+又(x+y)1x+1y=2+yx+(2)∵1x+ay≥9恒成立,∵x>0,y>0,a>0,x+y=1,∴1x+ay=1x+ay(x+y)=a+1+axy+yx≥a+1+2ax故a的最小值為4.9.解析(1)因?yàn)橹苯侨切蜛BC的直角邊長分別為a,b,且直角三角形ABC的周長為1,所以1=a+b+a2+b2≥2ab解得0<ab≤2-2所以S△ABC=12ab≤3故直角三角形ABC面積的最大值為3-(2)易得正方形ABDE的面積為a2+b2,因