第二章電磁場的基本規(guī)律2.1電荷守恒定律2.2真空中靜電場的基本規(guī)律2.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律2.4媒質的電磁特性2.5電磁感應定律和位移電流2.6麥克斯韋方程組2.7電磁場的邊界條件6/25/20241中南大學信息科學與工程學院2.1

電荷守恒定律

電磁場物理模型中的基本物理量可分為源量和場量兩大類。電荷電流電場磁場（運動）

源量為電荷

和電流

，分別用來描述產生電磁效應的兩類場源。電荷是產生電場的源，電流是產生磁場的源。6/25/20242中南大學信息科學與工程學院本節(jié)內容

2.1.1電荷與電荷密度

2.1.2電流與電流密度

2.1.3電荷守恒定律6/25/20243中南大學信息科學與工程學院

?

電荷是物質基本屬性之一。

?1897年英國科學家湯姆遜(J.J.Thomson)在實驗中發(fā)現(xiàn)了電子。

?1907—1913年間，美國科學家密立根(R.A.Miliken)通過油滴實驗，精確測定電子電荷的量值為

e=1.60217733×10-19(單位：C)確認了電荷的量子化概念。換句話說，e是最小的電荷，而任何帶電粒子所帶電荷都是e的整數(shù)倍。

?宏觀分析時，電荷常是數(shù)以億計的電子電荷e的集合，故可不考慮其量子化的事實，而認為電荷量q可任意連續(xù)取值。2.1.1電荷與電荷密度6/25/20244中南大學信息科學與工程學院1.電荷體密度單位：C/m3

(庫/米3

)

根據(jù)電荷密度的定義，如果已知某空間區(qū)域V中的電荷體密度，則區(qū)域V中的總電荷q為

電荷連續(xù)分布于體積V內，用電荷體密度來描述其分布

理想化實際帶電系統(tǒng)的電荷分布形態(tài)分為四種形式：

點電荷、體分布電荷、面分布電荷、線分布電荷6/25/20245中南大學信息科學與工程學院2.電荷面密度單位:C/m2

(庫/米2)

如果已知某空間曲面S上的電荷面密度，則該曲面上的總電荷q為面電荷：當電荷只存在于厚度可以忽略不計的表面上，稱電荷為面電荷。電荷面密度的定義：6/25/20246中南大學信息科學與工程學院3.電荷線密度

如果已知某空間曲線上的電荷線密度，則該曲線上的總電荷q為

單位:C/m(庫/米)線電荷：當電荷只分布在一條細線上時，稱電荷為線電荷。電荷線密度的定義：6/25/20247中南大學信息科學與工程學院

對于總電荷為q

的電荷集中在很小區(qū)域V的情況，當不分析和計算該電荷所在的小區(qū)域中的電場，而僅需要分析和計算電場的區(qū)域又距離電荷區(qū)很遠，即場點距源點的距離遠大于電荷所在的源區(qū)的線度時，小體積V中的電荷可看作位于該區(qū)域中心、電荷為q

的點電荷。點電荷的電荷密度表示4.點電荷將電荷區(qū)域看作是一個沒有幾何大小的點。6/25/20248中南大學信息科學與工程學院2.1.2

電流與電流密度說明：電流通常是時間的函數(shù)，不隨時間變化的電流稱為恒定電流，用I

表示。

存在可以自由移動的電荷;

存在電場。單位:A（安）電流方向:正電荷的流動方向電流

——電荷的定向運動而形成，用i表示，其大小定義為：

單位時間內通過某一橫截面S

的電荷量，即形成電流的條件：6/25/20249中南大學信息科學與工程學院

電荷在某一體積內定向運動所形成的電流稱為體電流，用電流密度矢量來描述。單位：A/m2（安/米2）

。

一般情況下，在空間不同的點，電流的大小和方向往往是不同的。在電磁理論中，常用體電流、面電流和線電流來描述電流的分別狀態(tài)。

1.體電流

流過任意曲面S的電流為正電荷運動的方向體電流密度矢量6/25/202410中南大學信息科學與工程學院6/25/202411中南大學信息科學與工程學院2.面電流

電荷在一個厚度可以忽略的薄層內定向運動所形成的電流稱為面電流，用面電流密度矢量來描述其分布單位：A/m（安/米）

。通過薄導體層上任意有向曲線

的電流為正電荷運動的方向面電流密度矢量d06/25/202412中南大學信息科學與工程學院注意：體電流與面電流是兩個獨立概念，并非有體電流就有面電流。3、線電流電荷只在一條線上運動時，形成的電流即為線電流。電流元：長度為無限小的線電流元。穿過任意曲線的電流：6/25/202413中南大學信息科學與工程學院2.1.3電流的連續(xù)性方程電荷守恒定律：從任一閉合面流出的電流等于該閉合面內電荷的減少率。

電流連續(xù)性方程微分形式電流連續(xù)性方程積分形式即：q為閉合面S內的電荷量6/25/202414中南大學信息科學與工程學院討論：1）對于恒定電流，有故：恒定電流的電流連續(xù)性方程為2）對于面電流，電流連續(xù)性方程為：意義：流入閉合面S的電流等于流出閉合面S的電流。對時變面電流對恒定面電流6/25/202415中南大學信息科學與工程學院2.2真空中靜電場的基本規(guī)律靜電場：由靜止電荷產生的電場。重要特征：對位于電場中的電荷有電場力作用。本節(jié)內容

2.2.1庫侖定律電場強度

2.2.2靜電場的散度與旋度6/25/202416中南大學信息科學與工程學院1.庫侖（Coulomb）定律(1785年)

真空中靜止點電荷q1對q2的作用力:

，滿足牛頓第三定律。

大小與兩電荷的電荷量成正比，與兩電荷距離的平方成反比；2.2.1庫侖定律電場強度

方向沿q1和q2連線方向，同性電荷相排斥，異性電荷相吸引；說明：6/25/202417中南大學信息科學與工程學院電場力服從疊加定理

真空中的N個點電荷（分別位于）對點電荷（位于）的作用力為qq1q2q3q4q5q6q7等于各點電荷對該電荷電場力的合力。6/25/202418中南大學信息科學與工程學院2.電場強度

空間某點的電場強度定義為置于該點的單位點電荷（又稱試驗電荷）受到的作用力，即

根據(jù)上述定義，真空中靜止點電荷q

激發(fā)的電場為——

描述電場分布的基本物理量

電場強度矢量——試驗正電荷電場強度方向與該點正電荷受力方向相同單位:伏

/米（V/

m）6/25/202419中南大學信息科學與工程學院2005-1-2520真空中電場強度的計算公式直接根據(jù)庫侖定律，有：6/25/202420中南大學信息科學與工程學院2005-1-2521庫侖定律的重要結論：點電荷周圍的電場強度（1）與距離平方成反比；（2）與源點的電荷量成正比;（3）源場滿足疊加原理。如果電荷是連續(xù)分布呢？6/25/202421中南大學信息科學與工程學院面密度為的面分布電荷的電場強度小體積元中的電荷產生的電場體密度為的體分布電荷產生的電場強度線密度為的線分布電荷的電場強度6/25/202422中南大學信息科學與工程學院233.幾種典型電荷分布的電場強度（無限長）（有限長）均勻帶電直線段的電場強度：均勻帶電圓環(huán)軸線上的電場強度：當導線變?yōu)闊o限長時：q1=0,q2=p均勻帶電直線段均勻帶電圓環(huán)6/25/202423中南大學信息科學與工程學院——電偶極矩+q電偶極子zod－q電偶極子的場圖等位線電場線

電偶極子是由相距很近、帶等值異號電量的兩個點電荷組成的電荷系統(tǒng)，其遠區(qū)電場強度為

電偶極子的電場強度：6/25/202424中南大學信息科學與工程學院2005-1-2525

電偶極子是由相距非常近的正負兩個點電荷組成的電荷系。電偶極子的電場由電場的疊加原理，電偶極子的電場就是兩個點電荷產生的場的疊加。1、求電場d6/25/202425中南大學信息科學與工程學院2005-1-2526根據(jù)余弦定理d6/25/202426中南大學信息科學與工程學院2005-1-2527通常電偶極矩定義為6/25/202427中南大學信息科學與工程學院2005-1-25286/25/202428中南大學信息科學與工程學院

解：如圖所示，環(huán)形薄圓盤的內半徑為a、外半徑為b，電荷面密度為。在環(huán)形薄圓盤上取面積元

，其位置矢量為，它所帶的電量為。而薄圓盤軸線上的場點的位置矢量為，因此有

例2.2.1計算均勻帶電的環(huán)形薄圓盤軸線上任意點的電場強度。P(0,0,z)brRyzx均勻帶電的環(huán)形薄圓盤dSa故由于6/25/202429中南大學信息科學與工程學院2.2.2靜電場的散度與旋度1.靜電場散度與高斯定理兩邊取散度r位于區(qū)域V內r位于區(qū)域V外6/25/202430中南大學信息科學與工程學院上式中體積分的被積函數(shù)在R=0（即源點與場點重合這一點）之外的區(qū)域上全為零。因此，積分區(qū)域可縮小到場點附近的小區(qū)域。6/25/202431中南大學信息科學與工程學院假定小區(qū)域是以場點為球心,以R為半徑球體。因為R可以任意小，所以可認為小體積中的

為常數(shù)，將其移到積分號之前。根據(jù)散度定理，有6/25/202432中南大學信息科學與工程學院靜電場的高斯定理（積分形式）靜電場的散度（微分形式）

曲面上的電場強度是由空間所有電荷產生的，并不是與曲面外的電荷無關，而是外部電荷在閉合曲面上產生的電場強度的通量為零。取體積分根據(jù)高斯定理6/25/202433中南大學信息科學與工程學院高斯定理表明：靜電場是有源場，電力線起始于正電荷，終止于負電荷。靜電場的散度（微分形式）靜電場的高斯定理（積分形式）靜電場的基本方程之一6/25/202434中南大學信息科學與工程學院

a.在點電荷的電場中任取一條連接AB兩點的曲線b.若曲線閉合2.靜電場旋度與環(huán)路定理6/25/202435中南大學信息科學與工程學院靜電系統(tǒng)守恒定理證明c.微分形式

由斯托克斯定理6/25/202436中南大學信息科學與工程學院環(huán)路定理表明：靜電場是無旋場，是保守場，電場力做功與路徑無關。靜電場的旋度（微分形式）靜電場的環(huán)路定理（積分形式）靜電場的另一個基本方程6/25/202437中南大學信息科學與工程學院

在電場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用高斯定理計算電場強度。

3.利用高斯定理計算電場強度具有以下幾種對稱性的場可用高斯定理求解：

球對稱分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等。帶電球殼多層同心球殼均勻帶電球體aOρ06/25/202438中南大學信息科學與工程學院

無限大平面電荷：如無限大的均勻帶電平面、平板等。

軸對稱分布：如無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱體等。6/25/202439中南大學信息科學與工程學院

例2.2.2

求真空中均勻帶電球體的場強分布。已知球體半徑為a

，電荷密度為

0。

解：（1）球外某點的場強（2）求球體內一點的場強ar

0rrEa(r≥a)（r<a）由由6/25/202440中南大學信息科學與工程學院2.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律本節(jié)內容

2.3.1安培力定律磁感應強度

2.3.2恒定磁場的散度與旋度6/25/202441中南大學信息科學與工程學院1.

安培力定律

安培對電流的磁效應進行了大量的實驗研究，在1821—1825年之間，設計并完成了電流相互作用的精巧實驗，得到了電流相互作用力公式，稱為安培力定律。

實驗表明，真空中的載流回路C1對載流回路C2的作用力

載流回路C2對載流回路C1的作用力安培力定律2.3.1安培力定律磁感應強度滿足牛頓第三定律6/25/202442中南大學信息科學與工程學院2.磁感應強度

電流在其周圍空間中產生磁場，描述磁場分布的基本物理量是磁感應強度，單位為T（特斯拉）。

磁場的重要特征是對場中的電流有磁場力作用，載流回路C1對載流回路C2的作用力是回路C1中的電流I1產生的磁場對回路C2中的電流I2的作用力。

根據(jù)安培力定律，有其中電流I1在電流元處產生的磁感應強度6/25/202443中南大學信息科學與工程學院任意電流回路C產生的磁感應強度電流元產生的磁感應強度體電流產生的磁感應強度面電流產生的磁感應強度6/25/202444中南大學信息科學與工程學院3.幾種典型電流分布的磁感應強度

載流直線段的磁感應強度：

載流圓環(huán)軸線上的磁感應強度：（有限長）（無限長）載流直線段載流圓環(huán)6/25/202445中南大學信息科學與工程學院圓形載流回路軸線上磁場分布6/25/202446中南大學信息科學與工程學院

解：設圓環(huán)的半徑為a，流過的電流為I。為計算方便取線電流圓環(huán)位于xOy

平面上，則所求場點為P(0,0,z),如圖所示。采用圓柱坐標系，圓環(huán)上的電流元為,其位置矢量為

，而場點P

的位置矢量為，故得

例2.3.1計算線電流圓環(huán)軸線上任一點的磁感應強度。載流圓環(huán)軸線上任一點P(0,0,z)的磁感應強度為6/25/202447中南大學信息科學與工程學院可見，線電流圓環(huán)軸線上的磁感應強度只有軸向分量，這是因為圓環(huán)上各對稱點處的電流元在場點P產生的磁感應強度的徑向分量相互抵消。當場點P遠離圓環(huán)，即z

>>

a

時，因，故由于，所以

在圓環(huán)的中心點上，z

=0，磁感應強度最大，即6/25/202448中南大學信息科學與工程學院2.3.2

恒定磁場的散度和旋度

1.

恒定磁場的散度與磁通連續(xù)性原理6/25/202449中南大學信息科學與工程學院取散度，磁感應強度的散度為零，即磁通是一個無通量源的矢量場。利用散度定理穿過任意閉合面得磁感應強度的通量為零，磁力線是無頭無尾的閉合線。6/25/202450中南大學信息科學與工程學院磁通連續(xù)性原理表明：恒定磁場是無散場，磁感應線是無起點和終點的閉合曲線。自然界中不存在孤立磁荷，磁單極恒定場的散度（微分形式）磁通連續(xù)性原理（積分形式）6/25/202451中南大學信息科學與工程學院2.

恒定磁場的旋度與安培環(huán)路定理（畢奧－沙伐定律）恒定磁場是有旋場（有電流區(qū)）（無電流區(qū)）旋度運算后，得到（證明省略）用斯托克斯定理真空中的安培環(huán)路定律等式兩邊取面積分6/25/202452中南大學信息科學與工程學院以長直導線的磁場為例（1）安培環(huán)路與磁力線重合（2）安培環(huán)路與磁力線不重合圓弧為6/25/202453中南大學信息科學與工程學院（3）安培環(huán)路不交鏈電流（4）安培環(huán)路與若干根電流交鏈該結論適用于其它任何帶電體情況。注意：環(huán)路方向與電流方向成右手，電流取正，否則取負。6/25/202454中南大學信息科學與工程學院安培環(huán)路定理表明：恒定磁場是有旋場，是非保守場、電流是磁場的旋渦源。恒定磁場的旋度（微分形式）安培環(huán)路定理（積分形式）6/25/202455中南大學信息科學與工程學院

解：分析場的分布，取安培環(huán)路如圖，則根據(jù)對稱性，有，故

在磁場分布具有一定對稱性的情況下，可以利用安培環(huán)路定理計算磁感應強度。

3.利用安培環(huán)路定理計算磁感應強度

例2.3.2

求電流面密度為的無限大電流薄板產生的磁感應強度。6/25/202456中南大學信息科學與工程學院

解選用圓柱坐標系，則應用安培環(huán)路定理，得例2.3.3

求載流無限長同軸電纜產生的磁感應強度。取安培環(huán)路，交鏈的電流為6/25/202457中南大學信息科學與工程學院應用安培環(huán)路定理，得6/25/202458中南大學信息科學與工程學院2.4媒質的電磁特性

本節(jié)內容

2.4.1

電介質的極化電位移矢量

2.4.2磁介質的磁化磁場強度

2.4.3媒質的傳導特性

媒質對電磁場的響應可分為三種情況：極化、磁化和傳導。

描述媒質電磁特性的參數(shù)為：介電常數(shù)、磁導率和電導率。6/25/202459中南大學信息科學與工程學院2.4.1電介質的極化電位移矢量1.電介質的極化現(xiàn)象

電介質的分子分為無極分子和有極分子。

在電場作用下，介質中無極分子的束縛電荷發(fā)生位移，有極分子的固有電偶極矩的取向趨于電場方向，這種現(xiàn)象稱為電介質的極化。

無極分子的極化稱為位移極化，有極分子的極化稱為取向極化。無極分子

有極分子無外加電場無極分子有極分子有外加電場

E6/25/202460中南大學信息科學與工程學院2.極化強度矢量

極化強度矢量

是描述介質極化程度的物理量，定義為

——分子的平均電偶極矩

的物理意義：單位體積內分子電偶極矩的矢量和。

極化強度與電場強度有關，其關系一般比較復雜。在線性、各向同性的電介質中，與電場強度成正比，即

——電介質的電極化率

n為單位體積內的平均分子數(shù)

E6/25/202461中南大學信息科學與工程學院

由于極化，正、負電荷發(fā)生位移，在電介質內部可能出現(xiàn)凈余的極化電荷分布，同時在電介質的表面上有面分布的極化電荷。3.極化電荷(1)

極化電荷體密度

在電介質內任意作一閉合面S，只有電偶極矩穿過S

表面的分子對S

內的極化電荷有貢獻。在S上取一小面元dS，以dS為底d為斜高構成一個體積元，由于負電荷位于斜柱體內的電偶極矩才穿過小面元dS

，因此dS對極化電荷的貢獻為

E

S6/25/202462中南大學信息科學與工程學院(2)

極化電荷面密度

緊貼電介質表面取如圖所示的閉合曲面，則穿過面積元的極化電荷為故得到電介質表面的極化電荷面密度為S

所圍的體積內的極化電荷為

6/25/202463中南大學信息科學與工程學院4.電位移矢量介質中的高斯定理

介質的極化過程包括兩個方面：

外加電場的作用使介質極化，產生極化電荷；

極化電荷反過來激發(fā)電場，兩者相互制約，并達到平衡狀態(tài)。無論是自由電荷，還是極化電荷，它們都激發(fā)電場，服從同樣的庫侖定律和高斯定理。自由電荷和極化電荷共同激發(fā)的結果

介質中的電場應該是外加電場和極化電荷產生的電場的疊加，應用高斯定理得到：6/25/202464中南大學信息科學與工程學院將極化電荷體密度表達式代入，有任意閉合曲面電位移矢量D的通量等于該曲面包含自由電荷的代數(shù)和

小結：靜電場是有散無旋場，電介質中的基本方程為

引入電位移矢量（單位：C/m2)則有

其積分形式為

（微分形式），

（積分形式）

6/25/202465中南大學信息科學與工程學院

極化強度與電場強度之間的關系由介質的性質決定。對于線性各向同性介質，

和

有簡單的線性關系其中稱為介質的介電常數(shù)，單位:F/m

稱為介質的相對介電常數(shù)（無量綱）。在這種情況下*

介質有多種不同的分類方法，如：均勻和非均勻介質各向同性和各向異性介質時變和時不變介質線性和非線性介質5.電介質的本構關系6/25/202466中南大學信息科學與工程學院例

半徑為a的球中充滿密度的體電荷，已知電場分布為

其中A為常數(shù)，試求電荷密度。解：利用高斯定理的微分形式，即，得

在區(qū)域：

在區(qū)域：

6/25/202467中南大學信息科學與工程學院無外加磁場2.4.2磁介質的磁化磁場強度1.磁介質的磁化

介質中分子或原子內的電子運動形成分子電流，形成分子磁矩

在外磁場作用下，分子磁矩定向排列，宏觀上顯示出磁性，這種現(xiàn)象稱為磁介質的磁化。

無外磁場作用時，分子磁矩不規(guī)則排列，宏觀上不顯磁性。外加磁場B6/25/202468中南大學信息科學與工程學院2.磁化強度矢量

磁化強度是描述磁介質磁化程度的物理量，定義為單位體積中的分子磁矩的矢量和，即單位:A/m。分子平均磁矩B6/25/202469中南大學信息科學與工程學院3.磁化電流

磁介質被磁化后，在其內部與表面上可能出現(xiàn)宏觀的電流分布，稱為磁化電流。

考察穿過任意圍線C所圍曲面S的電流。只有分子電流與圍線相交鏈的分子才對電流有貢獻。與線元dl相交鏈的分子，中心位于如圖所示的斜圓柱內，所交鏈的電流穿過曲面S的磁化電流為（1）磁化電流體密度BC6/25/202470中南大學信息科學與工程學院由，即得到磁化電流體密度

在緊貼磁介質表面取一長度元dl，與此交鏈的磁化電流為（2）磁化電流面密度則即的切向分量6/25/202471中南大學信息科學與工程學院4.磁場強度介質中安培環(huán)路定理

分別是傳導電流密度和磁化電流密度。

將極化電流體密度表達式代入，有,即

外加磁場使介質發(fā)生磁化，磁化導致磁化電流。磁化電流同樣也激發(fā)磁感應強度，兩種相互作用達到平衡，介質中的磁感應強度B應是所有電流源激勵的結果：定義磁場強度為：6/25/202472中南大學信息科學與工程學院則得到介質中的安培環(huán)路定理為：磁通連續(xù)性定理為小結：恒定磁場是有旋無散場，磁介質中的基本方程為

（積分形式）

（微分形式）6/25/202473中南大學信息科學與工程學院其中，稱為介質的磁化率（也稱為磁化系數(shù)）。這種情況下其中稱為介質的磁導率，單位H/m

稱為介質的相對磁導率（無量綱）。順磁質抗磁質鐵磁質磁介質的分類5.磁介質的本構關系

磁化強度

和磁場強度

之間的關系由磁介質的物理性質決定，對于線性各向同性介質，與之間存在簡單的線性關系：6/25/202474中南大學信息科學與工程學院磁性介質按其特性主要分為順磁性物質、抗磁性物質和鐵磁性物質１:順磁性物質：2:抗磁性物質：因此順磁性物質與抗磁性物質均可取μ＝μ0，它們對磁場的影響都可以忽略。真空中

3:鐵磁BH均為非線性，而且是復雜的多值關系，鐵磁性物質在外磁場中的磁化情況是通過外加磁場強度和其中磁感應強度B的關系曲線——磁滯回線來表示，μr的值很大，不再是常量，而是H的函數(shù)而且與磁性物質的磁化過程有關。即

為非常量,各向異性

張量圖

磁化曲線與磁滯回線HB6/25/202475中南大學信息科學與工程學院順次性物質與抗磁性物質：弱磁性物質，外磁場消失后，其磁化狀態(tài)立刻消失。鐵磁性物質：在外加磁場作用下會發(fā)生明顯磁化，具有強磁性，當外場減小到零時，鐵磁物質內的磁場，非線性下降，但不會消失，有剩磁現(xiàn)象。6/25/202476中南大學信息科學與工程學院

解磁場為平行平面場,且具有軸對稱性，應用安培環(huán)路定理，得磁場強度磁化強度磁感應強度

例2.4.1

有一磁導率為μ

，半徑為a的無限長導磁圓柱，其軸線處有無限長的線電流I，圓柱外是空氣（μ0），試求圓柱內外的、和的分布。6/25/202477中南大學信息科學與工程學院例2.4.2鐵介質無限長圓管中通過電流J＝ezJ0內外半徑a和b，磁導率

,求磁化電流分布。解：取柱坐標，軸線與中心重合

軸對稱:

則電流z方向----磁場只有

分量由于可作出H面,用安培環(huán)路定理最簡便。a).在管外ρ>b

6/25/202478中南大學信息科學與工程學院b).在管中a<ρ<b:6/25/202479中南大學信息科學與工程學院c).在中心區(qū)（管中ρ

<a）6/25/202480中南大學信息科學與工程學院管壁內體磁化電流管壁中磁化強度的計算由有：6/25/202481中南大學信息科學與工程學院管壁內磁化面電流

總的磁化電流（垂直于z平面的）內表面：根據(jù)外表面：6/25/202482中南大學信息科學與工程學院這就是歐姆定律的微分形式。式中的比例系數(shù)稱為媒質的電導率，單位是S/m（西/米）。2.4.3媒質的傳導特性

對于線性和各向同性導電媒質，媒質內任一點的電流密度矢量J

和電場強度

E

成正比，表示為晶格帶電粒子

存在可以自由移動帶電粒子的介質稱為導電媒質。在外場作用下，導電媒質中將形成定向移動電流。

6/25/202483中南大學信息科學與工程學院2.5電磁感應定律和位移電流

本節(jié)內容

2.5.1電磁感應定律

2.5.2位移電流

電磁感應定律——揭示時變磁場產生電場。

位移電流——揭示時變電場產生磁場。

重要結論：在時變情況下，電場與磁場相互激勵，形成統(tǒng)一的電磁場。6/25/202484中南大學信息科學與工程學院2.5.1電磁感應定律

1831年法拉第發(fā)現(xiàn)，當穿過導體回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中就會出現(xiàn)感應電流和電動勢，且感應電動勢與磁通量的變化有密切關系，由此總結出了著名的法拉第電磁感應定律。負號表示感應電流產生的磁場總是阻止磁通量的變化。1.

法拉第電磁感應定律的表述

當通過導體回路所圍面積的磁通量

發(fā)生變化時，回路中產生的感應電動勢的大小等于磁通量的時間變化率的負值，方向是要阻止回路中磁通量的改變，即6/25/202485中南大學信息科學與工程學院

設任意導體回路C圍成的曲面為S，其單位法向矢量為，則穿過回路的磁通為

導體回路中有感應電流，表明回路中存在感應電場，回路中的感應電動勢可表示為因而有

ner

B

CS

dlrr6/25/202486中南大學信息科學與工程學院

感應電場是由變化的磁場所激發(fā)的電場。感應電場是有旋場。

感應電場不僅存在于導體回路中，也存在于導體回路之外的空間。對空間中的任意回路（不一定是導體回路）C，都有

對感應電場的討論：

若空間同時存在由電荷產生的電場,則總電場應為與之和，即。由于，故有推廣的法拉第電磁感應定律6/25/202487中南大學信息科學與工程學院相應的微分形式為(1)

回路不變，磁場隨時間變化2.引起回路中磁通變化的幾種情況磁通量的變化由磁場隨時間變化引起，因此有感生電動勢6/25/202488中南大學信息科學與工程學院(3)

回路在時變磁場中運動動生電動勢在磁場力作用下自由電子發(fā)生定向移動，使導體一端富集負電荷，另一端富集正電荷。從而產生電場，當電場力與磁場力平衡時，自由點荷受力為零，所以感應電場為微分形式xbaoyx均勻磁場中的矩形環(huán)L(2)

導體回路在恒定磁場中運動6/25/202489中南大學信息科學與工程學院

（1），矩形回路靜止；

（3），且矩形回路上的可滑動導體L以勻速運動。

解：(1)均勻磁場

隨時間作簡諧變化，而回路靜止，因而回路內的感應電動勢是由磁場變化產生的，故

例2.5.1長為a、寬為b的矩形環(huán)中有均勻磁場

垂直穿過，如圖所示。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內的感應電動勢。

（2），矩形回路的寬邊b=常數(shù)，但其長邊因可滑動導體L以勻速運動而隨時間增大；xbaoyx均勻磁場中的矩形環(huán)L6/25/202490中南大學信息科學與工程學院

(3)矩形回路中的感應電動勢是由磁場變化以及可滑動導體L在磁場中運動產生的，故得

(2)均勻磁場

為恒定磁場，而回路上的可滑動導體以勻速運動，因而回路內的感應電動勢全部是由導體L在磁場中運動產生的，故得或6/25/202491中南大學信息科學與工程學院

例2.5.2在時變磁場中，放置有一個的矩形線圈。初始時刻，線圈平面的法向單位矢量與成α角，如圖所示。試求：

（1）線圈靜止時的感應電動勢；

解:（1）線圈靜止時，感應電動勢是由時變磁場引起，故

（2）線圈以角速度ω

繞x

軸旋轉時的感應電動勢。xyzabB時變磁場中的矩形線圈6/25/202492中南大學信息科學與工程學院

假定時，則在時刻t時，與y

軸的夾角，故

方法一：利用式計算

（2）線圈繞x軸旋轉時，的指向將隨時間變化。線圈內的感應電動勢可以用兩種方法計算。6/25/202493中南大學信息科學與工程學院

上式右端第一項與(1)相同，第二項

方法二：利用式計算。xyzabB時變磁場中的矩形線圈122346/25/202494中南大學信息科學與工程學院

在時變情況下，安培環(huán)路定理是否要發(fā)生變化？有什么變化？即問題：隨時間變化的磁場要產生電場，那么隨時間變化的電場是否會產生磁場？2.5.2位移電流

靜態(tài)情況下的電場基本方程在非靜態(tài)時發(fā)生了變化，即

這不僅是方程形式的變化，而是一個本質的變化，其中包含了重要的物理事實，即時變磁場可以激發(fā)電場，作為感應電場的矢量場源。（恒定磁場）

（時變場）6/25/202495中南大學信息科學與工程學院安培環(huán)路定律的局限性如圖：以閉合路徑l

為邊界的曲面有無限多個，取如圖所示的兩個曲面S1,S2。對S2面：則對S1面：

為了克服安培環(huán)路定律的局限性，麥克斯韋提出了位移電流假說。他認為：在電容器兩極板之間，存在著另外一種形式的電流：位移電流

id，其大小與回路中的自由電流相等,即

i=id6/25/202496中南大學信息科學與工程學院變化的電場產生位移電流（DisplacementCurrent），電流仍然是連續(xù)的。=6/25/202497中南大學信息科學與工程學院1.全電流定律磁場非時變情況下，時變電磁場中電荷分布隨時間變化，由電流連續(xù)性方程有

發(fā)生矛盾在時變的情況下不適用

解決辦法：對安培環(huán)路定理進行修正由將修正為：矛盾解決

時變電場會激發(fā)磁場6/25/202498中南大學信息科學與工程學院全電流定律：——

微分形式——

積分形式

全電流定律揭示不僅傳導電流J激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關系。6/25/202499中南大學信息科學與工程學院2.位移電流密度電位移矢量隨時間的變化率，能像電流一樣產生磁場，故稱“位移電流”。注：在絕緣介質中，無傳導電流，但有位移電流。在理想導體中，無位移電流，但有傳導電流。在一般介質中，既有傳導電流，又有位移電流。位移電流只表示電場的變化率，與傳導電流不同，它不產生熱效應。位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關重要的一步，它揭示了時變電場產生磁場這一重要的物理概念。6/25/2024100中南大學信息科學與工程學院

例2.5.3海水的電導率為4S/m，相對介電常數(shù)為81，求頻率為1MHz時，位移電流振幅與傳導電流振幅的比值。

解：設電場隨時間作正弦變化，表示為則位移電流密度為其振幅值為傳導電流的振幅值為故6/25/2024101中南大學信息科學與工程學院式中的k為常數(shù)。試求：位移電流密度和電場強度。

例

2.5.4自由空間的磁場強度為

解

自由空間的傳導電流密度為0，故由式,得6/25/2024102中南大學信息科學與工程學院6/25/2024103中南大學信息科學與工程學院

例2.5.5銅的電導率、相對介電常數(shù)。設銅中的傳導電流密度為。試證明：在無線電頻率范圍內，銅中的位移電流與傳導電流相比是可以忽略的。而傳導電流密度的振幅值為通常所說的無線電頻率是指f=300MHz以下的頻率范圍，即使擴展到極高頻段（f=30～300GHz），從上面的關系式看出比值Jdm/Jm

也是很小的，故可忽略銅中的位移電流。

解：銅中存在時變電磁場時，位移電流密度為位移電流密度的振幅值為6/25/2024104中南大學信息科學與工程學院2.6麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組

——宏觀電磁現(xiàn)象所遵循的基本規(guī)律，是電磁場的基本方程。

本節(jié)內容

2.6.1麥克斯韋方程組的積分形式

2.6.2麥克斯韋方程組的微分形式

2.6.3媒質的本構關系6/25/2024105中南大學信息科學與工程學院2.6.1麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程，隨時間變化的電場也是產生磁場的源。麥克斯韋第二方程，表明隨時間變化的磁場也是產生電場的源（漩渦源）。麥克斯韋第三方程表明磁場是無通量源的場，磁感線總是閉合曲線麥克斯韋第四方程，表明電場是有通量源的場，電荷是產生電場的通量源。6/25/2024106中南大學信息科學與工程學院2.6.2麥克斯韋方程組的積分形式（全電流定律）（法拉第電磁感應定律）（磁通連續(xù)性方程方程）（電介質中的高斯定律）（電流連續(xù)性方程）6/25/2024107中南大學信息科學與工程學院2.6.3媒質的本構關系

代入麥克斯韋方程組中，有限定形式的麥克斯韋方程（均勻媒質ε、μ為常量）各向同性線性媒質的本構關系為6/25/2024108中南大學信息科學與工程學院時變電場的激發(fā)源除了電荷以外，還有變化的磁場；而時變磁場的激發(fā)源除了傳導電流以外，還有變化的電場。電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā)。時變電磁場的電場和磁場不再相互獨立，而是相互關聯(lián)，構成一個整體——

電磁場。電場和磁場分別是電磁場的兩個分量。在離開輻射源（如天線）的無源空間中，電荷密度和電流密度矢量為零，電場和磁場仍然可以相互激發(fā)，從而在空間形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波。6/25/2024109中南大學信息科學與工程學院在無源空間中，兩個旋度方程分別為

可以看到兩個方程的右邊相差一個負號，而正是這個負號使得電場和磁場構成一個相互激勵又相互制約的關系。當磁場減小時，電場的旋渦源為正，電場將增大；而當電場增大時，使磁場增大，磁場增大反過來又使電場減小。6/25/2024110中南大學信息科學與工程學院

例

2.6.1

正弦交流電壓源連接到平行板電容器的兩個極板上，如圖所示。(1)證明電容器兩極板間的位移電流與連接導線中的傳導電流相等；(2)求導線附近距離連接導線為r

處的磁場強度。

解：(1)導線中的傳導電流為忽略邊緣效應時，間距為d

的兩平行板之間的電場為E=u/d

，則CPricu平行板電容器與交流電壓源相接6/25/2024111中南大學信息科學與工程學院與閉合線鉸鏈的只有導線中的傳導電流，故得

(2)以r

為半徑作閉合曲線C，由于連接導線本身的軸對稱性，使得沿閉合線的磁場相等，故式中的S0為極板的面積，而為平行板電容器的電容。則極板間的位移電流為6/25/2024112中南大學信息科學與工程學院

例2.6.2在無源的電介質中，若已知電場強度矢量，式中的Em為振幅、ω為角頻率、k為相位常數(shù)。在什么條件下(k與ω

之間所滿足的關系),才可能是電磁場的電場強度矢量？，并求出與相應的其他場矢量。

解：是電磁場的場矢量，應滿足麥克斯韋方程組。因此，利用麥克斯韋方程組可以確定k

與ω

之間所滿足的關系，以及與相應的其他場矢量。對時間

t積分，得6/25/2024113中南大學信息科學與工程學院由以上各個場矢量都應滿足麥克斯韋方程，將以上得到的H和D代入式6/25/2024114中南大學信息科學與工程學院2.7電磁場的邊界條件

什么是電磁場的邊界條件?

為什么要研究邊界條件?

如何討論邊界條件?實際電磁場問題都是在一定的物理空間內發(fā)生的，該空間中可能是由多種不同媒質組成的。邊界條件就是不同媒質的分界面上的電磁場矢量滿足的關系，是在不同媒質分界面上電磁場的基本屬性。物理：由于在分界面兩側介質的特性參數(shù)發(fā)生突變，場在界面兩側也發(fā)生突變。麥克斯韋方程組的微分形式在分界面兩側失去意義，必須采用邊界條件。數(shù)學：麥克斯韋方程組是微分方程組，其解是不確定的，邊界條件起定解的作用。麥克斯韋方程組的積分形式在不同媒質的分界面上仍然適用，由此可導出電磁場矢量在不同媒質分界面上的邊界條件。媒質1媒質26/25/2024115中南大學信息科學與工程學院

本節(jié)內容

2.7.1邊界條件一般表達式

2.7.2兩種常見的情況麥克斯韋方程組的積分形式在不同媒質的分界面上仍然適用，由此可導出電磁場矢量在不同媒質分界面上的邊界條件。6/25/2024116中南大學信息科學與工程學院2.7.1

邊界條件一般表達式

分界面上的電荷面密度

分界面上的電流面密度媒質1媒質26/25/2024117中南大學信息科學與工程學院（1）電磁場量的法向邊界條件令Δh→0，則由即

在兩種媒質的交界面上任取一點P，作一個包圍點P的扁平圓柱曲面S，如圖表示。

邊界條件的推證

或或同理，由媒質1媒質2PS6/25/2024118中南大學信息科學與工程學院結論：的法向分量在不同的分界面上是不連續(xù)的，與分界面上的自由電荷面密度有關。的法向分量在不同媒質的分界面上是連續(xù)的。6/25/2024119中南大學信息科學與工程學院（2）電磁場量的切向邊界條件在介質分界面兩側，選取如圖所示的小環(huán)路，令Δh

→0，則由故得或同理得或媒質1媒質26/25/2024120中南大學信息科學與工程學院結論：的切向分量在不同媒質的分界面上是不連續(xù)的，與分界面上的傳導電流面密度有關。的切向分量在不同媒質的分界面上是連續(xù)的。6/25/2024121中南大學信息科學與工程學院兩種理想介質分界面上的邊界條件2.7.2兩種常見的情況

在兩種理想介質分界面上，通常沒有電荷和電流分布，即JS＝0、ρS＝0，故

的法向分量連續(xù)

的法向分量連續(xù)

的切向分量連續(xù)

的切向分量連續(xù)

媒質1媒質2

、的法向分量連續(xù)媒質1媒質2

、的切向分量連續(xù)6/25/2024122中南大學信息科學與工程學院2.理想導體表面上的邊界條件

理想導體表面上的邊界條件設媒質2為理想導體，則E2、D2、H2、B2均為零，故

理想導體：電導率為無限大的導電媒質

特征：電磁場不可能進入理想導體內理想導體表面上的電荷密度等于的法向分量

理想導體表面上的法向分量為0

理想導體表面上的切向分量為0

理想導體表面上的電流密度等于的切向分量

理想導體6/25/2024123中南大學信息科學與工程學院

例2.7.1z<0的區(qū)域的媒質參數(shù)為,z

>0區(qū)域的媒質參數(shù)為。若媒質1中的電場強度為媒質2中的電場強度為（1）試確定常數(shù)A的值;（2）求磁場強度和；（3）驗證和滿足邊界條件。

解:（1）這是兩種電介質的分界面，在分界面z=0處，有6/25/2024124中南大學信息科學與工程學院利用兩種電介質分界面上電場強度的切向分量連續(xù)的邊界條件得到將上式對時間t積分，得

（2）由，有6/25/2024125中南大學信息科學與工程學院可見，在z=0處，磁場強度的切向分量是連續(xù)的，因為在分界面上（z=0）不存在面電流。（3）z=0時同樣，由，得6/25/2024126中南大學信息科學與工程學院

例2.7.2如圖所示，1區(qū)的媒質參數(shù)為、、2區(qū)的媒質參數(shù)為。若已知自由空間的電場強度為試問關于1區(qū)中的和能求得出嗎？

解根據(jù)邊界條件，只能求得邊界面z＝0處的和。由，有則得1區(qū)2區(qū)xyz電介質與自由空間的分界面O6/25/2024127中南大學信息科學與工程學院又由，有則得最后得到6/25/2024128中南大學信息科學與工程學院試求:（1）磁場強度；（2）導體表面的電流密度。

解

（1）由,有

例2.7.3

在兩導體平板（z=0和z=d）之間的空氣中，已知電場強度6/25/2024129中南大學信息科學與工程學院將上式對時間t

積分，得

（2）z=0處導體表面的電流密度為z=d處導體表面的電流密度為6/25/2024130中南大學信息科學與工程學院E